CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 1 HƯỚNG DẪN TỪNG BƯỚC 52 DẠNG THƯỜNG GẶP LIÊN QUAN KSHS Các dạng “ chỉ có” đối với hàm số bậc 3: = + + + . Các dạng “ chỉ có” đối với hàm số trùng phương: = + + . Các dạng “ chỉ có” đối với hàm số nhất biến: = . Dạng bài toán: “viết phương trình tiếp tuyến” của đồ thị hàm số Dạng bài toán: Biện luận phương trình bằng đồ thị Dạng bài toán: Tìm GTLN – GTNN của hàm số Dạng bài toán: Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng, trục đối xứng Dạng bài toán: Điểm thuộc đồ thị, điểm cố định của một họ đồ thị. Biên so ạ n: Đ ỗ T ấ n L ộ c – THPT Chu Văn An CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 2 HƯỚNG DẪN TỪNG BƯỚC - 52 DẠNG TOÁN Trong các bài toán khảo sát hàm số ( Dành cho học sinh) Lời mở đầu: các em thân mến. Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số rất “đa dạng” rất “phong phú” rất rất ( he he ) Nhưng ở một mức độ khó nhất định bao gồm một số dạng được “ tạm” chia ra như sau: Các em hãy lưu ý rằng: Đây không phải là tất cả các dạng toán mà chỉ là các dạng toán thông dụng xuất hiện thường xuyên trong các kỳ kiểm tra, thi HK, thi TNPT & thi ĐH-CĐ Các dạng đặc trưng riêng cho từng loại hàm số CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ BẬC 3: = ( ) = + + + (trong đó tham số (thường là m )có mặt trong các hệ số A,B,C,D ) Dạng 1: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số đồng biến trên ℝ ? Dạng 2: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số nghịch biến trên ℝ ? Phương pháp: Tìm TXĐ Xét trường hợp riêng A = 0 ( nếu A có chứa tham số m): Hàm số trở thành y = Cx + D ( C > 0) (thỏa đề) Trường hợp A 0: Ta có: y’ = ax 2 + bx + c y’ = 0 ax 2 + bx + c = 0 Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ > 0 Δ ≤ 0 Phương pháp: Tìm TXĐ Xét trường hợp riêng A = 0 ( nếu A có chứa tham số m): Hàm số trở thành y = Cx + D ( C < 0) (thỏa đề) Trường hợp A 0: Ta có: y’ = ax 2 + bx + c y’ = 0 ax 2 + bx + c = 0 Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ < 0 Δ ≤ 0 Dạng 3*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số đồng biến trên miền K (Thường miền K là (a;b) ) Dạng 4*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số nghịch biến trên miền K (Thường miền K là (a;b) ) Phương pháp: (Vận dụng GTLN – GTNN của hàm số) Tìm TXĐ Tìm y’ Hàm số đồng biến trên K = (a;b) y’ ≥0,∀∈ ≤ ( ) , ∀ ∈ ( ℎ ≥ ( ) , ∀ ∈ ) min ( ) ( max ( ) ) x K x K m g x hay m g x Phương pháp: (Vận dụng GTLN – GTNN của hàm số) Tìm TXĐ Tìm y’ Hàm số nghịch biến trên K = (a;b) y’ ≤0,∀∈ ≥ ( ) , ∀ ∈ ℎ ≤ ( ) , ∀ ∈ max ( ) ( min ( ) ) x K x K m g x hay m g x Dạng 5: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Đ ị nh m đ ể hàm s ố có c ự c tr ị ? Dạng 6: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Đ ị nh m đ ể hàm s ố không có c ự c tr ị ? Phương pháp: Tìm TXĐ Xét trường hợp riêng A = 0 ( suy ra m): nếu hàm số trở thành y = Bx 2 + Cx + D (B0) (thỏa đề - vì hàm số bậc 2 luôn có 1 cực trị) Trư ờ ng h ợ p A 0: Phương pháp: Tìm TXĐ Xét trường hợp riêng A = 0 ( suy ra m): Nếu hàm số trở thành y = Bx 2 + Cx + D (B0) (không thỏa đề - vì hàm số bậc 2 luôn chỉ có 1 cực trị) Nếu hàm số trở thành CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 3 Ta có: y’ = ax 2 + bx + c y’ = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1) Hàm số có cực trị pt (1) có 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi đi qua 2 nghiệm ấy⇔ ≠0 Δ> 0 y = CX + D ( thỏa đề - vì không có cực trị) Trường hợp A 0: Ta có: y’ = ax 2 + bx + c y’ = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1) Hàm số không có cực trị pt (1) vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép ⇔ ≠ 0 Δ ≤ 0 Dạng 7: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu? Dạng 8: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số không có cực đại và cực tiểu? Phương pháp: Tìm TXĐ Ta có: y’ = ax 2 + bx + c y’ = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1) Hàm số có cực đại và cực tiểu pt (1) có 2 ng phân biệt và y’ đổi dấu khi đi qua 2 nghiệm ấy ⇔ ≠0 Δ> 0 Lưu ý:Không xét trường hợp riêng A = 0 vì hàm số nếu có cực trị thì nhiều nhất là 1 cực trị không thể vừa có cực đại vừa có cực tiểu Phương pháp: Tìm TXĐ Ta có: y’ = ax 2 + bx + c y’ = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1) Hàm số không có cực đại và cực tiểu pt (1) vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép ⇔ ≠0 Δ≤0 Lưu ý:Không xét trường hợp riêng A = 0 vì hàm số nếu có cực trị thì nhiều nhất là 1 cực trị không thể vừa không có cực đại vừa không có cực tiểu Dạng 9: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía so với trục Oy Dạng 10: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía so với đường thẳng x = x 0 . Phương pháp: Tìm TXĐ Ta có: y’ = ax 2 + bx + c y’ = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1) YCBT pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2 và x 1 < 0 < x 2 a.c < 0 Phương pháp: Tìm TXĐ Ta có: y’ = ax 2 + bx + c y’ = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1) YCBT pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2 và x 1 < x 0 < x 2 ( + + ) < 0 . Dạng 11: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ âm. (Hoành độ nằm bên trái gốc O) Dạng 12: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương. (Hoành độ nằm bên phải gốc O) Phương pháp: Tìm TXĐ Ta có: y’ = ax 2 + bx + c y’ = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1) YCBT pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2 và x 1 < x 2 < 0 ⇔ ≠0 Δ> 0 < 0 > 0 Phương pháp: Tìm TXĐ Ta có: y’ = ax 2 + bx + c y’ = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1) YCBT pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2 và 0 < x 1 < x 2 ⇔ ≠0 Δ> 0 > 0 > 0 Dạng 13*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ nhỏ hơn . Dạng 14*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn . Phương pháp: Tìm TXĐ Ta có: y’ = ax 2 + bx + c y’ = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1) Phương pháp: Tìm TXĐ Ta có: y’ = ax 2 + bx + c y’ = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1) CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 4 YCBT pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2 và x 1 < x 2 < ⇔ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ≠0 Δ> 0 2 −< 0 ( ) > 0 (với g ( x ) = ax + bx + c) YCBT pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2 và < x 1 < x 2 ⇔ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ≠0 Δ> 0 2 −> 0 ( ) > 0 (với g ( x ) = ax + bx + c) Dạng 15: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số đạt cực đại tại x = x 0 ? Dạng 16: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = x 0 ? Phương pháp: Tìm TXĐ Hàm số đạt cực đại tại x = x 0 y’(x 0 ) = 0 giá trị của tham số m. Thử lại: ( có 2 cách ) Dùng dấu hiệu 1: thay giá trị m vào y’ và xét dấu y’ và xem hàm số có đạt cực đại tại x = x 0 không (nếu có thì giá trị m nhận được vì thỏa đề bài) Dùng dấu hiệu 2: Tính y’’ Thay giá trị m vừa tìm được và x = x 0 vào y’’ ta được y’’(x 0 ) (Nếu y’’(x 0 ) < 0 thì giá trị m thỏa đề bài) Phương pháp: Tìm TXĐ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x 0 y’(x 0 ) = 0 giá trị của tham số m. Thử lại: ( có 2 cách ) Dùng dấu hiệu 1: thay giá trị m vào y’ và xét dấu y’ và xem hàm số có đạt cực tiểu tại x = x 0 không (nếu có thì giá trị m nhận được vì thỏa đề bài) Dùng dấu hiệu 2: Tính y’’ Thay x = x 0 và giá trị m vào y’’ ta được y’’(x 0 ) (Nếu y’’(x 0 ) > 0 thì giá trị m thỏa đề bài) Dạng 17: Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x,m) và 1 đường thẳng (d): y = g(x,m) . Tìm tham số m sao cho (C) và (d) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt Dạng 18: Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x,m) và 1 đường thẳng (d): y = g(x,m) . Tìm tham số m sao cho (C) và (d) cắt nhau tại 3 điểm A,B,C sao cho AB = BC ( hay 3 điểm có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng). Phương pháp: (cách này áp dụng khi nhẩm được 1 nghiệm của PTHĐGĐ) Lập PTHĐGĐ của (C) và (d): f(x,m) = g(x,m) 2 0 ( )(ax ) 0 x x bx c 0 2 0 ax 0 (1) x x bx c (C) (d) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác x 0 . 2 0 0 0 0 ax 0 a bx c (giải tìm tham số m) Phương pháp: Lập PTHĐGĐ của (C) và (d): f(x,m) = g(x,m) 3 2 x 0 a bx cx d (*) Giả sử (*) có 3 nghiệm phân biệt ; ; có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng Ta có: − = − ⇒2 = + (1) Mặt khác: + + = − (2) Từ (1) và (2) x 2 = thay vào (*) tìm được tham số m thay tham số m giải phương trình nếu tìm được 3 nghiệm lập thành 1 CSC thì giá trị m thỏa đề bài. ( Have fun ) Dạng này được áp dụng hoàn toàn tương tự cho hàm số trùng phương y = Ax 4 + Bx 2 + C hay các dạng hàm số khác Dạng này được áp dụng hoàn toàn tương tự cho hàm số trùng phương y = Ax 4 + Bx 2 + C hay các dạng hàm số khác CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 5 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG: = ( ) = + + (trong đó tham số (thường là m )có mặt trong các hệ số A,B,C ) Dạng 19: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Tìm m sao cho hàm số có 3 cực trị. Dạng 20: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Tìm m sao cho hàm số có 1 cực trị. Phương pháp: Tìm TXĐ y’ = 4Ax 3 + 2Bx y' = 0 4Ax 3 + 2Bx = 0 2 0 (*) 2 x B x A Hàm số có 3 cực trị 0 2 B A ( gi ả i tìm m và k ế t lu ậ n) Phương pháp: Tìm TXĐ y’ = 4Ax 3 + 2Bx y' = 0 4Ax 3 + 2Bx = 0 2 0 (*) 2 x B x A Hàm số có 1 cực trị 0 2 B A ( gi ả i tìm m và k ế t lu ậ n) Dạng 21: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Tìm m sao cho hàm số có cực đại và không có cực tiểu. Dạng 22: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Tìm m sao cho hàm số có cực tiểu và không có cực đại. Phương pháp: Tìm TXĐ y’ = 4Ax 3 + 2Bx y' = 0 4Ax 3 + 2Bx = 0 2 0 (*) 2 x B x A Hàm số có cực đại và không có cực tiểu 0 0 0 0 2 A A B B A ( giải tìm m và kết luận) Phương pháp: Tìm TXĐ y’ = 4Ax 3 + 2Bx y' = 0 4Ax 3 + 2Bx = 0 2 0 (*) 2 x B x A Hàm số có cực tiểu và không có cực đại 0 0 0 0 2 A A B B A ( giải tìm m và kết luận) Dạng 23*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Tìm m sao cho đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân Dạng 24*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Tìm m sao cho đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác đ ề u Phương pháp: Tìm TXĐ y’ = 4Ax 3 + 2Bx y' = 0 4Ax 3 + 2Bx = 0 2 0 (*) 2 x B x A Hàm số có 3 cực trị 0 2 B A Tìm tọa độ 3 điểm cực trị: M(x M ;y M ), N(0;C) và P(x P ;y P ) MNP vuông cân (tại N) . 0 NM NP tìm được tham số m Phương pháp: Tìm TXĐ y’ = 4Ax 3 + 2Bx y' = 0 4Ax 3 + 2Bx = 0 2 0 (*) 2 x B x A Hàm số có 3 cực trị 0 2 B A Tìm tọa độ 3 điểm cực trị: M(x M ;y M ), N(0;C) và P(x P ;y P ) MNP đều 0 60 MNP 1 os 2 c MNP . 1 2 . NM NP NM NP tìm được tham số m CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 6 Cách khác: MNP đều NM = MP Dạng 25*: Cho hàm số y = f(x,m) (C) chứa tham số m. Tìm m sao cho đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Dạng 26*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Tìm m sao cho đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 , x 4 tạo thành 1 cấp Số c ộ ng . Phương pháp: Lập PTHĐGD của (C) và Ox: + + = (1) đặt t = x 2 ( t 0), pt trở thành: At 2 + Bt + C = 0 (2) YCBT pt (1) có 4 nghiệm phân biệt pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt 0 0 0 0 A S P Phương pháp: Lập PTHĐGD của (C) và Ox: + + = (1) đặt t = x 2 ( t 0), pt trở thành: At 2 + Bt + C = 0 (2) YCBT pt (1) có 4 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 , x 4 tạo thành 1 cấp số cộng pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt 0 < t 1 < t 2 và t 2 = 9t 1 Sử dụng: t 2 = 9t 1 và Viet: t 1 + t 2 = -B/A, t 1 t 2 = C/A (ta suy ra giá trị tham số m) Thử lại: thay vào (1) để giải tìm x (nếu có 4 nghiệm phân biệt tạo thành 1 CSC thì giá trị m vừa tìm thỏa đề. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ NHẤT BIẾN: Ax B y Cx D có đạo hàm 2 ' ( ) AD BC y Cx D (trong đó tham số (thường là m )có mặt trong các hệ số A,B,C,D ) Dạng 27: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng thuộc tập xác định? Dạng 28: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m. Định m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng thuộc tập xác định? Phương pháp: Tìm TXĐ Tìm 2 ' ( ) AD BC y Cx D Hàm số đồng biến trên từng khoảng thuộc tập xác định y’ > 0 AD – BC > 0 ( gi ả i tìm m và k ế t lu ậ n) Phương pháp: Tìm TXĐ Tìm 2 ' ( ) AD BC y Cx D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng thuộc tập xác định y’ < 0 AD – BC < 0 ( gi ả i tìm m và k ế t lu ậ n) Lưu ý: pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t 1 < t 2 thì pt (1) có 4 nghiệm phân biệt x 1,2 = 1 t , x 3,4 = 2 t đối xứng từng cặp qua gốc tọa độ O MNP luôn là 1 tam giác cân tại N, nên chỉ cần vuông tại N thì MNP là tam giác vuông cân thỏa đề bài (ten ten ten tèn ) MNP luôn là 1 tam giác cân tại N, nên chỉ cần góc N bằng 60 0 hoặc cạnh bên NM (hay NP) bằng cạnh đáy MP là MNP là đều Lưu ý:nghiệm của (1) x = , (2) t = − − CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 7 Dạng 29: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (C) và đt (d): y = g(x) chứa tham số m. Định m để (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt? Dạng 30: Cho hàm số y = Ax B Cx D , có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên? Phương pháp: Lập PTHĐGD của (C) và (d): Ax ( ) B g x Cx D (≠− ) Thu gọn được 1 pt: ax 2 + bx + c = 0 (1) YCBT pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác =– ≠0 ∆ > 0 + + ≠ 0 (giải tìm m, he he ) Phương pháp: Tìm TXĐ Chia tử cho mẫu ta được: y = a + Xét từng trường hợp: Cx + D là ước số của b Lần lượt tìm được: x nguyên y nguyên điểm có tọa độ nguyên Kết luận: Dạng 31: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (C) và đt (d): y = g(x) chứa tham số m. Định m để (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)? Dạng 32: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (C) và đt (d): y = g(x) chứa tham số m. Định m để (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc 1 nhánh của đồ thị (C)? Phương pháp: Lập PTHĐGD của (C) và (d): Ax ( ) B g x Cx D (≠− ) Thu gọn được 1 pt: ax 2 + bx + c = 0 (1) YCBT pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và x 1 < = − < x 2 ( ) < 0 với g(x) = ax 2 + bx + c ( + + ) < 0 (Giải tìm m – have fun ) Phương pháp: Lập PTHĐGD của (C) và (d): Ax ( ) B g x Cx D (≠− ) Thu gọn được 1 pt: ax 2 + bx + c = 0 (1) YCBT pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và < < = − hay − = < < ⟺ ≠0 ∆> 0 . ( ) > 0 với g(x) = ax 2 + bx + c ⟺ ≠0 ∆ > 0 . ( + + ) > 0 Các dạng CHUNG cho các hàm số được học trong chương trình CÁC BÀI TOÁN CĂN BẢN VỀ: VIẾT PTTT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dạng 33: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp điểm M 0 (x 0 ;y 0 ). Dạng 34: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết hoành độ tiếp điểm x 0 . Phương pháp: PTTT có dạng: y – y 0 = f’(x 0 )(x – x 0 ) (1) Ta có: x 0 = ; y 0 = Tìm y’ = f’(x) f’(x 0 ) Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT Phương pháp: PTTT có dạng: y – y 0 = f’(x 0 )(x – x 0 ) (1) Ta có: x 0 = y 0 = Tìm y’ = f’(x) f’(x 0 ) Thay vào (1) và thu g ọ n ta đư ợ c PTTT Dạng 35: Cho hàm số y = f(x) (*) có đồ thi (C). Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tung độ tiếp điểm y 0 . Dạng 36: Cho hàm số y = f(x) có đồ thi (C). Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết hệ số góc k của tiếp tuyến. Phương pháp: PTTT có dạng: y – y 0 = f’(x 0 )(x – x 0 ) (1) Phương pháp: PTTT có dạng: y – y 0 = k(x – x 0 ) (1) CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 8 Ta có: y 0 = thay vào (*) x 0 = Tìm y’ = f’(x) f’(x 0 ) Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT Tìm y’ = f’(x) Lập pt: f’(x) = k ( giải phương trình này tìm được x = x 0 .) y = y 0 . Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT. Dạng 37: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp tuy ế n song song v ớ i đư ờ ng th ẳ ng (d): y = ax + b. Dạng 38: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp tuy ế n vuông góc v ớ i đư ờ ng th ẳ ng (d): y = ax + b. Phương pháp: Do tt song song với (d): y = ax + b hệ số góc của tiếp tuyến k = a. PTTT có dạng: y – y 0 = k(x – x 0 ) (1) Tìm y’ = f’(x) Lập pt: f’(x) = k ( giải phương trình này tìm được x = x 0 .) y = y 0 . Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT. Phương pháp: Do tt song song với (d): y = ax + b hệ số góc của tiếp tuyến k = − . PTTT có dạng: y – y 0 = k(x – x 0 ) (1) Tìm y’ = f’(x) Lập pt: f’(x) = k ( giải phương trình này tìm được x = x 0 .) y = y 0 . Thay vào (1) và thu g ọ n ta đư ợ c PTTT. Dạng 39: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x A ;y A ). Dạng 40: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp tuyến đi qua điểm có hoành độ thỏa phương trình: f'’(x) = 0 hay f’’(x) = b ( *) . Phương pháp: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến đi qua A PTTT có dạng: y = k(x – x A ) + y A (*) Lập hệ phương trình: ( ) = ( − ) + (1) ( ) = (2) giải hệ pt này bằng cách thay (2) vào (1) Tìm được x = k = (có thể có nhiều x, nhiều k) Thay k vào (*) đ ể k ế t lu ậ n Phương pháp: tìm f’(x) , f’’(x), thay vào pt (*) giải tìm x = x 0 y = y 0 và f’(x 0 ) = Thay x 0 , y 0 f’(x 0 ) vào dạng PTTT y – y 0 = f’(x 0 ) (x – x 0 ) BÀI TOÁN: BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Dạng 41: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) (dạng này thường là hàm số bậc 3, trùng phương) . Biện luân phương trình: g(x,m) = 0 (*) Dạng 42: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) (dạng này thường là hàm số bậc 3, trùng phương) . Biện luân phương trình: g(x,m) = 0 (*) Phương pháp: Biến đổi phương trình đề cho (*) về dạng: g(x,m) = 0 (*) f(x) = m (vế trái đúng bằng hàm số có đồ thị (C) Đặt y = f(x) có đồ thị là (C) Đặt y = m có đồ thị là 1 đường thẳng (d) nằm ngang Lập bảng biện luận ( gồm 3 cột) Chú ý: dùng các giá trị y CĐ và y CT để biện luận Phương pháp: Biến đổi phương trình đề cho (*) về dạng: g(x,m) = 0 (*) f(x) = h(m) (vế trái đúng bằng hàm số có đồ thị (C) Đặt y = f(x) có đồ thị là (C) Đặt y = h(m) có đồ thị là 1 đường thẳng (d) nằm ngang Lập bảng biện luận ( gồm 4 cột) Chú ý: biện luận theo cột h(m) trước. xong rồi từ cột h(m) suy ra cột m m Số giao điểm của (C) và (d) Số nghiệm của pt (*) m h(m) Số giao điểm của (C) và (d) Số nghiệm của pt (*) CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 9 BÀI TOÁN: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT & GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ Dạng 43: Cho hàm số bậc nhất: y = f(x) = ax + b. Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên [a;b]. Dạng 44: Cho hàm số bậc hai: y = ax 2 + bx + c. Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên [a;b]. Phương pháp: (So sánh f(a) và f(b) để chọn Max, Min) Nếu a > 0 hàm số luôn tăng trên ℝ hàm số tăng trên [a;b] [ ; ] [ ; ] ax ( ), ( ) x a b x a b M y f b Miny f a Nếu a < 0 hàm số luôn giảm trên ℝ hàm số giảm trên [a;b] [ ; ] [ ; ] ( ), ax ( ) x a b x a b Miny f b M y f a Chú ý: ≥ ( ) ,∀∈[;] ⟺ ≥() ≥() ≤ ( ) , ∀ ∈ [ ; ] ⟺ ≤ ( ) ≤ ( ) Phương pháp: (So sánh f(a), f(b)và ( − ) để chọn Max, Min) Nếu [a;b]: [ ; ] [ ; ] ax ax{ ( ); ( )} , { ( ); ( )} x a b x a b M y M f b f b Miny Min f b f b Nếu [a;b]: [ ; ] [ ; ] ax ax{ ( ); ( ); ( )} , 2 { ( ); ( ); ( )} 2 x a b x a b b M y M f b f b f a b Miny Min f b f b f a Chú ý: x = -b/2a là hoành độ đỉnh của parabol. Dạng 45: Cho hàm số y = f(x). Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên [a;b]. (phương pháp chung sử dụng đạo hàm) Dạng 46: Cho hàm số y = f(x). Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên (a;b). (phương pháp chung sử dụng đạo hàm) Phương pháp: Xét hàm số trên [a;b] Tìm y’ và cho y’ = 0 giải tìm nghiệm x 1 , x 2 thuộc [a;b] (các nghiệm không thuộc [a;b] bị loại ) Tính các giá trị f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ) , và so sánh và kết luận - GTLN của hàm số là: M = tại x = ( [ ; ] ax x a b M y tại x = ) - GTNN của hàm số là: m = tại x = ( [ ; ]x a b Miny tại x = ) Phương pháp: Xét hàm số trên (a;b). Tìm y’ và cho y’ = 0 giải tìm nghiệm (nếu có) Lập BBT của hàm số trên (a;b) Dựa vào BBT để kết luận - GTLN của hàm số là: M = tại x = ( ( ; ) ax x a b M y tại x = ) - GTNN của hàm số là: m = tại x = ( ( ; )x a b Miny tại x = ) BÀI TOÁN: CHỨNG MINH SỰ ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ ( TRỤC ĐX – TÂM ĐX) Dạng 47: Cho hàm số y = f(x). CMR đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung Oy Dạng 48: Cho hàm số y = f(x). CMR đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng x = a (song song trục tung) Phương pháp: (CM hàm số y = f(x) là hàm số chẵn) Tìm TXĐ D ( xác nhận tập D là tập đối xứng: x D -x D) Tính f(-x) = = f(x) Kết luận hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nên có Phương pháp: Dùng công thức đổi trục bằng phép tịnh tiến theo vec tơ ⃗ = ( ; 0 ) : = − = (*) Thay (*) vào biểu thức y = f(x) và rút gọn thành Trường hợp này luôn tìm được GTLN và GTNN c ủ a hàm s ố Trường hợp này GTLN, GTNN của hàm số có th ể không t ồ n t ạ i CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ đồ thị đối xứng qua trục tung Oy. Y = g(X). (rồi CM hàm số Y = g(X) là hàm số chẵn) Tìm TXĐ D của hàm số Y = g(X) ( xác nhận tập D là tập đối xứng: X D -X D) Tính g(-X) = = g(X) Kết luận hàm số Y = g(X) có đồ thị đối xứng qua đường thẳng x = a. Dạng 49: Cho hàm số y = f(x). CMR đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O. Dạng 50 : Cho hàm số y = f(x). CMR đồ thị hàm số đối xứng qua điểm I(a;b). ( Điểm I có thể là giao điểm của 2 tiêm cận, hoặc 1 điểm I(a;b) cho trước nào đó) Phương pháp: (CM hàm số y = f(x) là hàm số lẻ) Tìm TXĐ D ( xác nhận tập D là tập đối xứng: x D -x D) Tính f(-x) = = - f(x) Kết luận hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O. Phương pháp: Dùng công thức đổi trục bằng phép tịnh tiến theo vec tơ : (*) Thay (*) vào biểu thức y = f(x) và rút gọn thành Y = g(X). (rồi CM hàm số Y = g(X) là hàm số lẻ) Tìm TXĐ D của hàm số Y = g(X) ( xác nhận tập D là tập đối xứng: X D -X D) Tính g(-X) = = - g(X) Kết luận hàm số Y = g(X) có đồ thị đối xứng qua đường thẳng điểm I(a;b). BÀI TOÁN: VỀ ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ - ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA 1 HỌ ĐƯỜNG (Cm) Dạng 51: Cho hàm số y = f(x,m) (*) có đồ thị (Cm). Tìm các giá trị của tham số m sao cho đồ thị (Cm) đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ). Dạng 52: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (Cm). Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm). Phương pháp: Thay tọa độ điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) vào (*) ta được phương trình ẩn số m: y 0 = f(x 0 ,m) Giải pt tìm m Kết luận Phương pháp: Gọi M 0 (x 0 ;y 0 ) là điểm cố định của họ (Cm) ( tức là thuộc (Cm) với mọi m) Biến đổi và thu gọn theo ẩn số m ta được 1 trong các dạng phương trình sau: Cho tất cả các hệ số a,b,c bằng không ta được 1 hệ phương trình theo x 0 ; y 0 . Giải tìm x 0 , y 0 và kết luận theo từng cặp (x 0 ;y 0 ) x y O . DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 2 HƯỚNG DẪN TỪNG BƯỚC - 52 DẠNG TOÁN Trong các bài toán khảo sát hàm số (. hay các dạng hàm số khác Dạng này được áp dụng hoàn toàn tương tự cho hàm số trùng phương y = Ax 4 + Bx 2 + C hay các dạng hàm số khác CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN. Nếu hàm số trở thành y = Bx 2 + Cx + D (B0) (không thỏa đề - vì hàm số bậc 2 luôn chỉ có 1 cực trị) Nếu hàm số trở thành CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO