SKKN ứng dụng tích phân để giải các bài toán trắc nghiệm tính diện tích hình phẳng

Trong quá trình giảng dạy, ngoài việc khuyến khích học sinh tính tích cực, chủđộng và sáng tạo nắm chắc kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng giải toán thì giáo viênphải là người khơi gợi

MỤC LỤC

Trang

A.MỞ ĐẦU 02

1- Lý do chọn đề tài 02

2- Mục đích của đề tài 02

3- Phạm vi và đối tượng của đề tài 02

4- Phương pháp nghiên cứu 02

5- Đóng góp của đề tài……… 03

B NỘI DUNG 03

1- Cơ sở lý thuyết 03

2- Nội dung đề tài 04

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: 33

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

A.MỞ ĐẦU.

1 Lý do chọn đề tài:

Từ nhiều năm nay,Tích phân là một trong những phần quan trọng của môn Giảitích lớp 12 Các bài toán tích phân nói chung và bài toán ứng dụng tích phân nói riêngrất đa dạng và phong phú, thường có mặt trong các kì thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh Đạihọc và Cao đẳng Những năm gần đây Bộ GD&ĐT triển khai hình thức thi trắc nghiệmđối với bộ môn Toán, vì vậy những bài tập về ứng dụng tích phân và ứng dụng của nóvào bài toán thực tế gây không ít khó khăn cho học sinh dẫn đến tâm lý sợ , thiếu tự tinvào khả năng của mình

Trong quá trình giảng dạy, ngoài việc khuyến khích học sinh tính tích cực, chủđộng và sáng tạo nắm chắc kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng giải toán thì giáo viênphải là người khơi gợi học sinh vận dụng được các bài toán đó để giải quyêt những vấn

đề thực tiễn Điều đó cũng phù hợp với mục tiêu dạy học tích hợp trong nhà trường

Từ những thực tế nhiều năm giảng dạy khối 12 tôi xin đưa ra một số bài toán được áp dụng trong khi dạy chủ đề ứng dụng tích phân lớp 12 và ứng dụng bài toán đó vào bài toán thực tế Trong phạm vi bài viết tôi chọn đề tài là “Ứng dụng tích phân để giải các bài toán trắc nghiệm tính diện tích hình phẳng” giúp các em học sinh

có kiến thức sâu, rộng về ứng dụng tích phân; có thêm nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng , giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, vận dụng vào thực tiễn

2 Mục đích của đề tài:

Mục đích của đề tài là nghiên cứu các cơ sở lý luận về ứng dụng của tích phân tronghình học.Ôn tập, bổ sung kiến thức cho học sinh 12 chuẩn bị thi vào đại học, giải quyếtvấn đề ứng dụng tích phân một cách dễ dàng Bổ sung một số bài toán ứng dụng tíchphân vào bài toán thực tiễn

3 Phạm vi và đối tượng của đề tài:

- Đối tượng của đề tài là các em học sinh lớp 12 ôn tập kỳ thi THPT Quốc gia

-Các dạng toán cơ bản và nâng cao về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

- Các bài toán thực tế

4 Phương pháp nghiên cứu:

a) Nghiên cứu tài liệu:

Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:

- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 Cơ bản và Nâng cao

- Tài liệu tham khảo

b) Điều tra:

-Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực dạy các lớp 12,Trườngthpt Lương Thế Vinh.

- Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giảitoán ứng dụng tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp, từ đó

để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình

- Phương pháp phân tích và tổng hợp các bài tập nhằm xây dựng một hệ thống bài tập

đi từ dễ đến khó, từ cụ thể tới tổng quát

- Phương pháp thảo luận: Trao đổi với các thầy cô và đồng nghiệp về các bàitoán ứng dụng tích phân mới để biết được cách tìm ra hướng giải bài toán của các em,nhất là tìm ra đáp án bài toán trắc nghiệm một cách nhanh nhất, từ đó có cách dạy tốthơn

Đề tài sẽ trở thành một tài liệu tham khảo cho các giáo viên giảng dạy ở trường THPTtrong quá ôn thi THPT Quốc Gia

B NỘI DUNG

1.Cơ sở lí thuyết:

Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học Những ngườimới bất đầu làm quen với khái niệm tích phân thường gặp một số khó khăn hoặc chưahiểu một cách cặn kẽ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận của lí thuyết Và đặcbiệt là khâu vận dụng kiến thức vào giải các bà toán thực tế Trong thực tế có rất nhiều

mô hình của toán học cần đến sự can thiệp của phép tính tích phân

2.Nội dung đề tài gồm ba phần:

- Phần 1 Diện tích hình phẳng.

