Tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất động chung của một họ vô hạn ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thanh Tùng TÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VƠ HẠN ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thanh Tùng TÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VƠ HẠN ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i Mục lục Mở đầu 1 1 Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Hilbert . . . 2 1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . 2 1.1.2 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho một họ ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Phương pháp lặp Halpern . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Phương pháp lặp Mann . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất động chung cho một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn 13 2.1 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh giải bài tốn đặt ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii Lời cảm ơn Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS. Nguyễn Bường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của thầy trong suốt q trình tác giả thực hiện luận văn. Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư, Phó giáo sư cơng tác tại Viện Tốn học và các Thầy, các cơ trong Đại học Thái Ngun, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và cơng tác của bản thân. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy và các cơ. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tơi khi học tập và nghiên cứu. Tác giả Phạm Thanh Tùng Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii Bảng ký hiệu R Tập hợp số thực N Tập hợp số tự nhiên H Khơng gian Hilbret H E Khơng gian Banach E x, y Tích vơ hướng của x và y x X Chuẩn của x trong khơng gian X φ Tập rỗng ∀x Với mọi x ∃x Tồn tại x inf x∈X F (x) Cận dưới lớn nhất của tập {F (x) : x ∈ X} sup x∈X F (x) Cận trên nhỏ nhất của tập {F (x) : x ∈ X} I Ánh xạ đơn vị J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của khơng gian Banach E A ∗ Tốn tử liên hợp của tốn tử tuyến tính A D(A) Miền xác định của tốn tử A x k → x Dãy {x k } hội tụ mạnh tới x x k  x Dãy {x k } hội tụ yếu tới x F ix(T ) Tập điểm bất động của ánh xạ T Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mở đầu Bài tốn tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân và tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ khơng giãn đã được nhiều tác giả nghiên cứu. Cho đến nay các bài tốn này vẫn là một trong những vấn đề được sự quan tâm của nhiều nhà tốn học ở trong nước cũng như trên thế giới. Trong phạm vi đề tài luận văn chúng tơi sử dụng một số phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân cũng như phương pháp tìm điểm bất động để kết hợp giữa thuật tốn hiệu chỉnh ngun lý bài tốn phụ cho bất đẳng thức biến phân nhằm giải quyết bài tốn: Tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất động chung cho họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 Chương 1 Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị 1.1 Bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Hilbert Trong phần này chúng tơi nêu bài tốn, trình bày điều kiện tồn tại nghiệm và phương pháp ngun lý bài tốn phụ để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân. 1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển Trong luận văn chúng ta ln giả thiết H là khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng và chuẩn được ký hiệu tương ứng là ., . và .. Cho C là một tập con lồi đóng trong H. Ánh xạ F từ C vào H là một ánh xạ liên tục. Bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau: Tìm x ∗ ∈ C sao cho: F (x ∗ ), x − x ∗  ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.1) Tập những điểm x ∗ thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệm của bài tốn và ký hiệu là V I(F, C). Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có mối quan hệ mật thiết với nhiều bài tốn khác nhau trong đó có bài tốn điểm bất động. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 • Bài tốn điểm bất động Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ liên tục. Bài tốn điểm bất động của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau: Tìm x ∗ ∈ C sao cho: x ∗ = T (x ∗ ). (1.2) Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài tốn điểm bất động với bất đẳng thức biến phân cổ điển. Mệnh đề 1.1. Cho C là một tập lồi khác rỗng trong khơng gian Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ liên tục. Nếu ánh xạ F xác định bởi F (x) := x−T (x) ∀x ∈ C thì bài tốn điểm bất động (1.2) tương đương với bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1). Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) phụ thuộc vào hàm F và miền ràng buộc C. Định lý sau cho ta biết điều kiện tồn tại nghiệm của bài tốn (1.1) trong khơng gian Hilbert. Định lý 1.1. Cho C là một tập lồi, compact của khơng gian Hilbert H và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C. Khi đó bài tốn (1.1) tồn tại ít nhất một nghiệm x ∗ ∈ C. Trong Định lý 1.1 cần tập C phải là một tập compact. Khi tập C khơng phải là tập compact thì bài tốn (1.1) vẫn tồn tại nghiệm khi điều kiện bức sau được thỏa mãn. Cụ thể ta có định lý sau. Định lý 1.2. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Hilbert H và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C. Giả sử tồn tại một tập compact U khác rỗng thuộc C sao cho: với mọi u ∈ C \ U, tồn tại v ∈ U thỏa mãn F (u), u − v > 0. Khi đó, bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có ít nhất một nghiệm. Thơng thường nghiệm của bất đẳng thức khơng phải là duy nhất. Tuy nhiên vẫn có điều kiện để đảm bảo cho sự duy nhất của nghiệm. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Ta giả sử rằng x 1 và x 2 là hai nghiệm khác nhau của bài tốn (1.1). Khi đó ta có: x 1 ∈ C : F (x 1 ), x − x 1  ≥ 0, ∀x ∈ C và x 2 ∈ C : F (x 2 ), x − x 2  ≥ 0, ∀x ∈ C. Trong bất đẳng thức thứ nhất ta chọn x = x 2 và trong bất đẳng thức thứ 2 ta chọn x = x 1 , sau đó cộng vế tương ứng của hai bất đẳng thức ta được: F (x 1 ) − F(x 2 ), x 1 − x 2  ≤ 0. Do đó điều kiện đủ để bài tốn (1.1) có nghiệm duy nhất là: F (x 1 ) − F (x 2 ), x 1 − x 2  > 0, ∀x 1 , x 2 ∈ C, x 1 = x 2 . (1.3) Từ điều kiện (1.3) suy ra bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có nghiệm duy nhất. Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện đơn điệu chặt. 1.1.2 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân Trong phần trên chúng ta trình bày sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển trong khơng gian Hilbert. Trong phần này ta sẽ trình bày phương pháp ngun lý bài tốn phụ để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân. Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau: Cho H là một khơng gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H và F : C → H là một ánh xạ từ C vào H. • Ánh xạ F được gọi là đơn điệu trên C nếu với ∀x, y ∈ C ta có: F (x) − F(y), x − y ≥ 0 ; • Ánh xạ F được gọi là giả đơn điệu trên C nếu với ∀x, y ∈ C ta có: F (y), x − y ≥ 0 suy ra F (x), x − y ≥ 0 ; • Ánh xạ F được gọi là h-liên tục trên C nếu F(x + ty)  F (x) khi t → 0 + với ∀x, y ∈ C ; • Ánh xạ F được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại ,một hằng số L > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có F (x) − F (y) ≤ Lx − y . Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 • Cho X là một tập con lồi đóng trong H. Một ánh xạ T của X vào H được gọi là khơng giãn trên X, nếu ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện sau: T (x) − T (y) ≤ x − y ∀x, y ∈ C. • Ánh xạ F được gọi là a-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số a > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có: F (x) − F (y), x − y ≥ ax − y 2 . • Ánh xạ F được gọi là a-ngược đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số a > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có: F (x) − F(y), x − y ≥ aF (x) − F (y) 2 . Dễ dàng thấy rằng ánh xạ F là a-ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ F là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz. Sau đây là phương pháp ngun lý bài tốn phụ để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển trong khơng gian Hilbert. Phương pháp ngun lý bài tốn phụ được G.Cohen [5] giới thiệu lần đầu vào năm 1980 khi nghiên cứu bài tốn tối ưu. Năm 1988, Cohen [5] vận dụng ngun lý bài tốn phụ để xác định nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển. Để trình bày kết quả đó trước hết chúng ta trình bày phương pháp ngun lý bài tốn phụ tổng qt. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert H và J là một phiến hàm lồi trên H. Giả thiết  Ta nói rằng phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết  nếu với mọi dãy {u k } k∈N ⊂ C sao cho u k  → +∞ thì J(u k ) → +∞. Hiển nhiên phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết  nếu C là một tập bị chặn. Ta ký hiệu J  (u) là đạo hàm Gâteaux của phiếm hàm J tại u. Ta xét bài tốn tối ưu sau: Tìm u ∗ ∈ C sao cho: J(u ∗ ) = min u∈C J(u), (1.4) ở đây J là phiếm hàm lồi, liên tục và khả vi Gâteaux. Bổ đề sau đây cho ta biết sự tồn tại nghiệm của bài tốn cực trị (1.4). Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... tụ mạnh tới nghiệm u∗ của bài tốn (1.1) 1.2 Một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho một họ ánh xạ khơng giãn Trước khi trình bày một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động của lớp ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert, chúng ta sẽ giới thiệu ánh xạ khơng giãn và sự tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ này trong khơng gian Hilbert • Cho X, Y là hai khơng gian Banach Ánh xạ T : X →... lý 1.5 Cho H là một khơng gian Hilbert, C là một tập đóng và giới nội của H , T : C → C là một ánh xạ khơng giãn Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động trong C Định lý sau đây cho ta biết tính chất tập điểm bất động của ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert Định lý 1.6 Cho H là một khơng gian Hilbert, C là một tập lồi đóng và giới nội của H Giả sử rằng T : C → C là một ánh xạ khơng giãn và d-compact... Mann để tìm điểm bất động chung cho một họ vơ hạn ánh xạ khơng giãn Trong chương 2 chúng tơi sẽ giới thiệu phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân cùng một số kết quả cơ bản đạt được trong phạm vi đề tài Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 13 Chương 2 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất động chung. .. (2.3), ở đây A + αI là a-đơn điệu mạnh Họ đã kết hợp thuật tốn hiệu chỉnh với thuật tốn cơ bản trên Tư tưởng này phát triển để tìm điểm bất động chung của một họ vơ hạn các ánh xạ giả co chặt Mặt khác để tìm điểm bất động chung của một họ vơ hạn ánh xạ khơng giãn Ti trên một tập con lồi đóng C , Takahashi đưa ra một ánh xạ W , sinh bởi Tn , Tn−1 , · · ·, T1 và γn , γn−1 , · · ·, γ1 , là những số thực,... đề cơ bản của giải tích hàm cùng với đó luận văn đã trình bày việc vận dụng ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh và sử dụng loại ánh xạ W được tạo bởi từ một họ các ánh xạ khơng giãn để nghiên cứu bài tốn tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển và là điểm bất động chung của một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert, đồng thời cũng đề cập một số kết quả cơ bản đạt được của bài báo,... u, v ∈ C Bài tốn bất đẳng thức biến phân là tìm u ∈ C sao cho A(u), u − v ≤ 0, ∀v ∈ C (2.1) Tập các nghiệm của (2.1) được ký hiệu bởi V I(C, A) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 14 Cho {Ti }∞ là một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn trên C Bài i=1 tốn được nghiên cứu là tìm phần tử u∗ ∈ S := V I(C, A) ∩ F, (2.2) được giả thiết là khác rỗng, ở đây A là một ánh xạ đơn điệu L-Lipschitz... phân là điểm bất động chung cho một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn 2.1 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân • Bài tốn Cho H là một khơng gian Hilbert thực, tích vơ hướng và chuẩn được ký hiệu tương ứng bởi , và Cho C là một tập con lồi đóng trong H Ký hiệu hình chiếu của một điểm x ∈ H lên tập C bởi PC (x) Một ánh xạ A của C vào H được gọi là đơn điệu, nếu A(u) − A(v),... αn (1 − αn ) = ∞ thì dãy lặp {xn }∞ hội tụ yếu đến một n=0 điểm bất động của ánh xạ T , với T là ánh xạ khơng giãn từ một tập lồi đóng khác rỗng C của khơng gian Hilbert H vào chính nó Năm 1967, Browder và Petryshyn [4] là những người đầu tiên vận dụng phương pháp lặp Mann để đưa ra kết quả hội tụ mạnh cho dãy lặp {xn }∞ tới một điểm bất động của ánh xạ giả co chặt trong khơng n=0 gian Hilbert Kết quả... Ánh xạ T : X → Y được gọi là d-compact, nếu {xn } là một dãy bị chặn trong X sao cho dãy {T (xn ) − xn } hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con {xnk } của dãy {xn } cũng hội tụ mạnh Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ khơng giãn đòi hỏi một số điều kiện Định lý sau đây cho ta biết về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/... ý 1.1 Tại mỗi bước lặp của thuật tốn trên, un là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân: Fn (un ), u − un ≥ 0 ∀u ∈ C, ở đây, Fn là xấp xỉ của F , với Fn (u) = εn F (un ) + ϕ (u) − ϕ (un ) Số hóa bởi trung tâm học liệu ∀u ∈ C http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 Ta có định lý sau: Định lý 1.4 [6] Cho H là một khơng gian Hilbert, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H Giả sử ánh xạ F : C → H thỏa mãn các . để tìm điểm bất động chung của một họ vơ hạn các ánh xạ giả co chặt. Mặt khác để tìm điểm bất động chung của một họ vơ hạn ánh xạ khơng giãn T i trên một tập con lồi đóng C, Takahashi đưa ra một. tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thanh Tùng TÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VƠ HẠN ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun. hiệu chỉnh tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất động chung cho một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn 13 2.1 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân . . .