Ứng dụng maple trong bài toán khảo sát hàm số

Trong nội dung bài thu hoạch này em xin được trình bày phương pháp ứng dụng Maple trong việc giải bài toán khảo sát hàm số, một dạng bài toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học

Đại Học Công Nghệ Thông Tin

Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh

TP HCM 1/2013

GVHD : PGS.TS.Đỗ Văn Nhơn

Học viên: Trương Lê Hưng

MS: CH1101089

Lớp: Cao Học khóa 6

Môn học: Lập trình symbolic

Lời mở đầu

Hiện nay khoa học công nghệ thông tin ngày càng phát triển, trang thiết bị ngày càng hiện đại Để đáp ứng nhu cầu dạy và học thì ngành giáo dục cũng phải tận dụng nguồn tài nguyên vô cùng to lớn này.

Áp dụng khoa học công nghệ thông tin vào giáo dục là việc mà ngày nay nhiều trường lớp đã và đang áp dụng rộng rãi Việc sử dụng các phần mềm hỗ trợ dạy và học ngày càng phổ biến hơn.

Trong nội dung bài thu hoạch này em xin được trình bày phương pháp ứng dụng Maple trong việc giải bài toán khảo sát hàm số, một dạng bài toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học hằng năm.

Nội dung bài thu hoạch bao gồm :

Phần 1 : Tổng quan về Maple Phần 2 : Ứng dụng Maple trong việc giải bài toán khảo sát hàm số Phần 3 : Bài tập vận dụng.

Phần 4 : Tài liệu tham khảo

Mục lục

Phần I Tổng quan về Maple

1. Giới thiệu về maple

a. Giới thiệu

Maple là một gói phần mềm toán học thương mại phục vụ cho nhiều mục đích Nó phát triển lần đầu tiên vào năm 1980 bởi Nhóm Tính toán Hình thức tại Đại học Waterloo ở Waterloo, Ontario, Canada

Từ năm 1988, nó đã được phát triển và thương mại hóa bởi Waterloo Maple Inc (còn được biết đến với tên gọi Maplesoft), một công ty Canada cũng có trụ sở tại Waterloo, Ontario Phiên bản hiện tại là Maple

13 được phát hành vào tháng 5 năm 2009 Đối thủ cạnh tranh chính của

nó là Mathematica

b. Chức năng cốt lõi

Người dùng có thể nhập biểu thức toán học theo các ký hiệu toán học truyền thống Có thể dễ dàng tạo ra những giao diện người dùng tùy chọn Maple hỗ trợ cho cả tính toán số và tính toán hình thức, cũng như hiển thị Nhiều phép tính số học được thực hiện dựa trên thư viện số học NAG Trong Maple, các chương trình con NAG đã được mở rộng để cho phép độ chính xác ngẫu nhiên lớn

Maple cũng có một ngôn ngữ lập trình cấp cao đầy đủ Cũng có giao diện cho những ngôn ngữ khác (C, Fortran, Java, MatLab, và Visual Basic) Cũng có một giao diện dành cho Excel

c. Kiến trúc

Phần lớn chức năng toán học của Maple được viết bằng ngôn ngữ Maple, và được thông dịch bởi nhân Maple Nhân Maple được viết bằng

C Maple chạy trên tất cả các hệ điều hành chính

Ngôn ngữ lập trình Maple là một ngôn ngữ kiểu động Cũng giống như các hệ thống đại số máy tính, các biểu thức hình thức được lưu trữ

trong bộ nhớ theo đồ thị không chu trình có hướng (DAG) Ngôn ngữ cho phép các biến có phạm vi nhất định (lexical scoping) Ngôn ngữ có hình thức lập trình hàm, nhưng cũng có hỗ trợ đầy đủ cho lập trình truyền thống, theo kiểu mệnh lệnh

Một điều lạ đối với chương trình thương mại, đa số mã nguồn đều có thể xem tự do

d. Lịch sử

Khái niệm đầu tiên về Maple xuất phát từ một cuộc họp vào tháng 11 năm 1980 tại Đại học Waterloo Những nhà nghiên cứu tại đại học muốn mua một máy tính đủ mạnh để chạy Macsyma Thay vào đó, người ta quyết định họ sẽ phát triển hệ thống đại số máy tính riêng để có thể chạy được những máy tính có giá thành hợp lý hơn Do đó, dự án bắt đầu với mục tiêu là tạo ra một hệ thống đại số hình thức mà các nhà nghiên cứu

và sinh viên có thể truy cập được

Sự phát triển đầu tiên của Maple được tiến hành rất nhanh, với phiên bản hạn chế đầu tiên xuất hiện vào tháng 12 năm 1980 Những nhà nghiên cứu đã thử nghiệm và loại bỏ nhiều ý tưởng khác nhau để tạo ra một hệ thống liên tục cải tiến Maple được trình diễn đầu tiên tại những hội nghị bắt đầu vào năm 1982

Đến cuối năm 1983, trên 50 trường đại học đã cài Maple trên máy của

họ Do số lượng hỗ trợ và yêu cầu giấy phép lớn, vào năm 1984, nhóm nghiên cứu đã sắp xếp với WATCOM Products Inc để cấp phép và phân phối Maple

Vào năm 1988, do số lượng hỗ trợ ngày càng tăng, Waterloo Maple Inc được thành lập Mục tiêu đầu tiên của công ty là quản lý những bản phân phối phần mềm Cuối cùng, công ty cũng phải mở ra phòng R&D ở

đó khá nhiều sự phát triển cho Maple được thực hiện đến ngày nay Sự phát triển đáng kể của Maple tiếp tục diễn rại những phòng thí nghiệm

trường đại học, bao gồm: Phòng thí nghiệm Tính toán hình thức tại Đại học Waterloo; Trung tâm nghiên cứu Tính toán hình thức Ontario tại Đại học Tây Ontario; và những phòng thí nghiệm khắp nơi trên thế giới Vào năm 1989, giao diện đồ họa người dùng đầu tiên của Maple được phát triển và bao gồm trong bản 4.3 dành cho Macintosh Những phiên bản trước của Maple chỉ gồm giao diện dòng lệnh với ngõ ra hai chiều Bản X11 và Windows với giao diện mới tiếp bước vào năm 1980 với Maple V

Vào năm 1999, với việc phát hành Maple 6, Maple đã đưa vào một số Thư viện Số học NAG, được mở rộng độ chính xác ngẫu nhiên

Vào năm 2003, giao diện "chuẩn" hiện nay được giới thiệu trong Maple 9 Giao diện này được viết chủ yếu bằng Java (mặc dù có nhiều phần, nhưng luật cho việc gõ công thức toán học, được viết bằng ngôn ngữ Maple) Giao diện Java bị phê phán là chậm, những sự phát triển được thực hiện trong các bản sau, mặc dù tài liệu Maple 11 documentation khuyến cáo giao diện (“cổ điển”) trước đây dành cho người với bộ nhớ vật lý ít hơn 500 MB Giao diện cổ điển này không còn được bảo trì

Giữa 1995 và 2005 Maple đã mất khá nhiều thị phần vào tay đối thủ

do có giao diện người dùng yếu hơn Nhưng vào năm 2005, Maple 10 giới thiệu một “chế độ văn bản” mới, như một phần của giao diện chuẩn Tính năng chính của chế độ này là phép toán được đưa vào bằng ngõ nhập hai chiều, do đó nó xuất hiện tương tự như công thức trong sách Vào năm 2008, Maple 12 đã thêm những tính năn giao diện người dùng giống như Mathematica, gồm có những kiểu trình bày theo mục đích đặc biệt, quản lý phần đầu và cuối trang, so trùng mở đóng ngoặc, vùng thực hiện tự động, mẫu hoàn thành lệnh, kiểm tra cú pháp và vùng tự động

khởi tạo Những tính năng khác được thêm để làm cho Maple dễ dùng hơn như một hộp công cụ Maple

2. Cấu trúc giao diện và tài nguyên Maple

Trong nội dung bài thu hoạch này chủ yếu đề cập đến phiên bản Maple 13

Giao diện chính của Maple 13:

Cột bên trái thể hiện các cú pháp toán học cũng như các cách biểu diễn toán học

Môi trường soạn thảo được chia ra làm text, math, drawing, plot và animation

Các lệnh của Maple được gõ sau dấu nhắc lệnh > , kết thúc lệnh bằng dấu chấm phẩy (;) nếu muốn Maple hiển thị kết quả của việc tính toán, hoặc dấu hai chấm(:) nếu chỉ yêu cầu Maple tính toán mà không hiển thị kết quả Các bạn dùng phím Enter để yêu cầu Maple bắt đầu thực hiện tính toán

Ví dụ tính giá trị biểu thức sau:

>

Maple cho ra kết quả -7

Để tra cứu thông tin và trợ giúp sử dụng các hàm trong Maple, ta có thể vào Help -> Maple Help rồi search từ khóa cần tìm để ra thông tin cần tra cứu

Ví dụ: tra cứu thông tin về hàm factor

3. Lưu trữ và trích xuất dữ liệu

Để lưu môi trường làm việc hiện tại, vào File -> Save (Hoặc sử dụng phím tắt Ctrl + S) để lưu phiên làm việc Maple lưu văn bản dưới định dạng mw

Ngoài ra Maple còn hỗ trợ export ra các định dạng khác như html, latex, pdf v.v

Phần II Ứng dụng Maple trong bài toán khảo sát hàm số

1. Các hàm Maple thường sử dụng.

a. Tính toán số học thông dụng

Các phép toán số học: +, -, *, / Các phép toán logic: not, or, xor và các hằng true, false … Các phép so sánh: >, <, >=, <=, <>

Phép lũy thừa ^, giai thừa ! Tính logarit: ln(x),

Các hàm lượng giác: sin(x), cos(x), tan(x), v.v…

b. Các hàm thư viện

asb hàm trị tuyệt đối exp hàm số mũ cơ số e root[n] hàm căn bậc n sqrt hàm căn bậc hai evalf(e,n) cho sắp sỉ đại lượng e cần tính với độ chính xác n

simplify (e) đơn giản biểu thức e

power(e) đưa biểu thức e về dạng lũy thừa

combine (biểu thức) kết hợp và rút gọn biểu thức

convert (biểu thức, dạng) chuyển đổi các dạng hàm

expand (biểu thức) khai triển biểu thức

factor (đa thức) phân tích đa thức ra thừa số

normal (phân thức) giản ước phân thức

collect (biểu thức) nhóm các số hạng của đa thức

solve (phương trình) giải phương trình

solve (phương trình, tên các ẩn) giải phương trình theo ẩn xác định trước solve (phương trình, tên các ẩn) giải phương trình theo ẩn xác định trước solve (bất phương trình, tên ẩn) giải bất phương trình theo ẩn xác định

trước

solve (hệ phương trình, tên các ẩn) giải hệ phương trình theo ẩn xác định

trước

solve (hệ bất phương trình, tên các ẩn) giải hệ bất phương trình theo ẩn

xác định trước

Envallsolution:=true: Phương trình lượng giác Subs (x=a,biểu thức) thay x bởi giá trị hay biểu thức a vào biểu thức chứa

x

piecewise (dk1,bt1,dk2,bt2…dkn,btn) xây dựng hàm trên từng khúc limit (f(x),x=a) tính giới hạn hàm một biến

diff (f(x),x) đạo hàm bậc nhất của hàm f(x) theo biến x

diff (f(x),x$n) đạo hàm bậc n của hàm f(x) theo biến x

int (f(x),x) tính tích phân bất định hàm một biến

with (plots): vẽ đồ thị hàm một biến

Plot ([bt1,bt2,t=a b]) vẽ đồ thị cho đường cong tham số hệ tọa độ

đecaster

implicitplot (F(x,y)=0,x=a b,y=c d) vẽ đồ thị hàm ẩn

animate (F,x=a b,t=c d) vẽ đồ thị đường cong chuyển động

int (f(x),x=a b) tính tích phân xác định hàm một biến

int (f(x),x=0 infinity) tính tích phân suy rộng với cận vô hạn

Plot3d (hàm, x=a b,y=c d, yêu cầu tự chọn) đồ thị hàm hai biến

2. Dạng hàm số bậc 3

a. Cơ sở lý thuyết

Hàm số bậc 3 có dạng:

Tập xác định: R

Ta có:

Đạo hàm bậc 1:

Tính denta phương trình y’= 0 ta có:

Đạo hàm bậc 2:

Nếu a > 0 thì + Với , y’ > 0 với mọi x, khi đó hàm luôn đồng biến + Với , phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1

< x2 và y’ > 0 ⇔ x ∉ [x1, x2]

Hàm số tăng trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) giảm trên (x1, x2)

Điểm cực đại là (x1, f(x1)) và điểm cực tiểu là (x2, f(x2)).

Nếu a < 0 thì + Với , y’ > 0 với mọi x, khi đó hàm luôn nghịch biến + Với , phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1

< x2 và y’ > 0 ⇔ x ∉ [x1, x2]

Hàm số giảm trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) và tăng trên (x1, x2)

Điểm cực tiểu là (x1, f(x1)) và điểm cực đại là (x2, f(x2)).

