Đánh giá số thành phần liên thông của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân affine hai mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BẾ ĐÌNH TIẾN ĐÁNH GIÁ SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THƠNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE HAI MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun – 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BẾ ĐÌNH TIẾN ĐÁNH GIÁ SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THƠNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE HAI MỤC TIÊU Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Tạ Duy Phượng Thái Ngun – 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ R 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ R 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ V I V V I Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ R 2 • • [4] R n [4] R 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ • R n + = {(x 1 , , x n ) ∈ R n : x i ≥ 0, i = 1, , n} • x, y x y • ||x|| x • N K (x) K x • B(x, ε) x ε • B(x, ε) x ε • riΣ Σ • A ∈ R p×n p × n A T A • x ∈ R n x T x • Φ : Σ ⇒ R n Σ R n • N ∗ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ R        a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 , a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m , a ij , b i ∈ R b 1 = b 2 = = b m = 0        a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0, a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = 0. (2) (1) (1) α = (α 1 , , α n ) ∈ R n x 1 = α 1 , , x n = α n (2) 0 = (0, , 0) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ A =      a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m1 a mn      (1) (2) B =      a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m1 a mn b m      (1) X = (x 1 , , x n ) T b = (b 1 , , b m ) T AX = b (1  ) AX = 0 (2  ) (2) R n r = n − rankA. u 0 (1) u ∈ R n (1) u = u 0 + v v (2) u 0 (1) v 1 , , v r (2) u 0 (1) (1) u = u 0 + t 1 v 1 + + t r v r , Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ t 1 , , t r ∈ R. u 0 (1) u = u 0 + t 1 v 1 + + t r v r (1) (1) rankA = rankB (1) rankA = rankB = n A =      a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n1 a nn      M ij A i j a ij M ij A D ij = det(M ij ) a ij c ij = (−1) i+j D ij a ij C = (c ij ) =      c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c n1 c n2 c nn      . det(A) = 0 A A −1 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì vỵi F = (F1 , , Fp ) Xem [4] Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 13 1.2.2 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine hai mưc ti¶u ành ngh¾a 1.14 B i to¡n t¼m x ∈ K sao cho M x + q, y − x ≥ 0, ∀y ∈ K, (1.16) trong â M l  mët ma trªn c§p m × n, ÷đc gåi l  b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine (affine variational inequality problem), k½ hi»u l  AV I Tªp nghi»m... . 1 2 xn qn qn ành ngh¾a 1.15 B i to¡n t¼m x ∈ K sao cho 2 ( M1 x + q1 , y − x , M2 x + q2 , y − x ) ∈ −R+ \ {0} , ∀y ∈ K, / (1.17) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì affine hai mưc ti¶u (bicriteria affine vector variational inequality problem), k½ hi»u l  AV V I ÷đc gåi l  Tªp nghi»m Sol(AV V I) cõa b i to¡n AV V I l  tªp t§t c£...5  A−1  c11 c21 cn1  1 1  c12 c22 cn2   t = C =   det(A) det(A)   c1n c2n cnn Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 6 Ch÷ìng 1 Têng quan v· b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v  b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine hai mưc ti¶u 1.1 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v  ành lþ tçn t¤i nghi»m 1.1.1 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n Gi£ sû K ⊂ Rn l  mët tªp lçi, âng,... lçi (câ thº b¬ng réng) Chùng minh: (1) Gi£ thi¸t ph£n chùng r¬ng F ìn i»u ch°t tr¶n K nh÷ng b i to¡n V I câ hai nghi»m ph¥n bi»t l  x v  y Khi â F (x), y − x ≥ 0 ⇒ −F (x), y − x ≤ 0 v  F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (y), y − x ≤ 0 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 10 K¸t hđp hai b§t ¯ng thùc n y ta ÷đc F (y) − F (x), y − x ≤ 0 Nh÷ng b§t ¯ng thùc n y m¥u thu¨n vỵi t½nh ìn i»u ch°t... c¡c x ∈ K thäa m¢n (1.17) ành ngh¾a 1.16 B i to¡n t¼m x ∈ K sao cho ( M1 x + q1 , y − x , M2 x + q2 , y − x ) ∈ −intR2 , ∀y ∈ K, / + (1.18) b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì affine hai mưc ti¶u y¸u (bicriteria weakly affine vector variational inequality problem), k½ hi»u l  AV V I w ÷đc gåi l  Tªp nghi»m Solw (AV V I) cõa b i to¡n AV V I w l  tªp t§t c£ c¡c x ∈ K thäa m¢n (1.18) Vỵi méi ξ =... 1.17 Vỵi måi ξ ∈ Σ, b i to¡n t¼m iºm x ∈ K sao cho 2 2 ξi qi , y − x ξi Mi x + i=1 ≥ 0, ∀y ∈ K i=1 (1.19) b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì affine phư thc tham sè (parametric affine vector variational inequality problem), k½ ÷đc gåi l  hi»u l  AV Iξ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 15 Tªp nghi»m Sol(AV I)ξ cõa b i to¡n AV Iξ l  tªp t§t c£ c¡c x ∈ K thäa m¢n (1.19) : B§t... v  b ∈ Rp Khi §y x ∈ K l  nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine AV I n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i λ = (λ1, , λp) ∈ Rp sao cho  M x − AT λ + q = 0,    Ax ≤ b, λ ≥ 0,    T  λ (Ax − b) = 0 M»nh · n y tä ra r§t húu hi»u º t½nh tªp nghi»m cõa c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine trong c¡c v½ dư cư thº, bði v¼ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 16 nâ cho ph²p... (P ) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 17 Ng÷íi ta ¢ chùng minh ÷đc r¬ng, tªp nghi»m húu hi»u (tªp nghi»m húu hi»u y¸u) cõa b i to¡n tèi ÷u vectì (P ) tròng vỵi tªp nghi»m Pareto (tªp nghi»m Pareto y¸u) cõa b i to¡n AV V I ìn i»u ÷đc x¡c ành bði K v  h m affine Fi (x) = Mi x + qi (i = 1, 2) Mët b i to¡n (P ) câ thº chuyºn v· x²t mët b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n affine. .. w hai mưc ti¶u vỵi Fi (x) = Mi x + qi , x ∈ Rn , Mi ∈ Rn×n , qi ∈ Rn (i = 1, 2) l  c¡c h m affine Tªp K ÷đc x¡c ành bði K = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} vỵi p ∈ N∗ , A ∈ Rp×n , b ∈ Rp Vỵi méi tªp ch¿ sè kh¡c réng α ⊂ {1, , p} ta ành ngh¾a ma trªn: ( ) ( ) Zα = (zki )k∈α,i∈α , ( = 1, 2), trong â ( ) ( ) zki = Ak (Ars )T AT i vỵi   ai1     T Ai = (ai1 ain ), Ak = (ak1 akn ), Ai =  ,   ain v  Số. .. b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì hai mưc ti¶u (bicriteria vector variational inequality problem), vi¸t t­t l  V V I ÷đc gåi l  Tªp nghi»m Sol (V V I) cõa b i to¡n V V I l  tªp t§t c£ c¡c x ∈ K thäa m¢n (1.11) ành ngh¾a 1.11 B i to¡n t¼m iºm x ∈ K sao cho ( F1 (x), y − x , F2 (x), y − x ) ∈ −intR2 , ∀y ∈ K, / + (1.12) b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì hai mưc ti¶u y¸u (bicriteria weakly . ĐÁNH GIÁ SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THƠNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE HAI MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun – 2013 Số hóa bởi. BẾ ĐÌNH TIẾN ĐÁNH GIÁ SỐ THÀNH PHẦN LIÊN THƠNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE HAI MỤC TIÊU Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ R 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ R 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ V I V V I Số