TRUONG DAI HQC VINH KHOA TOAN LUAN VAN TOT NGHIEP DAI HOC Dé tai: - , ,
TIM HIEU VE PHEP TOAN DOL
DAO HAM LIEN QUAN DEN BAT DANG THUC BIEN PHAN AFIN CHUA THAM SO
VA UNG DUNG CUA NO
Giáo viên hướng dẫn — : Nguyễn Thị Toàn Sinh viên thực hiện + Thái Thị Kim Liên
Trang 2MUC LUC e2 ồ 1 Chương I BÁT ĐĂNG THỨC BIÉN PHÂN TRONG #” 2:+ 3 1.1 Điểm bất động 2- 22+ ©22222EE12E21271122111121112211121112111.1111111 111 11 xe 3 1.2 Bất đắng thức biến phân 2 2+©2+EE£+EE£2EE2EE1EE12711271271211 22121 ee 3 Chương II CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐÉN ĐÓI ĐẠO HÀM CỦA F\) 09v 20 17a ốẽ.ẽ -.€đŒ.H H,), 5
2.1 Các khái niệm và tính chất cơ SỞ -2 2£ 2 2+++++++22+z+txxv+zxxevrvreee 5
2.2 Các phép tính cơ bản liên quan đến đối đạo hàm của ánh xạ đa trị 6
Chương III TÍNH CHÁT AUBIN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM - 20 3.1 Các khái niệm và tính chất CƠ SỞ - 2+ ©++++2+++t2E++2EEExrrrrrxrcrrkee 20
Trang 3MO DAU
Bất đắng thức biến phân được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác
nhau như kinh tế, kỹ thuật, vật lý toán Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đắng thức biến phân là việc xây dựng phương pháp giải Có rất nhiều
phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu như: phương pháp dựa trên kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa trên cách tiếp cận điểm bắt động, phương pháp dựa trên tính ôn định nghiệm của bài toán Gần đây, bài toán về
tính ổn định nghiệm của bắt đắng thức biến phân afin chứa tham số là một đề tài
được nhiều người quan tâm nghiên cứu
Năm 1979 S M Robinson (xem [7]) đã xét đến tính chất liên tục Lipschitz của
ánh xạ nghiệm của bài toán bất đắng thức biến phân afin chứa tham số Trong
khoảng những năm 1993-1996 B S Mordukhovich (xem [5], [6]) công bố một loạt bài báo quan trọng ở đó ông đưa ra nhiều ý tưởng và kỹ thuật mới, phát triển
một phiên bản vô hạn chiều sâu sắc và đẹp đẽ cho lý thuyết vi phân của ông, đồng thời chỉ ra rằng một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị (như tính giả-Lipschitz theo nghĩa Aubin, tính chính quy mêtric, tính mở địa phương) có thể đặc trưng bằng cách sử dụng công cụ đối đạo hàm qua giới hạn
Dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Tồn chúng tơi chọn đề tài: “Tim hiếu về phép toán đối đạo hàm liên quan đến bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số va ứng dụng của nó”, dựa trên bài báo của GS TSKH
Nguyễn Đông Yên (xem [9], [10]) Mục đích của luận văn là tập trung nghiên cứu
tính chất Aubin và tính chính quy mêtric địa phương của các ánh xạ nghiệm của bắt đẳng thức biến phân afin chứa tham số
Với mục đích trên luận văn được chia làm ba chương:
Chương I Bắt đẳng thức biến phân trong R”
Trang 4Phần lớn các kết quả trình bày trong luận văn đã thu được bởi một số tác giả
trong các tài liệu [1], [2] [3] [8] [9] [10] và đã được trích dẫn trong luận văn Một số kết quả khác đã được tác giả chứng minh chỉ tiết đưới dạng nhận xét, bố đề
hoặc mệnh đề Tuy đã có nhiều có gắng nhưng vì năng lực và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót cả về nội dung lẫn hình thức Vì vậy, tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các Thầy giáo, Cô giáo và những góp ý của bạn đọc
Nhân địp này, cho phép tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Cô giáo Nguyễn Thị Toàn người đã hướng dẫn nhiệt tình tác giả trong quá trình nghiên cứu Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong tổ
Giải tích và trong khoa Toán đã tận tình giảng dạy, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập và hoàn thành khóa luận này
Trang 5Chuong I
BAT DANG THUC BIEN PHAN TRONG R” 1.1 DIEM BAT DONG
1.1.1 Định nghĩa Cho 4 là một tap hop va anh xa F: A> A Mét diém xe 4
được gọi là điểm bát động của F nếu F(x)= x
Hay nói cách khác, các điểm bất động của # là nghiệm của phương trình
F(x)=x
1.1.2 Định nghĩa Cho Š là một không gian mêtric Một ánh xạ F: SS
được gọi là ánh xạ corút nếu
d(F(x),F(y))<a@d(x,y), VxyeS (1) và mỗi a: 0<a@<l
Khi cho a@=1, anh xa F dugc gọi là không giãn
1.1.3 Định lý[`1] Cho S là một không gian mêtric đây đủ và F: S—>Š là một
ánh xạ corút Khi đó ton tai duy nhất một điểm bất động của F'
1.1.4 Định lý (brower)[1] Cho Ƒ là một ánh xạ liên tục từ một hình cầu đóng BCR" vào chính nó Khi đó F tôn tại ít nhất một điểm bắt động
1.2 BAT DANG THUC BIEN PHAN
1.2.1 Định nghĩa Không gian đối ngấu (R"} của ®“ là khơng gian của tất cả
các dạng tuyến tính
a:R"->R
xa <a,x>,
Trang 61.2.2 Dinh ly[1] Cho K CR" la tap compact, ldi va dnh xa F: K>(R") la
liên tục Khi đó, có một điểm xeK sao cho:
<F(x),y-x><0, Vyek (2)
1.2.3 Hệ quá[1] Cho x là một nghiệm của bắt đẳng thức biến phân (2) và giá
sử rằng xeintK, phần trong của K Khi đó, F(x)=0
1.2.4 Bai toan Cho K 1a một tập đóng, lỗi trong R” va anh xa F: K>(R") là liên tục Tìm xeK sao cho
<F(x),y-x>>0, VyeK @)
Định lý sau đây, đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của Bài toán 1.2.4
1.2.5 Định lý[1] Cho K CR" là tập đóng, lôi và ánh xạ F: K—(R") là liên
tục Điều kiện cần và đủ để Bài toán 1.2.4 có nghiệm là tôn tại R>0 sao cho có mot nghiém xp €Kp cua diéu kién (3) thoa man : lại <R
Trong d6 Kp =KO B(0,R) với B(0, R) là hình câu đóng tâm 0e R", bán kính R
1.2.6 Hệ quả[1] Cho Ƒ: K—>(R"} thỏa mãn
SEN te khi |x| >-+00, xe K, (4)
với xụ K bất kỳ Khi đó, tôn tại một nghiệm của Bài toán 1.2.4
Trang 7Chương II
CAC PHEP TINH CO BAN LIEN QUAN DEN DOI DAO HAM CUA ANH XA DA TRI
2.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHÁT CƠ SỞ
2.1.1 Định nghĩa Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ, F:X —>Y là ánh xạ từ X
vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y ( được ký hiệu là 2Ÿ) Ta nói F là ánh xa đa trị từ X vào Y Như vậy, với mỗi x e X, F(x) là một tập hợp con của Y
Ta sử dụng ký hiệu F:X => Y để chỉ F là ánh xạ đa trị từ X vào Y
2.1.2 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian định chuẩn Đồ /hj¡ gphƑ, miễn hữu hiệu dom F` và miễn ảnh røe Ƒ của ánh xạ đa trịF: X =% Y tương ứng được xác định bằng các công thức
gph F={(x,y)eXxY:yeF(x)},
dom F ={xe X: F(x)#0},
va rgeF={yeY: dxeX saocho yeF (x)}
Anh xa da tri F duoc gọi là có đồ thị đóng địa phương trong lân cận điểm
(X.Y) € gphF nếu tồn tại một hình cầu đóng B tâm (xạ.vạ) trong X x Y, có
bán kính dương mà BO gphF la tap dong trong X x Y
2.1.3 Dinh nghia Tap M c R* duoc goi là áp lồi đa điện nêu M có thể biểu
diễn đưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R*
2.1.4 Định nghĩa Cho © là một tập con của RỲ Khi đó các ký hiệu Q, intQ
và coneQ_ tương ứng biểu thị bao đóng của ©, phần trong của ©, hình nón sinh
boi Q, nghia 1a coneQ = {tz: zEQ,t 20}
Trang 8x->x được ký hiệu Lim sup ®(x)= tế € Y: 4 day x, > x, 6, >€, VỚI
x: x
§,€ O(x,), VA=L2 }
2.1.6 Định nghĩa Cho X 1a khéng gian Euclide, Q c X Tap Ne (x;Ð) là zập
các véctơ e- pháp tuyến Fréchet của © tại xe được cho bởi công thức:
We (sit)={vex lim SVAUTX? < \ (1.1)
yy UP Pu-xP —
ký hiệu u—Ê9 vy nghĩa là „—>x và e @
Nếu e=0' thì tập (1.1) là một hình nón lồi đóng và được gọi là nón pháp tuyến
Fréchet cha © tại x và được ký hiệu bởi N(x;Q)
2.1.7 Định nghĩa Cho X là không gian Euclide, Q c X Hinh non
^
N(x;O)= (@)= lim lim | supNe(x:0) Ne(x;Q) (12) 1.2 được gọi là nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich của © tại X
2.1.8 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian Euclide Khi đó ánh xạ D'®(x,ÿ): YÝ =s X được xác định bởi công thức
D*® (x,y)(y")= fx" € X :(x*,-y*) e N((X, ¥); gph ®)} (1.3)
được gọi là đối đạo hàm chuẩn tắc (hay đối đạo hàm qua giới hạn, đối đạo hàm
Mordukhovich) của ® tại (x y)
2.2 CÁC PHÉP TÍNH CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐÉN ĐÓI ĐẠO HÀM CỦA ÁNH
XẠ ĐA TRỊ
2.2.1 Bài toán Xét bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số
Trang 9được ký hiệu AVI(M, q, A, b), với (q, b) e R°"x R” mô tả nhiễu tuyến tính; M e
R"*", A ce R"*";, A(A,b)={xeR":Ax<b} là tập lỗi đa diện; N(x; A(4,))) ={veR”:<v,„—x><0,VweA(A,b)} là nón pháp tuyến
lỗi của A(A, b) tại xeA(A,) và < v,ø > biểu thị tích vô hướng của v và uw
Quy ước N(x A(4,0))=Ø khi x#A(4,b) Tập nghiệm của (1.4) được ký hiệu là S(q, b) Nhu vay, x € S(q, b) nghĩa là x e A(4,b) và
<Mx+q,u—x>>0, VueA(A,b)
(1.5) Trong chương này ta đặt C = A(4,b), X là không gian Euclide
2.2.2 Nhận xét Cho A4 = - E, với E là ma trận đơn vị trong R"*" và b = 0
R" Khi đó x thóa mãn (1.4) nếu và chỉ nếu
Mx+q20,x20,<Mx+q,x> =0
Chứng minh Cần Giả sử x thỏa mãn (1.4) Ta có A(A, b) = {x eR": Ax<
b} Ma theo gia thiết A = - E, b= 0, đo do A(-E, 0) = {x € R": -Ex <0}={x &
R": x >0} Tachon wu = 2.x thay vao (1.5) tadugc < Mx +q,x>2>0,max > 0 nên Mx+q20 Chonu = s4 thay vào (1.5) ta được < Mx+q,x><0.Do
do <Mx+q,x>=0
Di Gia st Mx+q20,x20,<Mx+q,x> = 0 Ta dé dàng chứng minh được x thỏa mãn (1.4)
2.2.3 Chú ý|9] Néu 2 =X là tập lôi và X là không gian Euclide thì
ĐŒ:©) = N(X:O)= {veX:<v,—x><0,V„eO},
2.2.4 Định nghĩa Cho J = {1, 2, , m} Với mỗi xeC, tập chỉ số hoạt ứng với điểm x được cho bởi
I(x)={ieJ:4x=b}, (1.6)
Trang 10A, la ma tran hgp thanh bởi các hàng 41,, ¡ e I (định nghĩa 4r tương tự) Khi đó
giả mặt F, của C= A(A,b) tương ứng tập chỉ số I được định nghĩa bởi công thức
tị =[xeR" :A,x=b,, Arx<b,}
Pos| 4? lie 1 là nón lỗi được tạo bởi các véctơ cột Lư :ịc 1}
2.2.5 Chú ý Nón pháp tuyến X(x;C) của C tai x € C 1a nón đối ngẫu của nón
tiếp tuyến 7(x:C), nghĩa là
N(x;C)=(7(x:C))Ì ={x' eX*:<x”,v><0,Vve7(x;C)}, (1.7)
trong do C CX, voi X là không gian Euelide, X” là không gian đối ngẫu của X 2.2.6 Định lý|3] (bố đề Farkas trong không gian véctơ tùy ý) Cho W là một không gian véctơ chiều tùy ý Giả sử rằng sự kéo theo sau đúng với bắt kỳ u e W
[<x7,u><0, Viel] > [<x*,u><0],
trong đó ICN là tập chỉ số hữu hạn, với x} va x" la cdc phan tử của X*, Viel Khido sé tén tai %4>0,¡eT sao cho
x= > Ax
2.2.7 Ménh dé Gid se XC, x EF, va I =1(x) duoc xdc định bởi (1.6)
Khi do ta co
(i) N(x;C)= pos|AT :¡eT], (1.8)
Trang 1110
Do xeF, nén 4x <b, Vie T, do dé sé ton tại một lân cận V của x sao cho
4x <b,VWxeVvàie T Bây giờ ta sẽ chứng minh sự kéo theo sau là đúng
[4,u<0,Viel] => [<x*,u><0] (1.11)
That vay, lay bat ky weR” voi 4u<0, Viel Do V 1a lan can cia x nén
x+” e V, với n đủ lớn Với ¡e Ï, ta có Al*+)<® và khi ¡ € 7 thì n n ta có Ax = b;, A{x+4] =Ax+A," =b +4,“ <b Do đó A(x} <b Suy ra n n n n
xt eC, với n đủ lớn Bởi vậy theo (1.10) ta có < x”,z>< 0 Khi đó theo bổ đề
Farkas ta có
N(x;C) C pos{A?:¡e 1]
Ta sẽ chứng minh N(x; C) Đ pos{AT:¡e 1] Lấy vepos|A7: iel}, ta cần chứng
minh ve N(x; C) Do ve pos{A}:ie/} nén suy ra v= ¥ AAS A >0, Viel
Chứng minh ve M(x;C) tức cần chứng minh <v,x'—x>< 0, V x'eŒ Với mỗi x'eC bắt kỳ ta có <v,x=x>=< Y 4A/,x-x>= Y Ã4(A,xý-4x)= Ÿ 4(A,x=bp<0 Từ iel iel ‘el d6 suy ra ve N(x;C) Vay N(x; C)= pos{A}:ie/}
(ii) Lay w thuộc về phai cia (1.9), ta sé chtmg minh ueT7(x;C) Voi
ueR",A,us<0, Viel ta da chimg minh được <x",u><0, x* eN(x,C) Từ đó
suy ra uw € T(x; C) Do dé {ue R": Aju <0} CT(x;C)
Ta cần chứng minh {weR":A,u<0}57(x;C) Lay ueT(x;C), ta sẽ
chứng minh øz thuộc về phải của (1.9) Ta có T(x;C) = (N(x: C)) =
Trang 1211
4,>0,4,=0 j#i, jel thi ¥ 4,4) =A,A4! €N(x;C) Tr dé ta c6 <u, 4,47 > < jel
0, VuweT(x;C) Hay (4,u) A, <0, VueT(x,C) Suy ra Aju <0, VueT(x;C)
Do dé T(x; C) cClueR": A4u<0,VieT]}
Vậy T(x;C)={ue R": 4u <0}
Vậy mệnh đề được chứng minh
2.2.8 Định nghĩa Tập @ c R* được gọi là mặ đóng của C nếu ton tai JCJ
sao cho
O=F, ={xe R": Arx=b, ArxSb,]
2.2.9 Chú ý Định nghĩa 2.2.8 sẽ tương đương với phát biểu sau: @ c R" là một mặt đóng của C nếu ton tại š e C và
veN(; C)= pos{A7:¡<1(x)}
sao cho @=Íx€C:<ÿ,x—x>= 0} Nếu C là nón (trong trường hợp b = 0) thì Q 1a mat đóng của C khi và chỉ khi tồn tại ø eC° mà O={xeC:<ÿ,x>=0}
Tiếp theo chúng ta sẽ nêu ra các bổ đề mà đưa đến đối đạo hàm chuẩn tắc của
hàm đa trị #2(x)= N(x; A(4,ð)) tại điểm (x, v) O 3> Voi Q,= gphFy
Trang 1312 Ching minh Gia sir (x*,v") thoa man (1.12) va (1.13), ta chimg minh (x*, v) € N(x, v); Q,), tức cần chứng minh <x", %M x>+<v",M PM- x P+ PHo- vP v> <0 lim sup (%% 23x, v)
Giả sử (#B$eCx N(#C) là phần tử tùy ý với (#6}zZ(x,v), #@C được lấy đủ
gần x sao cho N(%C)c N(x;C); do vậy We N(x;C) Khi đó ta sẽ có đắng thức
sau
(T(x: C)avt) = NG C)F Rv = N(x;C)+R y (1.14)
Thật vậy, lay bat ky x*eN(x;C)+Rv Khi do sé tén tại một dãy
{xn} CN (x; C)+R-v sao cho x*-> x* Ta gia sir rang x*=vett,v voi
v,€N(x;C),t,¢R~ Lay bat ky MeT(x;C)av*, ta có <x;„;, #6 =< vị +f„v, #6 =< và, Me tt, <v, Wo =<v,,% <0.Chon>o, * ta được < x”, > <0,V Me T (x; C)O v+ Boi vay x e(T(x;C)av*) * Từ đó suy ra Nx;C)+R've|7(x:C)¬v†] Ta sẽ chứng minh * N(x;C)+Rv 5 (T(x;C)ov') Đặt Q=1(x), P={ig'| = fig} CQ xét he {4,,}, 9 ta 06
A=T(x:C)v*=|#€ X: A#€ 0, Viel (x)=O, <v, % =0}
Đặt =1, khi đó @'={#€ X:4#£0,Viel'=PUO], với 4;=4,,VieQ
và 4=—v nếu ¡eP Chọn x=0e€, lúc đó 1(x)={¡eT': 4x =0} ==T" Do vậy T(x;@')={ue X: 4u„<0,V¡eT] =Ø'
Từ đó ta có
Trang 1413 = xi 247 :a, >0,VierÌ| ie = {Pe x:te| YaAT+y 5/4”: >0,VieT]| ¡cQ ieP
= [exe Em +a, 4" :0,20,VieQ, or, 20
= [We X:e pos{ AT siel(x)} +a, A", a, >0] N(x; C)-av < N(x;C)+R> Vay (1.14) duge ching minh Do dé x* = x9 + yV với x eN(x;C), yeR Tt đó ta có <4!,Wex>+<vÌ,Wv>=<xp +7v, Wcx>+<v”,W@—<v”,v> =<xj,Wx>+7<v,Wx>+<vÌ,ĐG Vì v°e7(x;C),We N(x:C),7(x:C)=(N(x:C))”, xe N(x:C), #@C nên <v”,#&<0, <xj,#@& x><0 Từ đó suy ra <x, Mex>+<v Mev><y<v,Mx> Sy<v,Mex>+7<Mox—-Le <y<v—-hh x>,yeR , VeN(MC) Ta suy ra <x", Mor x>t<v',Wov> < ly|max {P- xP,P#6- vP) P#xP+Pf%yP Do đó lim sup <x", Moro x>+<v', We v> <9 Q PM- xP+P%vP a (#4 ——“*¬(x, v)
Vậy bổ đề được chứng minh
2.2.12.Định lý|9] (nón pháp tuyến theo nghĩa Mordukhovich, trường hợp b cố
Trang 1514 N((x,v);©,)= wile xO), (1.15) với hợp sé được lay trên họ các cặp (1',Q), trong dé I' I(x) ={ie J: 4.x=b, thoa man ve pos| Aj :¡e J'} (1.16)
và Q là một mặt đóng của nón lỗi đa diện TỰ: Cc) avi
Ching minh Gia str F,, 14 mot gia mat cua Œ có xeF, Khi đó /'c/(x)
Thật vậy, nếu xef, và ¡eJ\J(x) thì khi đó sẽ tồn tại một dãy x, fr , x ma
Ax, =b, 0k Suy ra 4.x = b,, mâu thuẫn vì ¡eƑ'\I(x) Ngược lại, nếu J'C I(x)
va F,,#@ thi xeF, That vay, lay bất kỳ xe và đặt x,=(l—f)x+fx' với
te(0,1) Do x,xe#,, nên ta có 4,x=Ù„, Anx<b; và Aux =bu, An,x'<b,, mà
x, =(1-f)x+tx" Tir dé suy ra duge x, €F, và x,—>x khi /—>0”
Theo định nghia, (x*,v*) N(x, v);Q3) nếu và chỉ nếu có đãy (x„.v„)—(%.v)
và (x;.vz)—> (x*,v"), vụ € N(x,;:C), (x4 Je Ñ((x,.v,):9;).v k Từ số giả mặt của C' là hữu hạn thì phải tồn tại một tập chỉ số /C.! và một dãy
con {x cua {x,| sao cho x, €F,, vi moi &; Khi x, x, ta co I'c I(x) Theo J J J kj K „)<(7(x¿:€) a vi | «(T(%,3 €) O va | (1.17) * =(7(F,:€)av¿ ) x(T(F,:€)evj ) các Bồ đề 2.2.10 và Bỏ đề 2.2.1 1, (si vt )<Ñ((x,.w,):9,) nghĩa là J
Do Ye, eN(x, 3] nên ta có <w,,„w><0, với „e7(F,;C) Do đó 7(f„:C) 0 %,
là một mặt đóng của nón lồi đa diện T(F,;C) Ta dat Q = T(F„;C) 0 ve, cho qua
J
Trang 1615 N((x,v;©;)C= U (Q*xQ) Từ y, >v khi k; 0, din dén QCT(F,;C) vt (.9) i và hơn nữa @ là một mặt đóng của nón lồi đa diện T(F„;C)}o vị Từ J v4, ©M[%,3C}=pos| 4" :ie/}, Vk; pos{ 4} :iel’} la dong, mad khi k;>@ ta có (1.16) Ta chứng minh N(x, v); Q,) > U (Ox) Gia str rang (x.v)e U (đ x6), với tập (7’,Q) (0|
chỉ số 7C 1{x) thỏa mãn (1.16) và mặt đóng O của nón lỗi đa diện T(f„:C}O Vụ: Tir F,, #© sé ton tai day {x,}< F,, hdi tu toi x Ø là một mặt đóng của nón lồi đa
dién T(F,:€) đo đó sẽ có veK =pos{A7 :¡ e1} sao cho @=7(F„:C)=v° Chọn dãy {t,}<(0.1) sao cho t, >0” khi k—>œ Do K là tập lỗi nên ta có
vụ =(I-#)y+y eEK,Vk
Từ đó ta có vụ € N(x,;C).V&, vị —>v khi &-> và O=7(F„;C) avy, VÉ Do
đó, theo Bổ đề 2.2/11 (x',v')e Ñ((x.v,):©)).V& Ta suy ra (x*v*) €
N((x,v); ©,) Do đó „2 xØ)c N((x, v); ©)
Vậy định lý được chứng minh
2.2.13 Dinh lý|9] (đối đạo hàm chuẩn tắc, b cé dinh) Cho (x,v) € gphF, và
v" ER", khi đó tập D'F(x,v)(v') gồm tất cả x” 6Ñ" sao cho
(x',—v')<@'xQ
với tập chỉ số CI=I1(x) thỏa mãn (1.16) và một mặt đóng Q của nón lơi da diện
T(F„:C)¬ vì
Tiếp theo chúng ta đưa ra ước lượng về đối đạo hàm chuẩn tắc của hàm đa trị
F,(x,b)=N(x:A(4,b)) tại (x,b,v)¢ Q,, voi Q, = gphF,, b eR" tuy y va
Trang 1716 Trước hết, chúng ta đưa ra vài bố đề về nón pháp tuyến Fréchet của © tại (x,b,v) €Q, 2.2.14 Bé dé[9] Néu (x*,b*,v") € N(x, b, v); Q„) thì khi đó (x w*)e(T(x; A(4 bya vty x (T(x; A(4,b)) aA v}), (1.18) x' =— AT (1.19) và be =0, (1.20) voi T=1, ,(x)={ieT: 4x=b),I =J\I Hơn nữa, nếu v= x, AAT, 2,20,Viel va I,={iel:A,=0} thi by, <0 (1.21)
Chứng minh Giả sử rằng (x, b, v) € Q, V6i 1, ,(x),1,/ duge xdc định như
trong bé dé Gia sir (x*, b*, v") € N((x, b,v); Q,), ta can ching minh (1.18), (1.19)
Trang 1817
Cho bất kỳ #>x, ta chọn be = 4,% be = b-, Ye v DE thay
We N(%A(4,b}) khi # được lấy đủ gin x Ta 06 b, = 4,-x, thế bộ ba ( #440} với cách chọn trên vào (1.22), ta được <3 ,Wex>+ <7, A, Me A,x> lim sup———————— <0 Yer x PM- x P+ PA,# A,xP Từ đó ta suy ra <x + A7br,Wx> USL SYP DR xP+ P4,(6 x)P C Suy ra * Ty» Mex Jin sp DĐ <0 Vor) + P4, (Geox P Do đó ta có <x" + Al by, w> 1+P4,wP <0,
Vv wer” ma PwP=1 Từ đó suy ra x* + A7 dF =0 Vay (1.19) durge chứng minh
Lấy bất kỳ jeJ Tính chất (1.20) sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh
được / =0 Giả sử b=, với ieJ\[7\, boe(b,-«, bj +é), trong đó
£=b,—A,x>0 Tirdd tacé 4.x=beviel, 4x<boviel,
Do dé ¥= x sé thude A(4, bY va % v thỏa mãn hệ thức
W pos(A,:¡ Ï)= N[#6A( A4, By)
Lúc đó (9) (x, b,v) khi 9-»b, Do vậy, từ (1.22) ta có
b*( fb)
lim sup —-——— < 0
Trang 1918 Ta suy ra b.(9—b, lim sụp J2 2) ? sọ, Bob, be- bị Do bee (6; —#, b, + £) được chọn tùy ý nên suy ra b; =0 Vậy (1.20) được chứng minh Gia sử v= » 4,4Í,2,>0,VieJ và Iạ={iel:,=0}, ta cần chứng minh iel
bi, <0, tức chứng minh b7<0,Vje lạ Cố định chi sé je Tạ, chọn
be b,, Bo> b,, be=b,, Wie J\{j}, Yo x, Ve v Khi dd, ta 06
Wcv= Ð 4,4) = > 4,4 ¡eT( j| + Y AAT = yD AAP, ¡€Íg ¡eT(j| A, 20
Từ đó suy ra ve pos{4,:¿e7\{7}}= N(WA(4.Đ))
Lite dé (2660 „(x,b, v) khi 9—› b7 Do vậy, từ (1.22) ta có b;( be-b;) lim sup—~—+— <0 Bohr be-b, | Do đó b;(/—b,)<0 mà 9>b, nên 9—ø, >0 Suy ra ð7 <0, V j Tạ Như vậy (1.21) được chứng minh Vậy bổ đề được chứng minh 2.2.15 Bố đề|9] Nếu (x,b, v) Q„ và (x*,b",v") R" x R” xR" là bộ ba thỏa man (1.18), (1.19), (1.20) và cộng thêm điễu kiện b; <0 (1.23) thi (x, b*, v*) € N(x, b,v); Q,)
Sử dụng Bồ đề 2.2.14 chúng ta đưa ra một ước lượng trên cho nón pháp tuyến
Trang 2019
2.2.16 Dinh ly[9] (Nón pháp tuyến Mordukhovich của Q,) Cho bắt kỳ điểm (x.b,v)e Q¿, nếu (x”,b',v°)e R"xR"xR" mà (x',b ,v`)«e N((x,b,v); Q;), thì sẽ ton tại một tập chỉ số UCI,,(x)={i<J: Ax=b,} (1.24) thoa man ve pos{ 4) :iel'| (1.25) và một mặt đóng Q cua nón lối đa diện 7(F„: c) a vt sao cho (x*,v")eQ°xQ, (1.26) x*=— ALD), (1.27) va bt, =0, (1.28) với F,,={x: A, x= by, Ax <bp}, = JM’
Chứng minh Giả sử (x',0*,v')e N((x,b,v);Q„) Khi đó sẽ tồn tại day
(x,.b,,v,)—>(x.b,v) và (xị, bệ, vg) (2°, 5", v*) sao cho vụ e N(x¿; A(4,b, )) và
(xh bf vt) Đ((x,.b,.v,):Ơ;) VĂ (1.29)
Tit 14.5, (x, )={ieJ: 4x, =(b,),} oJ, s€ ton tai mot tap /“C J sao cho
Trang 2120 (b;),,=0 (1.32) va (1)„„ <0: (133) voi '=J\I',y,= ¥ ASAP, A 20, Viel! va [,(k)=fiel': Af =0} iel' Từ 7(x,;A(4,b,))={v: 4„w<0} =7(F„;C), V &, ta có thể viết lại (1.30) như sau (xf vg) e(T(FsC)o vg) x(T(F,sC) vị) (1.34)
Cho k->œ và dựa vào chứng minh của Định lý 2.2.12, từ (1.34), (1.31) và (1.32) ta suy ra được điều cần chứng minh
Vậy định lý được chứng minh
i
2.2.17 Chu y Cho v= > 1,4), 4,20, Viel’ va I, ={iel': 7, =0} Lién quan
jel’
đến tập chỉ số 7¿(k) xuất hiện trong (1.33), với k tuỳ ý Qua cách xét một dãy con,
ta giả sử rằng Ja(k)=1C 1 Nhưng nói chung, khi y, =>v không kéo theo ƒ” C 9 Do vậy từ (1.33) ta không thể có by, <0 Diéu nay cho thay tai sao (1.33) khong
0
được đưa vào kết luận của định lý trên
2.2.18 Định lý|9] (Đối đạo hàm chuẩn tắc, với b tuỳ ý) Cho bất kỳ (x,b,v)< gphF; và v”eR", nếu (x*, b*) € D*F,(x,b,v)(v*) thì sẽ ton tại một tập chỉ số I'CI,,(x) thóa mãn (1.25) và một mặt đóng Q của nón lồi đa diện
T(F,„;C)n v° sao cho các điều kiện (1.27), (1.28) được thỏa mãn và
Trang 2221
Chuong III
TINH CHAT AUBIN CUA ANH XA NGHIEM 3.1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHÁT CƠ SỞ
Chúng tôi sử dụng bài toán và các định nghĩa, định lý, ký hiệu ở chương II vào chương III nhằm xét điều kiện đủ đề ánh xạ nghiệm có tính chất Aubin
3.1.1 Định nghĩa (i) Anh xa nghiém S(q, b) của bài toán (1.4) được gọi là có
tính chất Aubin trong lân cận điểm (đo- bạ xạ) < gphS nếu tồn tai cdc lan can U,
của q, U, cua b > ÝŸ của Xo và một hằng số />0 sao cho
S(Œ,b)V c S(q,b) + I(Pq'~qP+Pb'—bP)B„„, V (q',b'),(q.b) e U, x U;,
trong đó B,, la hinh cầu đóng đơn vi trong R”
(ii) Anh xa nghiệm S(w, b) của bài toán 0e ƒ(x,w)+ N(x;A(4,6)), voi
f: R" x RỶ—>R" là một hàm véctơ CỶ đã cho được gọi là có tinh chat Aubin trong lân cận điểm (Wo 493%) € gphS néu ton tại các lân cận W của wạ, U của by, V của xạ và một hằng số >0 sao cho
S(w',b')AV c S(w,b) + /(Pw'—w P+ Pb’— bP) Brn, V(w’,b’),(w,b) e WxU 3.1.2 Chai y dist(u, Q) = inf{Pu — wP: @ € ©} ký hiệu khoảng cách từ u đến
QOcCR'
3.1.3 Dinh nghia (i) Anh xa nghiém S(q, b) của bài toán (1.4) là chính quy
mêtric địa phương theo nghĩa Robinson trong lân cận điểm M =(X đọ» bạ, Ö mm)
thỏa mãn 0 e M⁄xụ + đạ + N{xụ: A(A, b)) nếu tồn tại các hằng số y>0,u>0 va
các lân cận V của xạ; Ú) của I> Ur cua by sao cho dist(x, S(q,b)) < ydist(0, Mx+q+N(x;A(4,»)))
Trang 2322
(1 Ánh xạ nghiệm S(w, b) của bái toán 0e ƒ(x,w)+ Nịx;A(4,ð)) với
ƒ:R"xRŠ—>R" là một hàm véctơ C' đã cho được gọi là chính quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson trong lân cận điểm #p =(Xạ, Wạ, bạ, 0ạ„) thỏa mãn
Oe Sf (Xo Wo) + N(x; A(A, by)) nếu tồn tại các hằng số y >0, ; >0 và các lân cận
V của xạ, W của wạ, của bạ sao cho
dist(x, S(w,)) < rdist(0, f(x, w)+ N(x;A(4, )))
xeV, weW, beU, dist(0, ƒ(x,w)+ N(x; A(4.b))}<
3.1.4 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian Banach, ham f: X >Y duoc
gọi là khả vi chặt tại xe X nếu J kha vi Fréchet tai ¥ va
tim /)</0)=/G)G=1)g
x>x,u>X Px-—uP
3.1.5 Định lý[10] Cho g: R"->R” la kha vi chat tai ¥, ó,: R" => R” là
một ánh xạ đa trị tùy ý có đô thị đóng Khi đó, với bắt kỳ y e ý (x)+ đ,(x) và
y ER” taco
D(A + EN) = (VA) y+ DA (B I-A )(0")
3.1.6 Định nghĩa Cho X, Y là các không gian véctơ và `: X-—>Y Khi đó hại
nhân của F ký hiệu kerF được định nghĩa bởi công thức ker F={xeX: F(x)=0}
3.1.7 Dinh ly[10] Cho X,Y,Z là các không gian Euclide hữu hạn chiễu, ánh
xạ đa trị F:XxY = Z, (*o› e) 6XxY sao cho 0 € F(x, %)- Giả sử G là
hàm ẩn đa trị được xác định bởi G(y)={xeX:0EF (x, y)} Néu gphF la tap
đóng địa phương trong lân cận diém wy =(%ạ; yạ.0z) và
ker D* F(a) ={0} (2.1)
thì D°G[yạ,xạ)(x”)C lò <Y':3z”e<Z',(-x,»)e DˆF()(2')} (2.2)
Trang 2423
3.1.8 Dinh ly[10] Với các ký hiệu như trong Định lý 3.1.7, nếu (2.1) được thỏa mãn và
{y* eY*: 32% eZ", (0, y") e D'F(a)(z")} = {0} (2.3)
thì ham Gn da tri G có tinh chat Aubin trong lan cận điểm (vạ xạ), nghĩa là tôn tại các lân cận U cua x4, V của yạ và hang sé 1>0 sao cho
đ(y)U c G(y) +IPy'- yPBy, Vy, y'ef
3.1.9 Định lý|10] Cho X.Y,Z là các không gian Euclide hữu hạn chiều, ánh xạ đa trị F: XxY =3 Z7, (xạ xạ) XxŸ sao cho 0c<Ƒạ yạ) Gia sw G là
ham ẩn đa trị được xác định bởi Œ(y)= {x ceX:0e F(x.»)): Nếu gphF là đóng địa
phương trong lân cận điểm ® =(xạ; vạ,0z), (2.1) và (2.3) được thỏa mãn thì G là
chính quy mêtic địa phương theo nghĩa Robinson trong lân cận điểm
®y =(Xạ, vạ;0z), nghĩa là tôn tại các hằng số 7>0,/u>0 và các lân cận U của
xạ, Ứ của vụ sao cho
dist(x,G(y)) < y dist(0, F(x,y))
xeU, ye, dist(0, F(x,y)) <u
3.2 TINH CHAT AUBIN CUA ANH XA NGHIEM
3.2.1 Các tính chất của ánh xạ nghiệm q->S(q.b) và w->S(w,b)
Trong phần này, cho ö e R™ va xy € S(qo,) Lic do, ta cd OE F(x, Yq),
voi F(x, y)=F\(x,¥)+ Fy (X,Y), V=9,V9 =%W> Fi (4.9)=M x+ 4 va F,(x,q)=N(x;A(A, 5)
3.2.1.1 Định ly[10] Néu với bắt kỳ q” e R", ta có q` =0 khi
Trang 2524
với tập chỉ số I'C I=l{(xy)=[ieJ: xạ =b,} và một mặt đóng Q của nón lồi ẩa
điện T(F„: C) (Max + I) thì có các tính chất sau:
(i) Anh xa q->S(q,b) có tính chất Aubin trong lân cận điểm
(đo: xo) #ph Š(-,b);
(ii) Ảnh xạ q>S(q.b) là chính quy mêtric địa phương theo nghĩa Robinson
trong lân cận điểm (xạ Jo» Opn )
Chứng minh Dễ thấy F¡ là khả vi chặt tại (x đạ)- Ta sé ching minh F, 1a ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, tức chứng minh gphF, 1a tap dong
Thật vậy, giả sử (x„,q„,v„)c gphF; mà (x„,đ„.v„)—>(x, q,v), ta cần chứng
minh (x,g,v)e øgph#; Từ (x„,đ„.v„)< øph?2 suy ra v„ e N(x„; C) Do đó <tw„,x—x„><0, Vx'eC
Cho ø—>œ thì ta có <v,x'—x><0, Vx'eCŒ Từ đó suy ra ve M(x; C) Do vậy (x.4,v)< gph#; Khi đó áp dụng Định lý 3.1.5 cho téng F=R+K tai diém (xụ.dạ.0„) < gphFƑ, với q* eR” bat ky ta cd
ĐẺF(xụ, đọ; 9 pn )(7") =(M"q" + D*F,(x),- Mx —4q)(a"))* {7} (2.5) Với @ =(Xạ› Vọ› Ủạ» } =(Xạ› đọ: Opn) , tir (2.5) suy ra ker D'F (a) ={0}
Điều kiện (2.3) sẽ được viết như sau:
MTq'e D'R(xg.— Maxg -q)(-9°) = 4 `=0
Giả sử MTq” e D”F;(xạ,— Mxạ —qạ)(—q”) Khi đó theo Định lý 2.2.13 ta có (M 4" 4) cØ@” xÓQ, với tập chỉ số Ƒ'CT=!(xạ) và mặt đóng Q của nón lồi đa diện 7(F„;C) (Mạ + đụ) - Từ giả thiết của định lý suy ra g” =0
Do đó theo Định lý 3.1.8 thi tinh chất (¡) đã được chứng minh
Để chứng minh tính chất (ii) ta chỉ cần chứng minh # có đồ thị đóng, tức
Trang 2625 That vay, gia su (Xs I> Z) e gphF ma (xy đ;z„)—>(%:đ.Z)› ta cần chứng minh (x,qg,z) € gphF Tw (X;› đ;› Z,,) € gph# suy ra z„ € Mx, + q, +N(x,5C) Do d6 z,-Mx,-q, 6 N(x,; C) Tir do ta suy ra <z, — Mx, —q,,X'—x„ ><0, Vx'eC Cho k—>œ thì ta có <z— Mx—q,x'—x><0, Vx'eC Có nghĩa là z—=Mx-qeN(x;C) Suy ra ze Mx+q+N(x;C) Hay (x,q,z)€ gphF
Do vay gphF la tap dong
Vậy Ƒ có đồ thị đóng địa phương trong lân cận điểm (xạ: o> Opn):
Từ các chứng minh trên, theo Dinh ly 3.1.9 thi tinh chất (¡) đã được chứng minh
Vậy định lý được chứng minh
Sau đây ta sẽ xét ánh xạ nghiệm w ->S(w,) của bài toán
Oe f(x,w)+ N(x;A(4,})) Gia sit be R”, wy € R*, x) € S(wo,b) Khi d6
Oe F(x, ¥o), trong dd F(x, y)=F,(x, y)+ Fy (x,y), voi y=w, yy =Wo và
Fi(x,y)=f (x,w), F3 (x, y)= N (x; 4(4,5)) Tt Vf (x9, Wo) =
[VF (Xs Wo)» Vw F(X» Wo) |» sử dụng các Định lý 3.1.8, 3.1.9 ta có được Định lý
3.2.1.4 sau Trước hết ta đưa ra 2 kết quả được sử dụng trong chứng minh Định lý
3.2.1.4
3.2.1.2 Mệnh đề|8] Cho V, ƒ' là các không gian véctơ, ƒ: V—>V' là ánh xạ tuyến tính Khi đó ƒ là đơn ánh khi và chỉ khi kerƒ là không gian véctơ con không
3.2.1.3 Nhận xét Nếu ánh xạ ƒ: R* —> R" là toàn ánh thì ánh xạ đối ngẫu của
Trang 2726
Chứng minh 7hậ¿ vậy, giả sử / là toàn ánh, ta cần chứng minh f* 1a don
ánh, tức chứng minh ker(/)} ={0\ Điều này sẽ tương đương với chứng minh nếu (f) (v*)=0 thì y*=0 Ti (f)'(y*)=0, ta suy ra < f*y*,x>=0, VxeR® Ter đó suy ra < y”, ƒ(x)>=0, Vxe RẺ
Ta chứng minh y” =0, tức chứng minh < y”,y>=0, Vye#” Do 7 là toàn ánh
nên với mỗi y © R” bat ky sé Jx eR: y= f(x) Ti do suy ra <y”,y>=<y”,ƒ(x)>=0
3.2.1.4 Định lý Giả sử Vv/ (xạ, Wo): R°—>R" là một ánh xạ toàn ánh Nếu
với bắt kỳ q" e R", ta có q` =0 khi ((Y./Gu:w)ƒ 252) < Q*xÓ, với tập
chỉ số II = I(xạ) ={i J: Aixạ =b,} và mặt đóng Q của nón lỗi đa diện
T(„: cya (/(x.w,))` thì có các tính chất sau:
() Ảnh xạ w->ŠS (w.b) có tính chất Aubin trong lân cận điểm
(wo, 3a) € gphS(.,b);
(ii) Anhxa w —S(w,b) la chinh quy métric dia phwong theo nghia Robinson
trong lân cận điểm (xạ, Wo: 0 pn)
Chứng minh Theo chứng minh của Định lý 3.2.1.1 ánh xạ #ˆ có đồ thị đóng
Trang 2827
Vi anh xa Vy f(xp,Wo): R°R” là toàn ánh nên theo Nhận xét 3.2.1.3 ta có
(Vu F (x9 Wo)) : (R") > (R°Y ladon Anh,
MA (Vu (XsWo)) =(VuF (Xs Wo) - Do 6 ker D'F (a) =0
Ta có điều kiện (2.3) sẽ tương đương với điều kéo theo sau:
(V./ (xạ,wạ)) 2" € D°F,(%,— £(%,Wo))(-4") => 4`=0
Giá sử (V, /(x.wa)) 4 <P'F(xạ;— ƒ(xạ.wạ)Ì(4”) Khi đó theo Dinh lý
2.2.13 ta có ((V./u.w aa") e @”xQ, với tập chỉ sé I' CI =I(xy) va
mặt đóng Q của nón lồi đa điện T(F„: C) A( (XW) Theo giả thiết của định lý
suy ra q* =0
Từ đó theo Định lý 3.1.8 thi tinh chat (i) đã được chứng minh
Dé ching minh tinh chat (ii) ta chỉ cần chứng minh # có đồ thị đóng, tức
chứng minh gph F la tap dong
Gia str (x,,w,.z,)€ gphF mà (x,,w,.z,)—>(x,w,z), ta cần chứng minh
(x,w,z)e gph# Từ (Xp Wie 2%) e gphF taco z, =ƒ/(x,,wy)+ N(x,:C) Suy
ra Zz, —f (x, )EN (x5 C)- Từ đó ta có <z, —f (Xo Wy)" — Xp ><0, Vv
x'eC Cho k->œ ta được <z-— ƒ(x,W),x-x><0, Vx'eC Từ đó
suy ra z— f (x, w) € N(x;C) Hay ze f(x, w)+ N(x;C) Do dé (x, w,z) €
gphF Vay gphF 1a tap dong
Từ các chứng minh trên, theo Dinh ly 3.1.9 thi tinh chat (ii) đã được chứng minh Vậy định lý được chứng minh
Trang 2928
Gia str b, eR” và xạeS(qạ.bạ) trong đó S(4,b) biểu thị tập nghiệm của
(1.4), 0eƑ(sạ,yụ) mà F(x,y)= R(x,y) + f(x,y), với y = (4) yạ =(đạ: bạ)
H(x, y)= Mx+q và F (x y)= N(x A(A, b)) Sau day ta sẽ nghiên cứu điều kiện
để ánh xạ nghiệm có tính chất Aubin và tính chính quy mêtric địa phương, với b
tùy ý
Trước hết chúng ta nêu ra các bố đề hỗ trợ cho việc chứng minh các kết quả chính
3.2.2.1 Bé dé[2] Cho tap Idi da diện khác rỗng AC R" và ma trận C6 RŠX"
Lúc đó ánh xạ A(C đ) được xác định bởi
A(C,đ)={xeR" : Cx=d}
là Lipschitz trên miền hữu hiệu Nghĩa là tôn tại hằng số 1>0 sao cho
A(C,d') < A(C,d)+1Pd'-dPBrn,
với A(C, đ) và A(C,d’) là các tập khác rỗng
Từ bổ đề trên ta có kết quả sau
3.2.2.2 Bố đề|2] Cho A(4,b)=A(b)={xeR*”: Ax<b} Khi đó A(A,b) là
lipschitz trên miền hữu hiệu
Chứng minh Đặt 4 =[ 4 E], trong đó £ là ma trận đơn vị trong R”"X" Giả sử X”={(x,w)eXx"*":xe X,w >0} Lúc đó A(4,b)={(x,w)eX”: Ax+ Ew =b} ={(w)¢ Xx": ale Theo Bồ đề 3.2.2.1 thì sẽ tồn tại hằng số 7 >0 sao cho A(4',b)C A(A',b')+IPb'—bPBp,, với A(4',b), A( 4’, b') là các tập khác rỗng
Từ A(4,b)=[xeX: 3we#**”",w>0,4x+w =b} „ ta suy ra A(4,b) là lipschitz
Trang 3029 3.2.2.3 Nhận xét Gia sir F là anh xa duoc xde dinh 6 phan dau ctia muc 3.2.2 Khi đó F có đồ thị đóng Chứng minh Ta sẽ chứng minh gph# là tập đóng Giả sử (x,,đ¿,b,,z, gphF ma (x,.4,.Đ,.z„)—> (x.g.b.Z) ta cần chứng minh (x.4.b,z) € gphF Tir (x,.4,.b,,z„) € gphF ta cd z,€Mx, +4, + N (x,3 (4,2 )) Suy ra
Z„T— Mà», —q, € N{x;:A(4.ð,))- Tir do ta c6 <z,-Mx, ~q,,X —X, ><0, Vx'eA(A,,)
Lấy bất kỳ x”eA(44,b) Theo Bỏ đề 3.2.2.2, A(4,b) là lipschitz trên miền hữu
hiệu nên tôn tại hằng số />0 sao cho
A(4.b,) C A(4,b)+lPb—b, PB„„
Do đó với mỗi & sẽ tồn tại XE A(4.b,) sao cho Px¿—x”P</Pb-b, P
Điều này kéo theo x/ — x"e A(4,b) Từ đó ta có
<z„—Mx, —qy,X¿—x„ > <0 Cho k—>œ ta được < z—-Mx-q,x"-x><0.Do
x”e A(4,b) là thy y nén z—- M x-qe N (x;A(A,b)) Ta suy ra
ze Mx+q+N(x;A(A,b)) Hay (x,9,5,z)€ gphF Vậy ta có điều phải chứng minh
3.2.2.4 Định lý[10] Nếu với bất kỳ cặp (4°,b*)e R"xR", có (g”,b")=(0.0)
khi ton tại một tập chỉ số I'cI=1(x,)={ieJ: A:Xo =(bp),| và mặt đóng Q của
Trang 3130
(i) Ảnh xạ (q.b)—>S(q.b) có tính chat Aubin trong lân cận điểm
(đo: họ; xạ) gph S;
đi) Ảnh xạ (q.b)—>S(q.b) là chính quy mêtric địa phương theo nghĩa
Robinson trong lan can diém (xp; o> sO pn )
Chứng minh Ta thấy 7; có đồ thị đóng Khi đó áp dụng Định lý 3.1.5 cho
tổng Ƒ= + Ƒ; tại điểm (xạ,đạ,bạ,Úg„), với g”€ "bất kỳ, ta có D°Ƒ((ụ, đọ, Bọ, 0p )(4°)=|[{MT4*]<{0ạ»}+ D°E; (xạ lụ.— Mxạ = 49)(4")|x{a"}-
Từ điều trên suy ra ker D*F (a) ={0} voi @ = (Xạ› đọ: bạ, 0g» )
Ta có điều kiện (2.3) sẽ tương đương với điều kéo theo sau: PEEP EC Ma) > (q°.b")=(0,0)
Gia sir (M"q*,b") € D*F, (x9,b),—MXp — qạ)(—4`) Khi đó theo Định lý 2.2.18 ta
có (M”4°,g°) e Q°xQ, MTq” =- Aj.bj,, bị, = 0, với tập chỉ số
IU'CT=l(xy)= {ie J:4,xạ= (b¿),} và mặt đóng Q của nón lồi đa diện T(F,:C) (Max + a) - Theo giả thiết của định lý suy ra (4”,)=(0,0)
Do đó theo Dinh ly 3.1.8 thi tinh chat (i) đã được chứng minh
Theo Nhận xét 3.2.2.3 thì có đồ thị đóng Do vậy từ các chứng minh trên và Định ly 3.1.9 thi tinh chat (ii) đã được chứng minh
Vậy định lý được chứng minh
Sau đây ta sẽ xét ánh xạ nghiệm (w,)->S(w,b) của bài toán
0e ƒ(x,w)+ X(x;A(4,b)) Giả sử bạ e #”,wg e RŸ, xạ € S(w,b) Khi đó 0<#Ƒ (xạ: Vo) trong do F (x, y) = F(x, y)+ F, (x,y), voi y =(w,b),
Yo =(Wo, 4) va H(x,y)= ƒ(x.w),, (x.y)= N(zx; A(4.))) Sử dụng các Định lý
Trang 3231
3.2.2.5 Định lý Giá sứ Vụ ƒ (xạ,wạ): RẺ —> R” là ánh xạ toàn ánh Nếu với bắt kỳ cặp (q”,b”)<R"xR", ta có (q”,b”)=(0.0) khi tổn tại một tập chỉ số
UCI=l(xy)=|isJ:Aixạ =(lạ)j} và mặt đóng Q của nón lồi đa diện
T(F„:C)¬(/(xy.wạ)}ˆ sao cho
((V./u.wa)) 4 4° )<Ø'x6,
(VF (%%0)) == pb}
va bE =0,
trong db C=A(A,by) thi cé cdc tinh chat sau:
(i) Anh xa (w,b)>S(w,b) cd tinh chat Aubin trong lân cận điểm
(wạ.bạ.xụ)€ gphŠ ;
đi) Ảnh xạ (w.b)->S(w,b)là chính quy mêtrie địa phương theo nghĩa
Robinson trong lan cén điểm (xạ,Wg,bạ,0a )
Chứng minh Ta thay F, 1a anh xa cé dé thi đóng Khi đó áp dụng Định lý
3.1.5 cho ting F =F, + Ƒ; tại điểm (xg,wa,bg,0„„), với g” ER” bat ky, ta cd
DF (59, Wosb Ome )(4°)=| {(V aS (50% 0)) 4° (On +D"F (Po F (502% o) te] ~|(Vs F (Wo) 4°} Ta sẽ chứng minh ker D*F (a )=0 véi øy =(xạ Wạ,bạ, 0„„ )„ tức cần chứng minh D*F(a@)(q*)=0 = #'=0 Vì ánh xạ Vụ /ƒ(xạ,wạ): R°—>R” là toàn ánh nên theo Nhận xét 3.2.1.3 ta có (V¿/(xạ.wạ))`: (R}Ÿ —> (R*)}` là đơn ánh
Ma (VS (Xo»Wo)) =(VwS (Xo Wo) « Do dé ker D*F (am) =0
Trang 3332
((V./u.w¿)Ÿ 2.) € ĐE; (xạ lạ, — ƒ (xạ: ạ))(=4”) = (4,/')=(0.0)
Giá sử [(V aro) 4°28" J © DF, (5.8 (8s Wo))(-4): Khi đó theo
Định ly 2.2.18 ta có ((V./(o.v, )Ïs#]<Ø xo (V, /(xu.wa)) 7° =- Arby,
b;, =0, với tập chi số J"CÏ =1(x9) và mặt đóng @ của nón lồi đa diện
+
T(F,„:C)C (/(Xo,Wa))_ Theo giả thiết của định lý suy ra (4°,ð*)=(0,0) Do
đó theo Định lý 3.1.8 thì tính chat (¡) đã được chứng minh
Theo Nhận xét 3.2.2.3 thi # có đồ thị đóng Do vậy từ các chứng minh trên và Định ly 3.1.9 thi tinh chat (ii) đã được chứng minh
Vậy định lý được chứng minh
Đề thấy rõ ứng dụng của các định lý trên ta sẽ tìm hiểu các ví dụ sau 3.2.3 Vi du
Phần này chúng ta nêu ra hai ví dụ đơn giản để chứng tỏ Định lý 3.2.1.1 và
Định lý 3.2.2.4 có thể được sử dụng cho nhiều bài toán cụ thể Cho f(x,w)=ax+w, voi œeR là hằng số không đổi va w=qeR 1a tham số thực,
những ví dụ dưới đây cũng minh họa được ứng dụng của Định lý 3.2.1.4 và Định lý 3.2.2.5 trong thực tiễn
3.2.3.1 Vi du[10] (Ung dung ctia Dinh ly 3.2.1.1 trong bất đẳng thức biến
phân afn chứa tham số) Cho n= 1,m=2,
A =| cR” »=[[) eR, M=[a]eR™!
Xét bất đẳng thức biến phân afin chứa tham số
0czx+g+N(x;A(4,ð)) (2.9)
mà được xác định bởi toán tử afin Mx+q=ax+q(qeR) va tập lồi đa diện
Trang 3433
nghiém g—>S(q,b) ca (2.9) trong lan can diém (q),Xy)=(1,0) va (4o>%) = (0.0) thuộc gphŠ(.,b) Ta thấy dấu của số œ sẽ ảnh hưởng đến kết quả của bài toán
đang xét
Xét trường hợp (qạ.xạ)=(I.0) ta có (M7xy+4ạ)' ={0) Khi đó, với tập chỉ số
ICI{xg)={l} ta có T(F)sC) A (Mxy +g) ={0} Do đó Ø={0}, bao hàm thức
(2.4) được viết là (œz4”.4”)c Rx{0} kéo theo 4” =0 Do đó giả thiết của Định lý 3.2.1.1 được thỏa mãn Do vậy anh xa gq S(q,b) c6 tinh chất Aubin trong lân cận
điểm In) € gphŠ(.,b) và nó là chính quy mêtric địa phương theo nghĩa
Robinson trong lân cận điểm (xạ.4a:0)
Trường hợp (qg.xạ)=(0.0) thì khi đó /'C/(xạ)={l} Lấy /=Ø, ta có
(Mx+qg)' =R và T(F„:C)}(Mxy+qạ)` =R Khi đó với Q= R, bao hàm thức
(2.4) được viết là (œ4”,4”) {0}xÑ, kéo theo g*=0 khi và chỉ khi a #0 Lay
I'=1(x)={}, ta 06 T(F„:C)(Mxy+qg)} =R, Khi đó với Q=R,, bao hàm
thức (2.4) được viết là (z4”.4”)e(—R,) x R, Néu a #0 thi g* =0 khi va chỉ khi
œ>0 Như vậy giả thiết của Định lý 3.2.1.1 được thỏa mãn khi và chỉ khi a>0 Dựa vào Định ly 3.2.1.1, ta có kết luận nếu a@ >0 thi anh xa gq S(q,b) c6 tinh
chat Aubin trong lân cận điểm In) € gphŠ(.,b) và nó là chính quy mêtric địa
phương theo nghĩa Robinson trong lân cận điểm (Xạ›4a:0)
3.2.3.2 Ví dụ[10] (Ứng dụng của Định lý 3.2.2.4 trong bất đẳng thức biến phân afn chứa tham số) Giả sử n,m, A và M được cho như ở Ví dụ 3.2.3.1 Xét
Trang 3534
điểm (4o›Pạ.xạ)€ gphS, với (2a-xạ)=(1.0) hoặc (Za-xạ)=(0.0) Ta thấy dấu của
số œ sẽ ảnh hưởng đến kết quả của bài toán
Xét trường hợp (đạ xạ )= (1,0), ta có Tôn ={0} Khi đó, với tập chỉ
số /"C/(xg)={l} ta có 7(F„:C)}5(Mx+qg)' ={0| Do đó @={0}, bao hàm
thức (2.6) được viết là (œ4 ”,4”)e Rx{0} kéo theo ạ” =0 Nếu /'=Ø thì (2.8) cho
b* =0 và ta có (4',b”)=(0,04›) Nếu J=7=/(xạ)={I} thì (2.7) kéo theo b7 =0
Khi đó ={2}, (2.8) cho ð; =0 Do vậy (g”,6”)=(0,0;z) Ta thấy giả thiết của
Định lý 3.2.2.4 được thỏa mãn Như vậy với bất kỳ œz, ánh xạ (a.b)—>S(a.b)
có tính chất Aubin trong lân cận điểm (đ›Đạ.xạ) = gphS và nó là chính quy
mêtric địa phương theo nghĩa Robinson trong lân cận điểm (Xe.4a.bạ.0)
Trường hợp (4ạ.xạ)= (0.0) thì khi đó 7“ 7(xạ)={1} Lấy !'=Ø, ta có
T(F,;C)^(M»a +49) =R Khi đó với QO = R, bao ham thite (2.6) được viết là
(aq*,q")€{0}xR, diéu nay kéo theo 4” =0 khi và chỉ khi a#0 Ti I’=J={1,21, (2.8) cho b* =0 Lay I’=1(x,)={l}, ta c6 T(F,sC) (Mx) +49) =R,- Khi do,
ta xét hai trường hợp với @=#, và @={0} Trường hợp O=R,, (2.6) duge viết
như sau (œ4”,4”) (—R,)x R,, điều này cho 4” =0 khi và chỉ khi a >0 Từ (2.7)
suy ra b# =0, từ (2.8) suy ra 3 =0 Do vậy (4.b”)=(0.0,s } khi và chỉ khi øz >0
Trường hợp Q={0}, (2.6) được viết như sau (aq*,q") € Rx{0}, kéo theo q*=0
Từ /'=/(xạ)={l}, (2.7) cho bf =0 va (2.8) cho b; =0 Do vậy (4'.b”)=(0.0,›}-
Như vậy giả thiết của Dinh lý 3.2.2.4 được thỏa mãn khi và chỉ khi øz >0 Dựa vào
Định lý 3.2.2.4, ta có kết luận nếu ø>0 thì ánh xa (g,b)> S(q,b) có tính chất
Aubin trong lân cận điểm (40+29>%o) € gphS va no 1a chinh quy métric dia phuong
Trang 3635
KET LUAN Một số vấn đề mà luận văn đã đạt được:
1 Chứng minh chỉ tiết lại một số kết quả như Định lý 3.2.1.1, Định lý 3.2.2.4 và Bồ đề 2.2.14 trong tai liéu [9], [10]
2 Tác giả đã đưa ra và chứng minh được ba Nhận xét 2.2.2, 3.2.1.3, 3.2.2.3 và
Mệnh đề 2.2.7 Đưa ra cách chứng minh khác với lược đồ chứng minh của N D
Yen va J-C Yao cho bé dé 2.2.11 Chimg minh hai Dinh ly 3.2.1.4, Dinh ly 3.2.2.5
dugc N D Yen va J-C Yao dua ra nhưng chưa chứng minh
Sau khi hoàn thành luận van chúng tôi đưa ra một số Bài toán mở sau:
1 Nêu giảm bớt điều kiện của các Định lý 3.2.1.4, Định lý 3.2.2.5 thì kết luận
của Định lý còn đúng nữa không?
2 Điều kiện để ánh xạ Vụ ƒ(xạ,wạ): R*—>Ñ” là toàn ánh có phải là điều kiện
cần cho các kết luận của Định lý 3.2.1.4 và Định lý 3.2.2.5 không?
Trang 3736
TAI LIEU THAM KHAO
[1] David Kinderlerer (1980), An Introduction to Variation! Inequations and Their Applications, New York, A Press
[2] G M Lee, N N Tam and N D Yen (2005), Quadratic Programming and
Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Series: “Nonconvex Optimization and its Applications”, Vol 78, Springer Verlag
[3] N M Nam (2010), Coderivatives of normal cone mappings and lipschitzian stability of parametric variational inequalities, Nonlinear Analysis 73, 2271-2282
[4] Ngô Thị Miên (2009), Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm của bắt đẳng
thức biến phân suy rộng chứa tham số trong không gian Banach phản xạ, Khóa
luận tốt nghiệp Đại học Vinh
[5] B S Mordukhovich (1993), Complete characterization of openness metric
regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions, Trans Amer Math Soc 340, 1-35
[6] B S Mordukhovich (1994), Generalized differential calculus for nonsmooth and setvalued mappings, J Math Anal Appl 183, 250-288x
[7] S M Robinson (1979), Generalized equations and their solution Part I:
Basic theory, Math Program Study 10, 128-141
[8] Nguyễn Sum — Nguyễn Văn Giám — Mai Quy Năm (2000), Toán cao cáp Tập
1: Đại số tuyến tính, Nhà xuất bản GD
[9] J-C Yao and N D Yen (2009), Coderivative calculation related to a
parametric affine variational inequality Part 1: Basic calculations, Acta Math Vietnam, 34, 157-172
[10] J-C Yao and N D Yen (2009), Coderivative calculation related to a
parametric affine variational inequality Part 2: Applications, Pacific J Optimi, 5, 493-506