Luận văn ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGÔ VĂN TIẾN ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ TRƯỜNG NỘI ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BẤT ĐANG THỨC PHỤ THUỘC THAM LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Bli ÈN NGÔ VĂN TIẾN ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BẤT ĐANG THỨC BIẾN PHÂN PHỤ THUỘC THAM số Chuyên nghành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tới toàn thầy cô giáo Khoa Toán Phòng Sau Đại học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp cao học K18 Toán Giải Tích đợt nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Hà Nội, tháng 6, năm 2016 Tác giả Lời cam đoan Ngô Văn Tiến Tôi xin cam đoan Luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn Trong trình nghiên cứu, hiểu thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 6, năm 2016 Tác giả Ngô Văn Tiến Muc luc Lời cảm Lời cam 11 Mục i Mở đầu i Chương Kiến thức chuẩn bị i 1.1 Các không gian thường dùng 1.1 Không gian Không gian định Không gian Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương 1.1 Không gian đối Ánh xạ đa trị Bài toán tối ưu Chương / ^ y / Anh xạ nghiệm bât đăng thức biên phân suy rộ Các khái niệm Các kết bổ trợ Các tính chất liên tục nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số I Các trường hợp đặc biệt Một vài ứng dụng Chương 3 Tính liên tục Holder nghiệm toán biến phân phụ thuộc tham số Tính chất liên tục Holder nghiệm p(0, A) Các kết bổ trợ Chứng minh Định lý 3.1 Kết luân Tài liệu tham khảo 35 35 41 Mở đầu Lý chọn đề tài Bất đẳng thức biến phân đời cách 50 năm với công trình quan trọng G.Stampacchia,P.Hartman, J.L.Lions F.E.Browder.Hiện có nhiều báo ,cuốn sách đề cập đến bất đẳng thức biến phân ứng dụng chúng.Bài toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số nhà toán học quan tâm nghiên cứu nhiều có ứng dụng quan trong nhiều lĩnh vực Giả sử H không gian Hilbert thực ,M A hai tập tham số khác rỗng lấy hai không gian định chuẩn ãó,f H X M ^ H ánh xạ đơn trị ,K : A —> H ánh xạ đa trị nhận giá trị tập lồi ,đóng,khác rỗng.Xét bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số: Tìm X G K ( X ) : ( f ( x , n ) , y - X ) > 0, V y £ K ( X ) , (1) (¡Ầ, A) € M X A cặp tham số toán ký hiệu tích vô hướng H.VỚi cặp tham số (¡1, A) € M X A cho trước ta xem toán (1) toán nhiễu bất đẳng thức biến phân sau Tìm X e K( A) : (f(x,n),y - x) > 0,Vy e if(A) (2) Giả sử X nghiệm (2) Chúng ta nghiên cứu xem (1) có nghiệm X = x(fi, A) gần X (fi, A) gần (fi, A) hay không hàm x(fi, A) có dáng điệu hay ta cần nghiên cứu ánh xạ nghiệm X với thay đổi (fi, A) Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc vấn đề này, với giúp đỡ tận tình thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn,tôi chọn đề tài "Ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số" làm luận văn Thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Trình bày số kết ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ số áp dụng để khảo sát ánh xạ nghiệm toán quy hoạch lồi phụ thuộc tham số Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày kiến thức bản,ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng Trình bày tính liên tục Holder nghiệm toán biến phân phụ thuộc tham số Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn nghiệm ,tính liên tục tập nghiệm theo tham số thuật toán tìm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số Phạm vi nghiên cứu: Các sách tài liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức lý thuyết bất đẳng thức biến phân Dự kiến kết nghiên cứu Luận văn trình bày cách tổng quan ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại số kiến thức để sử dụng suốt luận văn 1.1 Các không gian thường dùng 1.1.1 Không gian Metric Định nghĩa 1.1 ([4],p.33) Một tập hợp X gọi không gian Metric nếu: • Với cặp phần tử X , y X xác định theo quy tắc số thực p ( x , y ) • Quy tắc nói thỏa mãn điều kiện sau p { x , y ) > X Ỷ y ; p ( x , y ) = X = y (tính tự phản xạ); p ( x , y ) = p ( y , x ) với x , y (tính đối xứng); p ( x , y ) < p ( x , z ) + p ( z , y ) với X , y , z ( bất đẳng thức tam giác) Hàm số p{x,y) gọi Metric không gian cặp (X,p)ả\ỈỢ c gọi không gian Metric Ví dụ 1.1 • Một tập M đường thẳng R ,có khoảng cách thông thường p(x, y) = \x — y I (độ dài đoạn nối X y) không gian Metric • Tổng quát ,trong không gian k chiều R k xác định khoảng cách hai điểm: X = {x ,x , ,x k ) y = {y ,y , với k không gian Metric Trong không gian Metric ,nhờ có khoảng cách nên ta định nghĩa Lăn cận :Một hình cầu tâm a ,bán kính r với < r < +00 không gian Metric X tập B(a,r ) = {s : p(x,a ) < r } Hình cầu tâm a bán kính r gọi r- lân cận điểm a tập X bao hàm r-lân cận điểm a gọi lân cận điểm a Điểm : Điểm X gọi điểm tập A có lân cận X nằm A Tập mở :Một tập mở điểm thuộc điểm Tập đóng: Một tập đóng điểm không thuộc điểm phần bù Bốn khái niệm có mối quan hệ mật thiết với nhau,ba khái niệm lại suy từ khái niệm cho trước chúng sinh tập X cấu trúc,cấu trúc gọi cấu trúc tôpô • Dãy {ĩnỊ c X gọi dãy Cauchy p(x n ,x m ) —> n, m —> • Không gian Metric mà dãy Cauchy hội tụ đươc gọi không gian Metric đủ • Giả sử A tập X ,khi giao tất tập hợp đóng chứa A gọi bao đóng tập hợp A ký hiệu A (xỊ,x - X ị ) < 2p(l — t)\\x — Xị II Cho t —> đặt a = 2p ,ta có (2.28).Mệnh đề chứng minh Chúý : Nếu hàm (,£>(.) không giả thiết khả vi Frechet X ■ ánh xạ X I—> d Min,x £ X(X) (2.30) Trong (p, A) £ M X A cặp tham số.Giả sử x nghiệm (2.30) với (ß, X) = (p , A0) £ M X A cặp tham số cho trước Định lý 2.6 Giả sử (IV ) điều kiện sau thỏa mãn: (a*) Với ß £ M ,hàm (/?(., ß) nửa liên tục X (b*) Tồn lăn cận u x cho với £ > ,tồn ỗ > với tính chất: Nếu x\ £ d x tp(x 1, ß ) , x *2 £ d x (x , ß ) X ị , x £ u, ß £ M \\x — Xill > £ { x *2 — x\, x2 — X ị ) > ỏ (c*) Tồn ỉăn cận U’ X Q ,lăn cận w Ho số > cho d x t p ( x , Ị Ì ) Ỷ v i m ọ i { x , H ) £ ' X w, sup{||æ*|| : X * £ d x t p ( x , ỊÌ), X G ư', H G W} < , với X G ánh xạ đa trị d x t p ( x ,.) nửa liên tục theo định nghĩa Hausdoff điểm ¡1 G w Khỉ tồn lăn cận w H o ,lăn cận V Ao cho với (H, A) G w X V tồn nghiệm X = X ( H , A) G Ư toán tối ưu (2.30) Ngoài X ( H O , \ Q ) = X o v h m ( H , A) !-»■ X ( H , \ ) liên tục w X V Chứng minh Chú ý: X nghiệm (2.30) X nghiệm bất đẳng thức biến phân sau G dx cho Nếu x*ị G d x í p ( x \ , H ) , X *2 G d x ( x 2, H ) Ở H € M X I , X2 £Ư ( x *2 — x*ị, x2 — Xị) > a\\x2 — Xị II2 (b**) Tồn lăn cận U’ x ,ỉăn cận w Ho số l > cho với ( X , H ) G U ' X w, < H ( , H ) CÓ đạo hàm Frechet < H ' ( X , H ) thỏa mãn: \ \ ỹ ( x i , H i ) - < p ' { x ì H2) Il < { \ \ X ! - x2\\ + d ( H ì , H 2) ) , với (xi, ßi), (x , jU2) G ' X w Khi tồn lăn cận w ỊiQ ,ỉăn cận V Ao số kị, kĩ > cho với (fl, A) G w X V tồn nghiệm X = x(fi, A) G toán (2.30) Hơn x(/jL0, A0) = x0 \\X{ỊI', A') — x(/jL, A)|| < k\d{ß', ß) + k2d{A', A)2 với {ịi', (n, A) G w X V Chương Tính liên tục Holder nghiệm toán biến phân phụ thuộc tham * SÔ Chương viết dựa báo [10] Giả sửp > ,m,m > Chuẩn R n ký hiệu |.| Giả sử Lp([a,b] , R n ) không gian hàm đo theo Lebesgue xác định b [a, b ] thỏa mãn f \x(t)\ p dt < +00 Theo định nghĩa ,chuẩn a b không gian L p ([a, b] , R n) cho ||a;|| = (/ \x(t)\ p dt)p Giả sử w_1,p([a, ồ] , R n ) := {x € L p ([a,b],R n ) : X € L p ([a,b] , R n )} không gian Sobolev hàm X có đạo hàm X (theo nghĩa phân bố) thuộc L p ([a, ồ] , R n ) Chuẩn không gian w_1,p([a, ồ] , R n ) cho ĩ, công thức ||a;||lp = (||a;||p + ||¿||p) Với cặp (6, A) € Lp([a,b] , R m ) X R n A = (Ai, A2) G R n X R n ■Ta xét toán sau X = x(9, b A) G w ,p([a, b] , R ) : n P(U) J(x, 9) = / L(t, x(t), x(t), 6(t))dt —> inf a (3 x(a) = Ai ,x(b) = \ , L : R X R n X R n X R m — > R hàm thực Như p(0, A) toán biến phân sở phụ thuộc tham số.ở G Lp([a, b] , R m ) A = (Ai, A2) G R n X R n tham số toán Giả sử X = x(9, A) nghiệm p(9, A) Với điều kiện định p(9, A) có nghiệm X = x(9, A) Trong chương ta khảo sát tính chất liên tục kiểu Lipschitz-Holder hàm x(9, A) cặp (9, A) thay đổi lân cận (9, A) 3.1 Tính chất liên tục Holder nghiệm p(0, A) Trước tiên đưa giả thiết sau: (H*) Với hầu khắp t G [a, b] ,hàm L(t, : R n X R n X R m —> R liên tục Với X , y G Lp([a, b] , R n ), z G Lp([a, b] , R m ) hàm t I-» L(t, x(t),y(t), z(t)) khả tổng [a, ồ] (H**) Với hầu khắp t G [a, b] hàm : L{t, ) : R n X R n X R m -> R (u , V, w) L(t, u, V, w) có đạo hàm riêng L u (t,u,v, w) L v (t,u,v,w) liên tục Holder bậc p — ,nghĩa tồn số / > cho \L u (t, u, V, w) — L u (t, u', v', w')| < l(\u — u'\ p + \v — v'\ p + |w — w'|p IL v (t, u, V, w) — L v (t, u', v', w')| < l(\u — u'\ p ~ l + \v — v'\ p ~ l + |w — w'|p_1); với U , V, ít', v' G R n w, w' G Hơn ,tồn hàm X, ỹ G Z/p([a, b} , R n ) Z G Z/p([a, 0] , z?m) cho hàm ß{t) := \L u (t, x{t), ỹ{t), z{t))\, 7(í) := |L„(t, x(í), ỹ(í), Ẩ(í))| thuộc L q ([a, b] , R) Trong Ç > số thực thỏa mãn - + - = (H***) Với hầu khắp t G [a, b] với cư G ,hàm : R n X R n — > R lồi mạnh bâc p theo cư G nghĩa tồn số p > cho L(t, su T (1 — sj'u', SV + (1 — s)v', w) < sL(t, U , V, w) + (1 — s)L(t, u', v', w) — ps(l — s)(|it — u'\ p + \v — v'\ v , với (u, u'), (V, v') G f i " x R n , s G [0,1] w G R m Định lý 3.1 Giả sử giả thiết (H*),(H**),(H***) thỏa mãn Khi tồn số l0 > 0, li > ,các lăn cận u ,w tương ứng X ,lăn cận V A cho với (9, A) G w X V ,bài toán p(9, A) có nghiệm x(9, A) G u Ngoài x(9, A) = X hàm (9, A) I—X x(9, A) liên tục w X V Hơn \\x{6, A) - x{6', A')||ljP < /ill9- e\ + /o|A - A'|p; Vớ, G W;A,Ã G V (3.2) BỐ đề 3.1 Cho ữi, ữ2,a n ; ồi, ồ2,b n số thực Khi ta có bất đẳng thức sau n n ĩ_ n ĩ_ 1< (Ea?)p(E&?)9 n ế u ữị > 0, bị > với i = 1,n i= i= i= p,q > thỏa mãn:- + - = ^ ^ p q x e K { A) 2.2 Các kết bổ trỢ Mệnh đề 3.1 Ánh xạ đa trị K : A —>• X xác định (3.3) có giá trị lồi , đóng,khác rỗng tồn số k > cho K{\) c K{\') + k\\- \'\Ỗ X , (3.5) với A, A' G A Chứng minh Với A = (Al, x ) G A ,tính lồi A"(A) hiển nhiên Ị_ •Vì chuẩn||a;||lp l l ^ l l i p = (||i||p + |^(ữ)|p + læ(&)|)pnên K( A) tập lồiđóng Ta chứng minh K(.) liên tục Lipschitz Lấy tùy ý A = (Al, A2) G A A' = (A/, A2') G A ] X G A"(A) Đặt X ị ( t ) = x ( t ) - Al + A/, x { t ) = x ( t ) - A2 + A2' Khi íEi(a) = Ai', x { b ) = x Giả sử ¡1 : [ a , b ] —> [0,1] hàm thực xác định công thức Ị i { t ) = ^ Khi Ị i { a ) = 1, Ị i { b ) = 0, \ n { t ) \ < với t G [a, b ] Đặt y { t ) = /Lt(í)xi(í) + (1 - n { t ) ) x ( t ),ta có y ( a ) = Ai' , y ( b ) = A2'.Vậy y G if (A').Ta có y{t) — x{t ) = p.(t)( A2 — Al + A/ — A2;) + \ — A2 (3.6) Suy \ y ( t ) — æ(t)| < |^(t)| (|A2 — A2'| + IAl — A/|) + |A2 — A2'| < 2(|A2 — A2'| + IAl — A/|), với t G [ a , 6].Do Với G M ta ký hiệu J x (x, 9) đạo hàm Frechet hàm số J(., 9) X Ta trình bày số tính chất liên tục Holder J x (x,9 ) theo {x,9) Mệnh đề 3.2 Giả sử giả thiết (H*),(H**) thỏa mãn.Khi đó,với G M ,phiếm hàm J(.,9 ) khả vi Frechet theo X ,tồn số kị > cho \\Jx{xi, 9\) — J x (x 2, Ớ2) Il < fci(||æi — 111 p + ||Ỡ1 — Ớ2 ||p ), (3.10) với (Xị, 9ị) G X X M, i = 1, Mệnh đề 3.3 Giả sử giả thiết (H*), (H**), (H***) thỏa mãn.Khi đó,tồn số a > cho ụ x {x u 9) - J X (X ,9),X - x ) > a ịịxị - x \\ p ¡ p (3.11) với Xị,x G X, G M Chứng minh Với G M ,từ (H***) suy phiếm hàm J(x, 9) lồi mạnh bậc p Ta có J{sx + (1 - s)æ2; 9) < sJ(xi,9) + (1 - s)J(x , 9) - ps( - s) ||a:i - x \\ p l p (3.12) Với Xi, x G X, s G (0,1] ,trong p > số cho (H***) Từ (3.12) suy l(J{x + s(xi - Xi),0) - J(x ,0) < J(XỊ, 0) - J(x ,0) - p{l - s ) |xi - a;2IIÏp (3.13) Theo mệnh đề (3.2) ,J(x,9) khả vi Frechet x -Vì cho s —> ,từ (3.15) ta thu J X ( X , ) ( X - x ) < J{x u 9) - J(x , 9) - p ||xi - æ2||i]P (3.14) Thay đổi vai trò X i x lập luận tương tự ta J X (X U 9)(X - X ị ) < J(x , 9) - J{xi,9) - p \\x - x i\\ p ¡ p (3.15) Cộng vế với vế bất đẳng thức (3.14) (3.15),ta (J x (x u 9) - J X (X ,9),X - x ) > 2p ||xi - x \\ p l p Đặt a = 2p Khi ta có mệnh đề cần phải chứng minh ■ 2.3 Chứng minh Định lý 3.1 Với cặp (9, A) € M X A cố định ,xét toán p(9, A).Theo mệnh đề (3.1) ,K( A) tập lồi đóng X.Do (H***) ,tồn số p > cho (3.12) thỏa mãn hay J(.,9 ) hàm lồi Do X = x(9, A) nghiệm (3.4) thỏa mãn bao hàm thức E J x (x,9) + N K (X){ X )- (3.16) Đặt f(x,9 ) = J x (x,9 ) ,ta thấy X = x(9, A) nghiệm (3.16) nghiệm bao hàm thức E f (x, 9) + N K (X){ X )- (3.17) Theo Mệnh đề 3.2 Mệnh đề 3.3,tồn số kị > o, a > cho II/ (æi, 9ị) - f (x , 92)\\ < kị ộ|a;i - rr II p + ||01 - ||!) (3.18) {f{x u 9) - f(x , 9), X - x ) > a ||xi - x \\ p ¡ p , (3.19) với X i , x G X]9,9\,9 G -M.Vậy điều kiện (i),(ii),(iii) Định lý (2.1) (Chương 2) thỏa mãn Mặt khác,theo Mệnh đề 3.1 ,K(.) liên tục Lipschitz Do điều kiện (iv) Định lý (2.1 ) thỏa mãn.Theo Định lý 2.1 ,tồn lân cận u,v w tương ứng X , A, ,sao cho V(ớ, A) G w X V Bài toán (3.17) có nghiệm X = x(9, A) Ngoài x(9, A) = X hàm (9, A) !-»■ x(9, A) liên tục w X V Như toán (3.4) có nghiệm X = x(9, A) hàm X = x(9, A) liên tục w X V Để chứng minh (3.2) ta sử dụng lược đồ chứng minh Định lý 2.2.Lấy tùy ý (9, A), (9', X') G w X V Vì x(9, A) G G K ( X ) n ,do tính Lipschitz K(.) ta có Z G K ( X ' ) cho ||x(0, A') - z\\ l t P < h |A- A'| (3.20) Tương tự,tồn y e K ( X ) cho \\ x {9, X') - y\\ ¡ p < fci |A - A'| (3.21) Vì x(9, A), x(9, X') tương ứng nghiệm bao hàm thức G f(x , 9) + N K ( x ) { x ) G f { x , ) + N K ( y ] ( x ) nên {f(x(9,X),9),y - x(9,X)) > (3.22) Từ (3.19);(3.22) (3.23) ta có a ||z(Ể>, A) - x(9, A')||^< ( f ( x ( , A), ) - f ( x ( , A'), e ) , x ( d , A) - x(6, A')> < \ \ f { x { , X ) , ) \ \ Il y x { , X ' ) \ \ l p + ||/(x(ớ,A'),ớ)|| \\z - x{9, A)||1]P (3.24) Từ tính liên tục /(.,.) (Xem 3.18) Suy /(.,.) bị chặn lân cận (æ, ớ) Ta giả sử /(.,.) bị chặn lân cận X w Điều có nghĩa tồn số TỊ > cho sup{||/(x,ớ)|| : X e ư,d eW} < TỊ Do từ (3.24) ,ta có a ||x(0, A) - x{6, A')Hî]P < T Ị \ \ y - x{6, A')|| +7ị\\z- x{6, A)|| Kết hợp với (3.20) (3.21),ta a ||x(ớ, A) - x(9, A')||ỊP < 2Tfki |A - A'| Đặt /o = (^)r,ta có Hfl,A)-i(»,A')||1|P , X ) , ' ) - f ( x ( > , X ) , ) \ \ \ \ x ( , X ) - x ( > , A')|| ] P < ki \\9 — 9'\\p \\x(9, X) — x { ' , A')|| l j P Như a||x(0,A')-x(«',A')||*;;1 inf P(Ỡ,Ã)^ [ æ(0) = Al, æ(l) = e - \ Nếu p(9, A) có nghiệm X G C'1 ([0,1] , R ) nghiệm phải thỏa mãn phương trình Euler L v (t ) = L u (t) Hay 2ỈỀ = 2x.Ta có x(t ) = é — e_i nghiệm phương trình Euler.Khi ,ta X nghiệm P(Õ, Ã) w1,2([0,1] , R) Thật ,lấy tùy ý X G w1,2([0,1] , R) đặt h = X — X ta có:h.(0) = h{ 1) = Do J ( x , 0) = J ( x + h, 0) = / ((£ + hỶ + (ic + k) )dt 1 = / (x + X x )dt + Ị (h — h )dt + Ị (hx + Kx)dt 0 11 > Ị {x + x )dt + Ị {hx + Kx)dt 0 Sử dụng công thức tính tích phân phần đẳng thức 'x = át,ta, có -2 _ / (x +"x )dt + f (hót + Kx)dt 0 1.21.1„ = f (x +'x )dt + f (hx)dt + 2xh\l — f (Kx)dt 01 0 1 :2 (hx)dt = f (x +'x )dt + f (hx)dt—2 f 0 = / (x + X x )dt = J ( x , 0) , Do J ( x , 0) > J ( x , 0) với X G w1 2([0,1] , R ) Vậy X nghiệm tối ưu toàn cục p(9, A).Theo Định lý 3.1 ,tồn số l > 0, /i > ,các lân cận Ư w tương ứng X ,lân cận V A cho ,với (i 9, A) G w X V.Bài toán p(9, A) có nghiệm X = x(9, A) G u Ta có x(9, A) = X ||a;(ớ, A) — x(9', A')!^ < /o||A — A'II2 ,với 9,9' G W; A, A' G V Kết luận Luận văn nhắc lại kiến thức không gian thường dùng (không gian Metric,không gian định chuẩn ,không gian Hilbert,không gian tôpô, không gian đối ngẫu),ánh xạ đa trị số tính chất lý thuyết ưu Trình bày số điều kiện đủ cho tính liên tục tính liên tục Holder nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ Khảo sát ánh xạ nghiệm toán quy hoạch lồi phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ.Nghiên cứu ánh xạ nghiệm toán biến phân phụ thuộc tham số tính liên tục kiểu Lipschitz-Holder theo nhiễu phiếm hàm dấu tích phân Hà Nội, tháng 6,năm 2016 Tác giả Ngô Văn Tiến Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Bùi Trọng Kiên,Độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân tính liên tục phép chiếu metric ,Luận án tiến sĩ Toán học,Hà Nội năm (2002) [2] Nguyễn Năng Tâm, vấn đề ổn định toán quy hoạch toàn phương ,Luận án tiến sĩ Toán học ,Hà Nội năm (2000) [3] Nguyễn Xuân Tấn Nguyễn Bá Minh,Lý thuyết tối ưu không trơn [4] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm [B]Tài liệu Tiếng Anh [5] R.A.Adams,Sobolev Spaces ,Academic Press,New York,1975 [6] L.Cesari, Optimization Theory and Applications, Springer- Verlag,Berlin, 1983 [7] F.H.Clarke,Method of Dynamic and Nonsmooth Optimization, SIAM, Philadelphia, 1989 [8] B.T Kien, Solution sensitivity of generalized variational inequality, Vietnam Journal of Mathematics,29(2001),97-113 [...]... G c gi l n iu mnh 2.3 Cỏc tớnh cht liờn tc ca nghim bt ng thc bin phõn suy rng ph thuc tham s Xột bt ng thc bin phõn ph thuc tham s dng (2.5) ,trong ú F(x, Ă), K(\), M, c nh ngha nhu trong Mc (2.1).Gi s (ổo, òo, Ao) G X X M X A l b ba tha món iu kin Kt qu u tiờn v ỏnh x nghim ca bi toỏn (2.5) i vi s thay i ca cp tham s ( f l , A) c phỏt biu nh sau nh lý 2.1 Gi s rng cỏc iu kin sau y c tha món (i) (ii)... X M y 2 * ; K : A > 2 l hai ỏnh x a tr v K(.) nhn giỏ tr li,úng,khỏc rng Bi toỏn tỡm X = x(fi, A) tha món bao hm thc Oe F{x,n) +N K W {X), (2.5) trong ú (fl, A) G M X A l mt cp tham s,c gi l bt ng thc bin phõn suy rng ph thuc tham s Chỳ ý:x G X tha món (2.5) khi v ch khi X G -K(A) v tn ti X* G F(x, ỡ) sao cho :(x*, y x) > 0 Vy G -K(A) 2.2 Cỏc kt qu b tr Cho G : X > 2 X * l ỏnh x a tr Cỏc tp domG :=... thc sao cho ,vi mi P Ê M, i p ( , p ) l mt hm li Ký hiu p) c dựng ch di vi phõn ca hm ip(., p).Xột bi toỏn tp(x,p) > Min,x Ê X(X) (2.30) Trong ú (p, A) Ê M X A l cp tham s.Gi s x 0 l nghim ca (2.30) vi (ò, X) = (p 0 , A0) Ê M X A l cp tham s cho trc nh lý 2.6 Gi s rng (IV ) v cỏc iu kin sau c tha món: (a*) Vi mi ò Ê M ,hm (/?(., ò) l na liờn tc di trờn X (b*) Tn ti ln cn u ca x 0 sao cho vi mi Ê >... J(x, 9) = / L(t, x(t), x(t), 6(t))dt > inf a (3 x(a) = Ai ,x(b) = \ 2 , trong ú L : R X R n X R n X R m > R l cỏc hm thc Nh vy p(0, A) l bi toỏn bin phõn c s ph thuc tham s. õy 9 G Lp([a, b] , R m ) v A = (Ai, A2) G R n X R n l cỏc tham s ca bi toỏn Gi s rng X = x(9, A) l nghim ca p(9, A) Vi nhng iu kin nht nh p(9, A) cú duy nht nghim X = x(9, A) Trong chng ny ta kho sỏt cỏc tớnh cht liờn tc kiu Lipschitz-Holder... Ă1 w v [(f ( y , p ) f ( x , p ) , y x ) > [ y > x ] u theo Ă1 G w Kh ú tn ti ln cn w ca io ,ln cn V ca Ao sao cho vi mi (n, A) w X V tn ti duy nht nghim X = x ( n , A) G ca bt ng thc bin phõn cú tham s sau 0 & f(x, p) + N K ( X )(X) (2.27) Hn na X ( / J L 0 , Ao) = Êo v h m ( f l , A) !-ằ x ( f i , A) l liờn tc trờn Wx7, nh lý 2.5 Gi s rng (a),(3) v cỏc iu kin sau õy c tha món: (a) Tn ti ln... , x),\/x G s2, y G T(x, x) Chng 2 nh x nghim ca bt ng thc bin phõn suy rng Chng ny c vit da trờn bi bỏo [8].Trong chng ny chỳng ta s thit lp mt s kt qu v ỏnh x nghim ca bt ng thc bin phõn suy rng cú tham s trong khụng gian Banach phn x 2.1 Cỏc khỏi nim c bn Ta ký hiu X l khụng gian Banach phn x vi khụng gian i ngu X* Chun trong X v X* c ký hiu bi ||.|| Ta nhc li mt s khỏi nim c bn sau Khong cỏch... = x(fi, A) G ca bi toỏn (2.30) 1 Hn na x(/jL0, A0) = x0 v \\X{I', A') x(/jL, A)|| < k\d{ò', ò) + k2d{A', A)2 vi mi {i', (n, A) G w X V 1 Chng 3 Tớnh liờn tc Holder ca nghim bi toỏn bin phõn ph thuc tham * Sễ Chng ny c vit da trờn bi bỏo [10] Gi sp > 1 ,m,m > 1 Chun trong R n ký hiu bi |.| Gi s Lp([a,b] , R n ) l khụng gian cỏc hm o c theo Lebesgue xỏc nh b trờn [a, b ] v tha món f \x(t)\ p dt < +00... , f l G W} < 7 ; v i m i X G u f ( x ,.) l liờn tc trờn w Khi ú tn ti ln cn w ca io ,n cn V ca Ao sao cho vi mi ( f i , X ) e W X V tn ti duy nht nghimx = x ( f i , A) G u ca bt ng thc bin phõn cú tham s sau: 0 E f(x, fi) + NKX){x) (2.26) H n n a x ( f i 0 , Ao) = X o v h m ( f t , A) Iằ x ( f t , A) l liờn tc trờn w X V Chng minh chng minh ta s dng nh lý 2.1 v chỳ ý iu kin (b) kộo theo (i)