Luận văn dáng điệu nghiệm của hệ động lực tuyến tính và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - THÂN THU PHƯƠNG DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - THÂN THU PHƯƠNG DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015 Mục lục Nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 1.1 Khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh số tính chất sơ cấp nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số tính chất sơ cấp nửa nhóm liên tục mạnh 1.2 Khái niệm toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh tính chất 1.2.1 Khái niệm toán tử sinh 1.2.2 Các tính chất toán tử sinh 1.2.3 Một vài biểu thức liên quan đến giải toán tử sinh 1.3 Các định lý toán tử sinh nửa nhóm 1.4 Một số dạng đặc biệt nửa nhóm liên tục mạnh 1.4.1 Nửa nhóm liên tục 1.4.2 Nửa nhóm tích phân Bài toán nhiễu nửa nhóm liên tục mạnh 2.1 Khái niệm họ toán tử tiến hóa số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu đường thẳng thực số mô hình đơn loài 2.2.1 Mô hình quần thể tăng trưởng theo hàm mũ (Malthus, 1798) 2.2.2 Mô hình quần thể tăng trưởng Logistic (Verhulst, 1838) 2.3 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra đơn giản 2.4 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra với loài mồi tăng trưởng Logistic 2.5 Nhiễu bị chặn nửa nhóm liên tục mạnh 2.6 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz 2.7 Nhiễu tuyến tính phương trình tiến hoá họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh 2.8 Một số ví dụ minh họa 2.8.1 Giới thiệu toán 2.8.2 Các ví dụ 4 7 12 15 21 21 25 28 28 38 38 39 40 43 45 48 54 56 56 58 Mở Đầu Lý thuyết hệ động lực khởi xướng nhà toán học Pháp Henri Poincare cách kỷ Ngày nay, phát triển mạnh mẽ trở thành lĩnh vực quan trọng toán học Lý thuyết hệ động lực liên quan tới hầu hết ngành khoa học khác ứng dụng rộng rãi đời sống ngày Để có khái niệm sơ lược hệ động lực ta bắt đầu làm quen với định nghĩa sau Ký hiệu R đường thẳng thực, M không gian Metric, giả sử S tập mở M Ta thường ký hiệu φ : R × S → M φ = φ(t, x) (hay φ = φt x ) ánh xạ φ nhóm phụ thuộc tham số tức là: (a) φt=0 : S → S ánh xạ đồng (b) φt φs = φt+s , với s, t ∈ R Như biết hầu hết vấn đề liên quan tới toán học trừu tượng mà ứng dụng ngành khoa học tự nhiên đến nghiên cứu tính chất hệ động lực tập nghiệm phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng Bài toán mà đề cập đến Luận văn "Dáng điệu nghiệm hệ phương trình động lực tuyến tính số ứng dụng" chủ yếu tìm hiểu trình bày lại vài vấn đề phương pháp hệ động lực tuyến tính khả ứng dụng thực tế Cụ thể phương pháp nửa nhóm bị nhiễu để nghiên cứu phương trình tiến hóa Tuy nhiên lĩnh vực trừu tượng đa dạng khuôn khổ luận văn thạc sĩ dành quan tâm nhiều cho việc xây dựng ví dụ minh họa cho phương pháp nửa nhóm vài ứng dụng lý thuyết nhiễu số mô hình quần thể sinh học quen thuộc Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày định nghĩa, tính chất nửa nhóm liên tục mạnh số định lý quan trọng toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh Để hoàn thành nội dung chương tham khảo tài liêu [1], [2],[6], [7], [8], [9], [10], [12], [14] Chương hai trình bày toán nhiễu nửa nhóm, định nghĩa tính chất họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt ứng dụng toán nhiễu mô hình quần thể đa loài Để hoàn thành nội dung chương tham khảo tài liêu [11], [17], [18], [19], [23], [25], [26] Bản luận văn thực hướng dẫn PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy cô khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cám ơn thầy bạn seminar Phương trình vi phân động viên ý kiến trao đổi quí báu thân thời gian qua Cuối muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận góp ý quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Thân Thu Phương Chương Nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 1.1 Khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh số tính chất sơ cấp nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Một họ (T (t))t≥0 toán tử tuyến tính bị chặn không gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm ) thỏa mãn điều kiện sau: T (t + s) = T (t)T (s) với t, s ≥ T (0) = I lim T (t)x = T (t0 )x với x ∈ X, t ≥ t→t0 Ví dụ 1.1 Xét nửa nhóm (T (t))t≥0 không gian C0 = C0 (R), xác định C0 (R) = {f ∈ C(R) : lim f (s) = 0} s→±∞ Với chuẩn ||f || = sup |f (s)| Ta có (C0 , ||.||) không gian Banach s∈R ∀t ≥ 0, ta định nghĩa: (Tl (t)f )(s) = f (t + s) ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R (Tr (t))f (s) = f (s − t) ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R Và Khi (Tr (t))t≥0 (Tl (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh C0 , gọi tương ứng nửa nhóm dịch chuyển phải trái C0 Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường hợp nửa nhóm dịch chuyển phải chứng minh tương tự • Ta chứng minh (Tl (t)) nửa nhóm Thật vậy: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0 , s ∈ R, ta có (Tl (t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl (t)f )(h + s) = (Tl (t)Tl (h))f (s) suy Tl (t + h) = Tl (t)Tl (h) • Ta chứng minh (Tl (t))t≥0 liên tục mạnh Thật vậy, ta cần rằng, ∀f ∈ C0 lim ||Tl (t)f − f || = lim sup |f (t + s) − f (s)| = t→0+ t→0+ s∈R Vì f ∈ C0 suy f liên tục R tồn giới hạn lim f (s) = 0, s→±∞ nên f liên tục R Do ∀ > 0, ∃δ > cho: ∀s1 , s2 : |s1 − s2 | < δ Khi ∀t : ≤ t < δ, |t + s − s| < δ, ∀s ∈ R, ta có |f (t + s) − f (s)| < Suy sup |f (t + s) − f (s)| ≤ suy : |f (s1 ) − f (s2 )| < ∀s ∈ R ∀t : ≤ t < δ s∈R Vậy theo định nghĩa giới hạn ta có lim sup |f (t + s) − f (s)| = t→0+ s∈R Vậy (Tl (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.2 Một số tính chất sơ cấp nửa nhóm liên tục mạnh Bổ đề 1.1 Giả sử X không gian Banach F hàm từ tập compact K ⊂ R vào L(X) Khi khẳng định sau tương đương (a) F toán tử tôpô liên tục mạnh; tức là, ánh xạ K t → F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X (b) F bị chặn K, ánh xạ K t → F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ D ⊂ X, D trù mật X (c) F liên tục tôpô hội tụ tập compact X ; tức là, ánh xạ K × C (t, x) → F (t)x ∈ X liên tục tập compact C X Định lý 1.1 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 không gian Banach X Khi tính chất sau tương đương (a) (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh (b) lim T (t)x = x ∀x ∈ X + t→0 (c) Có số δ > 0, M ≥ tập trù mật D ⊂ X thỏa mãn i ||T (t)|| ≤ M ∀t ∈ [0, δ], ii lim T (t)x = x ∀x ∈ D + t→0 Chứng minh +) Chứng minh (a) ⇒ (c.ii) Vì (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach, nên lim T (t)x = T (0)x = x t→0+ ∀x ∈ D (D trù mật X ) +) Chứng minh (a) ⇒ (c.i) Giả sử ngược lại, tức tồn dãy (δn )n∈N ⊂ R+ hội tụ đến thỏa mãn ||T (δn )|| → ∞ n → ∞ Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn x ∈ X thỏa mãn (||T (δn )x||)n∈N không bị chặn Điều mâu thuẫn với T (.)x liên tục t = (do (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh) +) Chứng minh (c) ⇒ (b) Đặt K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} với dãy (tn )n∈N ⊂ [0, ∞) hội tụ đến Khi K ⊂ [0, ∞) compact, T (.)|K x liên tục ∀x ∈ D Do áp dụng bổ đề 1.1 (b) ta T (.)|K x liên tục ∀x ∈ X, tức là: lim T (tn )x = x n→∞ ∀x ∈ X Vì (tn )n∈N chọn tùy ý nên (b) chứng minh +) Chứng minh (b) ⇒ (a) Giả sử t0 > x ∈ X Khi lim ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 )||.|| lim ||T (h)x − x|| = 0, h→0+ h→0+ suy (T (t))t≥0 liên tục phải Nếu h < ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x|| dẫn đến tính liên tục trái, ||T (t)|| bị chặn ∀t ∈ [0, t0 ] Vậy (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh Định lý 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Khi có số w ∈ R M ≥ thỏa mãn: ||T (t)|| ≤ M ewt ∀t > (1.1) Chứng minh Chọn M ≥ thỏa mãn ||T (s)|| ≤ M ∀0 ≤ s ≤ Với t ≥ lấy t = s + n, ∀n ∈ N ≤ s < Khi đó: ||T (t)|| = ||T (s + n)|| = ||T (s).T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (1)||n ≤ M n+1 = M en ln M ≤ M ewt với w = ln M t ≥ Ví dụ 1.2 Theo đinh lý (1.2) ta có ω < +∞ ω0 = −∞ Chẳng hạn: Trong không gian L1 , ta xét nửa nhóm tịnh tiến trái xác định bởi: [0;1] T (t)f (s) = f (t + s) s + t ≤ s + t > Ta có: T (t) = 0, ∀t > 1 Với t thỏa mãn ≤ t ≤ 1, ||T (t)|| ≤ ||T (t)f || = || T (t)f (s)ds|| ≤ ||f || Suy ||T (t)|| ≤ Với ω < cố định, chọn M cho M ≤ e−ω Khi đó: ||T (t)|| < ≤ M.eω ≤ M.eωt , ∀t ≥ Vậy ω0 = −∞ 1.2 Khái niệm toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh tính chất 1.2.1 Khái niệm toán tử sinh Để xây dựng khái niệm toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1.2 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh phần tử x ∈ X Đối với quỹ đạo ánh xạ ξx : t → T (t)x, tính chất sau tương đương (a) ξx (.) khả vi R+ (b) ξx (.) khả vi bên phải t = Định nghĩa 1.2 Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 không gian Banach X toán tử Ax = ξ˙x (0) = lim+ (T (h)x − x), h→0 h (1.2) xác định với x miền xác định D(A) = {x ∈ X : ξx khả vi R+ } (1.3) Theo bổ đề 1.2, ta thấy miền xác định D(A) tập tất phần tử x ∈ X mà ξx (.) khả vi bên phải t = Do D(A) = {x ∈ X : lim+ (T (h)x − x) tồn tại} h→0 h (1.4) Miền D(A) không gian vector ký hiệu toán tử sinh (A, D(A)) Chúng ta thường viết A coi miền xác định cho (1.4) 1.2.2 Các tính chất toán tử sinh Giả sử T (t)t≥0 toán tử liên tục mạnh toán tử sinh (A, D(A)), ta đặt: t y(t) = t t ξx (s)ds = t T (s)xds, ∀x ∈ X, t > 0 Do lim T (t)x = x nên với ε > 0, tồn số δ > cho với < t < δ ta + t→0 có ε ||T (t)x − x|| < Mặt khác theo định nghĩa tích phân xác định với ε > tồn phân hoạch đoạn [0, t] cho: t n T (s)xds − T (αi )x∆si i=1 ε < t, αi ∈ [si−1 , si ] (i = 1, n) cho ||u|| < c, ||v|| < c t ∈ [0, t ] ta có: M (t0 ) = max {||T (t)||}, N (t0 ) = 0≤t≤t0 +1 max {||f (t, 0)||} K(t0 ) = 2||u0 ||M (t0 ) 0≤t≤t0 +1 Thật vậy, xét ánh xạ F : [t0 , T ] × X → X cho t (F u)(t) = T (t − t0 )u0 + T (t − s)f (s, u(s))ds, t0 ≤ t ≤ T (2.41) t0 Đặt t1 = t0 + δ(t0 , ||u0 ||) với δ(t0 , ||u0 ||) cho (2.40) Ánh xạ F xác định (2.36) ánh xạ từ hình cầu bán kính K(t0 ) tâm C([t0 , t1 ] : X) vào Điều suy từ đánh giá sau t ||(F u)(t)|| ≤ M (t0 )||u0 || + ||T − s||(||f (s, u(s)) − f (s, 0)|| + ||f (s, 0)||)ds t0 ≤ M (t0 )||u0 || + M (t0 )K(t0 )L(K(t0 ), t0 + 1)(t − t0 ) + M (t0 )N (t0 )(t − t0 ) ≤ M (t0 ){||u0 || + K(t0 )L(K(t0 ), t0 + 1)(t − t0 ) + N (t0 )(t − t0 )} Từ cách xác định δ(t0 , ||u0 ||) t1 ta có ||(F u)(t)|| ≤ 2M (t0 )||u0 || = K(t0 ) Trong hình cầu này, F thỏa mãn điều kiện Lipschitz với số L = L(K(t0 ), t0 + 1) chứng minh định lý 2.5, thiết phải có điểm bất động u hình cầu Điểm bất động nghiệm (2.34) đoạn [t0 , t1 ] Từ thấy u nghiệm đủ tốt (2.39) xác định đoạn [0, τ ] mở rộng khoảng xác định khoảng [0, τ + δ] với δ > 0, cách xác định [τ, τ + δ], nghiệm u(t) = w(t), với w(t) nghiệm phương trình tích phân t w(t) = T (t − τ )u(τ ) + T (t − s)f (s, w(s))ds, τ ≤ t ≤ t + δ, (2.42) τ cần ý δ phụ thuộc vào ||u(τ )||, K(τ ) N (τ ) Giả sử [0, tmax ] khoảng cực đại mà nghiệm đủ tốt phương trình (2.39) tồn Nếu tmax < ∞ lim ||u(t)|| = ∞ ngược lại t→tmax tn → t− max ta có ||u(tn )|| ≤ c với n Điều kéo theo kết sau đây, với tn đủ gần tmax , u định nghĩa [0, tn ] mở rộng tới [0, tn + δ] δ > độc lập với n Khi u mở rộng vượt qua khỏi tmax mâu thuẫn với định nghĩa tmax Để chứng minh tính nghiệm đủ tốt địa phương u phương trình (2.39), ý v nghiệm đủ tốt (2.39) đoạn đóng [0, t0 ] hai nghiệm u, v tồn 51 chúng đồng với nhau, để điều ta có sử dụng lý luận tương tự chứng minh định lý 2.5 Hơn nữa, u v có tmax u ≡ v [0, tmax ] Định lý chứng minh Nói chung, hàm f thỏa mãn định lý 2.5 định lý 2.6 nghiệm đủ tốt (2.34) nghiệm cổ điển nghiệm mạnh (2.34) Định lý sau cho ta điều kiện đủ tốt (2.34) nghiệm cổ điển Định lý 2.7 Giả sử −A toán tử sinh C0 - nửa nhóm (T (t)) X Khi f : [t0 , T ] × X → X khả vi liên tục từ [t0 , T ] × X vào X nghiệm đủ tốt (2.34) với u0 ∈ D(A) nghiệm cổ điển toán với giá trị ban đầu Chứng minh Trước tiên ý từ tính khả vi liên tục hàm f : [t0 , T ] × X → X kéo theo f liên tục theo t liên tục Lipschitz theo u t đoạn [t0 , T ] Từ định lý 2.5 ta suy toán với giá trị ban đầu (2.34) có nghiệm đủ tốt u đoạn [t0 , T ] Tiếp theo nghiệm đủ tốt u khả vi liên tục [t0 , T ] ∂ f (s, u) ∂u Thật vậy, f : [t0 , T ] × X → X nên ta lấy B(s) = t T (t − s) g(t) = T (t − t0 )f (t0 , u(t0 )) − AT (t − t0 )u0 + t0 ∂ f (s, u(s))ds ∂s (2.43) Từ giả thiết định lý 2.7 ta suy g ∈ C([t0 , T ] : X) hàm h(t, u) = B(t)u hàm liên tục theo t từ [t0 , T ] vào X Hơn hàm s → B(s) liên tục từ [t0 , T ] vào B(X) nên h(t, u) liên tục Lipschitz theo u Giả sử w nghiệm phương trình tích phân t T (t − s)B(s)w(s)ds w(t) = g(t) + (2.44) t0 Theo chứng minh định lý 2.5 phương trình (2.44) có nghiệm w ∈ C([t0 , T ] : X) Mặt khác từ giả thiết tính khả vi liên tục hàm f : [t0 , T ] × X → X ta có f (s, u(s + h)) − f (s, u(s)) = B(s)(u(s + h) − u(s)) + ω1 (s, h) (2.45) ∂ f (s, u(s + h))h + ω2 (s, h), ∂s (2.46) f (s, u(s + h)) − f (s, u(s)) = h−1 ||ωi (s, h)|| → với h → [t0 , T ] với i = 1, Ký hiệu ωh (t) = h−1 (u(t + h) − u(t)) − w(t) từ định nghĩa u, (2.44), 52 (2.45) (2.46) ta có wh (t) = [h−1 (T (t + h − t0 )u0 − T (t − t0 )u0 ) + AT (t − t0 )u0 ] t + h T (t − s)(ω1 (s, h) + ω2 (s, h))ds t0 t T (t − s) + t0 + h ∂ ∂ f (s, u(s + h)) − f (s, u(s)) ds ∂s ∂s (2.47) t0 +h T (t + h − s)f (s, u(s))ds − T (t − t0 )f (t0 , u(t0 )) t0 t T (t − s)B(s)wh (s)ds + t0 Chúng ta chuẩn bốn số hạng vế phải (2.47) dần đến h → Từ ta có t ||wh (s)||ds ||wh (t)|| ≤ ε(h) + M (2.48) t0 M = max{||T (t − s)||||B(s)|| : t0 ≤ s ≤ T } ε(h) → h h → Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Gronwall từ (2.48) ta suy ||wh (t)|| ≤ ε(h)e(T −t0 )M ||wh (t)|| → h → Điều kéo theo u(t) khả vi đoạn [t0 , T ] đạo hàm w(t) Do w ∈ C([t0 , T ] : X) nên u khả vi liên tục [t0 , T ] Cuối ta u nghiệm cổ điển 2.34, ta ý từ tính khả vi liên tục u giả thiết tính khả vi f kéo theo hàm s → f (s, u(s)) khả vi liên tục [t0 , T ] Chúng ta cần nhắc lại kết trình bày bổ đề 4.2.5 (tr 107, [21]): hàm s → f (s) khả vi t liên tục đoạn [t0 , T ] v(t) = T (t − t0 )u0 + t0 T (t − s)f (s)ds có nghiệm cổ điển từ ta suy t T (t − s)f (s, u(s))ds v(t) = T (t − t0 )u0 + (2.49) t0 nghiệm cổ điển toán với giá trị ban đầu   dv(t) + Av(t) = f (t, u(t)) dt v(t ) =u (2.50) Tuy nhiên, theo định nghĩa, u nghiệm đủ tốt phương trình (2.50) từ tính nghiệm đủ tốt (2.50) ta u = v [t0 , T ] Như vậy, u nghiệm cổ điển toán với giá trị ban đầu (2.34) Định lý chứng minh 53 2.7 Nhiễu tuyến tính phương trình tiến hoá họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh Trước hết ta nhắc lại khái niệm họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh định nghĩa sau: Định nghĩa 2.4 Một họ hai tham số toán tử tuyến tính bị chặn U (t, s), ≤ s ≤ t ≤ T, X gọi họ tiến hóa liên tục mạnh thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) U (s, s) = I, U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T (ii) Ánh xạ (t, s) → U (t, s) liên tục mạnh với ≤ s ≤ t ≤ T Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh sinh (A, D(A)) B(.) ∈ C(J, Ls (X)) với J = [0, T ], ta xét họ toán tử tiến hoá U (t, s) : X → X xác định : t u(t) = T (t − s)x + T (t − ξ)B(ξ)u(ξ)dξ (2.51) s x ∈ X, (t, s) ∈ ∆J Định lý sau cho ta điều kiện đủ để phương trình (2.51) xác định họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh (U (t, s))t≥s≥0 Định lý 2.8 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh B(.) ∈ C(J, Ls (X)) Khi họ toán tử tiến hóa xác định (2.51) họ toán tử tiến hóa tuyến tính liên tục mạnh không gian Banach X Chứng minh Trước hết ta chứng minh phương trình tiến hóa (2.51) luôn có nghiệm U (t) nghiệm bị chặn Do T (t)t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh nên tồn M0 ≥ ω > cho: ||T (t − s)|| ≤ M0 eω(t−s) Do sup T (t − s) ≤ M0 eω(t−s) = M1 < +∞ 0≤s≤t≤T Theo giả thiết B(.) ∈ C(J, Ls (X) nên với t ∈ [0, T ] ta có: B(t)x ≤ K < +∞, với x ∈ X Nhờ mệnh đề A2 (xem tài liệu [17], trang 512) ta suy ra: sup B(t) ≤ M1 < +∞ J 54 Từ suy ra: sup T (t − s)B(t) ≤ M1 M2 = M3 < +∞ J Áp dụng định lý 2.5 ta suy nghiệm (2.51) tồn tương ứng với (t, s) ∈ ∆J Với (t, s) ∈ ∆J ta xét ánh xạ U (t, s) : x → u(t) Từ tính chất nghiệm biểu thức (2.51) ta suy U (t, s) : X → X ánh xạ tuyến tính đồng thời ta dễ dàng kiểm tra với (t, s) ∈ ∆J ta có: U (t, t) = I, U (t, τ ) = U (t, s).U (s, τ ) Mặt khác từ (2.51) ta có t U (t, s) ≤ M1 + M1 M2 ||U (τ, s)||.dτ s Sử dụng bổ đề Gronwall- Belmal ta có U (t) ≤ M1 eM1 M2 (t−s) ≤ M1 eM3 T < +∞ Từ kết nhận ta suy U (t, s) ∈ L(X) với (t, s) ∈ ∆J Bây L(X) ta xét phương trình t U (t, s)x = T (t − s)x + T (t − τ )B(τ )U (t, τ )dτ (2.52) s Lý luận tương tự phương trình (2.51) ta suy phương trình toán tử (2.52) có nghiệm nhất, ta có t U (t, s) ≤ M1 + M3 U (t, τ ) dτ s Sử dụng bổ đề Gronwall- Belmal ta có: t dτ M3 U (t, s) ≤ M1 e s ≤ M1 eM3 T < +∞ Hay sup U (t, s) = M4 < +∞ (t,s)∈∆J 55 Xét phương trình t+h T (t − τ )B(τ )U (t, τ )dτ U (t + h, t)x = I + t Ta có U (t + h, t) − I ≤ M1 M2 M4 |h| Như ta có lim U (t + h, t) − I = 0, với h>0 với h→0 l>0 Tương tự ta chứng minh lim ||U (s, s − l) − I|| = 0, l→0 Sử dụng đánh giá (a), (b), (c) chứng minh định lý 2.3 ta suy với x ∈ X (t, s) ∈ ∆J cho với h > thỏa mãn điều kiện s ≤ s+h ≤ t ≤ t+h ta có: lim h→0 l→0 U (t + h, s + l)x − U (t, s)x = Bằng lý luận tương tự với ≤ s − l ≤ s ≤ t − h ≤ t ≤ ta có: lim ||U (t − h, s − l)x − U (t, s)x|| = h→0 Từ ta suy tính liên tục mạnh U (t, s) : X → X Định lý chứng minh Do J ⊂ R+ tập đóng nên ta suy hệ sau: Hệ 2.5 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh X B(.) ∈ C(R+ , Ls (X)) Khi họ toán tử tiến hóa xác định (2.51) họ toán tử tiến hóa tuyến tính liên tục mạnh không gian Banach X 2.8 2.8.1 Một số ví dụ minh họa Giới thiệu toán Các ví dụ phần nhằm mục đích để khả áp dụng phương pháp nửa nhóm mô hình ứng dụng có liên quan tới phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân hàm, để tìm thấy ứng dụng thực phương pháp vào toán thực tế tham khảo tài liệu [2], [3], [4], [9], [10], [13], [14], [16], [18], [21], [24] Trước hết xin tóm tắt lược đồ phương pháp nửa nhóm vào phương trình 56 đạo hàm riêng sau Xét phương trình vi phân dạng ∂v = A(D)v, ∂t (2.53) v hàm vector v = (v1 , , vm ) phụ thuộc vào t x, Aα Dα , A(D) = |α|≤r α α α = (α1 , α2 , , αn ) đa số, |α| = α1 + α2 + · · · + αn , Dα = D1 Dn n , i∂ (k = 1, 2, , n), x = (x1 , , xn ) điểm không gian Rn Dk = ∂xk hệ số Aα ma trận cấp m × m Số r gọi cấp hệ Bài toán tìm nghiệm phương trình (2.53), v = v(t, x), thỏa mãn điều kiện v(0, x) = φ(x), (2.54) gọi toán Cauchy, hàm vector φ(x) cho toàn không gian Rn Nếu ta sử dụng biến đổi Fourier theo biến x với hai vế (2.53), biểu ∼ diễn ảnh hàm v(t, s) v(t, p), nhận hệ phương trình vi phân thường ∼ dv ∼ = A(p) v, dt (2.55) A(p) ma trận với phần tử đa thức p = (p1 , , pn ) Đối với hệ phương trình (2.55) xét toán Cauchy tìm nghiệm với điều kiện ∼ ∼ v(0, p) = φ(p), (2.56) ∼ φ(p) biến đổi Fourier φ Trong số trường hợp giải toán với giá trị ban đầu (2.53), (2.54) phương pháp nửa nhóm Thông thường để mở rộng phạm vi áp dụng cho mô hình thực tế với phương trình đạo hàm riêng (2.53) xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính có nhiễu dạng ∂v = A(D)v + g(t, v) ∂t (2.57) Nhờ áp dụng phương pháp nửa nhóm (chính xác phương pháp họ toán tử tiến hóa) đưa việc nghiên cứu nghiệm phương trình (2.57) toán nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân dạng (2.34) xét mục 2.6, 2.7 Sau ta xét số ví dụ để minh họa, ví dụ tham khảo tài liệu [17], [18], [19], [22] 57 2.8.2 Các ví dụ Ví dụ 2.2 Xét toán Cauchy   ∂u(x, t) + ∂u(x, t) = 0, ∂t ∂x u(x, 0) = f (x) t ≥ 0, x ∈ R+ , (2.58) không gian X = L2 (R+ ) Chúng ta phương trình (2.58) viết dạng trừu tượng t ≥ 0, u(0) = f, u (t) = Au(t), A = − d với miền xác định dx D(A) = {u ∈ L2 (R+ )|u ∈ L2 (R+ )} Trước hết ta chứng minh (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh cách chứng minh thỏa mãn điều kiện định lý 1.8 Để tìm giải thức toán tử A, giải phương trình (λI − A)g = λg + g = f, g ∈ D(A), (2.59) giả thiết f ∈ X Khi λ > nghiệm x e−λ(x−s) f (s)ds, g(x) = R(λ, A)f (x) = x ∈ R+ Ta có x e−λ(x−s) ||f ||ds, ||R(λ, A)f || ≤ ∀f ∈ X Suy x e−λ(x−s) ds = ||R(λ, A)|| ≤ 1 (1 − e−λx ) < λ λ Chú ý A đóng trù mật ([18]) nên (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh Bây không gian X = L2 (R+ ) xét nửa nhóm (T (t))t≥0 xác định  f (x − t) x≥t (T (t)f )(x) = ≤ x ≤ t 0 Ta chứng minh (T (t))t≥0 thỏa mãn định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh 1.1 Dễ dàng thấy điều kiện định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn Tiếp theo ta có p ||T (t)f ||Lp = |f (t + s)| ds p R+ p ≤ |f (u)| du R+ 58 p = ||f ||Lp Do ||T (t)|| ≤ với t ∈ R+ Giả sử f hàm liên tục có giá compact Khi f hàm liên tục Do vậy, ta có lim ||T (t)f − f ||∞ = lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0, + t→0+ t→0 s∈R+ Mặt khác ||T (t)f − f ||Lp ≤ C||T (t)f − f ||∞ → Suy lim ||T (t)f − f ||Lp = + t→0 p (R+ ) L Do tập hàm liên tục có giá compact trù mật nên theo định lý 1.1, ta suy nửa nhóm (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh Dựa sở định nghĩa toán tử sinh 1.1 ta (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm (T (t))t≥0 Do nghiệm đủ tốt toán Cauchy   u (t) = Au(t), t ≥ 0, (2.60)  u(0) = f biểu diễn dạng t T (t − τ )f (x)dτ u(t) = f (x) + A nên thỏa mãn phương trình (2.58) Ta có u(x, t) = (T (t)f )(x) nghiệm đủ tốt toán xét Ví dụ 2.3 Trong không gian X = C [0, 1] Xét toán ∂u(x, t) ∂u(x, t) + = α(t)u(x, t), ∂t ∂x với điều kiện t ≥ 0, x ∈ R+ , (2.61)   u(0, t) =  u(x, 0) = f (x) α : R+ → R hàm liên tục bị chặn Trong không gian X = C [0, 1] ta xét toán tử Af = −f với miền xác định D(A) = {f ∈ X|f (0) = 0} A toán tử đóng Thật giả sử fn → f , Afn = −fn → g , theo định lý lấy đạo hàm dãy hàm ta có f ∈ C [0, 1], f ∈ D(A) Af = g Suy A đóng Do R(λ, A) = (λI − A)−1 giải thức A nên với f ∈ C[0, 1] từ hệ 59 thức (λI − A)(λI − A)−1 f = f , ta suy u(t) = R(λ, A)f (t) u(t) nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp λu + u = f , u(0) = (do u ∈ D(A)) Nghiệm viết dạng t e−λ(t−s) f (s)ds, u(t) = R(λ, A)f (t) = t ∈ [0, 1], f ∈ C[0, 1] Với λ > 0, ta có: t e−λ(t−s) ||f ||ds, ||R(λ, A)f || ≤ ∀f ∈ C[0, 1] Suy ra: t e−λ(t−s) ds = ||R(λ, A)|| ≤ −λ(t−s) e λ t = 1 (1 − e−λt ) < λ λ Do vậy, ta có: ||x|| = ||R(λ, A)(λI − A)x|| ≤ ||R(λ, A)||||(λI − A)x|| ≤ ||(λI − A)x|| λ hay ||(λI − A)x|| ≥ λ||x||, ∀λ > nên A tán xạ Lấy X0 = D(A) = {f ∈ C[0, 1] : f (0) = 0}, lấy hạn chế A| A X0 cho A| f = −f , D(A| ) = {f ∈ C [0, 1] : f (0) = f (0) = 0} Sử dụng kết định lý 1.8 ta suy toán tử toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh X0 Bây không gian Banach X0 ta xét nửa nhóm (Tl (t))t≥0 định nghĩa  f (s − t) với t ≤ s Tl (t)f (s) = với t > s 0 Tương tự ví dụ 2.2 (Tl (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh sinh (A| , D(A| )) không gian X0 u(x, t) = 60 (Tl (t)f )(x) ta kiểm tra thấy u(x, t) nghiệm đủ tốt toán      ∂u(x, t) ∂u(x, t) + = 0, ∂t ∂x u(0, t) = t ≥ 0, x ∈ [0, 1]     u(x, 0) = f (x) Tiếp theo ta xét phương trình vi phân dy = A| y + Bα (t)y, dt y(0) = f (y) t ≥ y∈X (2.62) (A| , D(A| )) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (Tl (t))t≥0 Bα (t) = α(t).I, I : X → X toán tử đồng Từ giả thiết α(t) ta suy Bα ∈ Cu (R+ , Ls (X)) (tr 30 - 31, [18]) Cùng với phương trình vi phân (2.62) ta xét họ toán tử tiến hóa U (t, s) : X → X xác định phương trình Volterra t y(t) = Tl (t − s)x + Tl (t − ξ)Bα (ξ)y(ξ)dξ (2.63) s Từ hệ 2.5 ta U (t, s)t≥s≥0 họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh nghiệm đủ tốt phương trình (2.62) có dạng y(t) = U (t, 0)f (x) Đây nghiệm phương trình đạo hàm riêng (2.61) 61 Kết luận Luận văn trình bày cách chi tiết toán nhiễu nửa nhóm Nội dung luận văn bao gồm: Tìm hiểu trình bày lại nội dung lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh toán tử sinh không gian Banach Trình bày lại số định lý nhiễu nửa nhóm tính chất liên quan đến họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh Trình bày ví dụ ứng dụng cho phương trình đạo hàm riêng vài mô hình quần thể sinh học Đóng góp luận văn trình bày cách chi tiết chứng minh số định lý phương pháp nhiễu nửa nhóm liên tục mạnh xây dựng vi dụ minh họa 62 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long, Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội (2001) [2] C.T.Anh and P.T.Trang, Pullback attractors for 3D Navier -Stokes-Voigt equations in some unbounded domains, Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect A 143 (2013) (in press) [3] Cung The Anh, Pham Thi Trang, On the 3D Kelvin - Voigt - Brinkman Forchheimer equations in some unbounded domains, Nonlinear Analysis 89 (2013) 36 - 54 [4] A.V.Balakrishnan, Semigroups of Operators: Theory and Applications, Birlkhauser, (2000) [5] C.Chicone; Y.Latushkin (1999), Evolution semigroup in dynamicical systems differential equations, Amer Math Soc 1999 [6] Dang Dinh Chau, Nguyen Manh Cuong, Asymptotic Equivalence of Abstract Evolution Equations, International Journal of Evolution Equations Vol 6, No 3, - 2013 [7] Dang Dinh Chau, K.T.Linh, On the asymptotic equivalence of solutions of the linear evolution equations in Banach spaces, International Journal of Evolution Equations Vol 1, No 2, April 2005 [8] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island, (1974) [9] W.Fitzgibbon, Stability for Abstract Nonlinear Volterra Equations Involving Finite Delay, J Math Anal Appl., to appear [10] W.Fitzgibbon, Semilinear Functional Differential Equations in Banach Space, Journal of differential equations 29, 1-14 (1978) Tài liệu tham khảo 64 [11] J.Goldstein, Abstract evolution equations, Trans Amer Math Soc 141 (1969) [12] B.Z.Guo and W.L.Chan (1994), On the Semigroup for Age Dependent Population Dynamics with Spatial Diffusion, Journal of Mathematical analysis and applications 184, 190 - 199(1994) [13] Dajun Guo, V.Lakshmikantham and Xinzhi Liu, Nonlinear Integral Equations in Abstract Spaces, Mathematics and Its Applications (Kluwer Academic Pubishers Group) (1996) [14] Nguyen Thieu Huy (2012), "Inertial Manifolds for Semi-linear Parabolic Equations in Admissible Spaces," Journal of Mathematical Analysis and Applications, 386, 894 - 909 [15] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2000) [16] Nguyen Thieu Huy (2013), "Admissibly inertial manifolds for a class of semi-linear evolution equations," Journal Differential Equations, 254, 2638 - 2660 [17] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel, One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer Verlog NewYork(2000) [18] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel, A short course on operator Semigroups , Springer-Verlag NewYork Berlin London Paris Tokyo Hong kong Barcelona Heidelberg Milan Singapore, (2005) [19] S.G.Krein, Linear differential equations in Banach space, American Mathematical society, Providence, Rhode Island 02904, (1971) [20] N.V.Minh and N.T.Huy, Characterizations of Dichotomies of Evolution Equations on the Hahl - Line, J.Math.Anal Appl 261,28-44 (2001) [21] A Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Diffirential Equations,Springer-Verlag, Beclin-NewYork (1983), [22] Irina VMelnikova, Alexei Filikov, Abstract Cauchy Problems: Three Approadches, Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 120 (2001) [23] G.F.Webb, Theory of No-linear Age-Dependent Population Dynamics,Marcel Dekker, Ann of Math, (1985) Tài liệu tham khảo 65 [24] Atsushi Yagi, Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications, Springer Monographs in Mathematics (2000) [25] J.D.Murray Mathematical Biology: I.An Introducation Third Edition, Springer, 2002 [26] J.D.Murray Mathematical Biology: II.An Introducation Third Edition, Springer, 2002 [27] W.A.Coppel Stability and Asymptotic Behavior of differential equations, 1965