SKKN ứng dụng tích phân giải một số bài tập từ trường

Ngoài ra các bài toán tính công cơ học khi lực tác dụng biến thiên theo thời gian, tính nhiệt lượng khi điện trởthay đổi….cũng cần đến ứng dụng của tích phân.. Trong đề tài này tôi đưa r

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Một bài toán vật lí hay và khó là bài toán chứa đựng nhiều hiện tượng vật

lí và phải sử dụng nhiều kiến thức toán học để giải bài toán đó Trong giảng dạyvật lí, việc sưu tầm, biên soạn các bài toán vật lí hay và khó là nhiệm vụ củangười giáo viên, đặc biệt khi dạy các học sinh khá giỏi

Toán học có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khác nhau trong đó cóVật lí học Việc ứng dụng các kiến thức toán học vào giải quyết các bài toán vật

lí cũng rất đa dạng và phong phú như: ứng dụng các bất đẳng thức, các phươngtrình, hệ phương trình, đạo hàm, tích phân, nguyên hàm, hình học sơ cấp… Đặcbiệt rất nhiều bài toán vật lí có điều kiện biên thì không thể thiếu việc ứng dụngtích phân và nguyên hàm để giải quyết bài toán Ngoài ra các bài toán tính công

cơ học khi lực tác dụng biến thiên theo thời gian, tính nhiệt lượng khi điện trởthay đổi….cũng cần đến ứng dụng của tích phân Trong đề tài này tôi đưa ra một

số bài toán “Ứng dụng tích phân giải một số bài tập từ trường”.

2 Tên sáng kiến: “Ứng dụng tích phân giải một số bài tập từ trường”

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Vũ Ngọc Hoàng

- Địa chỉ: Trường THPT Nguyễn Thị Giang

- Số điện thoại: 0989.622.514 E_ mail: hoangvtvp@gmail.com

4 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Trong đề tài này tôi quan tâm đề cập đến các vấn đề sau:

+ Các bài toán hạt mang điện chuyển động trong từ trường

+ Các bài toán thanh kim loại trong từ trường

+ Các bài toán khung dây rơi trong từ trường

+ Học sinh phải được trang bị kiến thức về nguyên hàm và tích phân trướckhi học chuyên đề này

Nội dung của đề tài nằm trong kiến thức của chương trình Vật lí 11, Vật lí

12 và một số kiến thức toán học lớp 12 Học sinh lớp 11 và 12 đều có thể thamkhảo

5 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: Ngày 12/12/2017

6 Mô tả sáng kiến

6.1 Cơ sở lí thuyết

1.1.1 Hiện tượng cảm ứng điện từ

a Dòng điện cảm ứng: dòng điện xuất hiện khi có sự biến đổi từ thông

qua mạch điện kín gọi là dòng điện cảm ứng

+ Định luật Len-xơ về chiều của dòng điện cảm ứng:

Dòng điện cảm ứng có chiều sao cho từ trường do nó sinh ra có tác dụngchống lại nguyên nhân đã sinh ra nó

b Suất điện động cảm ứng: khi có sự biến đổi từ thông qua mặt giới hạn

bởi một mạch kín thì trong mạch xuất hiện suất điện động cảm ứng

+ Định luật Faraday về cảm ứng điện từ:

Độ lớn của suất điện động cảm ứng trong mạch kín tỉ lệ với tốc độ biến

thiên của từ thông qua mạch: c

t

Q�Ri dt

+ Công của lực Fur thực hiện được khi có một dịch chuyển nhỏ dx:

0

.

x x

+ Phương trình vi phân: dy = Adx (*)

Trong đó A là hằng số; x,y là các đại lượng vật lí

� Nếu bài toán cho biết điều kiện ban đầu (trạng thái của chuyển động tại thời điểm t = 0) thì lấy nguyên hàm 2 vế phương trình (*)

dy A dx

Trong đó C là hằng số và được xác định nhờ điều kiện ban đầu

� Nếu bài toán cho biết cả điều kiện ban đầu và điều kiện biên (Cho biết giá trị của y ở một vị trí nào đó của x) thì ta sẽ lấy tích phân 2 vế phương trình

về việc sử dụng tích phân để giải quyết bài toán một cách tự nhiên và tạo đượchứng thú học tập cho học sinh

6.3 Một số bài toán đề xuất

Để thực hiện được chuyên đề này trước hết tôi dành 3 tiết dạy nguyên hàm, tích phân cơ bản cho học sinh, 1 tiết dạy ứng dụng của tích phân trong vật lí và các công thức tích phân thường gặp trong vật lí phổ thông (xem phần tóm tắt lý thuyết) Sau đó tôi yêu cầu học sinh giải các bài toán liên quan đến ứng dụng của nguyên hàm, tích phân (trong chuyên đề này tôi quan tâm giải quyết các bài toán: chuyển động của hạt mang điện, của thanh kim loại trong từ trường)

6.3.1 Các bài tập sử dụng nguyên hàm

Bài 1 Trên mặt bàn phẳng nằm ngang đặt một khung dây dẫn hình chữ nhật

có các cạnh a và b Khung được đặt trong một từ trường có thành phần của vectơcảm ứng từ dọc theo trục z chỉ phụ thuộc vào toạ đô x theo quy luật: Bz = B0(1 -

x

 ), trong đó B0 và  là các hằng số dương (cạnh b song song với trục Ox còn

Oz vuông góc với mặt phẳng khung) Truyền cho khung một vận tốc v0 dọc theotrục ox Bỏ qua độ tự cảm của khung dây Hãy xác định khoảng cách mà khungdây đi được cho đến khi dừng lại hoàn toàn Biết điện trở thuần của khung là R

+ Xét chuyển động của khung dây theo trục Ox

Cạnh BC và DA không tạo ra suất điện động cảm ứng

Suất điện động cảm ứng do cạnh AB tạo ra: AB B AB v x.aB0( 1  x)v x.a

Suất điện động cảm ứng do cạnh CD tạo ra: CD B CD.v x.aB01   (xb)v x.a

- Gọi cường độ dòng điện trong khung tại thời điểm xét là i Chọn chiềudương trong mạch (trong khung dây) như hình vẽ Áp dụng định luật Ôm cho

toàn mạch, ta được:

R

b B a v R

i AB CD x . 0 





- Áp dụng quy tắc bàn tay trái ta xác định được lực từ tác dụng lên cạnh

AB, CD của khung dây như hình vẽ o

C B



ADF



CDF

v

v ba B a iB





Xét khi cạnh AB ở vị trí x > 0  BAB > BCD  FAB > FCD

 lực từ tổng hợp tác dụng lên khung dây có phương Ox

Ft = FAB – FCD và Ft ngược hướng với Ox

B R

v ba B

2 0

Do đó, khung chỉ chuyển động theo phương Ox

Xét theo trục Ox, áp dụng định luật II Niutơn cho khung, ta có:

- Ft = max 

dt

dv m v R

a b

x



2 2 2 2

0 

 v x dt mdv x

R

a b B





2 2 2 2

0  (*)

a b B

Rm dt

a b B

Khi x tăng từ 0  xmax thì v giảm từ v0  0

Tích phân hai vế ta được

0 2 2 2 2

max

v o

a b B

Rm x

R mv S





Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình biểu diễn sự phụ thuộc của

vận tốc của khung theo thời gian thì ta có thể làm như sau:

b a B





2 2 2 2

0 

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: t C

mR

b a B

2 2 2 2 0

tại t = 0, v x = v 0 Do đó C = lnv 0

t mR

b a B v

0 0

ln   

mR b B

x v e v

2 2 2

0









Bài 2 Một khung dây dẫn hình vuông MNPQ có chiều dài mỗi cạnh là a,

khung dây có điện trở, khối lượng m Ban đầu khung dây ở vị trí như hình vẽ ,truyền cho khung dây một vận tốc ban đầu v0 theo phương ngang Khung dâychuyển động cắt các đường cảm ứng từ trong một từ trường có các đường cảmứng từ vuông góc với mặt phẳng khung dây như hình vẽ Cảm ứng từ của từtrường phụ thuộc vào tọa độ y theo quy luật B = B0(1 + ky), với B0, k là cáchằng số dương Bỏ qua ma sát và lực cản môi trường, trong quá trình chuyểnđộng khung dây không thay đổi hình dạng và luôn chuyển động trong mặt phẳngthẳng đứng Viết phương trình biểu diễn sự phụ thuộc của thành phần vận tốc vy

(thành phần vận tốc theo trục Oy) của khung dây theo thời gian t, vẽ đồ thị biểudiễn phương trình đó và nêu nhận xét về quá trình chuyển động của khung dây.Cho gia tốc rơi tự do là g

+ Xét chuyển động của khung dây theo trục Ox

Cạnh MN, PQ không tạo ra suất điện động cảm ứng

y

x O

Do tính đối xứng suất điện động cảm ứng do hai cạnh MQ và NP tạo ra có

độ lớn bằng nhau NP  QM

+ Xét chuyển động của khung dây theo trục Oy

Cạnh QM, NP không tạo ra suất điện động cảm ứng

Suất điện động cảm ứng do cạnh MN tạo ra MN av y B0( 1 ky)

Suất điện động cảm ứng do cạnh PQ tạo ra

PQ      



 k y a  av B ky iR B

 01 ( ) 0( 1 )  kB0a2v y iR

R

v a kaB

0

a y k iaB F

ky iaB

Vậy theo trục Ox tổng hợp các lực tác dụng lên khung dây bằng không,

do đó thành phần vận tốc của khung dây theo trục Ox luôn luôn không đổi vàbằng v0

Xét theo trục Oy, áp dụng định luật II Niutơn cho khung, ta có:

dt

dv m mg ka iaB

dt

dv m mg a y k iaB ky iaB

ma F

P F

y

y

y PQ MN

v a kB a kB

dv v

a k B

mgR mR

a k

0

a k B

mgR

y 

 4 2 2 0

 dv y  dY

dt

dY Y

mR

a k B







4 2 2

Y

dY dt

mR

a k B







4 2 2

Lấy nguyên hàm hai vế ta được

Y C t mR

a k B

ln

4 2 2



Tại t = 0, vy = 0 2 2 4

0 0

a k B

ln

ln 0

4 2 2



t mR a k B t

mR a k B

e a k B

mgR e

Y Y

4 2 4

2 2

4 2 2 0

a k B

mgR Y

a k B

mgR v

4 2

1 4 2 2 0 4

2 2 0

Nhận xét: Trong các bài toán nghiên cứu chuyển động của khung dây dẫn

trong từ trường, chúng ta thường gặp phương trình vi phân cấp 1 Phương trình này, học sinh chưa được làm quen ở chương trình toán phổ thông Vì vậy chúng tôi thống

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc theo thời gian

x

yv

O

4 2 0

k

mgR

nhất, luôn cố gắng đưa phương trình về dạng

 0. , với x0là một hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu.

6.3.2 Các bài toán sử dụng tích phân

Bài 1 Hai thanh kim loại song song, cùng nằm trong

mặt phẳng ngang, cách nhau một khoảng l, điện trở

không đáng kể và có một đầu nối vào điện trở R = 0,5

Một đoạn dây dẫn CD, chiều dài l, điện trở r = 0,3 ,

khối lượng m = 0,1 kg đặt nằm trên và thẳng góc với hai thanh kim loại Tất cảđặt trong một từ trường đều có vectơ cảm ứng từ Bur

thẳng đứng, hướng xuống.Kéo dây CD bằng một lực Fur

không đổi để đoạn dây chuyển động về phía phải.Khi dây CD trượt không ma sát trên hai thanh kim loại với vận tốc không đổi v

= 2m/s thì hiệu điện thế giữa hai đầu điện trở R đo được 1 V (Hình vẽ)

Khi v tăng thì a giảm và ngược lại

� Khi v tăng đến một giá trị nào đó thì a = 0

� Khi đó v không đổi và v0 = 2m/s

Bài 2 Thanh dây dẫn EF có điện trở suất 

chuyển động đều với vận tốc v và luôn tiếp xúc

với hai thanh AC và AD tạo với nhau một góc 

như hình vẽ

Hệ thống được đặt trong một từ trường đều

có vecto cảm ứng từ hướng vuông góc với mặt phẳng chứa các thanh Tìm nhiệtlượng tỏa ra trên mạch trong thời gian thanh EF chuyển động từ A đến C Bỏ

qua điện trở các thanh AD và AC Cho AC = l 0 và vr EF

Bài giải Cách 1: ( không sử dụng tích phân)

