skkn ứng dụng tích phân

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT CHUN LƯƠNG THẾ VINH Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Người thực hiện: Tơn Nữ Thanh Thủy Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học mơn: Tốn Phương pháp giáo dục   Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mơ hình  Phần mềm  Phim ảnh Năm học: 2011 - 2012  Hiện vật khác BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THƠNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Tơn Nữ Thanh Thủy Ngày tháng năm sinh: 09 – 01 - 1963 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: 141/28 khu phố Tân Phong Biên Hòa Đồng Nai Điện thoại: (CQ)/(NR): 0613818674 ; ĐTDĐ: 01684834384 Fax: E-mail: tonnuthanhthuy9@yahoo.com.vn Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: THPT chun Lương Thế Vinh II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 1984 - Chun ngành đào tạo: Tốn III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: giảng dạy mơn tốn Số năm có kinh nghiệm: 28 - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: 1)Tích phân 2)Hệ phương trình 3)Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 4)Khảo sát hàm số 5)Cực trị hình học BM03-TMSKKN Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI +Tính cấp thiết đề tài : Ơn tập, bổ sung kiến thức cho học sinh 12 chuẩn bị thi vào đại học, giải vấn đề ứng dụng tích phân cách dễ dàng +Tính đề tài : bổ sung tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng quanh trục tung điều kiện (C): y = f(x) khơng rút quy tắc ngược x theo y dễ dàng Bài viết trích đăng tạp chí tốn học tuổi trẻ số 397 tháng năm 2010 I THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Thực trạng mặt tích cực vấn đề có liên quan đến đề tài - Các yếu tố chủ quan có ảnh hưởng tích cực đến vấn đề liên quan với đề tài - Các yếu tố khách quan có ảnh hưởng tích cực đến vấn đề liên quan với đề tài Khó khăn - Thực trạng mặt tiêu cực vấn đề có liên quan đến đề tài - Các yếu tố chủ quan có ảnh hưởng tiêu cực đến vấn đề liên quan với đề tài - Các yếu tố khách quan có ảnh hưởng tiêu cực đến vấn đề liên quan với đề tài Số liệu thống kê Các số liệu để làm đánh giá thực trạng vấn đề có liên quan đến đề tài làm so sánh với kết đề tài II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận - Quan điểm nhà khoa học vấn đề có liên quan đến đề tài (có cước tài liệu trích dẫn) - Các vấn đề xúc (sự cần thiết, tính cấp bách, tính mới) đề tài cần giải dựa quan điểm nghiên cứu khoa học thực tiễn thân người thực sáng kiến kinh nghiệm Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài - Các nội dung đề tài cá nhân nghiên cứu qua lý luận thử nghiệm thực tiễn - Phân tích điểm cá nhân đưa mà chưa đề cập đến có đề cập chưa đủ, chưa - Trình bày giải pháp vấn đề, đồng thời đưa ví dụ minh hoạ cụ thể III KẾT QUẢ - Trình bày lợi ích trực tiếp thu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào dạy học, giáo dục học sinh quản lý giáo dục đơn vị tồn ngành - Các kết dạng cải thiện điều kiện làm việc, nâng cao chất lượng cơng việc; góp phần giải vấn đề thực tiễn, đóng góp vào việc phát triển giáo dục – đào tạo, phục vụ cho cơng tác giáo dục - đào tạo, nghiên cứu khoa học đơn vị tồn ngành - Trình bày số liệu thống kê, phân tích so sánh kết đạt so với trước thực sáng kiến kinh nghiệm IV BÀI HỌC KINH NGHIỆM - Các luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống - Phạm vi áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu V KẾT LUẬN Khái qt vấn đề rút kết từ sáng kiến kinh nghiệm nêu đề xuất với cấp quản lý VI TÀI LIỆU THAM KHẢO Ghi tên tài liệu tham khảo tên tác giả sử dụng trích dẫn sáng kiến kinh nghiệm Tên tài liệu - Tác giả - Nhà xuất - Năm xuất NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên ghi rõ họ tên) TƠN NỮ THANH THỦY BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Chun LƯƠNG THẾ VINH CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Biên Hòa., ngày27 tháng4 năm 2012 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2011 - 2012 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Họ tên tác giả: Tơn nữ Thanh Thủy Đơn vị (Tổ): Tốn Lĩnh vực: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học mơn: Tốn  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác:  Tính - Có giải pháp hồn tồn  - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có  Hiệu - Hồn tồn triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao  - Hồn tồn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu  Khả áp dụng - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUN MƠN (Ký tên ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY PHẦN I: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I)Ý nghĩa hình học tích phân : Cho y = f(x) liên tục f(x) > ∀x∈[a, b] Thế diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hsố y = f(x); trục Ox; đt x = a b đt x = b :S = ∫ f ( x )dx a *Hệ :Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f(x), Ox, đường thẳng x = a; x = b : b S= y y=f(x) x a b ∫ | f ( x ) | dx a * Khử dấu GTTĐ: |f(x)| ;Ta làm bước: 1)Giải pt: f(x)=0;Chọn nghiệm (Nếu có) [a;b] l x1;x2; x3;.… (a≤x1 (P) ∩(D1): x2 = - 3x + 10 ⇒ x = > 0; y = -8 -6 -4 -2 O -1 -2 -3  x5   (−3 x + 10)     π − x π − x  = π ∫ ( x 1)dx + π ∫ (−3 x + 10) − dx   1 + −3 2 Vx = =  [ ] 31π 61π = 6π = 5 (đvdt) b)Vy S quay quanh trục Oy y ; (D ): y = -3x + 10 ⇔ x = (P): y = x (x >0) ⇔ x =  (10 − y ) π∫ −  Vy = ( y ) dy  10 − y π ( ) y − 10 d ( y − 10 ) − π ∫1 ∫1 ydy = =  π ( y − 10 ) π   − y  = 152π − 15π = 101π 9   27 54 x2 y2 + =1 Bài 3: Cho S hình phẳng giới hạn elip (E): a b (0 < b < a) a Tìm Vx S quay quanh Ox b.Tìm Vy S quay quanh Oy Y Y (p2 ) x (p1 ) X -8 -6 -4 -2 -1 Giải: x2 y2 y2 x2 b2 2 + = ⇔ = − ⇔ y = (a − x ) b a a a) (E): a b ⇔ b −b a2 − x2 a2 − x2 Cung BA: y = a ; Cung CA: y = a Do cung BA CA đối xứng qua Ox nên : a b π ∫ a2 − x2 Vx = −a a πb  dx = a  a ∫ (a ) − x dx −a = πb a2 a  x3  4πab  a x −   −a  = (đvdt) Bài 4: Cho S: {(P1): y = – x2; (P2): y = x2 + 2}.Tình Vx S quay quanh Ox Giải: (P1) ∩(P2): – x2 = x2 + ⇔ x2 = ⇔ x = ± 1 ⇒V=2 [ π ∫ (4 − x ) 2 ] − ( x + 2) dx 2 Y = C -8  x3  24π ∫ − x dx = 24π  x −  0  -60 -4 = 16π-2 (đvdt) ( ) Bài 5: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên cho hình tròn tâm I(2, 0) bán kính R = quay quanh trục Oy Giải Phương trình (I R): ( x – 2)2 + y2 = A O -1 -2 -3 -4 I B X 10 12 10 ⇔ (x – 2)2 = – y2 ⇔ x = ± − y ⇒ Vy= 2π (  ∫0  + − y ) − (2 − 2 ) − y dy  = 16π ∫ − y dy Đặt y = Sint ⇒ dy = Costdt ⇒ Vy = = 16π x-20 π /2 16π π /2 ∫ − Sin t Costdt -15 -10 y=g(x) -5 L3 ∫ Cos tdt -2 -4 π /2 π /2 L2    t + Sin 2t  ∫0 (1 + Cos 2t )dt  = 4π2 đvdt) = 8π = 8π  -6 -8 Bài 6: Cho S: {(P):y=2x2; (D): y = 2x +4} Tính Vx S quay quanh Ox Giải : (C) ∩ (D): 2x2 = 2x + ⇔ x2 – x + = ⇒ x = - ∨ x = 2 12 10 ⇒ Vx = y [ −1  3π (2 x + 4) 4πx  −  ] π ∫ (2 x + 4) − x dx -10 -12 =  288π  =  −1 (đvdt) (P) x -5 O (C)  x3 2 (C ) : y = ; ( P ) : y = x   Tính Vx S Bài 7: Cho S:  10 15 20 -2 -4 -6 -8 quanh quanh Ox x3 = x2 Giải : PTHĐGĐ (C) (P) ⇔ x = x =  -10  x3   x6  486π π ∫ ( x ) dx − π ∫   dx = π ∫  x − dx   = 35 (đvtt) 0 0 Vx = 3 2 IV)BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : 1)Tính thể tích vật thể sinh quay hình phẳng(H) giới hạn đồ thị:y = xex , x = 1, y = ; quanh trục x’Ox ? Quay quanh trục y’Oy ? 2) Cho hình tròn tâm I(2, 0), R = quay quanh Oy Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên 3)(A/ 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị :y = | x2 – 4x + 3|, y= x + 4) (B/2002):Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y = x2 4− y x2 = 5)B–2007)Hình phẳng (H) giới hạn 3đường : y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) quanh trục Ox V)LUYỆN TẬP : Bài 1:Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường xy = 4, x = 1; x = 4, y = quanh Ox Bài : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn trục hồnh (P) : y = x(4 - x) quanh Ox Bài : Tính thể tích tròn xoay sinh quay hình thang cong giới hạn đường y= xex; x = , x = quanh trục Ox Bài : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn trục hồnh, đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy Bài : Tính thể tích tròn xoay sinh quay hình thang cong giới hạn đường y= xex; x = , x = quanh trục Oy Bài : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn trục hồnh, đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy Bài 7:(Oxy),xét hình bị chắn phía bởi(P):y= x2 , bị chắn phía đt qua A(1, 4) có hệ số góc k.Tìm k để hình nói có diện tích nhỏ Bài 8: Xét hình có diện tích S chắn (P):y = x2 đthẳng có hệ số góc k, quaA(x0; y0) ∈ Miền của(P) thỏa:y0>x02 Tìm k để S nhỏ Bài : Tính diện tích hình giới hạn đường: x + y = ; x2 – 2x +y=0 Bài 10 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x y = Sin2x + x (0 ≤ x ≤π) Bài 11 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn y2 = 2x 27y2 = 8(x –1)3 Bài 12 : Tính thể tích khối tròn xoay gây nên hình tròn: x2 + (y – b)2 < a2 (0 < a < b) Bài 13 :Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn đường :y = xex ; x = 1; y = (0 ≤ x ≤ ) Bài 14 : Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn đường : y = lnx , y = 0, x = 1, x = Bài 15 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay quanh trục Ox, với H 6 hình giới hạn đường:y = 0;y = Cos x + Sin x ;x = 0; x = π/2 Bài 16: Gọi (D) miền giới hạn :y = - 3x +10, y = y = x2 (x > 0) Tính thể tích vật thể tròn xoay ta quay (D) quanh trục Ox tạo nên Bài 17: Cho (H) giới hạn (C) : y = x − 2x = f (x)  (∆) : y = x + = g(x) a)Tính S (H) b)Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) vòng quanh x’Ox? Quanh y’Oy? y = − x  Bài 18: a)Tính S (H) :  y = − x − V vật thể tròn xoay cho (H) quay quanh Ox Bài 19: (H) giới hạn (P): y = x2 (C): y= - − x Tính diện tích (H) thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay (H) vòng quanh trục hồnh trục tung Bài 20:Tính thể tích vật thể sinh quay hình phẳng(H) giới hạn đồ thị:y = xex , x = 1, y = ; quanh trục x’Ox ? Quay quanh trục y’Oy ? THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Một số học sinh thường gặp khó khăn phải tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh trục tung điều kiện khơng rút x theo y dễ dàng Bài viết giúp em giải vướng mắc y I LÝ THUYẾT: Tính thể tích vật thể y y= f(x) tròn xoay tạo thành khi: d x a b 1) Hình phẳng quay quanh trục hồnh: Cho hình phẳng H giới hạn đường M(x, M=(x, y) y) x c : (C) : y = f (x)liên tục [a, b]  x' Ox d : x = a; d : x = b  Gọi K khối tròn xoay tạo thành quay H quanh trục hồnh 1vòng b ∫ [f (x)] ⇒ VK = p a dx b ∫y dx = pa 2) Hình phẳng quay quanh trục tung : Cho hình phẳng H giới hạn đường : (C) : y = f (x)liên tục [a, b] ⇔ x = g(y)liêntục{c; d ]  y' Oy d : y = c; d : y = d  d ∫ [g(y)] dy Gọi T khối tròn xoay tạo thành quay H quanh trục tung 1vòng ⇒ VT = p c d ∫x dy = pc 3)Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh trục tung điều kiện khơng rút x theo y dễ dàng : + Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục đơn điệu [a;b] ⇒ tồn hàm số ngược x = g(y) liên tục đơn điệu [c;d] d d ∫ [g(y)] + Để tính VT = p c dy = ∫x pc dy ; Ta đổi biến : g(y) = x d ∫ [g(y)] dy dy = f’(x)dx; đổi cận ; Tính : VT =p c =p b ∫x -5 f ' (x)dx a -2 -4 II BÀI TẬP ÁP DỤNG : 1)Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị (C): y = xex ; (∆): y = x ;(d): x = a)Tính thể tích khối tròn xoay (H) tạo thành cho hình phẳng (H) quay vòng quanh trục hồnh b) Tính thể tích khối tròn xoay (T) tạo thành cho hình phẳng (H) quay vòng quanh trục Tung 1  x 2 Giải : a) Thể tích khối tròn xoay (H) : V(H) = π ∫ (xe ) dx − ∫ x dx  =   1 1 x 2 x  π ∫ x e dx −   0 0 2 Tính I = ∫ x e xdx TPTP lần ⇒ I = KL : V(H) = (e – 1) π π π (e − 1) − = (3e2 – 7) (đvtt) 12 b)Gọi (T) khối tròn xoay sinh quay (H) quanh y’Oy : +Gọi (T1) khối trụ có chiều cao h = e, bán kính đáy R = ⇒ V(T1) = p.R2.h = pe (đvtt) +Gọi (T2) khối tròn xoay sinh quay quanh y’Oy hình phẳng (H2) giới hạn : y’Oy ; (C) (d):y = e Trong : (C): y = f(x) = xex liên tục, tăng [0;1]  x = g(y) liên tục tăng [0,e] ⇒ e V(T2) = π∫ g(y) dy *Đổi biến x = g(y) với y = xex ⇒ dy = (ex + xex)dx * Đổi cận y =0 ⇒ x = y = e ⇒ x = y e x x x x V(T2) = π∫ x (e + xe )dx = π∫ (x + x )e dx = p(4 – e) (Tích Phân Từng Phần lần 0 ) +Gọi (T3) khối tròn xoay sinh quay quanh trục tung hình phẳng (H3) giới hạn : (∆) x’Ox x = ⇒ V(T3) = VHTrụ - VHnón với khối trụ có chiều cao h = đáy R = Và khối nón có chiều cao h = bán kính đáy R = ⇒ V(T3) = p.12.1 - p.12.1 = p (đvtt) 3 y=1 KL : V(T) = V(T1) – V(T2) – V(T3) = pe – p(4 – e) – π O – 14 ) (đvtt) p = p(2e 2) Tính V khối tròn xoay H tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng (H) : (C) : y = Cosx  x' Ox y' Oy  Giải: *PTHĐGĐ (C) x’Ox : π + kπ Cosx =  x = (k∈Z) *(H): (C) : y = Cosx  x' Ox y' Oy  ⇒ (H): (C) : y = Cosx  x' Ox x = 0; x = π /  + (C) : y = Cosx liên tục; Giảm [0.π / 2] ⇔ x = g(y) liên tục [0,1]   + y' Oy  ⇒ (H): + y = 0, y = 1 ⇒ V(H) = p 0 2 ∫ [g(y)] dy = π∫ x dy *Đổi biến : g(y)=x với y = Cosx ⇒ dy = -Sinxdx *Đổi cận: y = => x = p/2 y = => x = 0 ⇒ V(H) = π ∫ x (−Sinx)dx π/ π/ 2 =>V(H) = đa thức ;phần lại dv) π ∫ x Sinxdx ⇒ (TPTP lần với cách đặt u *Vậy V(H) = p(p - 2) (đvtt) y e y= e 3)Quay hình phẳng (H) : e (C) : y = x ln x  x' Ox x = e  y= x vòng quanh y’Oy Tính thể tích khối tròn xoay H) tạo thành Giải: +Gọi (H1) hình phẳng giới hạn : (d) : x = e; y’Oy và2đt: y = e ; y = ⇒GọiT khối tròn xoay sinh cho (H1) quay vòng quanh y’Oy ⇒ T khối trụ tròn xoay có bán kính đáy R = e chiều cao h = e ⇒ V(T) = p.e2.e = p.e3 (đvtt) +Gọi (H2) hình phẳng giới hạn bởi4 đồ thị: (C): y = xlnx tăng liên tục [1,e];y’Oy;y = 0, y = e (C) : x = g(y)liêntụctrên[0, e]  y' Oy y = 0, y = e  ⇒ (H2): +Và gọi K hình tròn xoay tạo thành quay (H2) quanh trục y’Oy ⇒ e e V(K) =p 0 2 ∫ [g(y)] dy = π∫ x dy Do khơng rút x theo y dễ dàng nên ta phải *Đổi biến : g(y)=x với y = xlnx ⇒ )dx dy = (1.lnx + x x ⇒dy = (lnx + 1)dx *Đổi cận: y = ⇒ x = 1;y = e ⇒ x = e e ∫ x (ln x + 1)dx V(K) = p ( )  2e +  π  + e − = π (5e − 2) π    ⇒V(K) =  (đvtt) +KL: V(H) = V(T) – V(K) 4πe + 2π = (đvtt) III) LUYỆN TẬP: y = x  1)(H) : x' Ox ; x = Tính thể tích khốitrònxoay (K) tạo thành quay (H)1vòng quanh 2π Oy(ĐS: (đvtt) ) (C) : y = x − 2x = f (x)   2)Cho hình phẳng (H) giới hạn (∆) : y = x + = g(x) a)Tính thể tích khối tròn xoay (K) tạo thành quay (H) vòng quanh x’Ox(ĐS:125p (đvtt) ) b)Tính thể tích khối tròn xoay (T) tạo thành quay (H) vòng quanh 176π y’Oy(ĐS: (đvtt)) CHÚC CÁC EM THÀNH CƠNG !