NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN HÌNH HỌC TRONG CÁC BÀI TOÁN THUỘC HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH

Đề tài : NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN HÌNH HỌC TRONG CÁC BÀI TOÁN THUỘC HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH Bố cục của luận văn gồm 3 chương. Nội dung tóm tắt của các chương được trình bày như sau: Chương 1 sẽ trình bày lại một số khái niệm cơ bản của hệ thống động học tuyến tính theo quan niệm lý thuyết điều khiển cổ điển nhằm cung cấp một cái nhìn toàn diện trước khi thực hiện việc áp dụng cái nhìn mới của phương pháp tiếp cận hình học trong nghiên cứu. Các khái niệm nền tảng của phương pháp tiếp cận hình học chẳng hạn như các định lý, tính chất hệ quả được trình bày trong chương 2. Chương 3, từ các khái niệm cơ bản của phương pháp tiếp cận hình học đề cập trong chương 2, chúng ta sẽ lần lượt xem xét các bài toán điều khiển dưới cái nhìn mới.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG VIỆT NAM HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG NGUYỄN THỊ HỒNG HUỆ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN HÌNH HỌC TRONG CÁC BÀI TOÁN THUỘC HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành đến giáo viên hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Ngọc San, người đã tận tình chỉ bảo tôi trong định hướng nghiên cứu, đề xuất các ý tưởng và giúp đỡ về mặt phương pháp luận cũng như việc kiểm tra cuối cùng đối với luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, Lãnh đạo khoa Quốc tế và Đào tạo Sau đại học và các đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu và tạo điều kiện giúp tôi trong công tác để tôi có thời gian thực hiện việc học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới bố mẹ và dành tình cảm tới chồng tôi, người động viên về tinh thần và hỗ trợ nhiều về mặt khoa học. NGUYỄN THỊ HỒNG HUỆ MỤC LỤC Trang MỤC LỤC 2 THUẬT NGỮ, CHỮ VIẾT TẮT 3 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 5 LỜI NÓI ĐẦU 6 CHƯƠNG 1 KHÁI NIỆM HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH 9 I.1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ THUẬT NGỮ CƠ BẢN 9 I.2. CÁC ĐỊNH NGHĨA TỔNG QUAN CỦA HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH 11 I.3. KHÁI NIỆM ĐIỀU KHIỂN VÀ QUAN SÁT KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 13 I.4. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH 18 I.5. CÁC BÀI TOÁN TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG 25 CHƯƠNG II CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÌNH HỌC TRONG PHÂN TÍCH HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH 28 II.1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN CON 28 II.2. TÍNH BẤT BIẾN, KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN 30 II.3. KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC 36 II.4. KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN 38 II.5. KHÔNG GIAN CON CÓ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC 39 II.6. KHÔNG GIAN CON CÓ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC LỚN NHẤT 48 II.7. KHÔNG GIAN CON CÓ THỂ QUAN SÁT ĐƯỢC 52 CHƯƠNG III ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỦA HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH 54 III.1. VẤN ĐỀ TÁCH NHIỄU 54 III.2. PHÂN TÁCH TÍN HIỆU NHIỄU VỚI PHÂN BỐ GIÁ TRỊ RIÊNG 60 III.3. ĐIỀU KHIỂN KHÔNG TƯƠNG TÁC 63 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 THUẬT NGỮ, CHỮ VIẾT TẮT A- CÁC CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG VÀ VIẾT TẮT Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt ∀ For all Với mọi ∋ Such that Thỏa mãn ∃ there exists Tồn tại ⇒ implies Nghĩa là, hàm ý ⇔ implies and is implied by Bao hàm và kéo theo bởi : = equal by definition Bằng theo định nghĩa A , X sets or vector spaces Tập hoặc các không gian véctơ a, x elements of sets or vectors Các phần tử của tập hoặc của các véctơ ∅ the empty set Tập rỗng { } i x the set whose elements are i x Tập gồm các phần tử là i x f A , f X function spaces Không gian hàm ∈ belonging to Thuộc ⊂ contained in Chứa trong ⊆ contained in or equal to Chứa trong hoặc bằng với ⊃ containing Chứa trong ⊇ containing or equal to Chứa trong hoặc bằng với ⊕ direct sum Tổng trực tiếp B the set of binary symbols 0 and 1 Tập số nhị phân 0 và 1 ¥ the set of all natural integers Tập các số tự nhiên nguyên ¢ the set of all integer numbers Tập các số nguyên ¡ the set of all real numbers Tập các số thực £ the set of all complex numbers Tập các số phức n ¡ the set of all n-tuples of real numbers Tập các số thực n chiều 0 1 [ ]t ,t a closed interval Khoảng đóng 0 1 [ )t ,t A right open interval Khoảng mở phải (.)f a time function Hàm thời gian (.)f & the first derivative of function (.)f Đạo hàm đầu tiên của hàm (.)f ( )f t The value of (.)f at t Giá trị của (.)f tại thời điểm t 0 1 ( )t ,t f | a segment of (.)f Một đoạn của (.)f j the imaginary unit Đơn vị ảo n x|| || the n-norm of vector x Trị chuẩn n của véctơ x x,y the inner or scalar product of vectors x and y Tính nội hay tính vô hướng của véctơ x và y { } i span x the span of vectors { } i x Khoảng không gian phát triển của véctơ { } i x dimX the dimension of subspace X Chiều của không gian con X ⊥ X the orthogonal complement of subspace X Phần bù trực giao của không gian con X T A the transpose of A Chuyển vị của ma trận A * A the conjugate transpose of A Liên hợp chuyển vị phức của ma trận A 1 A − the inverse of A (A square nonsingular) Nghịch đảo của ma trận A A + the pseudoinverse of A (A nonsquare or singular) Tựa nghịch đảo của ma trận A ( , )x ε O The ε -neighborhood of x Lân cận ε của x Im A the image of A Ảnh của A kerA the kernel of A Nhân của A B- CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VÀ VIẾT TẮT V : Không gian con bất biến điều khiển được nói chung S : Không gian con bất biến có điều kiện nói chung Α | V : Không gian con bất biến A tối thiểu chứa không gian con V ( ) * V K : Không gian con bất biến điều khiển được lớn nhất chứa trong K DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Trang Hình 1.1: Biểu diễn dạng khối của một hệ thống 10 Hình 1.2: Phân tích một hệ động học thông thường 13 Hình 1.3: Tập các trạng thái điều khiển được 14 Hình 2.1: Mạng 0 Φ 32 Hình 2.2: Ổn định nội và ngoại của một bất biến 34 Hình 2.3: Ý nghĩa hình học của không gian con điều khiển được 37 Hình 2.4: Ý nghĩa hình học của không gian con có điều kiện ( , )A C 39 LỜI NÓI ĐẦU Cùng với lịch sử phát triển lâu đời, lý thuyết điều khiển hệ thống động học là một mảng nghiên cứu kết hợp của nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như toán học, lý thuyết hệ thống… Trong đó, sự kết hợp của các khái niệm toán học cùng các phương pháp tiếp cận đã tạo dựng được nhiều thành công trong nghiên cứu như: phương pháp tiếp cận trong miền tần số; phương pháp tiếp cận trong miền thời gian; phương pháp tần số trong miền đa thức - ma trận …Các các phương pháp tiếp cận này gặp một số nhược điểm sau: - Việc biểu diễn của các hệ thống, kể cả biểu diễn bởi hệ phương trình vi phân hay dạng ma trận tần số, chúng bao gồm các thành phần là các giá trị số cần phải được xác định một cách chính xác. - Các thuật toán kèm theo của các phân tích và tổng hợp hệ thống đều dựa trên phép tính ma trận mà không quan tâm đến việc hệ thống có cấu trúc đặc biệt hay không hoặc hệ thống có hồi tiếp hay không. - Do việc dựa vào các tính toán ma trận nên khi các hệ thống xem xét có bậc lớn và phức tạp việc giải quyết các bài toán gặp nhiều khó khăn, thậm chí trở thành phi thực tế, nhất là đối với các hệ điều khiển đòi hỏi các đáp ứng thời gian thực, bởi sự phức tạp của các tính toán. - Các bước tổng hợp hồi tiếp khi sử dụng các phương pháp nói trên chỉ thích hợp cho các hệ thống có số đầu vào, số trạng thái và số đầu ra giới hạn. Đối với các hệ thống lớn như hệ thống có sự rải rác (sparsity)…, thì các phương pháp này không thể áp dụng được. - Các phương pháp này không cung cấp được cái nhìn rõ ràng (insight) trực quan cũng như ý nghĩa vật lý thực của các biểu diễn, biến đổi và các thuật toán. - Một số phương pháp không thể áp dụng cho hệ thống đa biến MIMO. Với các nhược điểm và hạn chế kể trên việc tìm kiếm một phương pháp đơn giản, cung cấp tính thuận tiện trong phân tích biểu diễn hệ thống, đồng thời không làm mất cái nhìn và ý nghĩa trực quan của các biến đổi là cần thiết. Và phương pháp hình học là một trong các phương pháp đó. Phương pháp tiếp cận hình học gồm hai phần cốt lõi là: lý thuyết đại số và phần tính toán hay còn gọi là phần thuật toán. Phương pháp hình học được phát triển trên cơ sở toán học không phụ thuộc vào hệ tọa độ, do đó có ưu điểm đơn giản, cho phép không những đạt được những kết quả mong muốn mà còn cung cấp được cái nhìn trực quan, toàn diện về bản chất cũng như ý nghĩa vật lý rõ ràng và các thủ tục thực hiện các biến đổi. Hơn nữa, phương pháp này dễ dàng cho phép mở rộng với hệ thống MIMO bậc cao. Với các ưu điểm kể trên của phương pháp tiếp cận hình học, việc tìm hiểu, nghiên cứu và áp dụng vào việc giải quyết các bài toán điều khiển là thực sự cần thiết và là động lực cho luận văn này. Luận văn được hoàn thành với mục đích cung cấp một cái nhìn tổng quan về phương pháp tiếp cận hình học trong nghiên cứu và điều khiển hệ thống. Từ những minh họa trong việc áp dụng lý thuyết hình học vào giải một số bài toán điều khiển cổ điển điển hình nhằm tái khẳng định những nhận định về tính ưu việt của phương pháp tiếp cận hình học. Bên cạnh đó cũng muốn tìm hiểu kỹ một số hạn chế (nếu có) của phương pháp này để đề xuất những phương án khắc phục cũng như mở ra hướng nghiên cứu trong kế hoạch tiếp theo (future work). Do một số hạn chế khách quan và chủ quan nên luận văn chỉ tập trung vào hệ thống động học tuyến tính bất biến. Hệ thống tuyến tính bất biến ở đây được mặc định là hệ thống MIMO tổng quát với số đầu vào đầu ra và trạng thái xác định nào đó. Dựa trên hệ thống này, các lý thuyết và khái niệm cũng như định nghĩa nền tảng của phương pháp tiếp cận hình học như không gian con bất biến, các không quan con có thể điều khiển được … sẽ được xây dựng và áp dụng cho các bài toán điều khiển điển hình. Do sự hạn chế về không gian trình bày, một số kết quả của các định lý hoặc các hệ quả sẽ được mặc nhiên thừa nhận mà không trình bày các chứng minh. Bố cục của luận văn gồm 3 chương. Nội dung tóm tắt của các chương được trình bày như sau: Chương 1 sẽ trình bày lại một số khái niệm cơ bản của hệ thống động học tuyến tính theo quan niệm lý thuyết điều khiển cổ điển nhằm cung cấp một cái nhìn toàn diện trước khi thực hiện việc áp dụng cái nhìn mới của phương pháp tiếp cận hình học trong nghiên cứu. Các khái niệm nền tảng của phương pháp tiếp cận hình học chẳng hạn như các định lý, tính chất hệ quả được trình bày trong chương 2. Trong chương 3, từ các khái niệm cơ bản của phương pháp tiếp cận hình học đề cập trong chương 2, chúng ta sẽ lần lượt xem xét các bài toán điều khiển dưới cái nhìn mới. Phần cuối cùng sẽ là kết luận của bản luận văn này. CHƯƠNG I HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH I.6. CÁC KHÁI NIỆM VÀ THUẬT NGỮ CƠ BẢN [...]