- Phần 2 Các bài toán thực tế

- Phần 3.Một số bài toán tương tự

a

b x y

I)Ý nghĩa hình học của tích phân :

Cho y = f(x) liên tục và f(x) > 0 x[a, b] Thế thì diện tícha, b] Thế thì diện tích

hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hsố y = f(x); trục Ox; đt x

|

* Khử dấu GTTĐ: |f(x)| ;Ta làm 2 bước:

1)Giải pt: f(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên [a, b] Thế thì diện tícha;b] l x1;x2; x3;.…(ax1<x2<x3<…

b)

2) Chọn 1 trong 3 cach sau:

*Lập bảng xét dấu : f(x) trên [a, b] Thế thì diện tícha;b]

* Đưa dấu GTTĐ|f(x)| ra ngoài dấu Tích phân trên mỗi đoạn con tạo bởi 2 nghiệm liên tiếp xi;xi+1; vì f(x) chỉ nhận 1 dấu trên mỗi đoạn con này

*Dùng đồ thị

Chú ý: Khó khăn nhất của việc tính diện tích hình phẳng là phải đưa về được công thức

lấy tích phân đúng, còn kết quả tích phân đó học sinh có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm đáp số trong phần thi trắc nghiệm

II)Diện tích hình phẳng:

1)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong:

y = f(x); y = g(x) đều liên tục trên [a, b] Thế thì diện tícha,b] và 2 đường thẳng

x = a, x = b là : S =  

b

a

dx x g x

|

* Khử dấu GTTĐ: |f(x)-g(x)| ;Ta làm 2 bước:

1)Giải pt: f(x)-g(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên [a, b] Thế thì diện tícha;b] là

x1;x2; x3;.…

(a  x1<x2 < x3 < …  b)

2)Khử dấu GTTĐ: |f(x)-g(x)| bằng 1 trong 3 cách sau:

a) Lập bảng xét dấu : f(x)-g(x) trên [a, b] Thế thì diện tícha;b]

b) Đưa dấu GTTĐ|f(x)-g(x)| ra ngoài dấu Tích phân trên mỗi đoạn con tạo bởi 2

nghiệm liên tiếp xi;xi+1; vì f(x) – g(x) chỉ nhận 1 dấu trên mỗi đoạn con này

c) Khử dấu GTTĐ |f(x)-g(x)| bằng đồ thị

2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín :

A) Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi : 







) ( :

) (

) ( :

) (

2 1

x g y C

x f y C

Bước 1: Giải phương trình : f(x) = g(x)  

a x

) (

) ( :

) (

) ( :

) (

3 1

x h y

C

x g y

C

x f y

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( )

Cách 2 : Vẽ đồ thị suy ra (*)

Cách 3: Vì trên mỗi đoạn con, f(x) chỉ nhận 1 dấu nên ta đưa dấu GTTĐ ra ngoài dấu

tích phân trên 3 đoạn con : [a, b] Thế thì diện tích-2; -1]; [a, b] Thế thì diện tích-1; 3]; [a, b] Thế thì diện tích3; 4]

1 1

2

) ( )

( )

-2 -4 -6 -8 -10

x x

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị   2

P y x  x và các tiếp tuyếncủa  P tại A1; 2 và B4;5

Tiếp tuyến của  P tại A và B lần lượt là y 2x 4; y 4x 11.

