SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế.

SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế. SKKN Ứng dụng tích phân và vận dụng giải bài toán thực tế.

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT THÁI HÒA

s¸ng kiÕn kinh nghiÖm

trong các kì thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng Đây là năm đầutiên Bộ GD&ĐT triển khai hình thức thi trắc nghiệm đối với bộ môn Toán, vìvậy những bài tập về ứng dụng tích phân và ứng dụng của nó vào bài toán thực

tế gây không ít khó khăn cho học sinh dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vàokhả năng của mình

Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặctrưng bộ môn, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện của từng lớp học; bồidưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ năngvận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứngthú và trách nhiệm học tập của học sinh”

Trong quá trình giảng dạy, ngoài việc khuyến khích học sinh tính tíchcực, chủ động và sáng tạo nắm chắc kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng giảitoán thì giáo viên phải là người khơi gợi học sinh vận dụng được các bài toán đó

để giải quyêt những vấn đề thực tiễn Điều đó cũng phù hợp với mục tiêu dạyhọc tích hợp trong nhà trường

Từ những kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy khối 12 tôi xin đưa ra một sốbài toán được áp dụng trong khi dạy chủ đề ứng dụng tích phân lớp 12 và ứng

dụng bài toán đó vào bài toán thực tế Vì vậy tôi chọn đề tài là “Ứng dụng tích

phân và vận dụng giải bài toán thực tế ”, nhằm giúp các em học sinh có kiến

thức sâu, rộng về ứng dụng tích phân; có thêm nhiều bài tập để rèn luyện kỹnăng , giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, vận dụng vào thực tiễn

+Tính cấp thiết của đề tài : Ôn tập, bổ sung kiến thức cho học sinh 12 chuẩn

bị thi vào đại học, giải quyết vấn đề ứng dụng tích phân một cách dễ dàng +Tính mới của đề tài : bổ sung một số bài toán ứng dụng tích phân vào bàitoán thực tiễn

2 Đối tượng nghiên cứu:

- Học sinh lớp 12 trường THPT Thái Hòa

- Kiến thức về Nguyên hàm và Tích phân; Kỹ năng tìm Nguyên hàm vàtính Tích phân

- Các dạng toán cơ bản và nâng cao về ứng dụng tích phân.

- Một số bài toán thực tế

3 Phạm vi của đề tài:

Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12A3,12A1 trườngTHPT Thái Hòa,vào các tiết tự chọn thuộc chủ đề Nguyên hàm-Tích phân- Ứngdụng

4 Phương pháp nghiên cứu:

a) Nghiên cứu tài liệu:

Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:

- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 Cơ bản và Nâng cao

- Tài liệu tham khảo

b) Điều tra:

- Thực dạy và kết quả kiểm tra:

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực dạy các lớp 12A1,12A3

+Năm học 2016-2017 : Lớp 12: thực nghiệm

- Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khảnăng giải toán ứng dụng tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề củađồng nghiệp, từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình

c)Giả thuyết khoa học:

Nếu học sinh tìm ra được hướng giải quyết được bài toán ứng dụng tíchphaanvaf vận dụng bài toán đó để giải được những bài toán thực tiễn thì các emcảm thấy hăng say, tích cực, tự tin hơn Ngoài ra học sinh thấy được sự vậndụng của Toán vào các môn học khác, cũng như việc vận dụng Toán vào thựctiễn

Phần II NỘI DUNG :

1.Cơ sở lí luận:

Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học Nhữngngười mới bất đầu làm quen với khái niệm tích phân thường gặp một số khókhăn hoặc chưa hiểu một cách cặn kẽ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cậncủa lí thuyết Và đặc biệt là khâu vận dụng kiến thức vào giải các bà toán thực

tế Trong thực tế có rất nhiều mô hình của toán học cần đến sự can thiệp củaphép tính tích phân

2 Cơ sở thực tiễn:

a) Thực trạng việc dạy của giáo viên:

Trước đây khi môn Toán vẫn thi theo hình thức tự luận thì việc dạy củagiáo viên về phần Tích phân và Ứng dụng đang dừng lại ở mức độ rèn luyện kĩnăng giải toán tích phân mà còn xem nhẹ các dạng bài tập vận dụng phép tínhtích phân vào thực tiễn

b) Thực trạng việc học của học sinh:

Nhiều học sinh khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụngcông thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trựcquan nên các em hay bị nhầm lẫn, dẫn đến làm sai kết quả, đặc biệt là những bàitoán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được Thêm vào đótrong sách giáo khoa có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinhhọc tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn hơn cho những họcsinh có kĩ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế Đa số học sinh chỉ biết giải các bài tậptương tự với những bài mà mình đã giải rồi, và bế tắc khi gặp bài toán ứng dụngtích phân mà viêc lấy phải vẽ hình hoặc vận dụng vào bài toán thực tế

c)Sự cần thiết của đề tài:

Qua phân tích thực trạng việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên,tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giớithiệu những kinh nghiệm và phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu quả dạytích phân và ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12

3 Nội dung vấn đề:

a)Vấn đề được đặt ra:

Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực, chủ động

và sáng tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện Để phát huy điều đó, chúng

ta cần phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lí gần gũi với thực tiễnnhằm tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập cũng như thấy được tầm quantrọng của kiến thức Toán học gắn liền với cuộc sống Từ đó góp phần đem lạikết quả trong học tập tốt hơn cho học sinh và hiệu quả giảng dạy cao hơn

b)Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

Để hoàn thành đề tài, tôi đã tiến hành các bước sau: Chọn đề tài; Điều trathực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương và lập kế hoạch;Tiến hànhnghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài

c) Nội dung của đề tài

- Nội của đề tài được nghiên cứu trên cơ sở lí thuyết và bài tập mà các

em đã được học trong chương trình THPT

- Đề tài cho các em thấy được các bài toán tính tích phân và ứng dụngđược vận dụng để giải một số bài tập thực tế Giúp cho học sinh tự phát hiện

và lĩnh hội kiến thức từ đó biết lựa chọn phương pháp thích hợp để giải toán

Nội dung đề tài gồm ba phần:

a

b x y

f( ) |

|

* Khử dấu GTTĐ: |f(x)| ;Ta làm 2 bước:

1)Giải pt: f(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên [a, b] Thế thì diện tích hình thang cong a;b] l

x1;x2; x3;.…(ax1<x2<x3<…b)

2) Chọn 1 trong 3 cach sau:

*Lập bảng xét dấu : f(x) trên [a, b] Thế thì diện tích hình thang cong a;b]

* Đưa dấu GTTĐ|f(x)| ra ngoài dấu Tích phân trên mỗi đoạn con tạo bởi 2

nghiệm liên tiếp xi;xi+1; vì f(x) chỉ nhận 1 dấu trên mỗi đoạn con này

*Dùng đồ thị

Chú ý: Khó khăn nhất của việc tính diện tích hình phẳng là phải đưa về được

công thức lấy tích phân đúng, còn kết quả tích phân đó học sinh có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm đáp số trong phần thi trắc nghiệm

II)Diện tích hình phẳng:

1)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong:

y = f(x); y = g(x) đều liên tục trên [a, b] Thế thì diện tích hình thang cong a,b] và 2 đường thẳng

x = a, x = b là : S =  

b

a

dx x g x

f( ) ( ) |

|

* Khử dấu GTTĐ: |f(x)-g(x)| ;Ta làm 2 bước:

1)Giải pt: f(x)-g(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên

[a, b] Thế thì diện tích hình thang cong a;b] là x1;x2; x3;.…

(a  x1<x2 < x3 < …  b)

2)Khử dấu GTTĐ: |f(x)-g(x)| bằng 1 trong 3 cách sau:

a) Lập bảng xét dấu : f(x)-g(x) trên [a, b] Thế thì diện tích hình thang cong a;b]

b) Đưa dấu GTTĐ|f(x)-g(x)| ra ngoài dấu Tích phân trên mỗi đoạn con tạo bởi 2 nghiệm liên tiếp xi;xi+1; vì f(x) – g(x) chỉ nhận 1 dấu trên mỗi đoạn con này

c) Khử dấu GTTĐ |f(x)-g(x)| bằng đồ thị

2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín :







) ( :

) (

) ( :

) ( 2 1

x g y C

x f y C

Bước 1: Giải phương trình : f(x) = g(x)  

a x

) (

) ( :

) (

) ( :

) (

3 1

x h y

C

x g y

C

x f y

III) BÀI TẬP MẪU:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( )

Cách 2 : Vẽ đồ thị suy ra (*)

Cách 3: Vì trên mỗi đoạn con, f(x) chỉ nhận 1 dấu nên ta đưa dấu GTTĐ ra

ngoài dấu tích phân trên 3 đoạn con : [a, b] Thế thì diện tích hình thang cong -2; -1]; [a, b] Thế thì diện tích hình thang cong -1; 3]; [a, b] Thế thì diện tích hình thang cong 3; 4]

( )

1 :

)

(

2 3

D

x x

)

(

0 5 :

D

y x

C

3 :

1

x

x y

2 3

2 2 3

9 2 2

1 3

1 4

x y ax y a

x y

2 2 2

ax a

x a x

2

3 4

, 0 , 0

x ax

0

2

3 3 3

2 3

x x x

2 8

3

4 6

3 4 3

2 2

x x x

x x x

0 5

2 2

x x

x x

3

; 0

y x

y x

SS S S  (đvdt)

Nhận xét: Đối với những bài tập như

thế này, học sinh vẽ được đồ thị và

kết hợp việc sử dụng MTBT sẽ cho

kết quả nhanh và chính xác

Bài 7: Diện tích hình tròn , hình elip :

a) Diện tích hình tròn : Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương

2 2 2 ( 0)

x y R R Khi đó hình tròn đó có diện tích là : S  R2

x

Với y ≥ 0 ta có : y  R2  x2 có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục

b) Diện tích của elip

Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình : 2 1

2 2

x

, 0 b  a

(P)

x y

Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là : 2 2

Bài 3 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi (P) :

y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại M(3, 5) và trục tung

Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các nhánh của đường

trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 3

y2 = 2x

hoành và 2 đường thẳng // với truc tung và đi qua các điểm cực tiểu của đườngcong trên

Bài 8 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x ;

I)Thể tích của vật thể : Cắt 1 vật thể V bởi 2 mp (P) và (Q) vuông góc với trục

Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b) Một mp tùy ý vuông góc với Ox tại x (a ≤ x

≤ b) cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x) Giả sử S(x) liên tục trên đọan [a, b] Thế thì diện tích hình thang cong a; b]

Thể tích V của vật thể V giới hạn bởi hai mp (P) và (Q) được tính bởi công thức : 

b

a

dx ) x ( S

x (

a

2 dx y

2)Gọi (S’) là hình phẳng giới hạn

bởi 4 đồ thị :

y = f(x) liên tục trên [a, b] Thế thì diện tích hình thang cong a; b]  x = g(y) liên tục trên

[a, b] Thế thì diện tích hình thang cong c, d] , y’Oy, 2 đường thẳng y = c; y = d Gọi (H’ ) là hình tròn xoay tạo thành khi quay (S’) 1 vòng quanh trục tung  VH’ = π

d

c

dy y

g( )] 2

d c

2 dy x

2 :

)

y Ox

x x y P

Tìm Vx khi S quay quanh trục Ox và Vy khi

1 3

0

5 4

1 1 1

) 1 (



M(x, y) x

y

M=(x, y)

y= f(x)

x y

c d

= ( 1 ) 83

3

8

0 2 /

)

(

10 3

: )

(

) 0 (

x y

D

x x

y P

1

4 1 ) ( 3 10 ) 1 (x dx  x dx

2 1

3

3

) 10 3 ( 3

2 3

15 27

x

(0 < b < a)

Giải:

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

x a a

b y a

x b

y b

y a

D2

D1(P)

2

3 24

Bài 5: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi cho hình tròn tâm I(2, 0) bán

kính R = 1 quay quanh trục Oy

1

dy y



=

2 / 0

2 2

-2 -4 -6

O

X Y

5 3

; 3 : ) (C y x P y x Tính Vx khi S quanh quanh Ox

0

x x

0

2 3 3

0

2 2

9 3

a)Tính thể tích khối tròn xoay (H) tạo thành khi cho hình

phẳng (H) quay 1 vòng quanh trục hoành

b) Tính thể tích khối tròn xoay (T) tạo thành khi cho hình

phẳng (H) quay 1 vòng quanh trục Tung

Giải : a) Thể tích khối tròn xoay (H) : V(H) =

0

2

x ) dx x dx xe

3 1

0

x 2

3

x dx e

+Gọi (T2) là khối tròn xoay sinh ra khi quay

quanh y’Oy hình phẳng (H2) giới hạn bởi : y’Oy

; (C) và (d):y = e

Trong đó : (C): y = f(x) = xex liên tục, tăng trên

[a, b] Thế thì diện tích hình thang cong 0;1]  x = g(y) liên tục tăng trên [a, b] Thế thì diện tích hình thang cong 0,e] 

y

xe

1

V(T2) = x (e xe )dx (x x )e dx

1 0

x 2 3 1

0

x x 2

 V(T3) = VHTrụ - VHnón với khối trụ có chiều cao h = 1 và đáy R = 1

Và khối nón có chiều cao h = 1 và bán kính đáy R = 1

Bài 4 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

trục hoành, các đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy

Bài 5 : Tính thể tích tròn xoay sinh ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi các đường

y= xex; x = 0 , x = 1 quanh trục Oy

Bài 6 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục

hoành, các đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy

Bài 7:(Oxy),xét hình bị chắn phía dưới bởi(P):y= x2 , bị chắn phía trên bởi đt đi qua A(1, 4) và có hệ số góc k.Tìm k để hình nói trên có diện tích nhỏ nhất

quaA(x0; y0)Miền trong của(P) thỏa:y0>x02 Tìm k để S nhỏ nhất

+ y = 0

x   )

Bài 11 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y2 = 2x và 27y2 = 8(x –1)3

Bài 12 : Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình tròn: x2 + (y – b)2 < a2 (0

< a < b)

Bài 13 :Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình

phẳng S giới hạn bởi các đường :y = xex ; x = 1; y = 0 (0  x  1 )

Bài 14 : Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi ta quay quanh trục Ox

hình phẳng S giới hạn bởi các đường : y = lnx , y = 0, x = 1, x = 2

Bài 15 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox, với H

là hình được giới hạn bởi 4 đường:y = 0;y = Cos6x Sin6x

 ;x = 0; x = /2 

Bài 16: Gọi (D) là miền được giới hạn bởi :y = - 3x +10, y = 1 và y = x2 (x > 0) Tính thể tích vật thể tròn xoay do ta quay (D) quanh trục Ox tạo nên

Bài 17: Cho (H) giới hạn bởi

) x ( x 2 x y : ) C

x y

và V của vật thể tròn xoay khi cho (H) quay quanh Ox

x 1 Tính diện tích (H) và thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) 1 vòng quanh trục hoành trục tung

Bài 20:Tính thể tích của vật thể sinh ra khi quay hình phẳng(H) giới hạn bởi 3

đồ thị:y = xex , x = 1, y = 0 ; quanh trục x’Ox ? Quay quanh trục y’Oy ?

PHẦN III: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ.

Trong các đề thi minh họa môn Toán của Bộ GD&ĐT năm học 2016-2017 đã

đề cập đến một số bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng Tích phân gây không

ít khó khăn cho học sinh Đề tài này xin cung cấp cho học sinh một số dạng bài toán vận dụng tích phân để giải các bài toán thực tế đó

Bài 1: Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng

người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m

Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ Hỏi lượng bêtông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịpcầu)

Hình ảnh: Cầu Trường Tiền

Vấn đề đặt ra:

Ước lượng thể tích vữa xây để xây dựng thân cầu Để ước lượng được thì

ta phải xác định hình dạng , đặc điểm của cây cầu

Giả sử xây dựng cây cầu theo dạng hình parabol, điểm xuất phát cầu cách

bờ 5m, điểm cao nhất của cầu cách chân cầu 2m như bản vẽ sau

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế)

Gọi Parabol trên có phương trình (P1): 2 2

V S   m  số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu 2m3

Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần 40m3 bê tông Chọn đáp án C

Bài 2: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt khúc gỗ bởi

một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 45 0 để lấymột hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó hình

nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình :

y 225  x x2 ,    15;15 

Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox

tại điểm có hoành độ x,x   15;15 

cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là

Bài 3:( Đề minh họa lần 2 của Bộ GD&ĐT) Ông An có một mảnh vườn hình

elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10 m Ông muốn trồnghoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (nhưhình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 1m2 Hỏi ông An cần baonhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó ? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)