− Điểm uốn: y” = 0 ⇔ x = − b/3a, điểm uốn là (−b/3a, f(−b/3a))

− Tâm đối xứng (−b/3a, f(−b/3a)) cũng là điểm uốn

b. Giải quyết bài toán

Khai báo hàm và các biến:

Tập xác định: R

Để tính đạo hàm bậc 1 và bậc 2 ta sử dụng hàm diff

Ta có delta của phương trình dh1 = 0

Xét các trường hợp:

• Delta > 0 và a > 0 : Hàm số luôn đồng biến và không có điểm cực trị

• Delta > 0 và a < 0 : Hàm số luôn nghịch biến và không có điểm cực trị

• Delta = 0 và a > 0 : Hàm số luôn đồng biến và không có điểm cực trị

• Delta = 0 và a < 0 : Hàm số luôn nghịch biến và không có điểm cực trị

• Delta < 0 và a > 0 : giải phương trình dh1 = 0 bằng hàm solve

để có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Hàm số luôn nghịch biến trong khoảng (x1,x2), đồng biến trong khoảng (âm vô cùng, x1)

và (x2, dương vô cùng)

Hàm số đạt cực tiểu tại (x2, f(x2)) Hàm số đạt cực đại tại (x1,f(x1))

• Delta < 0 và a < 0 : giải phương trình dh1 = 0 bằng hàm solve

để có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Hàm số luôn đồng biến trong khoảng (x1,x2), nghịch biến trong khoảng (âm vô cùng, x1) và (x2, dương vô cùng)

Hàm số đạt cực đại tại (x2, f(x2))

• Hàm số đạt cực tiểu tại (x1,f(x1))

Vẽ đồ thị bằng hàm plot:

3. Dạng hàm số trùng phương

a. Cơ sở lý thuyết

Phương trình trùng phương có dạng:

Tập xác định: R Đạo hàm bậc 1:

Giải phương trình y’=0 có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = -b/2a Xét dấu y’ để suy ra được chiều biến thiên

Tìm cực trị Tìm các giới hạn tại vô cực, tại các điểm vô cực tìm các tiệm cận

Vẽ đồ thị từ các điểm đặt biệt

b. Giải bài toán

Tập xác định: D = R Định nghĩa hàm:

Khai báo các biến:

Đạo hàm bậc 1:

Đạo hàm bậc 2:

Xét các trường hợp đặc biệt

• Trường hợp a.b < 0 và a > 0:

Tìm nghiệm y’ :

Tìm nghiệm phương trình y’’ = 0

Trường hợp a.b < 0 và a < 0 Tìm nghiệm phương trình y’ = 0:

Tìm nghiệm phương trình y’’ = 0:

Vẽ đồ thị bằng hàm plot:

4. Dạng hàm số phân thức

a. Cơ sở lý thuyết

Hàm số có dạng y = Điều kiện

Tập xác định R\{-d/c}

Ta có:

Nếu bc-ad = 0 thì y = a/c, Nếu thì đồ thị hàm số được suy ra từ

trong đó

Đồ thị có 2 tiệm cận x = -d/c và y = a/c

b. Giải bài toán

Khai báo hàm:

Khai báo các biến

Tính đạo hàm bậc 1 và bậc 2

Đặt

Nếu tu > 0 hàm số luôn đồng biến trong tập xác định Nếu tu < 0 hàm số luôn nghịch biến trong tập xác định Xác định tiệm cận ngang và tiệm cận đứng:

Vẽ đồ thị bằng hàm plots:

Phần III Bài tập vận dụng

1. Kết quả đạt được

Đã xây dựng được gói Maple khảo sát và vẽ đồ thị hàm số các hàm số bậc

3, hàm số trùng phương và hàm số phân thức.

2. Bài tập vận dụng

Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = - x 3 + 3x

>

Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài tập: Khảo sát và vẽ hàm số

Tài liệu tham khảo

[1] PGS.TS Đỗ Văn Nhơn, bộ slide bài giảng lập trình symbolic, Đại học Công Nghệ Thông Tin

[2] Võ Tiến, Giới thiệu phần mềm toán học, Đại học Đà Lạt, 2008.

[3] Nguyễn Chánh Tú, Sử dụng Maple để dạy – học toán trong môi trường tương tác, Đại học sư phạm Huế

[4] Hoàng Ngọc Quang, chuyên đề khảo sát hàm số, 2010