skkn ứng dụng hình học giải tích phẳng để giải một số câu hỏi phụ trong bài toán khảo sát hàm số

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO T.T.HUẾ TRƯỜNG THCS & THPT HÀ TRUNG - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ CÂU HỎI PHỤ TRONG BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ Lĩnh vực/Mơn: TỐN Người thực : TƠN THẤT ĐƠN Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn tổ Tốn-Tin Vinh Hà, tháng 03 năm 2015 Tơn Thất Đôn Trường THCS&THPT Hà Trung MỤC LỤC I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI……………………………………………… Trang II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ……………………………………………… Trang Những vấn đề lý luận chung………………………………………… Trang 2 Thực trạng vấn đề……………………………………………… Trang Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề…………………… Trang III KẾT LUẬN………………………………………………………… Trang 11 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… Trang 12 Tôn Thất Đôn Trường THCS&THPT Hà Trung PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý chọn đề tài: Mục tiêu đào tạo nhà trường phổ thơng Việt Nam hình thành sở ban đầu trọng yếu người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu điều kiện hoàn cảnh đất nước người Việt Nam Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng học tốt mơn tốn tri thức Tốn với phương pháp làm việc Tốn trở thành cơng cụ để học tốt môn học khác Tuy nhiên, hầu hết em học sinh học mơn Tốn lại học theo dạng bài, thiếu vận dụng linh hoạt phần: Đại số, Hình học, Giải tích…Do đó, em thường hay lúng túng gặp tốn mà cần có vận dụng kiến thức tổng hợp Trong chương trình giải tích 12- Ban bản, câu hỏi sau phần khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (thường gọi câu hỏi phụ toán khảo sát hàm số) câu hỏi bắt buột đề thi tốt nghiệp THPT đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ hàng năm Để giải toán dạng này, ngồi phần kiến thức túy giải tích cịn có kiến thức Hình học giải tích phẳng Oxy ( phần học sinh học lớp 10) Vì làm tập dạng học sinh thường hay lúng túng vận dụng nhầm cơng thức Do để giúp học sinh học tốt phần này, mạnh dạn chọn đề tài:” Ứng dụng hình học giải tích phẳng để giải số câu hỏi phụ toán khảo sát hàm số ” Nhiệm vụ đề tài: Nghiên cứu phương pháp giảng dạy để giúp học sinh rèn luyện tư duy, khả giải toán, nhằm nâng cao chất lượng dạy học Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm câu hỏi phụ toán khảo sát hàm số thuộc chương trình giải tích 12 mà có sử dụng đến kiến thức hình học giải tích phẳng Oxy Tôn Thất Đôn Trường THCS&THPT Hà Trung PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Những vấn đề lý luận chung: Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “ Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” việc giúp học sinh học tập môn Tốn cách khoa học, hiệu góp phần rèn luyện cho em đức tính, phẩm chất người lao động mới: tính kỉ luật, tính kế thừa, tính phê phán, sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic kết hợp phân môn: Đại số, Giải tích, Hình học…giáo viên cần định hướng cho học sinh học mơn Tốn cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, phân dạng tập tổng hợp cách giải Trong chương trình tốn THPT, đường thẳng ( ∆ ) mặt phẳng thường cho dạng : • y = ax + b ( a, b ∈ ¡ ; a : hệ số góc ) :dạng hay sử dụng phần mang nhiều “màu sắc” Đại số, giải tích • r ax + by + c = ( a, b, c ∈ ¡ ; a + b ≠ ; n(a; b) vectơ pháp tuyến ∆ ) : dạng hay sử dụng phần Hình học giải tích Tuy nhiên, hệ trục tọa độ sử dụng phần giải tích, đại số hay hình học giải tích phẳng ngầm quy ước hệ trục tọa độ Oxy Do sử dụng kiến thức hình học giải tích phẳng để giải tốn Đại số, Giải tích ( cần viết ∆ : y = ax + b ⇔ ∆ : ax − y + b = ) Ví dụ tốn lên quan đến góc hai đường thẳng , khoảng cách từ điểm đến đường thẳng… Trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này, phân tích số tốn để làm rõ ý tưởng Thực trạng vấn đề: Qua nhiều năm giảng dạy lớp 12 ( Ban Cơ bản), nhận thấy câu hỏi phụ phần khảo sát hàm số, giáo viên trình bày lời giải tốn cụ thể mà không nêu chất tổng qt gặp tốn học Tôn Thất Đôn Trường THCS&THPT Hà Trung sinh lúng túng Đặc biệt, năm gần dạng tập liên quan đến phương trình đường thẳng khảo sát hàm số thường xuyên xuất đề thi tuyển sinh Đại học- Cao đẳng Đa phần em làm loại toán thường gặp nhiều khó khăn Nguyên nhân em quên kiến thức chưa biết vận dụng linh hoạt kiến thức hình học giải tích phẳng học lớp 10 để giải tốn giải tích lớp 11, 12 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề: Với nguyên nhân trên, qua nghiên cứu, trao đổi đúc rút kinh nghiệm, mạnh dạn đưa phân tích số tốn chương khảo sát hàm số thuộc chương trình Giải tích 12 mà giải cần phài sử dụng đến kiến thức hình học phẳng hệ trục tọa độ Oxy 3.1) Nhắc lại số kiến thức hình học giải tích phẳng cần nắm vững: • Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có vectơ pháp tuyến r n(a; b) là: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = • Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = là: d (M ; ∆) = ax0 + by0 + c a +b d ( A; BC ).BC ur • d1 : a1 x + b1 y + c1 = có vectơ pháp tuyến n1 = (a1; b1 ) uu r d : a2 x + b2 y + c2 = có vectơ pháp tuyến n2 = (a2 ; b2 ) ur uu r • Diện tích tam giác ABC : S ABC = Lúc n1.n2 r cos( d1 ; d ) = ur uu n1 n2 3.2) Phân tích số ví dụ: Tơn Thất Đơn Trường THCS&THPT Hà Trung Nếu cho đường thẳng dạng ∆ : y = kx + b ta viết lại ∆ : kx − y + = Lúc u r ∆ có vectơ pháp tuyến n = (k ; −1) áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, góc hai đường thẳng… Ví dụ 1: Cho hàm số y = 2x −1 (C ) x −1 Viết phương trình tiếp tuyến (C) , biết khoảng cách từ điểm I (1; 2) đến tiếp tuyến Phân tích: Tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 ; f ( x0 )) ∈ (C ) có phương trình: y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) ⇔ f '( x0 )( x − x0 ) − y + f ( x0 ) = (*) Từ áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải toán Giải: Tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 ; f ( x0 )) ∈ (C ) có phương trình: y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) ⇔ x + ( x0 − 1) y − x02 + x0 − = (*) Khoảng cách từ điểm I (1; 2) đến tiếp tuyến (*) ⇔  x0 = = 2⇔ + ( xo − 1)  x0 = 2 − x0 Suy tiếp tuyến cần tìm: x + y − = x + y − = Ví dụ 2: Cho hàm số y = x+2 (C ) x −1 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = − x Giải: Ta có M ∈ (C ) ⇒ M (a; a+2 ), a ≠ a −1 (∆) : y = − x ⇔ (∆) : x + y = Suy a+ d ( M ; ∆) = a−2 a −1  a − 2a + = d = ⇔ a + = a − ⇔ Do   a + 2a = • a − 2a + = : phương trình vơ nghiệm Tôn Thất Đôn Trường THCS&THPT Hà Trung a = a + 2a = ⇔  Suy tọa độ điểm M cần tìm M (0; −2) M (−2;0)  a = −2 Ví dụ : Cho hàm số y = 2x +1 (C ) x +1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết hai điểm A(2; 4), B(−4; −2) cách tiếp tuyến Phân tích: Tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 ; f ( x0 )) ∈ (C ) có phương trình: y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) ⇔ f '( x0 )( x − x0 ) − y + f ( x0 ) = (*) Từ áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Giải: Gọi x0 hoành độ tiếp điểm ( x0 ≠ −1) Khi phương trình tiếp tuyến (d ) (C) M ( x0 ; x0 + 2x +1 ) là: y = ( x − x0 ) + ⇔ x − ( x0 + 1) y + x0 + x0 + = x0 + ( x0 + 1) x0 + 2 2 Ta có: d (A;d) = d(B;d) ⇔ − 4( x0 + 1) + x + x0 + = −4 + 2( x0 + 1) + x + x0 + ⇔ x0 = 1; x0 = −2; x0 = Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y = x + ; y = x + 1; y = x + Ví dụ (B-2010): Cho hàm số y = 2x + (C ) x +1 Tìm m để đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm A, B cho tam giác OAB có diện tích ( O gốc tọa độ) Phân tích : Viết đường thẳng AB : y = −2 x + m thành AB : −2 x − y + m = Lúc áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm : 2x + = −2 x + m x +1 ⇔ x + = ( x + 1)(−2 x + m) ( x = −1 khơng nghiệm phương trình ) ⇔ x + (4 − m) x + − m = (1) ∆ = m + > với m , suy đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B với m Tôn Thất Đôn Trường THCS&THPT Hà Trung Gọi A(x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) x1 x2 nghiệm (1) ; y = −2 x1 + m y2 = −2 x2 + m Ta có AB : y = −2 x + m ⇔ x + y − m = Suy d (O; AB ) = m AB = ( x − x ) + ( y − y ) = 2 5( m + 8) m m +8 Do SOAB = AB.d(O; AB) = = ⇔ m = ±2 Ví dụ (B-2012): Cho hàm số y = x − 3mx + 3m3 (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB có diện tích 48 Giải: Ta có y ' = x − 6mx ; y ' = ⇔ x = x = 2m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị m ≠ Các điểm cực trị đồ thị A(0;3m3 ), B(2m; −m3 ) Phương trình đường thẳng OA : x = , suy d ( B; OA) = m OA = m Do SOAB = 48 ⇔ 3m = 48 ⇔ m = ±2 Ví dụ (B-2013): Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + 6mx (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y = x + Phân tích: Chuyển hai đường thẳng AB d : y = x + dạng phương trình tổng quát đường thẳng áp dụng điều kiện vng góc hai đường thẳng Giải: Ta có y ' = x − 6(m + 1) x + 6m ; y ' = ⇔ x = 1; x = m Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị m ≠ uuu r Ta có : A(1;3m − 1), B (m; −m3 + 3m ) ⇒ AB = (m − 1; −(m − 1)3 ) ur Suy đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến n1 = ((m − 1) ;1) (vì m ≠ ) uu r Đường thẳng d : y = x + có vectơ pháp tuyến n2 = (1; −1) ur uu r Do AB ⊥ d ⇔ n1.n2 = ⇔ (m − 1) = ⇔ m = m = Tơn Thất Đơn Trường THCS&THPT Hà Trung Ví dụ (A-2008): Cho hàm số y = mx + (3m − 2) x − (1) , với m tham số thực x + 3m Tìm giá trị tham số m để góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số (1) 450 Phân tích: Chuyển phương trình hai đường tiệm cận dạng phương trình tổng quát đường thẳng áp dụng cơng thức tính góc hai đường thẳng Giải: Ta có y = mx + (3m − 2) x − 6m − = mx − + x + 3m x + 3m • m= : đồ thị hàm số khơng có tiệm cận • m≠ : đồ thị hàm số có hai tiệm cận: d1 : x = −3m ⇔ x + 3m = 0, d : y = mx − ⇔ mx − y − = ur uu r Vec tơ pháp tuyến d1 , d n1 = (1;0), n2 = (m; −1) Góc d1 , d 450 ur uu r m n n ⇔ khi: cos 45 = ur uur = n1 n2 m2 + m m2 + = ⇔ m = ±1 2 Ví dụ : Cho hàm số y = x + 2mx + m + m(Cm ) Với giá trị m đồ thị (Cm ) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 1200 x = Giải : Ta có y ' = x + 4mx ; y ' = ⇔ x( x + m) = ⇔  x = ± m (m < 0) (1) Khi điểm cực trị : A(0; m + m), B( −m ; m), C (− −m ; m) uuur uuur ∧ AB = ( −m ; −m ); AC = ( − − m ; − m ) Do ∆ABC cân A nên góc BAC = 1200 uuur uuur ∧ AB AC − −m −m + m BAC = 120 ⇔ cosA = − ⇔ =− ⇔ =− AB AC m −m m = m + m4 4 ⇔ = − ⇒ 2m + 2m = m − m ⇔ 3m + m = ⇔  (2) m=− m −m  Từ (1), (2) suy m = − 3 Tôn Thất Đôn Trường THCS&THPT Hà Trung 2 Ví dụ 10:Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m − 1) x − m (Cm ) Chứng minh (Cm ) ln có điểm cực đại điểm cực tiểu chạy hai đường thẳng cố định song song Phân tích: Sau tính tọa độ cụ thể điểm cực trị M, N Ta tìm phương trình đường thẳng qua M, N sau chứng minh hai đường thẳng song song Giải: Ta có y ' = 3x − 6mx + 3( m − 1) với ∆ = >  x = m + ⇒ M (m + 1; −2 − 3m) y'= ⇔   x = m − ⇒ N (m − 1; − 3m) Suy (Cm ) ln có điểm cực đại điểm cực tiểu N,M  x = −1 + t  y = − 3t Điểm cực đại M (m + 1; −2 − 3m) chạy đường thẳng cố định (d1 ) :  x = 1+ t  y = −2 − 3t Điểm cực đại N (m − 1; − 3m) chạy đường thẳng cố định d :  → Rõ ràng (d1 ), (d ) có VTCP u = (1; −3) (d1 ) không trùng với (d ) nên (d1 ) P(d ) Ví dụ 11: Cho hàm số y = x − 3x − mx + ( Cm ), với m tham số thực Tìm m để ( Cm ) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị tạo với đường thẳng d : x + y − = góc α = 450 Giải: Ta có y ' = x − x − m Hàm số có cực đại cực tiểu y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = + 3m > ⇔ m > −3(*) Lúc đó, gọi điểm cực trị A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ) Thực phép chia y cho y ' ta 3 y = ( x − ) y '− ( 2m m + 2) x + (2 − ) 3 Suy đường thẳng qua điểm cực trị ∆ : y = −( ∆ : kx − y + (2 − 2m m + 2) x + (2 − ) hay 3 m 2m ) = với k = −( + 2) 3 10 Tôn Thất Đôn Trường THCS&THPT Hà Trung ur d : x + y − = • có vec tơ pháp tuyến n1 = (1;4) • ∆ : kx − y + (2 − uu r m ) = có vec tơ pháp tuyến n2 = (k ; −1) ur uu r k −4 | n n | r = ⇔ 2(k − 4) = 17(k + 1) Ta có: cos 45 = ur uu n1 n2 k + 17 39   k = m = −   10 ⇔ ⇔   ⇔ 15k + 16k − 15 = k = − m = −   Kết hợp điều kiện (*), suy giá trị m cần tìm m = − Nhận xét: Từ (1) giải sau: Đặt k = −( 2m + 2) Đường thẳng d : x + y − = có hệ số góc − 39   k = m = −   10 ⇔ ⇔ Ta có: tan 45 = k = − m = − 1− k   k+ Kết hợp điều kiện (*), suy giá trị m cần tìm m = − Nhận xét: Trong dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số, việc chuyển phương trình đường thẳng ∆ : y = kx + b (1)( sử dụng hệ số góc) dạng ∆ : kx − y + b = (2) (sử dụng vec tơ pháp tuyến, kiến thức hình học giải tích) có nhiều ưu điểm Bởi dạng (2) không cần chia trường hợp: đường thẳng song song (khơng có hệ số góc k ) hay khơng song song với trục tung Oy ( có hệ số góc k ) mà áp dụng trực tiếp cơng thức hình học giải tích để giải Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Đề tài triển khai lớp 12 mà trực tiếp giảng dạy năm 2013-2014, 2014-2015 Kết em học sinh gặp dạng tốn biết định hướng tìm lời giải cách xác Điều minh chứng bảng số liệu mà thống kê qua năm cho em làm đề kiểm tra: 11 Tôn Thất Đôn Trường THCS&THPT Hà Trung Năm học 2012-2013 2013-2014 2014-2015 Lớp Tổng số Số lượng học sinh làm câu Ghi 12/3 12/5 34 36 hỏi dạng 10 12/3 12/5 31 32 20 19 12/1 12/6 31 27 26 20 Chưa triển khai đề tài SKKN Đã triển khai đề tài SKKN Đã triển khai đề tài SKKN Với kết trên, thấy đề tài SKKN mang lại hiệu đáng khích lệ giảng dạy phần khảo sát hàm số chương trình Giải tích 12 12 Tôn Thất Đôn Trường THCS&THPT Hà Trung PHẦN III: KẾT LUẬN Trong q trình giảng dạy mơn tốn, giúp học sinh rèn luyện kỹ giải toán việc làm cần thiết Tuy nhiên, bên cạnh phải giúp em rèn luyện tính sáng tạo, thấy mối liên hệ phần: Đại số, giải tích, hình học… Có thể đem kiến thức phần hình học để giải tốn Đại số, giải tích ngược lại Từ giúp em rèn luyện tính linh hoạt, tránh cứng nhắc suy nghĩ Các câu hỏi chương khảo sát hàm số nội dung quan trọng mà em học sinh lớp 12 cần nắm vững Đề tài SKKN viết dựa kinh nghiệm giảng dạy lớp 12 năm vừa qua, học sinh đồng tình mang lại hiệu đáng khích lệ Ngồi cịn tư liệu nhằm giúp em ôn tập thi tốt nghiệp THPT cuối năm Rất mong quý đồng nghiệp, em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài SKKN hồn thiện hơn, qua nâng cao hiệu dạy học mơn Tốn nhà trường phổ thông 13 Tôn Thất Đôn Trường THCS&THPT Hà Trung TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa sách tập giải tích 12 (cơ bản), NXB Giáo Dục- 2007 Các đề thi tuyển sinh Đại học- Cao đẳng mơn Tốn năm 2007 đến 2014 Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Tất Tôn, Đặng Quan Viễn(1996), Tốn BDHS phổ thơng trung học- Khảo sát hàm số, NXB Hà Nội Các báo, tài liệu Internet, tạp chí Tốn học tuổi trẻ 14 Tôn Thất Đôn Trường THCS&THPT Hà Trung ... đề tài:” Ứng dụng hình học giải tích phẳng để giải số câu hỏi phụ toán khảo sát hàm số ” Nhiệm vụ đề tài: Nghiên cứu phương pháp giảng dạy để giúp học sinh rèn luyện tư duy, khả giải toán, nhằm... số, giải tích, hình học? ?? Có thể đem kiến thức phần hình học để giải tốn Đại số, giải tích ngược lại Từ giúp em rèn luyện tính linh hoạt, tránh cứng nhắc suy nghĩ Các câu hỏi chương khảo sát hàm. .. dụng phần giải tích, đại số hay hình học giải tích phẳng ngầm quy ước hệ trục tọa độ Oxy Do sử dụng kiến thức hình học giải tích phẳng để giải tốn Đại số, Giải tích ( cần viết ∆ : y = ax + b