Ứng dụng maple trong bài toán khảo sát hàm số

Đại Học Công Nghệ Thông Tin Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh TP. HCM 1/2013 GVHD : PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn Học viên: Trương Lê Hưng MS: CH1101089 Lớp: Cao Học khóa 6 Môn học: Lập trình symbolic Lời mở đầu Hiện nay khoa học công nghệ thông tin ngày càng phát triển, trang thiết bị ngày càng hiện đại. Để đáp ứng nhu cầu dạy và học thì ngành giáo dục cũng phải tận dụng nguồn tài nguyên vô cùng to lớn này. Áp dụng khoa học công nghệ thông tin vào giáo dục là việc mà ngày nay nhiều trường lớp đã và đang áp dụng rộng rãi. Việc sử dụng các phần mềm hỗ trợ dạy và học ngày càng phổ biến hơn. Trong nội dung bài thu hoạch này em xin được trình bày phương pháp ứng dụng Maple trong việc giải bài toán khảo sát hàm số, một dạng bài toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học hằng năm. Nội dung bài thu hoạch bao gồm : Phần 1 : Tổng quan về Maple Phần 2 : Ứng dụng Maple trong việc giải bài toán khảo sát hàm số Phần 3 : Bài tập vận dụng. Phần 4 : Tài liệu tham khảo Môn học: Lập trình symbolic Trang 2 Mục lục Môn học: Lập trình symbolic Trang 3 Phần I . Tổng quan về Maple 1. Giới thiệu về maple a. Giới thiệu Maple là một gói phần mềm toán học thương mại phục vụ cho nhiều mục đích. Nó phát triển lần đầu tiên vào năm 1980 bởi Nhóm Tính toán Hình thức tại Đại học Waterloo ở Waterloo, Ontario, Canada. Từ năm 1988, nó đã được phát triển và thương mại hóa bởi Waterloo Maple Inc. (còn được biết đến với tên gọi Maplesoft), một công ty Canada cũng có trụ sở tại Waterloo, Ontario. Phiên bản hiện tại là Maple 13 được phát hành vào tháng 5 năm 2009. Đối thủ cạnh tranh chính của nó là Mathematica. b. Chức năng cốt lõi Người dùng có thể nhập biểu thức toán học theo các ký hiệu toán học truyền thống. Có thể dễ dàng tạo ra những giao diện người dùng tùy chọn. Maple hỗ trợ cho cả tính toán số và tính toán hình thức, cũng như hiển thị. Nhiều phép tính số học được thực hiện dựa trên thư viện số học NAG. Trong Maple, các chương trình con NAG đã được mở rộng để cho phép độ chính xác ngẫu nhiên lớn. Maple cũng có một ngôn ngữ lập trình cấp cao đầy đủ. Cũng có giao diện cho những ngôn ngữ khác (C, Fortran, Java, MatLab, và Visual Basic). Cũng có một giao diện dành cho Excel. c. Kiến trúc Phần lớn chức năng toán học của Maple được viết bằng ngôn ngữ Maple, và được thông dịch bởi nhân Maple. Nhân Maple được viết bằng C. Maple chạy trên tất cả các hệ điều hành chính. Ngôn ngữ lập trình Maple là một ngôn ngữ kiểu động. Cũng giống như các hệ thống đại số máy tính, các biểu thức hình thức được lưu trữ Môn học: Lập trình symbolic Trang 4 trong bộ nhớ theo đồ thị không chu trình có hướng (DAG). Ngôn ngữ cho phép các biến có phạm vi nhất định (lexical scoping). Ngôn ngữ có hình thức lập trình hàm, nhưng cũng có hỗ trợ đầy đủ cho lập trình truyền thống, theo kiểu mệnh lệnh. Một điều lạ đối với chương trình thương mại, đa số mã nguồn đều có thể xem tự do. d. Lịch sử Khái niệm đầu tiên về Maple xuất phát từ một cuộc họp vào tháng 11 năm 1980 tại Đại học Waterloo. Những nhà nghiên cứu tại đại học muốn mua một máy tính đủ mạnh để chạy Macsyma. Thay vào đó, người ta quyết định họ sẽ phát triển hệ thống đại số máy tính riêng để có thể chạy được những máy tính có giá thành hợp lý hơn. Do đó, dự án bắt đầu với mục tiêu là tạo ra một hệ thống đại số hình thức mà các nhà nghiên cứu và sinh viên có thể truy cập được. Sự phát triển đầu tiên của Maple được tiến hành rất nhanh, với phiên bản hạn chế đầu tiên xuất hiện vào tháng 12 năm 1980. Những nhà nghiên cứu đã thử nghiệm và loại bỏ nhiều ý tưởng khác nhau để tạo ra một hệ thống liên tục cải tiến. Maple được trình diễn đầu tiên tại những hội nghị bắt đầu vào năm 1982. Đến cuối năm 1983, trên 50 trường đại học đã cài Maple trên máy của họ. Do số lượng hỗ trợ và yêu cầu giấy phép lớn, vào năm 1984, nhóm nghiên cứu đã sắp xếp với WATCOM Products Inc để cấp phép và phân phối Maple. Vào năm 1988, do số lượng hỗ trợ ngày càng tăng, Waterloo Maple Inc. được thành lập. Mục tiêu đầu tiên của công ty là quản lý những bản phân phối phần mềm. Cuối cùng, công ty cũng phải mở ra phòng R&D ở đó khá nhiều sự phát triển cho Maple được thực hiện đến ngày nay. Sự phát triển đáng kể của Maple tiếp tục diễn rại những phòng thí nghiệm Môn học: Lập trình symbolic Trang 5 trường đại học, bao gồm: Phòng thí nghiệm Tính toán hình thức tại Đại học Waterloo; Trung tâm nghiên cứu Tính toán hình thức Ontario tại Đại học Tây Ontario; và những phòng thí nghiệm khắp nơi trên thế giới. Vào năm 1989, giao diện đồ họa người dùng đầu tiên của Maple được phát triển và bao gồm trong bản 4.3 dành cho Macintosh. Những phiên bản trước của Maple chỉ gồm giao diện dòng lệnh với ngõ ra hai chiều. Bản X11 và Windows với giao diện mới tiếp bước vào năm 1980 với Maple V. Vào năm 1999, với việc phát hành Maple 6, Maple đã đưa vào một số Thư viện Số học NAG, được mở rộng độ chính xác ngẫu nhiên. Vào năm 2003, giao diện "chuẩn" hiện nay được giới thiệu trong Maple 9. Giao diện này được viết chủ yếu bằng Java (mặc dù có nhiều phần, nhưng luật cho việc gõ công thức toán học, được viết bằng ngôn ngữ Maple). Giao diện Java bị phê phán là chậm, những sự phát triển được thực hiện trong các bản sau, mặc dù tài liệu Maple 11 documentation khuyến cáo giao diện (“cổ điển”) trước đây dành cho người với bộ nhớ vật lý ít hơn 500 MB. Giao diện cổ điển này không còn được bảo trì. Giữa 1995 và 2005 Maple đã mất khá nhiều thị phần vào tay đối thủ do có giao diện người dùng yếu hơn. Nhưng vào năm 2005, Maple 10 giới thiệu một “chế độ văn bản” mới, như một phần của giao diện chuẩn. Tính năng chính của chế độ này là phép toán được đưa vào bằng ngõ nhập hai chiều, do đó nó xuất hiện tương tự như công thức trong sách. Vào năm 2008, Maple 12 đã thêm những tính năn giao diện người dùng giống như Mathematica, gồm có những kiểu trình bày theo mục đích đặc biệt, quản lý phần đầu và cuối trang, so trùng mở đóng ngoặc, vùng thực hiện tự động, mẫu hoàn thành lệnh, kiểm tra cú pháp và vùng tự động Môn học: Lập trình symbolic Trang 6 khởi tạo. Những tính năng khác được thêm để làm cho Maple dễ dùng hơn như một hộp công cụ Maple. 2. Cấu trúc giao diện và tài nguyên Maple Trong nội dung bài thu hoạch này chủ yếu đề cập đến phiên bản Maple 13. Giao diện chính của Maple 13: Cột bên trái thể hiện các cú pháp toán học cũng như các cách biểu diễn toán học. Môi trường soạn thảo được chia ra làm text, math, drawing, plot và animation. Các lệnh của Maple được gõ sau dấu nhắc lệnh > , kết thúc lệnh bằng dấu chấm phẩy (;) nếu muốn Maple hiển thị kết quả của việc tính toán, hoặc dấu hai chấm(:) nếu chỉ yêu cầu Maple tính toán mà không hiển thị kết quả. Các bạn dùng phím Enter để yêu cầu Maple bắt đầu thực hiện tính toán. Ví dụ tính giá trị biểu thức sau: Môn học: Lập trình symbolic Trang 7 > Maple cho ra kết quả -7 Để tra cứu thông tin và trợ giúp sử