Giao điểm của hai tiếp tuyến là 5; 1

5 1

g x ( ) = x2 3∙x + 7

Bài 6: (ĐỀ MINH HỌA NĂM 2017) Cho

hình thang cong  H giới hạn bởi các đường

 

2 2

Sau khi vẽ hình ta thấy x2  4x 3  x 3,  x 0;5.





 và hai đường thẳng2

y  , y x 1 (phần tô đậm trong hình vẽ Tính diện tích S của hình phẳng

3 5

Bài 9: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y sinx, ycosx và S1, S2 là diện tích

của các phần được gạch chéo như hình vẽ Tính 2 2

S S ?

B A

Trong đó   2

1

2

1 0;

2 1

0

   245

1 2

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y x và y x 2 là:

Bài 13: (ĐỀ MINH HỌA THPT QUỐC GIA NĂM 2018)

Cho hình ( )H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2

Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn y 2  x2 và đường

thẳng d đi qua hai điểm A  2;0 và B 1;1 ( phần tô đậm như hình vẽ)

Bài 15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 1 và nửa trên của

2

x  t

1

2 1

t t

4 2

x

x y

3 0, 4348 0, 4;0,54

6 3

Nhận xét: + Diện tích hình tròn : Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có

phương x2 y2 R R2 (  0) Khi đó hình tròn đó có diện tích là : S R2

x y

Diện tích của elip:

Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình : 2 1

2 2

y  x ( với  2  x 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) Gọi S là diện tích của, biết S a b 3

c

 

 ( với a, b, c   ) Tính

P a b c  

Bài 18: Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên đoạn  3;3 Biết rằng diện tích

hình phẳng S1, S2 giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng

PHẦN 2.MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN HỆ THỰC TẾ : Bài 19: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên dưới.

Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm) bằng

 cm 2

Bài 20: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau.

Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong nhữngđường cong đẹp trong toán học Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nóđược tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là

16y x 25  x như hình vẽ bên

Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ

Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét

y x  x Góc phần tư thứ nhất 1 2  

25 ; 0;5 4

Bài21: (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM

2017) Ông An có một mảnh vườn hình Elip có

độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng

10m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng

8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng

(như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là

100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền

để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm

5 64 8 1

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường   E1 ; E2; x 4; x 4

và diện tích của dải vườn là

Bài 22: Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8 m,

chiều cao 12,5 m Diện tích của cổng là:

Cách 1:

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng

Khi đó Parabol có phương trình dạng y ax 2 c

Vì  P đi qua đỉnh I0;12,5 nên ta có c 12,5

 P cắt trục hoành tại hai điểm A  4;0 và B4;0 nên ta có 0 16a c 

Ta có parabol đã cho có chiều cao là h 12,5m và bán kính đáy OD OE  4m.

Do đó diện tích parabol đã cho là: 4 200 2

S rh m

Bài 23: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh

bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol nhưhình bên Biết AB 5cm, OH 4 cm Tính diện tích bề mặt hoa văn đó

Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là:  : 16 2 16

3

S  S cm 2.Diện tích của hình vuông là: S  hv 100 cm 2

Bài 24: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol Người ta dự

định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cầnlắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng8m (như hình vẽ)∙

Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O là trung điểm của cạnh đáy, trục Oy

trùng với chiều cao của vòm cửa

Gọi Parabol có dạng: y ax 2 bx c

Vì Parabolcó đỉnh I0;8 và qua điểm 4;0 ; 4;0   nên ta có:

y x 

Diện tích cái cổng chính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

2

1 8 2 0 4 4

y x x

Bài 25: (Thi thử Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp_Quảng Bình )Một khuôn

viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 (m) Trên đó người thiết kếhai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùngvới tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn(phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4(m), phần còn lại của khuôn viên(phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản

Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là

100.000 đồng/m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó phương trình nửa đường tròn là.

trongco hinhtron

Vậy số tiền cần có là S trongxo  100000 1.948.000  (đồng).đồng

Bài 26: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết

đường cong phía trên là một Parabol Giá 1 m 2 của rào sắt là 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)

A 6.417.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.520.000 đồng D 6.620.000đồng