Gọi l là khoảng cách giữa hai điểm tiếp xúc của thanh EF với hai thanh còn lại tại thời điểm t bất kì, thì: l = v.t.tan

Xét trong khoảng thời gian rất nhỏ t (có thể coi thanh quét được mộthình chữ nhật) thì diện tích tam giác EAF tăng thêm một lượng S = l.v.t Do

đó từ thông qua tam giác này biến thiên một lượng:   = BS = Bvlt

Suất điện động cảm ứng xuất hiện trong mạch tại thời điểm đang xét:

t



  

 = Bvl = Bv2t.tan

Vì điện trở giữa hai điểm tiếp xúc khi đó là R = l = vt.tan , nên

cường độ dòng điện được xác định: I = R Bv

Vì công suất này tăng tỉ lệ thuận với thời gian, nên có thể thay thế bằng

công suất trung bình trong suốt thời gian thanh chuyển động:

2 3 0 1

tan 2

t

Q�i Rdt =

0 2 2 2 0

.tan 2

B l v





Bài 3 Hai thanh ray kim loại đủ dài nằm trên mặt phẳng

ngang, song song với nhau cách nhau một đoạn d, hai đầu

v 

thanh nối với điện trở thuần R Thanh kim loại MN khối lượng m, chiều dài

d, đặt vuông góc và có thể trượt trên hai thanh ray với hệ số ma sát là  Hệđược đặt trong một từ trường đều B 0

hướng thẳng đứng từ dưới lên Ban đầu

thanh MN cách điện trở một khoảng l Truyền cho thanh MN một vận tốc ban

đầu v0 nằm ngang hướng sang phải vuông góc với MN Bỏ qua điện trở củahai thanh ray và thanh MN Tìm khoảng cách lớn nhất giữa thanh MN và R

Bài giải

- Chọn gốc tọa độ tại vị trí ban đầu của thanh

- Khi thanh trượt, do cắt các đường cảm ứng từ

� trong thanh xuất hiện ecư có chiều như hình vẽ

� Thanh chịu tác dụng của lực từ Ft như hình vẽ

B d t mR

B d t mR

Bài 4 Một dây dẫn cứng có điện trở rất nhỏ,

được uốn thành khung phẳng ABCD nằm trong mặt

phẳng nằm ngang, cạnh AB và CD song song nhau,

cách nhau một khoảng l = 50 cm Khung được đặt

trong một từ trường đều có cảm ứng từ B = 0,5T, đường sức từ hướng vuông góc

với mặt phẳng của khung Thanh kim loại MN có điện trở R = 0,5 có thể trượtkhông ma sát dọc theo hai cạnh AB và CD Hãy tính công suất cơ cần thiết đểkéo thanh MN trượt đều với tốc độ v = 2m/s dọc theo các thanh AB và CD.Thanh MN đang trượt đều thì ngừng tác dụng lực Sau đó thanh còn có thể trượtthêm được đoạn đường bao nhiêu nếu khối lượng của thanh là m = 5g?

Bài giải Cách 1: ( không sử dụng tích phân)

Khi thanh MN chuyển động thì dòng điện cảm ứng xuất hiện trên thanhtheo chiều từ M �N

Sau khi ngừng tác dụng lực, thanh chỉ còn chịu tác dụng của lực từ Độ

lớn trung bình của lực này là: 1 2 2

d  mv .

- Theo định luật bảo toàn năng lượng, đến khi thanh dừng lại thì toàn bộ

động năng này được chuyển thành công của lực từ (lực cản) nên: 1 2 2 2

S  �dx  �dv = 8 (cm)

Bài 5 Một hạt có khối lượng m tích điện q > 0

bắt đầu chuyển động với vr

theo hướng song song

Ox trong một từ trường đều có cảm ứng từ B = ax

(a > 0, x �0) Véc tơ cảm ứng từ vuông góc với

mặt phẳng xOy như hình vẽ Hãy xác định độ dịch

chuyển cực đại của hạt theo trục Ox

Bài 6 Một ống dây (xôlênốit) được mắc vào

nguồn điện như hình vẽ Biết ống dây có đường kính

D, được quấn đều dọc theo chiều dài ống bằng một

dây dẫn có tiết diện s, điện trở suất p Khi khóa K

đóng cường độ dòng điện trong ống dây biến thiên như trên đồ thị

Bỏ qua điện trở trong của nguồn, điện trở các

dây nối và khóa K Giả sử đã biết điện tích S1 và S2

trên đồ thị (I0 và t0 chưa biết) Tìm cảm ứng từ bên

trong ống dây khi I = I0?

Bài giải

S2: điện lượng chuyển hóa qua ống dây

S1: điện lượng bị cản lại do etc

Áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch được:

 + etc = iR - Với R: điện trở ống dây

S B

S D





Bài 7 Hai bản kim loại phẳng đặt song song, cách nhau d

= 2 cm trong chân không, từ trường đều cảm ứng từ B = 0,1T,

các đường sức song song với hai bản (hình vẽ) Nối hai bản

với một nguồn cao thế Một elêctron rời catôt với vận tốc ban

đầu bằng không Hiệu điện thế giữa hai bản là bao nhiêu để electron có thể bayđược tới anôt?

Bài giải

Trước hết ta phân tích chuyển động của elêctron sau khi rời catôt:

Ban đầu nó chỉ chịu tác dụng của lực điện trường, e tăng tốc hướng vuônggóc với hai bản Tuy nhiên ngay khi nó có vận tốc thì chịu thêm tác dụng củalực từ, quỹ đạo của e bị bẻ cong (hình vẽ).

Xét elêctron tại một điểm nào đó có tọa độ (x,y)

- Lực điện luôn cùng hướng Oy

 vào thì được

2 2

v y

Electron đến bản dương khi y = d, khi đó

B e d

�

6.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Để thấy được hiệu quả của việc ứng dụng tích phân trong giải các bài toánVật lí nói chung, bài toán từ trường nói riêng, từ kinh nghiệm bồi dưỡng độituyển học sinh giỏi cấp tỉnh của trường THPT Vĩnh Tường trước đây (nay làtrường THPT Nguyễn Thị Giang) Thông qua việc dạy bồi dưỡng đối với các emhọc sinh khá, giỏi và các em học sinh tham gia thi đội tuyển học sinh giỏi cấptỉnh nhiều năm liền, qua trao đổi với đồng nghiệp theo nội dung đề tài, tôi nhậnthấy nội dung đề tài có dung lượng vừa phải, phù hợp, không gây quá tải chohọc sinh, học sinh sau khi được học đề tài đều tỏ ra hứng thú và có hiệu quả rõrệt, số học sinh yêu thích môn Vật lí của trường hàng năm tăng lên, các em có ýthức vươn lên học khá, giỏi, có nhiều học sinh mong muốn được đứng trong độituyển học sinh giỏi, năm nào đội tuyển Vật lí cũng có học sinh giỏi cấp tỉnh

Để nâng cao năng lực giải toán vật lý nói chung, giải toán về từ trườngnói riêng, trước hết mỗi thầy cô giáo cần khắc phục, đổi mới trong công tácgiảng dạy, tăng cường thu thập thông tin và chuẩn hóa các kỹ năng cho học sinh,tích cực sưu tầm làm phong phú kho tài liệu, giới thiệu, cung cấp cho học sinh.Đối với học sinh cần tăng cường khả năng tự học, tự rèn luyện và nghiên cứu,

có phương pháp học tập thích hợp, tăng cường khả năng bản thân

Trong đề tài này tôi đã đưa ra một số bài tập và một số phương pháp giảitoán so sánh với ứng dụng tích phân về các vấn đề: Các bài toán hạt mang điệnchuyển động trong từ trường; Các bài toán thanh kim loại trong từ trường; Cácbài toán khung dây rơi trong từ trường, nhằm giúp học sinh vận dụng, rèn luyện,