... có thể đơn giản biểu diễn bởi Qt1− (u (.), y (.) ) và Qt1+ (u (.), y (.) ) I.9 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH I.4.1 Tính ổn định Thuật ngữ tính ổn định xét trên nghĩa rộng diễn tả khả năng của một hệ thống động học đáp ứng lại với những tác động thay đổi trong một giới hạn nào đó hoặc phản ứng lại với trạng thái khởi đầu, các... điều khiển được là lớp đầu vào thay đổi một cách tùy ý và thường là không thể dự đoán được, chúng thường được gọi là tín hiệu can nhiễu (disturbances) I.7 CÁC ĐỊNH NGHĨA TỔNG QUAN CỦA HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH Trước khi đưa ra các khái niệm chúng ta quy định một số ký hiệu toán học như sau: T : biểu diễn tập thời gian; đầu vào; X U : biểu diễn tập đầu vào;... tập có thể tiếp cận được tại thời điểm - Wt1+ ( x ) - - (0, x) từ sự kiện : Biểu diễn tập có thể tiếp cận được tại bất cứ thời điểm nào trong khoảng thời gian R t− ( x ) 1 t = t1 [0, t1 ] (0, x ) từ sự kiện : Biểu diễn tập có thể điều khiển được tới x tại thời điểm t = t1 từ thời điểm khởi đầu 0 Wt1− ( x ) - : Biểu diễn tập có thể điều khiển được đến trạng thái x tại bất kỳ thời điểm nào trong khoản... toán học cho hệ thống, việc phân định, nghiên cứu các thuộc tính của hệ thống, và áp dụng những nghiên cứu này trong việc giải quyết các bài toán khoa học kỹ thuật Một hệ thống tổng quát có thể được biểu diễn bởi một khối và các biến số của nó trong liên kết với môi trường và các hệ thống khác như hình 1.1 Trong quá trình xây dựng mô hình toán... thể quan sát được, chúng ta có một số điểm sau TÍNH CHẤT 1.4.3: Một hệ thống tuyến tính hoàn toàn quan sát trong khoảng thời gian [t0 , t1 ] cũng là một hệ thống có thể tái tạo được trong khoảng thời gian đó Điều này cũng đúng trong trường hợp ngược lại đối với trường hợp hệ thống tuyến tính liên tục TÍNH CHẤT 1.4.4: Một hệ thống tuyến tính hoàn toàn... đạt được bởi vì mô hình toán học cho hệ thống thuần túy đại số khá đơn giản là một hàm và dễ dàng mở rộng được cho với hệ thống tổng quát Hình 1.2: Phân tích một hệ động học thông thường TÍNH CHẤT 1.2.1: (Khái niệm trạng thái) Trạng thái của một hệ động học là một thành phần (của một tập hợp còn được gọi là tập trạng thái) mà đối tượng thay đổi... động học ∑ hoặc hệ thống mở rộng của chính nó ∑, được gọi là có thể tiếp cận được hoàn toàn từ sự kiện khoảng thời gian [t0 , t1 ] nếu (t0 , x) điều khiển được từ sự kiện W − (t0 , t1 , x ) = X W + (t0 , t1 , x ) = X trong khoảng thời gian (t0 , x) trong , và hoàn toàn [t0 , t1 ] nếu Trong các hệ thống bất biến theo thời gian, , thời điểm R − (t0 , t1 , x ) t0... nhiên, sự phân biệt này có thể khá phức tạp trong một số trường hợp Hình 1.1: Biểu diễn dạng khối của một hệ thống Các hệ thống có thể chia thành hai lớp chính: hệ thống không có nhớ hay còn gọi là hệ thống thuần túy đại số ; hệ thống có nhớ hay còn gọi là hệ thống động học Hệ thống không có nhớ là hệ thống trong đó giá trị của các biến đầu ra ở... nên khá phổ biến và được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như điều khiển, xử lý số liệu, công nghệ sinh học… và khiến chúng được hiểu theo hàm nghĩa liên quan đến lĩnh vực được sử dụng Do đó, thấy cần có một định nghĩa rõ ràng phù hợp với việc nghiên cứu trong luận văn này Trước hết, thuật ngữ hệ thống hay hệ được dùng để diễn tả một đối tượng,... trạng thái [t0 , t1 ] x1 trong khoảng thời gian F (.) BỔ ĐỀ 1.4.2: Gọi là một ma trận kích thước n×m phần của nó là các hàm cặp tuyến tính trong khoảng thời gian trị thuộc tập và ¡ trong đó các thành [t0 , t1 ] với các giá m Đẳng thức: F T (t ) x = 0 ∀t ∈ [t0 , t1 ] (1.26) thỏa mãn nếu vào chỉ nếu G (t0 , t1 ) x ∈ kerG (t0 , t1 ) , trong đó biểu diễn ma trận . biến đổi. Hơn nữa, phương pháp này dễ dàng cho phép mở rộng với hệ thống MIMO bậc cao. Với các ưu điểm kể trên của phương pháp tiếp cận hình học, việc tìm hiểu, nghiên