Lời giải

Chọn A.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

.Trong đó A  2,5;1,5, B2,5;1,5, C0;2

Giả sử đường cong phá trên là một Parabol có dạng y ax 2 bx c , với

a

c c

y x  Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số

2

2 2 25

y x  , trục hoành và hai đường thẳng x 2,5, x 2,5

Bài 27: Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một

đường thẳng Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol

có phương trình y x  2 và đường thẳng là y 25  Ông B dự định dùng

một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua O

và điểm M trên parabol để trồng hoa Hãy giúp ông B xác định điểm M

bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng 9

M a;a suy ra phương trình OM : y ax 

Khi đó diện tích khu vườn là  

Bài 28: Một công ty quảng cáo X

muốn làm một bức tranh trang trí

hình MNEIFở chính giữa của một

của cung parabol có đỉnh I là trung

điểm của cạnh AB và đi qua hai

điểm C, D Kinh phí làm bức tranh

F

I

E

N M

4 m

12 m

Câu 2:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x, y  4 x và trục Ox được tính

Câu 3:Cho  P là đồ thị của hàm số y x 2  4x 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

 P và các tiếp tuyến của  P kẻ từ điểm A2; 5   là :

Câu 6: Cho  H là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x và nửa đường tròn có

phương trình y 4x x 2 (với 0  x 4) (phần tô đậm trong hình vẽ) Diện tíchcủa  H bằng

f(x)=sqrt(x) f(x)=sqrt(4x-x^2) Bóng 1

T ?p h?p 1

x y

Câu 7: Cho  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 4  x2 và đường thẳng

Bài 11: [a, b] Thế thì diện tíchTHAM KHẢO 2019] Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ

bên được tính theo công thức nào dưới đây?

2 2

x  , x 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:

Như vậy, để có thể đạt được mục đích đề ra của sáng kiến kinh nghiệm là

giúp học sinh hiểu sâu kiến thức về tích phân,các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tíchphân để tính diện tích hình phẳng Tôi đã cố gắng đưa ra một số dạng và kèm bài tậptương tự cho các em rèn luyện kĩ năng và phát triển tư duy sáng tạo cũng như biết vậndụng kiến thức của Toán học vào các lĩnh vực khác Thông qua đề tài này, tôi khôngchỉ muốn cung cấp cho các em học sinh hệ thống một số dạng bài toán thường gặp màcòn mong muốn giúp các em hình thành kĩ năng phân tích bài toán, để từ đó có thể pháttriển năng lực tư duy sáng tạo toán học

Về mặt lí luận: Giúp các em học sinh tạo được hứng thú học tập, ham mê họcmôn Toán cũng như phát huy năng lực tư duy sáng tạo cho các em khi gặp các bài toánkhó Đề tài cũng giúp các em rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kĩ năng phân tíchtổng hợp, tính cẩn thận, chính xác, tính kiên trì và linh hoạt trong vận dụng kiến thức đãhọc vào giải toán

Về thực tiễn: Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp tính tích phân,ứngdụng tính diện tích hình phẳng,kết hợp với sử dụng các phương tiện học tập để thựchiện tốt các bài toán trắc nghiệm

Trong khi thực hiện đề tài, tôi không thể tránh khỏi những thiếu sót cũng như cònhạn chế trong việc đưa ra các dạng bài toán Kính mong các thầy cô, các bạn đồngnghiệp và các em học sinh đóng góp thêm để đề tài được hoàn thiện hơn

Trong thời gian tới, tôi mong muốn sẽ mở rộng đề tài với nhiều dạng toán khác,các bài toán thực tế về tính thể tích Khai thác thêm các bài toán ứng dụng tích phântrong các lĩnh vực khác như vận dụng trong bài toán tính quãng đường, tính công, nănglượng trong môn Vật lí hoặc một vấn đề nào đó trong trong các môn khoa học tựnhiên

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên) và các tác giả: Hướng dẫn thực hiện chương trình,

4.Nguyễn Tất Thu- Nguyễn Văn Dũng ( chủ biên) : 18 chủ đề Giải tích 12-NXB Đại

Học Quốc Gia Hà Nội

5 Nguyễn Văn Mậu : Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán THPT: Một số vấn đề chọn lọc