Một phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - - - - - - - - - - - - - - - - - TRẦN THỊ HÀ GIANG MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - - - - - - - - - - - - - - - - - TRẦN THỊ HÀ GIANG MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - - - - - - - - - - - - - - - - - - TRẦN THỊ HÀ GIANG MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 Công trình được hoàn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học:TS.Nguyễn Thị Thu Thủy Phản biện 1:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phản biện 2:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Vào hồi giờ ngày tháng năm 2014 Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên Và thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 1 Giới thiệu về bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động 1 1.1 Không gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert thực . . . . . . . 1 1.1.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Ánh xạ đơn điệu. Ánh xạ không giãn . . . . . . 5 1.2.2 Phép chiếu mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động . . 11 1.3 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . 15 1.3.1 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động 19 i 2.1 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Sự hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 i MỞ ĐẦU Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia và các cộng sự đưa ra nghiên cứu vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứu bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó phương pháp bất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trở thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải số các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, bài toán vận tải, lý thuyết trò chơi và nhiều bài toán thuộc lĩnh vực vật lý và kỹ thuật. Nhiều bài toán trong toán học được phát biểu dưới dạng bất đẳng thức biến phân như bài toán bù phi tuyến, bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động . . . . Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động. Nội dung của phương pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ nghiệm thích hợp. Phương pháp chiếu gradient là một kết quả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếu mêtric P C để xây dựng một dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm của bất đẳng thức biến phân. Mục đích của đề tài luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một kết quả công bố năm 2013 trong [8] cho bài toán tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không ii gian Hilbert, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động và một số phương pháp lặp giải các bài toán này. Chương 2 trình bày và làm chi tiết hơn kết quả nghiên cứu trong [8] về sự hội tụ mạnh của phương pháp tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người Thầy, người hướng dẫn luận văn cao học của mình, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy - giảng viên trường Đại học Khoa học, đại học Thái Nguyên. Người đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn và giải quyết những thắc mắc cho tôi trong suốt quá trình tôi làm luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn thạc sĩ, các Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học Toán K6B, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể hoàn thiện khóa học cũng như luận văn của mình. Hải Phòng, tháng 5 năm 2014. Học viên Trần Thị Hà Giang iii BẢNG KÝ HIỆU R n không gian Euclide n chiều D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền giá trị của toán tử A H không gian Hilbert thực C tập con lồi đóng của H I ánh xạ đơn vị P C Phép chiếu mêtrix H lên tập con lồi đóng C của H x n → x dãy {x n } hội tụ mạnh tới x x n  x dãy {x n } hội tụ yếu tới x iv Chương 1 Giới thiệu về bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về không gian Hilbert thực H, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert và một số phương pháp xấp xỉ nghiệm của các bài toán này. Nội dung của chương này được viết dựa trên các tài liệu [1], [2], [5], [6], [8] và một số tài liệu trích dẫn trong đó. 1.1 Không gian Hilbert thực 1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng trong H là một ánh xạ, ký hiệu ·, · : H ×H → R thỏa mãn các điều kiện sau: i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H; x, x = 0 ⇔ x = 0; ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; iii) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R; 1 [...]... (1.14) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.12) 1.3.2 Nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động Takahashi và Toyota đã nghiên cứu bài toán tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất động của một ánh xạ như sau: Hãy tìm phần tử p ∈ ΩA ∩ Fix(T ), (1.15) ở đây T : C → C là một ánh xạ không giãn, A : C → H là một ánh xạ λ-ngược đơn... ), Phương pháp trên cần điều kiện {αn } ⊂ [a, b] với bất kỳ a, b ∈ (0, 1/L) và {λn } ⊂ [0, c] với bất kỳ c ∈ [0, 1), các dãy {xn }, {yn } và {zn } cho bởi (1.18) hội tụ mạnh tới điểm p = PΩA ∩Fix(T ) (x0 ) 18 Chương 2 Tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động Chương này, chúng tôi trình bày một kết quả về phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và. .. ưu hóa, quy hoạch toán học, cơ học, tài chính, Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung của phương pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ nghiệm thích hợp Bài toán (1.12) tương đương với u∗ = PC (u∗ − µA(u∗ )), (1.13) trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng... tập điểm bất động chung của một họ đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert thực H Nội dung của chương này được viết từ bài báo trong [8] và các tài liệu trích dẫn trong đó Kết quả đạt được của công bố này là sử dụng một ánh xạ đơn giản, dễ tính toán hơn một số phương pháp đã có để xây dựng một dãy lặp hội tụ mạnh về nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động chung của. .. phức tạp của tập con lồi đóng bất kỳ C của H Để khắc phục khó khăn này, Yamada đã đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001 để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Từ đó đến nay đã có nhiều công trình mở rộng hướng nghiên cứu của Yamada để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Phương pháp lai đường... một tập con lồi đóng và giới nội của H Giả sử T : C → C là một ánh xạ không giãn và d-compact Khi đó tập điểm bất động của ánh xạ T là một tập lồi và khác rỗng 1.2.4 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động Sau đây là một số phương pháp lặp cơ bản để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Phương pháp lặp Mann được Mann đề xuất năm 1953 Với phương pháp này, dãy lặp {xn } được xác... rỗng, là một tập con lồi và đóng của H Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tập con lồi của không gian Hilbert H, T : C → H là một ánh xạ Hãy tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho T (x∗ ) = x∗ (1.3) Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.3) tương đương với việc giải phương trình toán tử: T (x) − x = 0 (1.4) Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banach vào năm... các điểm tụ yếu của {xn } thuộc Fix(T ); (iii) Nếu Fix(T ) là tập hợp gồm một phần tử, nghĩa là Fix(T ) = {˜} x thì dãy {xn } hội tụ yếu tới x ˜ 14 1.3 1.3.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Bất đẳng thức biến phân Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng , và chuẩn , C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và A : H → H là một ánh xạ phi tuyến Bài toán bất đẳng thức. .. Vì xn x0 và PC (xn ) → y0 nên từ bất đẳng thức trên suy ra x0 − y0 , y0 − z ≥ 0 với mọi z ∈ C 1.2.3 Bài toán điểm bất động Cho H là không gian Hilbert thực, T : H → H là một ánh xạ phi tuyến 8 Định nghĩa 1.11 Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Hilbert H được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu x = T (x) Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ) Chú ý rằng tập điểm bất động của ánh... T2 , , Tn và α1 , α2 , , αn Vì ánh xạ Wn chứa rất nhiều tính toán phức tạp trên các ánh xạ Ti và đòi hỏi quá trình tính toán lớn Trong [8], Ng.T.T Thủy đã đưa ra một phương pháp mới, bằng việc sử dụng ánh xạ đơn giản hơn Wn để tìm nghiệm chung bất đẳng thức biến phân đơn điệu, liên tục Lipchitz và tập điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Với mọi . 15 1.3.2 Nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động 19 i 2.1 Một số. về bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về không gian Hilbert thực H, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm. - TRẦN THỊ HÀ GIANG MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng