Ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— NGÔ VĂN TIẾN ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— NGÔ VĂN TIẾN ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ Chuyên nghành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội-2016 i Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tới toàn thầy cô giáo Khoa Toán Phòng Sau Đại học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp cao học K18 Toán Giải Tích đợt nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Hà Nội, tháng 6, năm 2016 Tác giả Ngô Văn Tiến ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn Trong trình nghiên cứu, hiểu thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 6, năm 2016 Tác giả Ngô Văn Tiến Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian thường dùng 1.1.1 Không gian Metric 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian Hilbert 10 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdoff 12 1.1.5 Không gian đối ngẫu 13 1.2 Ánh xạ đa trị 13 1.3 Bài toán tối ưu 15 Chương Ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng 17 2.1 Các khái niệm 17 2.2 Các kết bổ trợ 19 2.3 Các tính chất liên tục nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số iii 21 iv 2.4 Các trường hợp đặc biệt 29 2.5 Một vài ứng dụng 31 Chương Tính liên tục Holder nghiệm toán biến phân phụ thuộc tham số 35 3.1 Tính chất liên tục Holder nghiệm P (θ, λ) 36 3.2 Các kết bổ trợ 38 3.3 Chứng minh Định lý 3.1 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Mở đầu Lý chọn đề tài Bất đẳng thức biến phân đời cách 50 năm với công trình quan trọng G.Stampacchia,P.Hartman,J.L.Lions F.E.Browder.Hiện có nhiều báo ,cuốn sách đề cập đến bất đẳng thức biến phân ứng dụng chúng.Bài toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số nhà toán học quan tâm nghiên cứu nhiều có ứng dụng quan trong nhiều lĩnh vực Giả sử H không gian Hilbert thực ,M Λ hai tập tham số khác rỗng lấy hai không gian định chuẩn đó,f : H × M → H ánh xạ đơn trị ,K : Λ → 2H ánh xạ đa trị nhận giá trị tập lồi ,đóng,khác rỗng.Xét bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số: Tìm x ∈ K(λ) : f (x, µ), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K(λ), (1) (µ, λ) ∈ M × Λ cặp tham số toán , ký hiệu tích ¯ ∈ M × Λ cho trước ta vô hướng H.Với cặp tham số (¯ µ, λ) xem toán (1) toán nhiễu bất đẳng thức biến phân sau ¯ : f (x, µ ¯ Tìm x ∈ K(λ) ¯), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K(λ) (2) Giả sử x¯ nghiệm (2) Chúng ta nghiên cứu xem (1) có ¯ hay không thể có nghiệm x = x(µ, λ) gần x¯ (µ, λ) gần (¯ µ, λ) hàm x(µ, λ) có dáng điệu hay ta cần nghiên cứu ánh xạ nghiệm x¯ với thay đổi (µ, λ) Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc vấn đề này,cùng với giúp đỡ tận tình thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn,tôi chọn đề tài "Ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số" làm luận văn Thạc sĩ 2.Mục đích nghiên cứu Trình bày số kết ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ số áp dụng để khảo sát ánh xạ nghiệm toán quy hoạch lồi phụ thuộc tham số 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày kiến thức bản,ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng Trình bày tính liên tục Holder nghiệm toán biến phân phụ thuộc tham số Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn nghiệm ,tính liên tục tập nghiệm theo tham số thuật toán tìm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số Phạm vi nghiên cứu: Các sách tài liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức lý thuyết bất đẳng thức biến phân Dự kiến kết nghiên cứu Luận văn trình bày cách tổng quan ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại số kiến thức để sử dụng suốt luận văn 1.1 Các không gian thường dùng 1.1.1 Không gian Metric Định nghĩa 1.1 ([4],p.33) Một tập hợp X gọi không gian Metric nếu: • Với cặp phần tử x, y X xác định theo quy tắc số thực ρ(x, y) • Quy tắc nói thỏa mãn điều kiện sau ρ(x, y) > x = y ; ρ(x, y) = x = y (tính tự phản xạ); ρ(x, y) = ρ(y, x) với x, y (tính đối xứng); ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với x, y, z(bất đẳng thức tam giác) 36 Ta xét toán sau   x = x(θ, λ) ∈ W1,p ([a, b] , Rn ) :     b P (θ, λ) J(x, θ) = L(t, x(t), x(t), ˙ θ(t))dt → inf  a     x(a) = λ1 , x(b) = λ2 , (3.1) L : R × Rn × Rn × Rm → R hàm thực Như P (θ, λ) toán biến phân sở phụ thuộc tham số.Ở θ ∈ Lp ([a, b] , Rm ) λ = (λ1 , λ2 ) ∈ Rn × Rn tham số toán ¯ λ) ¯ nghiệm P (θ, ¯ λ) ¯ Với điều kiện Giả sử x¯ = x¯(θ, định P (θ, λ) có nghiệm x = x(θ, λ).Trong chương ta khảo sát tính chất liên tục kiểu Lipschitz-Holder hàm x(θ, λ) cặp ¯ λ) ¯ (θ, λ) thay đổi lân cận (θ, 3.1 Tính chất liên tục Holder nghiệm P (θ, λ) Trước tiên đưa giả thiết sau: (H*) Với hầu khắp t ∈ [a, b] ,hàm L(t, , , ) : Rn ×Rn ×Rm → R liên tục Với x, y ∈ Lp ([a, b] , Rn ), z ∈ Lp ([a, b] , Rm ) hàm t → L(t, x(t), y(t), z(t)) khả tổng [a, b] (H**) Với hầu khắp t ∈ [a, b] hàm : L(t, , , ) : Rn × Rn × Rm → R (u, v, w) → L(t, u, v, w) có đạo hàm riêng Lu (t, u, v, w) Lv (t, u, v, w) liên tục Holder bậc p − ,nghĩa tồn số l > cho |Lu (t, u, v, w) − Lu (t, u , v , w )| ≤ l(|u − u |p−1 + |v − v |p−1 + |w − w |p−1 ) |Lv (t, u, v, w) − Lv (t, u , v , w )| ≤ l(|u − u |p−1 + |v − v |p−1 + |w − w |p−1 ), 37 với u, v, u , v ∈ Rn w, w ∈ Rm Hơn ,tồn hàm x˜, y˜ ∈ Lp ([a, b] , Rn ) z˜ ∈ Lp ([a, b] , Rm ) cho hàm β(t) := |Lu (t, x˜(t), y˜(t), z˜(t))| , γ(t) := |Lv (t, x˜(t), y˜(t), z˜(t))| thuộc Lq ([a, b] , R) Trong q > số thực thỏa mãn p + q = (H***) Với hầu khắp t ∈ [a, b] với ω ∈ Rm ,hàm L(t, , , ) : Rn × Rn → R lồi mạnh bâc p theo ω ∈ Rm ,nghĩa tồn số ρ > cho L(t, su + (1 − s)u , sv + (1 − s)v , w) ≤ sL(t, u, v, w) + (1 − s)L(t, u , v , w) − ps(1 − s)(|u − u |p + |v − v |p , với (u, u ), (v, v ) ∈ Rn × Rn , s ∈ [0, 1] w ∈ Rm Định lý 3.1 Giả sử giả thiết (H*),(H**),(H***) thỏa mãn Khi tồn số l0 > 0, l1 > ,các lân cận U ,W tương ứng ¯ cho với (θ, λ) ∈ W × V ,bài toán x¯ θ¯ ,lân cận V λ ¯ λ) ¯ = x¯ hàm P (θ, λ) có nghiệm x(θ, λ) ∈ U Ngoài x(θ, (θ, λ) → x(θ, λ) liên tục W × V Hơn x(θ, λ) − x(θ , λ ) ≤ l1 θ − θ 1,p ¯ ¯ p p + l0 |λ − λ | ; ∀θ, θ ∈ W;λ,λ ∈ V (3.2) Bổ đề 3.1 Cho a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn số thực Khi ta có bất đẳng thức sau n n b i ≤ ( i=1 i=1 api ) p ( n i=1 bqi ) q ≥ 0, bi ≥ với i = 1, , n p, q > thỏa mãn: p1 + q = 38 n r n ) ≤ ( i=1 ari > với i = 1, , n r ∈ [0, 1] i=1 (u + v)p ≤ 2p−1 (up + v p ) với u, v ≥ 0; p ≥ b b b |x(t)y(t)|dt ≤ ( |x(t)|p dt) p ( |y(t)|q dt) p với hàm đo a a a x(.) y(.) xác định [a, b] ,trong p, q > p + q = Đặt X = W−1,p ([a, b] , Rn ), M = Lp ([a, b] , Rm ); Λ = Rn × Rn Với λ = (λ1 , λ2 ) ∈ Λ ,ta đặt K(λ) = {x ∈ X : x(a) = λ1 , x(b) = λ2 } Khi (3.1 )trở thành toán quy hoạch lồi sau  b   J(x, θ) = L(t, x(t), x(t), θ(t))dt → inf P (θ, λ) a   x ∈ K(λ) (3.3) (3.4) 3.2 Các kết bổ trợ Mệnh đề 3.1 Ánh xạ đa trị K : Λ → 2X xác định (3.3) có giá trị lồi ,đóng,khác rỗng tồn số k > cho ¯X , K(λ) ⊂ K(λ ) + k |λ − λ | B (3.5) với λ, λ ∈ Λ Chứng minh Với λ = (λ1 , λ2 ) ∈ Λ ,tính lồi K(λ) hiển nhiên Vì chuẩn x 1,p ⇔ x ∗ 1,p = ( x˙ p p + |x(a)|p + |x(b)|) p nên K(λ) tập lồi đóng Ta chứng minh K(.) liên tục Lipschitz Lấy tùy ý λ = (λ1 , λ2 ) ∈ Λ λ = (λ1 , λ2 ) ∈ Λ ;x ∈ K(λ) Đặt x1 (t) = 39 x(t) − λ1 + λ1 , x2 (t) = x(t) − λ2 + λ2 Khi x1 (a) = λ1 , x2 (b) = λ2 Giả sử µ : [a, b] → [0, 1] hàm thực xác định công thức µ(t) = b−t b−a Khi µ(a) = 1, µ(b) = 0, |µ(t)| ≤ với t ∈ [a, b] Đặt y(t) = µ(t)x1 (t) + (1 − µ(t))x2 (t),ta có y(a) = λ1 , y(b) = λ2 Vậy y ∈ K(λ ).Ta có y(t) − x(t) = µ(t)(λ2 − λ1 + λ1 − λ2 ) + λ2 − λ2 (3.6) Suy |y(t) − x(t)| ≤ |µ(t)| ( λ2 − λ2 + λ1 − λ1 ) + λ2 − λ2 ≤ 2( λ2 − λ2 + λ1 − λ1 ), với t ∈ [a, b].Do b y−x p p ≤ 2p ( λ1 − λ1 + λ2 − λ2 )p dt (3.7) a ≤ 2p (b − a)( λ1 − λ1 + λ2 − λ2 )p Từ (3.6) ta có: y(t) ˙ − x(t) ˙ = a−b (λ2 (3.8) − λ1 + λ1 − λ2 ) với hầu khắp t ∈ [a, b].Vì y˙ − x˙ p p ≤ b−a p p ( λ2 − λ2 + λ1 − λ1 ) |a − b| (3.9) Kết hợp (3.8) (3.9) ta có y−x p p + y˙ − x˙ p p p ≤ (2p (b − a) + Đặt k = (2 (b − a) + b−a p p) |a−b| b−a )( λ2 − λ2 + λ1 − λ1 )p |a − b|p ,ta có y − x 1,p ≤ k |λ − λ | Suy tính chất (3.5) nghiệm đúng.Ta có điều phải chứng minh 40 Với θ ∈ M ta ký hiệu Jx (x, θ) đạo hàm Frechet hàm số J(., θ) x Ta trình bày số tính chất liên tục Holder Jx (x, θ) theo (x, θ) Mệnh đề 3.2 Giả sử giả thiết (H*),(H**) thỏa mãn.Khi đó,với θ ∈ M ,phiếm hàm J(., θ) khả vi Frechet theo x ,tồn số k1 > cho Jx (x1 , θ1 ) − Jx (x2 , θ2 ) ≤ k1 ( x1 − p q x2 1,p + θ1 − p θ2 pq ), (3.10) với (xi , θi ) ∈ X × M, i = 1, Mệnh đề 3.3 Giả sử giả thiết (H*),(H**),(H***) thỏa mãn.Khi đó,tồn số α > cho Jx (x1 , θ) − Jx (x2 , θ), x1 − x2 ≥ α x1 − x2 p 1,p (3.11) với x1 , x2 ∈ X, θ ∈ M Chứng minh Với θ ∈ M ,từ (H***) suy phiếm hàm J(x, θ) lồi mạnh bậc p Ta có J(sx1 + (1 − s)x2 , θ) ≤ sJ(x1 , θ) + (1 − s)J(x2 , θ) − ρs(1 − s) x1 − x2 p 1,p (3.12) Với x1 , x2 ∈ X, s ∈ (0, 1] ,trong ρ > số cho (H***) Từ (3.12) suy s (J(x2 + s(x1 − x2 ), θ) − J(x2 , θ) ≤ J(x1 , θ) − J(x2 , θ) − ρ(1 − s) x1 − x2 (3.13) p 1,p 41 Theo mệnh đề (3.2) ,J(x, θ) khả vi Frechet x2 Vì cho s → ,từ (3.15) ta thu Jx (x2 , θ)(x1 − x2 ) ≤ J(x1 , θ) − J(x2 , θ) − ρ x1 − x2 p 1,p (3.14) Thay đổi vai trò x1 x2 lập luận tương tự ta Jx (x1 , θ)(x2 − x1 ) ≤ J(x2 , θ) − J(x1 , θ) − ρ x2 − x1 p 1,p (3.15) Cộng vế với vế bất đẳng thức (3.14) (3.15),ta Jx (x1 , θ) − Jx (x2 , θ), x1 − x2 ≥ 2ρ x1 − x2 p 1,p Đặt α = 2ρ Khi ta có mệnh đề cần phải chứng minh 3.3 Chứng minh Định lý 3.1 Với cặp (θ, λ) ∈ M × Λ cố định ,xét toán P (θ, λ).Theo mệnh đề (3.1) ,K(λ) tập lồi đóng X.Do (H***) ,tồn số ρ > cho (3.12) thỏa mãn hay J(., θ) hàm lồi Do x = x(θ, λ) nghiệm (3.4) thỏa mãn bao hàm thức ∈ Jx (x, θ) + NK(λ) (x) (3.16) Đặt f (x, θ) = Jx (x, θ) ,ta thấy x = x(θ, λ) nghiệm (3.16) nghiệm bao hàm thức ∈ f (x, θ) + NK(λ) (x) (3.17) Theo Mệnh đề 3.2 Mệnh đề 3.3,tồn số k1 > 0, α > cho f (x1 , θ1 ) − f (x2 , θ2 ) ≤ k1 x1 − x2 p 1,p + θ1 − θ2 p q p (3.18) 42 f (x1 , θ) − f (x2 , θ), x1 − x2 ≥ α x1 − x2 p 1,p , (3.19) với x1 , x2 ∈ X; θ, θ1 , θ2 ∈ M Vậy điều kiện (i),(ii),(iii) Định lý (2.1) (Chương 2) thỏa mãn Mặt khác,theo Mệnh đề 3.1 ,K(.) liên tục Lipschitz Do điều kiện (iv) Định lý (2.1 ) thỏa mãn.Theo Định lý 2.1 ,tồn ¯ θ¯ ,sao cho ∀(θ, λ) ∈ W × V lân cận U,V W tương ứng x¯, λ, ¯ λ) ¯ = x¯ Bài toán (3.17) có nghiệm x = x(θ, λ) Ngoài x(θ, hàm (θ, λ) → x(θ, λ) liên tục W × V Như toán (3.4) có nghiệm x = x(θ, λ) hàm x = x(θ, λ) liên tục W × V Để chứng minh (3.2) ta sử dụng lược đồ chứng minh Định lý 2.2.Lấy tùy ý (θ, λ), (θ , λ ) ∈ W × V Vì x(θ, λ) ∈∈ K(λ) ∩ U ,do tính Lipschitz K(.) ta có z ∈ K(λ ) cho x(θ, λ ) − z 1,p ≤ k1 |λ − λ | (3.20) ≤ k1 |λ − λ | (3.21) Tương tự,tồn y ∈ K(λ) cho x(θ, λ ) − y 1,p Vì x(θ, λ), x(θ, λ ) tương ứng nghiệm bao hàm thức ∈ f (x, θ) + NK(λ) (x) ∈ f (x, θ) + NK(λ ) (x) nên f (x(θ, λ), θ), y − x(θ, λ) ≥ (3.22) f (x(θ, λ ), θ), z − x(θ, λ ) ≥ (3.23) 43 Từ (3.19);(3.22) (3.23) ta có α x(θ, λ) − x(θ, λ ) ≤ f (x(θ, λ), θ) p 1,p ≤ f (x(θ, λ), θ) − f (x(θ, λ ), θ), x(θ, λ) − x(θ, λ ) y − x(θ, λ ) 1,p + f (x(θ, λ ), θ) z − x(θ, λ) 1,p (3.24) Từ tính liên tục f (., ) (Xem 3.18) Suy f (., ) bị chặn ¯ lân cận (¯ x, θ).Ta giả sử f (., ) bị chặn lân cận U × W Điều có nghĩa tồn số η > cho sup{ f (x, θ) : x ∈ U, θ ∈ W} ≤ η Do từ (3.24) ,ta có α x(θ, λ) − x(θ, λ ) p 1,p ≤ η y − x(θ, λ ) + η z − x(θ, λ) Kết hợp với (3.20) (3.21),ta α x(θ, λ) − x(θ, λ ) Đặt l0 = 2ηk1 p ( α ) ,ta p 1,p ≤ 2ηk1 |λ − λ | 1,p ≤ l0 |λ − λ | có x(θ, λ) − x(θ, λ ) (3.25) Chứng minh tương tự,ta có.Vì x(θ, λ ), x(θ , λ ) tương ứng nghiệm bao hàm thức ∈ f (x, θ) + NK(λ) (x); ∈ f (x, θ) + NK(λ ) (x) nên f (x(θ, λ ), θ), x(θ , λ ) − x(θ, λ ) ≥ (3.26) 44 f (x(θ , λ ), θ ), x(θ, λ ) − x(θ , λ ) ≥ (3.27) Do kết luận (3.18),ta có f (x(θ , λ ), θ ) − f (x(θ , λ ), θ ) ≤ k1 |θ − θ p |pq (3.28) Kết hợp (3.19);(3.26) (3.28),ta α x(θ, λ ) − x(θ , λ ) p 1,p ≤ f (x(θ, λ ), θ) − f (x(θ , λ ), θ), x(θ, λ ) − x(θ , λ ) ≤ f (x(θ , λ ), θ ) − f (x(θ , λ ), θ) ≤ k1 θ − θ p q p x(θ, λ ) − x(θ , λ ) x(θ, λ ) − x(θ , λ ) 1,p 1,p Như α x(θ, λ ) − x(θ , λ ) p−1 1,p ≤ k1 θ − θ p q p Do đó: x(θ, λ ) − x(θ , λ ) 1,p k1 p−1 ≤( ) θ−θ α p q(p−1) p = l1 θ − θ p (3.29) Trong l1 = ( kα1 ) p−1 Kết hợp (3.25) với (3.29) ta có x(θ , λ ) − x(θ, λ) 1,p ≤ x(θ , λ ) − x(θ, λ ) ≤ l1 θ − θ p 1,p + l0 λ − λ + x(θ, λ ) − x(θ, λ) 1,p p Định lý chứng minh Ví dụ 3.1 Giả sử X = W1,2 ([0, 1] , R), M = L2 ([0, 1] , R) Λ = R × R.Xét toán    J(x, θ) = (x2 (t) + x(t) ˙ + 2t3 θ(t)(x(t) + x(t)))dt ˙ → inf P (θ, λ)   x(0) = λ , x(1) = λ 45 Ta thấy điều kiện (H*),(H**),(H***) thỏa mãnThật vậy,vì L(t, u, v, w) = u2 + v + 2t3 w(u + v) ta thấy (H*) nghiệm Mặt khác,từ Lu (t, u, v, w) = 2u + 2t3 w Lv (t, u, v, w) = 2v + 2t3 w suy |Lu (t, u, v, w) − Lu (t , u , v , w )| ≤ 2(|u − u | + |v − v | + |w − w |) |Lv (t, u, v, w) − Lv (t , u , v , w )| ≤ 2(|u − u | + |v − v | + |w − w |) Với t ∈ [0, 1] Ta thấy điều kiện (H**) thỏa mãn ta chọn x˜(t) ≡ 0, y˜(t) ≡ 0, z(t) ≡ 0.Ta kiểm tra điều kiện (H***) Với a, b ∈ R ,ta có đẳng thức (sa + (1 − s)b)2 = sa2 + (1 − s)b2 − s(1 − s)(a − b)2 Do L(t, su + (1 − s)u , sv + (1 − s)v , w) = (su + (1 − s)u )2 + (sv + (1 − s)v )2 + +2t3 w(su + (1 − s)u + sv + (1 − s)v ) = su2 + (1 − s)u − s(1 − s)(u − u )2 + sv + (1 − s)v − s(1 − s)(v − v )2 + +2t3 w(su + sv + (1 − s)(u + v )) = s(u2 + v + 2t3 w(u + v)) + (1 − s)(u + v + +2t3 w(u + v )) − s(1 − s)((u − u )2 + (v − v )2 = sL(t, u, v, w) + (1 − s)L(t, u , v , w) − s(1 − s)(|u − u |2 + |v − v |2 ) ¯ ≡ 0, λ ¯ = (0, e − ) Vậy (H***) nghiệm đúng.Đặt θ(t) e Khi ,ta có ¯ λ) ¯ P (θ,    J(x, 0) = (x2 (t) + x(t) ˙ )dt → inf   x(0) = λ , x(1) = e − 1 e 46 ¯ λ) ¯ có nghiệm xˆ ∈ C ([0, 1] , R) nghiệm phải thỏa mãn Nếu P (θ, phương trình Euler d dt Lv (t) = Lu (t) Hay 2¨ x = 2x.Ta có xˆ(t) = et − e−t nghiệm phương trình Euler.Khi ,ta xˆ nghiệm ¯ λ) ¯ W1,2 ([0, 1] , R) P (θ, Thật ,lấy tùy ý x ∈ W1,2 ([0, 1] , R) đặt h = x − xˆ ta có:h(0) = h(1) = Do ˙ )dt ((ˆ x + h)2 + (ˆ˙x + h) J(x, 0) = J(ˆ x + h, 0) = 1 (ˆ x2 +ˆ˙x )dt + = (h2 − h˙ )dt + 0 1 (ˆ x2 +ˆ˙x )dt + ≥ (hˆ x + h˙ˆ˙x)dt (hˆ x + h˙ˆ˙x)dt Sử dụng công thức tính tích phân phần đẳng thức ¨ˆx = xˆ,ta có (ˆ x +ˆ˙x )dt + 2 (hˆ x + h˙ˆ˙x)dt (ˆ x +ˆ˙x )dt + 2 = = = 2 (ˆ x2 +ˆ˙x )dt + 1 (hˆ x)dt + 2ˆ˙xh|10 − (h¨ˆx)dt (hˆ x)dt−2 (hˆ x)dt 0 (ˆ x2 +ˆ˙x )dt = J(ˆ x, 0) Do J(x, 0) ≥ J(ˆ x, 0) với x ∈ W1,2 ([0, 1] , R) Vậy xˆ nghiệm tối ¯ λ).Theo ¯ ưu toàn cục P (θ, Định lý 3.1 ,tồn số l0 > 0, l1 > ¯ cho ,với ,các lân cận U W tương ứng xˆ ,lân cận V λ (θ, λ) ∈ W × V Bài toán P (θ, λ) có nghiệm x = x(θ, λ) ∈ U 47 ¯ λ) ¯ = xˆ x(θ, λ) − x(θ , λ ) Ta có x(θ, θ, θ ∈ W; λ, λ ∈ V 1,2 ≤ l0 λ − λ ,với 48 Kết luận Luận văn nhắc lại kiến thức không gian thường dùng (không gian Metric,không gian định chuẩn ,không gian Hilbert,không gian tôpô, không gian đối ngẫu),ánh xạ đa trị số tính chất lý thuyết ưu Trình bày số điều kiện đủ cho tính liên tục tính liên tục Holder nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ Khảo sát ánh xạ nghiệm toán quy hoạch lồi phụ thuộc tham số không gian Banach phản xạ.Nghiên cứu ánh xạ nghiệm toán biến phân phụ thuộc tham số tính liên tục kiểu Lipschitz-Holder theo nhiễu phiếm hàm dấu tích phân Hà Nội,tháng 6,năm 2016 Tác giả Ngô Văn Tiến 49 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Bùi Trọng Kiên,Độ nhạy nghiệm bất đẳng thức biến phân tính liên tục phép chiếu metric,Luận án tiến sĩ Toán học,Hà Nội năm (2002) [2] Nguyễn Năng Tâm,Vấn đề ổn định toán quy hoạch toàn phương,Luận án tiến sĩ Toán học ,Hà Nội năm (2000) [3] Nguyễn Xuân Tấn Nguyễn Bá Minh,Lý thuyết tối ưu không trơn [4] Hoàng Tụy,Hàm thực giải tích hàm [B] Tài liệu Tiếng Anh [5] R.A.Adams,Sobolev Spaces,Academic Press,New York,1975 [6] L.Cesari,Optimization Theory and Dynamic and Applications,Springer- Verlag,Berlin,1983 [7] F.H.Clarke,Method of Nonsmooth Optimiza- tion,SIAM,Philadelphia,1989 [8] B.T.Kien,Solution sensitivity of generalized variational inequality,Vietnam Journal of Mathematics,29(2001),97-113 50 [9] R.T.Rockafellar and R.J-B.Wets,Variationnal Analysis,SpringerVerlag,New York 1998 [10] N.D.Yen,Holder continuity of solutions to aparametric variational in-equality,Applied Mathematics and Optimization 31(1995),245255 [11] E.Zeidler,Nonlinear Functional Analysis and Its Applications,II/B: Non-linear Monotone Operators, Springer-Verlag,Berlin,1990 [...]... → 2K là các ánh xạ đa trị ,F : K × D × D → R là hàm số. Tìm điểm (¯ x, y¯) ∈ D × K sao cho (a) x¯ ∈ S1 (¯ x); (b) F (y, x¯, x) ≥ F (y, x¯, x), ∀x ∈ S2 , y ∈ T (¯ x, x) 17 Chương 2 Ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng Chương này được viết dựa trên bài báo [8].Trong chương này chúng ta sẽ thiết lập một số kết quả về ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng có tham số trong không... mọi t > 0 Ánh xạ G được gọi là ω-đơn điệu nếu với mọi (x1 , x∗1 ) ∈ grG ta có x∗2 − x∗1 , x2 − x1 ≥ ω( x2 − x1 ) x2 − x1 (2.6) Nếu ω(t) = α(t), α > 0 thì (2.6) trở thành x∗2 − x∗1 , x2 − x1 ≥ α x2 − x1 2 (2.7) Trong trường hợp này G được gọi là đơn điệu mạnh 2.3 Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số dạng (2.5)... một cặp tham số, được gọi là bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số Chú ý:x ∈ X thỏa mãn (2.5) khi và chỉ khi x ∈ K(λ) và tồn tại x∗ ∈ F (x, µ) sao cho : x∗ , y − x ≥ 0 ∀y ∈ K(λ) 2.2 Các kết quả bổ trợ ∗ Cho G : X → 2X là ánh xạ đa trị Các tập domG := {x ∈ X : G(x) = ∅} và graf G := {(x, x∗ ) ∈ X : x∗ ∈ G(x)} tương ứng được gọi là miền hữu hiệu và đồ thị của G Định nghĩa 2.1 Ánh xạ G được... hàm lồi và x ∈ X sao cho ϕ(x) = +∞ Dưới vi phân của ϕ của x được ký hiệu bởi ∂ϕ(x) và được xác định bởi công thức: ∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X : ϕ(y) − ϕ(x) ≥ x∗ , y − x , ∀y ∈ X} (2.2) ∗ • Giả sử F : X → 2X là ánh xạ đa trị Bất đẳng thức biến phân suy rộng xác định bởi ánh xạ F và tập lồi K là là bài toán tìm x ∈ K thỏa mãn bao hàm thức: 0 ∈ F (x) + NK (x) (2.3) Từ công thức (2.1) suy ra x ∈ X thỏa mãn (2.3) khi... được thỏa mãn: (a’) Tồn tại lân cận U của x0 ,lân cận W của µ0 sao cho f là liên tục trên U × W (b’) Ánh xạ f (., µ) là đơn điệu chặt với mọi µ ∈ W và [ f (y, µ) − f (x, µ), y − x → [y → x] đều theo µ ∈ W ˜ của µ0 ,lân cận V˜ của λ0 sao cho với mọi Khi đó tồn tại lân cận W ˜ × V˜ tồn tại duy nhất nghiệm x = x(µ, λ) ∈ U của bất đẳng (µ, λ) ∈ W thức biến phân có tham số sau 0 ∈ f (x, µ) + NK(λ) (x) (2.27)... (x2 , µ) − f (x1 , µ), x2 − x1 > δ (c) Tồn tại lân cận U’ của x0 ,lân cận W của µ0 và hằng số γ > 0 sao cho: sup{ f (x, µ) : x ∈ U , µ ∈ W} ≤ γ , với mọi x ∈ U.f (x, ) là liên tục trên W ˜ của µ0 ,lân cận V˜ của λ0 sao cho với mọi Khi đó tồn tại lân cận W ˜ × V˜ tồn tại duy nhất nghiệmx = x(µ, λ) ∈ U của bất đẳng (µ, λ) ∈ W thức biến phân có tham số sau: 0 ∈ f (x, µ) + NK(λ) (x) (2.26) ˜ × V˜ Hơn nữa... trên có liên quan mật thiết với một số bài toán sau: 1 Bài toán điểm cân bằng Cho D là tập con khác rỗng của không gian X Ánh xạ f : D ×D → R.Tìm x¯ ∈ D sao cho :f (¯ x, y) ≥ 0, ∀x ∈ D 2 Bài toán bất đẳng thức biến phân Gọi X ∗ là không gian đối ngẫu của X Lấy x ∈ X, f ∈ X ∗ ta định nghĩa x, f = f (x) là giá trị của f tại x.Cho D ⊂ X là tập lồi,đóng,khác rỗng Cho ánh xạ A : D → X∗ ∅:D→R Tìm u ∈ D sao... gian Banach phản xạ 1.2 Ánh xạ đa trị Ký hiệu :2Y là họ các tập con của Y Định nghĩa 1.7 Cho tập hợp X, Y Ánh xạ F : X → Y được gọi là ánh xạ đa trị nếu F chuyển x ∈ X thành một tập hợp F (x) ⊂ Y, F (x) là ảnh của x.Ta có 1 A ⊂ X, F (A) = F (X), x ∈ A là ảnh của tập hợp A 14 2 y ∈ Y, F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (y)} là tiền ảnh của y 3 B ⊂ Y, F −1 (B) = F −1 (y) ⊂ X, y ∈ B là tiền ảnh của B 4 DomF =... đó f : X → X ∗ là ánh xạ đơn trị thì (2.3) trở thành 0 ∈ f (x) + NK (x) (2.4) 19 Khi đó bài toán tương ứng gọi là bất đẳng thức biến phân xác định bởi ánh xạ f và K • Giả sử (Λ, d) và (M, d) là các không gian Metric và x0 ∈ X, λ0 ∈ Λ, µ0 ∈ M ∗ Giả sử F : X × M → 2X ; K : Λ → 2X là hai ánh xạ đa trị và K(.) nhận giá trị lồi,đóng,khác rỗng Bài toán tìm x = x(µ, λ) thỏa mãn bao hàm thức 0 ∈ F (x, µ)... x1 ≤ ϕ(x2 ) − ϕ(x1 ) − ρt(1 − t) x1 − x2 2 Cộng các vế của bất đẳng thức ta được: x∗2 − x∗1 , x2 − x1 ≥ 2ρ(1 − t) x2 − x1 2 Cho t → 0 và đặt α = 2ρ ,ta có (2.28).Mệnh đề được chứng minh Chú ý : Nếu hàm ϕ(.) không được giả thiết là khả vi Frechet trên X thì ánh xạ x → ∂ϕ(x) không là ánh xạ đơn trị Ta có thể phát biểu hai kết quả về ánh xạ nghiệm của các bài toán quy hoạch lồi với hàm mục tiêu lồi mạnh