dụng các hàm trong Maple, ta có thể vào Help -> Maple Help rồi search từ khóa cần tìm để ra thông tin cần tra cứu. Ví dụ: tra cứu thông tin về hàm factor 3. Lưu trữ và trích xuất dữ liệu Để lưu môi trường làm việc hiện tại, vào File -> Save (Hoặc sử dụng phím tắt Ctrl + S) để lưu phiên làm việc. Maple lưu văn bản dưới định dạng .mw. Ngoài ra Maple còn hỗ trợ export ra các định dạng khác như html, latex, pdf v.v Môn học: Lập trình symbolic Trang 8 Môn học: Lập trình symbolic Trang 9 Phần II. Ứng dụng Maple trong bài toán khảo sát hàm số 1. Các hàm Maple thường sử dụng. a. Tính toán số học thông dụng Các phép toán số học: +, -, *, / Các phép toán logic: not, or, xor và các hằng true, false … Các phép so sánh: >, <, >=, <=, <> Phép lũy thừa ^, giai thừa ! Tính logarit: ln(x), Các hàm lượng giác: sin(x), cos(x), tan(x), v.v… b. Các hàm thư viện asb hàm trị tuyệt đối exp hàm số mũ cơ số e root[n] hàm căn bậc n sqrt hàm căn bậc hai evalf(e,n) cho sắp sỉ đại lượng e cần tính với độ chính xác n. simplify (e) đơn giản biểu thức e. power(e) đưa biểu thức e về dạng lũy thừa. combine (biểu thức) kết hợp và rút gọn biểu thức. convert (biểu thức, dạng) chuyển đổi các dạng hàm. expand (biểu thức) khai triển biểu thức. factor (đa thức) phân tích đa thức ra thừa số. normal (phân thức) giản ước phân thức. collect (biểu thức) nhóm các số hạng của đa thức. solve (phương trình) giải phương trình. solve (phương trình, tên các ẩn) giải phương trình theo ẩn xác định trước. solve (phương trình, tên các ẩn) giải phương trình theo ẩn xác định trước. solve (bất phương trình, tên ẩn) giải bất phương trình theo ẩn xác định trước. solve (hệ phương trình, tên các ẩn) giải hệ phương trình theo ẩn xác định trước. solve (hệ bất phương trình, tên các ẩn) giải hệ bất phương trình theo ẩn xác định trước. Envallsolution:=true: Phương trình lượng giác Subs (x=a,biểu thức) thay x bởi giá trị hay biểu thức a vào biểu thức chứa x piecewise (dk1,bt1,dk2,bt2…dkn,btn) xây dựng hàm trên từng khúc. limit (f(x),x=a) tính giới hạn hàm một biến. Môn học: Lập trình symbolic Trang 10 [...]... ngang và tiệm cận ứng: Môn học: Lập trình symbolic Trang 15 Vẽ đồ thị bằng hàm plots: Phần III Bài tập vận dụng 1 2 Kết quả đạt được Đã xây dựng được gói Maple khảo sát và vẽ đồ thị hàm số các hàm số bậc 3, hàm số trùng phương và hàm số phân thức Bài tập vận dụng Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = - x3 + 3x > Môn học: Lập trình symbolic Trang 16 Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Môn học: Lập... Trang 14 4 Dạng hàm số phân thức a Cơ sở lý thuyết Hàm số có dạng y = Điều kiện Tập xác định R\{-d/c} Ta có: Nếu bc-ad = 0 thì y = a/c, Nếu thì đồ thị hàm số được suy ra từ trong đó Đồ thị có 2 tiệm cận x = -d/c và y = a/c b Giải bài toán Khai báo hàm: Khai báo các biến Tính đạo hàm bậc 1 và bậc 2 Đặt Nếu tu > 0 hàm số luôn đồng biến trong tập xác định Nếu tu < 0 hàm số luôn nghịch biến trong tập xác định... Delta = 0 và a > 0 : Hàm số luôn đồng biến và không có điểm • cực trị Delta = 0 và a < 0 : Hàm số luôn nghịch biến và không có điểm • cực trị Delta < 0 và a > 0 : giải phương trình dh1 = 0 bằng hàm solve để có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Hàm số luôn nghịch biến trong khoảng (x1,x2), đồng biến trong khoảng (âm vô cùng, x1) • và (x2, dương vô cùng) Hàm số đạt cực tiểu tại (x2, f(x2)) Hàm số đạt cực đại tại... = 0 bằng hàm solve để có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Hàm số luôn đồng biến trong khoảng (x1,x2), nghịch biến trong khoảng (âm vô cùng, x1) và (x2, dương vô cùng) Môn học: Lập trình symbolic Trang 12 Hàm số đạt cực đại tại (x2, f(x2)) • Hàm số đạt cực tiểu tại (x1,f(x1)) Vẽ đồ thị bằng hàm plot: 3 Dạng hàm số trùng phương a Cơ sở lý thuyết Phương trình trùng phương có dạng: Tập xác định: R Đạo hàm bậc... Môn học: Lập trình symbolic Trang 17 Bài tập: Khảo sát và vẽ hàm số Môn học: Lập trình symbolic Trang 18 Môn học: Lập trình symbolic Trang 19 Tài liệu tham khảo [1] PGS.TS Đỗ Văn Nhơn, bộ slide bài giảng lập trình symbolic, Đại học Công Nghệ Thông Tin [2] Võ Tiến, Giới thiệu phần mềm toán học, Đại học Đà Lạt, 2008 [3] Nguyễn Chánh Tú, Sử dụng Maple để dạy – học toán trong môi trường tương tác, Đại học... (−b/3a, f(−b/3a)) − Tâm đối xứng (−b/3a, f(−b/3a)) cũng là điểm uốn b Giải quyết bài toán Môn học: Lập trình symbolic Trang 11 Khai báo hàm và các biến: Tập xác định: R Để tính đạo hàm bậc 1 và bậc 2 ta sử dụng hàm diff Ta có delta của phương trình dh1 = 0 Xét các trường hợp: • Delta > 0 và a > 0 : Hàm số luôn đồng biến và không có điểm • cực trị Delta > 0 và a < 0 : Hàm số luôn nghịch biến và không... (f(x),x=a b) tính tích phân xác định hàm một biến int (f(x),x=0 infinity) tính tích phân suy rộng với cận vô hạn Plot3d (hàm, x=a b,y=c d, yêu cầu tự chọn) đồ thị hàm hai biến 2 Dạng hàm số bậc 3 a Cơ sở lý thuyết Hàm số bậc 3 có dạng: Tập xác định: R Ta có: Đạo hàm bậc 1: Tính denta phương trình y’= 0 ta có: Đạo hàm bậc 2: Nếu a > 0 thì + Với + Với , y’ > 0 với mọi x, khi đó hàm luôn đồng biến , phương trình...diff (f(x),x) đạo hàm bậc nhất của hàm f(x) theo biến x diff (f(x),x$n) đạo hàm bậc n của hàm f(x) theo biến x int (f(x),x) tính tích phân bất định hàm một biến with (plots): vẽ đồ thị hàm một biến Plot ([bt1,bt2,t=a b]) vẽ đồ thị cho đường cong tham số hệ tọa độ đecaster implicitplot (F(x,y)=0,x=a b,y=c d) vẽ đồ thị hàm ẩn animate (F,x=a b,t=c d) vẽ đồ thị đường cong... bài toán Tập xác định: D = R Định nghĩa hàm: Khai báo các biến: Đạo hàm bậc 1: Đạo hàm bậc 2: Xét các trường hợp đặc biệt • Trường hợp a.b < 0 và a > 0: Tìm nghiệm y’ : Môn học: Lập trình symbolic Trang 13 Tìm nghiệm phương trình y’’ = 0 Trường hợp a.b < 0 và a < 0 Tìm nghiệm phương trình y’ = 0: Tìm nghiệm phương trình y’’ = 0: Vẽ đồ thị bằng hàm plot: Môn học: Lập trình symbolic Trang 14 4 Dạng hàm. .. y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và y’ > 0 ⇔ x ∉ [x1, x2] Hàm số tăng trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) giảm trên (x1, x2) Điểm cực đại là (x1, f(x1)) và điểm cực tiểu là (x2, f(x2)) Nếu a < 0 thì + Với + Với , y’ > 0 với mọi x, khi đó hàm luôn nghịch biến , phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và y’ > 0 ⇔ x ∉ [x1, x2] Hàm số giảm trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) và tăng trên (x1, x2) Điểm cực . tập vận dụng 1. Kết quả đạt được Đã xây dựng được gói Maple khảo sát và vẽ đồ thị hàm số các hàm số bậc 3, hàm số trùng phương và hàm số phân thức. 2. Bài tập vận dụng Bài tập: Khảo sát và vẽ. sát hàm số, một dạng bài toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học hằng năm. Nội dung bài thu hoạch bao gồm : Phần 1 : Tổng quan về Maple Phần 2 : Ứng dụng Maple trong việc giải bài toán. vẽ đồ thị hàm số y = - x 3 + 3x > Môn học: Lập trình symbolic Trang 16 Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Môn học: Lập trình symbolic Trang 17 Bài tập: Khảo sát và vẽ hàm số Môn học: