Một phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HÀ GIANG MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HÀ GIANG MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HÀ GIANG MỘT PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2014 Cơng trình hoàn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học:TS.Nguyễn Thị Thu Thủy Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Vào hồi ngày tháng năm 2014 Có thể tìm hiểu luận văn trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên Và thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Mục lục Mở đầu ii Bảng ký hiệu iv Giới thiệu bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động 1.1 Không gian Hilbert thực 1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert thực 1.1.2 Một số tính chất Bài toán điểm bất động 1.2.1 Ánh xạ đơn điệu Ánh xạ không giãn 1.2.2 Phép chiếu mêtric 1.2.3 Bài toán điểm bất động 1.2.4 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động 11 1.2 1.3 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 15 1.3.1 Bất đẳng thức biến phân 15 1.3.2 Nghiệm chung bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động 17 Tìm nghiệm chung bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động 19 i 2.1 Một số kết bổ trợ 20 2.2 Phương pháp lặp 21 2.2.1 Mô tả phương pháp 21 2.2.2 Sự hội tụ mạnh 24 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 i MỞ ĐẦU Bất đẳng thức biến phân Stampacchia cộng đưa nghiên cứu vào năm đầu thập kỷ 60 nghiên cứu tốn biên phương trình đạo hàm riêng Từ phương pháp bất đẳng thức biến phân quan tâm nghiên cứu rộng rãi trở thành công cụ hữu hiệu việc xây dựng kỹ thuật để giải số toán cân kinh tế tài chính, tốn vận tải, lý thuyết trị chơi nhiều tốn thuộc lĩnh vực vật lý kỹ thuật Nhiều toán toán học phát biểu dạng bất đẳng thức biến phân toán bù phi tuyến, toán tối ưu, toán điểm bất động Một phương pháp giải bất đẳng thức biến phân dựa cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung phương pháp đưa bất đẳng thức biến phân tốn tìm điểm bất động ánh xạ nghiệm thích hợp Phương pháp chiếu gradient kết theo hướng tiếp cận cách sử dụng phép chiếu mêtric PC để xây dựng dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm bất đẳng thức biến phân Mục đích đề tài luận văn đọc hiểu trình bày lại kết công bố năm 2013 [8] cho tốn tìm nghiệm chung bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương trình bày số khái niệm kết không ii gian Hilbert, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động số phương pháp lặp giải tốn Chương trình bày làm chi tiết kết nghiên cứu [8] hội tụ mạnh phương pháp tìm nghiệm chung bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người Thầy, người hướng dẫn luận văn cao học mình, TS Nguyễn Thị Thu Thủy - giảng viên trường Đại học Khoa học, đại học Thái Nguyên Người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn giải thắc mắc cho tơi suốt q trình tơi làm luận văn Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới Thầy Cô hội đồng chấm luận văn thạc sĩ, Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học Tốn K6B, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện khóa học luận văn Hải Phịng, tháng năm 2014 Học viên Trần Thị Hà Giang iii BẢNG KÝ HIỆU Rn không gian Euclide n chiều D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A H không gian Hilbert thực C tập lồi đóng H I ánh xạ đơn vị PC Phép chiếu mêtrix H lên tập lồi đóng C H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x iv Chương Giới thiệu bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết không gian Hilbert thực H, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động không gian Hilbert số phương pháp xấp xỉ nghiệm toán Nội dung chương viết dựa tài liệu [1], [2], [5], [6], [8] số tài liệu trích dẫn 1.1 1.1.1 Khơng gian Hilbert thực Định nghĩa không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính R Một tích vơ hướng H ánh xạ, ký hiệu ·, · : H × H → R thỏa mãn điều kiện sau: i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H; x, x = ⇔ x = 0; ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R; xét phương pháp lặp:                                                                x = x1 ∈ H, tùy ý, un = PC0 (xn − λn APC0 (xn )), zn = xn − µn [xn − Ln PC0 (xn − λn A(un ))], yn = βn x + (1 − βn )Ln zn , Hn = {z ∈ H : yn − z +βn ( x 2 (2.6) ≤ xn − z + xn − x, z )}, Qn = {z ∈ H : xn − x, z − xn ≥ 0}, n ≥ 0, xn+1 = PHn ∩Qn (x), Ln định nghĩa (2.4)-(2.5) với Si = Ti PCi 2.2.2 Sự hội tụ mạnh Sự hội mạnh phương pháp (2.6) trình bày định lý sau: Định lý 2.1 Giả sử {Ci }∞ i=0 họ vô hạn đếm tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H, A : C0 → H ánh xạ đơn điệu, L-liên tục Lipchitz giả sử {Ti }∞ i=1 họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn từ Ci vào Ci cho ΩA ∩ F = ∅, ΩA định nghĩa tập nghiệm (1.12) F := ∩i≥1 Fix(Ti ) với Fix(Ti ) = {x ∈ Ci : x = Ti (x)} Cho {λn } ⊂ [a, b] với a, b ∈ (0, 1/L), {µn } ⊂ [c, d] ⊂ (0, 1), {βn } ⊂ [0, h) với h ∈ (0, 1) cho βn → n → ∞ Khi dãy {xn }, {un }, {zn } {yn } xác định (2.6) hội tụ mạnh tới điểm u0 = PΩA ∩F (x) 24 Chứng minh Trước tiên ta thấy bất đẳng thức yn − z ≤ xn − z + βn ( x + xn − x, z ) tương đương với (1 − βn )xn + βn x − yn , z ≤ xn − yn , xn − yn − xn 2 + βn x 2 Do vậy, Hn nửa không gian Chú ý Fix(T ) = Fix(T PC ) := {p ∈ H : T PC p = p} với ánh xạ T từ C vào C Hơn nữa, ta thấy F = ∩i≥1 Fix(Ti ) = ∩i≥1 Fix(Si ), với Si = Ti PCi ánh xạ không giãn xác định tồn khơng gian H Từ (2.4) (2.5) ta có T = ∞ κi ∞ ∈ (0, 1), κi Si = si Si , si = κ i=1 κ i=1 ánh xạ H vào H với ∞ i=1 si = Theo Bổ đề 2.1, T ánh xạ không giãn Fix(T ) = F Với u ∈ ΩA ∩ F, cách đặt tn = PC0 (xn − λn Aun ) sử dụng (iii) (i) Bổ đề 1.1 với x = xn − λn Aun y = u ∈ C0 , ta nhận được: tn − u ≤ xn − λn Aun − u − xn − λn Aun − tn = xn − u − xn − tn + 2λn Aun , u − tn = xn − u − xn − tn + 2λn Aun , un − tn (2.7) + 2λn Aun , u − un ≤ xn − u − x n − tn + 2λn Aun , un − tn = xn − u − xn − un − un − tn + xn − λn Aun − un , tn − un 25 Tiếp đó, việc dùng Bổ đề 1.3 với x = xn − λn APC0 xn , z = un (2.6) y = tn ∈ C0 , ta xn − λn Aun − un , tn − un = xn − λn APC0 xn − un , tn − un (2.8) + 2λn APC0 xn − Aun , tn − un ≤ 2λn L PC0 xn − PC0 un ≤ 2λn L xn − un un − tn un − tn , un ∈ C0 Do vậy, từ (2.7), (2.8) điều kiện λn suy ra: tn − u ≤ xn − u − xn − un + 2λn L xn − un ≤ xn − u + λ2n L2 ≤ xn − u − un − tn un − tn − xn − un xn − un 2 − un − tn + un − tn (2.9) + (λ2n L2 − 1) xn − un ≤ xn − u Vì Ln tn − u ≤ tn − u với điểm bất động u ∈ F zn = xn − µn (xn − Ln tn ), từ Bổ đề 1.1 (2.9), ta có zn − u = (1 − µn )(xn − u) + µn (Ln tn − u) = (1 − µn ) xn − u + µn Ln tn − u − (1 − µn )µn xn − Ln tn ≤ (1 − µn ) xn − u ≤ (1 − µn ) xn − u 2 + µn xn − u − (1 − µn )µn xn − Ln tn 26 2 + µn tn − u − (1 − µn )µn xn − Ln tn 2 (2.10) = xn − u 2 − (1 − µn )µn xn − Ln tn ≤ xn − u Sử dụng tính lồi , tính chất Ln , từ (2.4) (2.10) ta nhận yn − u = βn (x − u) + (1 − βn )(Ln zn − u) ≤ βn x − u + (1 − βn ) zn − u 2 ≤ xn − u + βn ( x − u − xn − u ) = xn − u + βn ( x − xn ≤ xn − u + βn ( x + xn − x, u ), + xn − x, u ) với u ∈ Hn Do ΩA ∩ F ⊂ Hn với n ≥ Mặt khác với n = ta có Q1 = H Do vậy, ΩA ∩ F ⊂ Q1 Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học ΩA ∩ F ⊂ Qn với n ≥ Giả sử ΩA ∩ F ⊂ Qi , ΩA ∩ F ⊂ Qi+1 Thật vậy, giả sử ΩA ∩ F ⊂ Qi , tồn phần tử xi+1 ∈ Hi ∩ Qi cho xi+1 = PHi ∩Qi x với z ∈ Hi ∩ Qi ta có xi+1 − x, z − xi+1 ≥ (xem Bổ đề 1.3) Do z ∈ Qi+1 Từ suy ΩA ∩ F ⊂ Hn ∩ Qn với n ≥ Chú ý xn+1 = PHn ∩Qn (x) nên xn+1 − x ≤ u − x (2.11) với u ∈ ΩA ∩ F Do dãy {xn } dãy bị chặn Từ xn = PQn (x) xn+1 ∈ Hn ∩ Qn suy xn − x ≤ xn+1 − x (2.12) Từ bất đẳng thức tính bị chặn dãy {xn } suy tồn 27 limn→∞ xn − x = c1 < ∞ Vì xn = PQn (x) xn+1 ∈ Qn , từ (ii) Bổ đề 1.1 ta có xn − x xn + xn+1 −x 2 xn − x xn+1 − x = + 2 xn − x xn+1 − x = + 2 ≤ − xn − xn+1 Do xn − xn+1 ≤ 2( xn+1 − x − xn − x ) Vì limn→∞ xn − x = c1 , nên lim xn − xn+1 = n→∞ (2.13) Từ xn+1 ∈ Hn suy yn − xn+1 ≤ xn − xn+1 + βn ( x + xn − x, xn+1 ) Do đó, từ (2.13), tính bị chặn dãy {xn }, βn → bất đẳng thức suy lim yn − xn+1 = n→∞ Kết hợp với (2.13) kéo theo lim yn − xn = n→∞ Từ (2.6) Ln zn = yn − βn (xn − Ln zn ) + βn (xn − x) suy xn − Ln zn ≤ xn − yn + βn xn − Ln zn + βn xn − x Từ (2.11) bất đẳng thức suy xn − Ln zn ≤ xn − yn + βn u − x − βn 28 (2.14) Vì βn ∈ [0, h) với h ∈ (0, 1), βn → Kết hợp (2.14) bất đẳng thức cuối ta lim xn − Ln zn = (2.15) n→∞ Bây ta chứng minh xn − Ln xn → 0, n → ∞ Thật vậy, dãy {xn } bị chặn, với u ∈ ΩA ∩ F dãy {Lnk tnk − xnk } {Ln tn − xn } tồn dãy {xnj } ⊂ {xnk } cho lim xnj − u = lim sup xnk − u := c2 ≥ j→∞ k→∞ Sử dụng (2.15), (2.10), tính chất Ln bất đẳng thức xnj − u ≤ xnj − Lnj znj + Lnj znj − u ≤ xnj − Lnj znj + znj − u ≤ xnj − Lnj znj + xnj − u , ta suy lim xnj − u = lim znj − u = c2 j→∞ j→∞ Từ (2.4), (2.10) tính chất dãy {µn } kéo theo c(1 − d) xnj − Lnj tnj ≤ xnj − u − znj − u Hay lim xnj − Lnj tnj = 0, j→∞ suy lim xn − Ln tn = n→∞ Tương tự với (2.6) µn ∈ [c, d] ⊂ (0, 1) kéo theo lim zn − xn = n→∞ 29 (2.16) Bây giờ, từ (2.15), (2.16), tính khơng giãn Ln bất đẳng thức xn − Ln xn ≤ xn − Ln zn + Ln zn − Ln xn ≤ xn − Ln zn + zn − xn , Ta có lim xn − Ln xn = (2.17) n→∞ Hơn nữa, từ (2.4) (2.10) có zn − xn + zn − xn , xn − u ≤ µn ( Ln tn − u − xn − u ) ≤ Bên cạnh đó, từ (2.16) thấy lim µn ( Ln tn − u n→∞ − xn − u ) = Vì µn ∈ [c, d], ta có lim ( Ln tn − u n→∞ − xn − u ) = Tiếp đó, từ (2.9), đẳng thức lim ( Ln tn − u − xn − u ) ≤ n→∞ lim ( tn − u n→∞ − xn − u ) ≤ điều kéo theo lim ( xn − u n→∞ − tn − u ) = Do vậy, từ (2.9), đẳng thức − λ2n L2 > − b2 L2 > ta lim xn − un = (2.18) n→∞ Bằng cách tương tự, từ (2.7) (2.8) tn − u ≤ xn − u + (λ2n L2 − 1) un − tn ≤ xn − u , 30 suy lim un − tn = (2.19) n→∞ Hơn nữa, từ (2.18) (2.19) tính liên tục Lipschitz A ta có lim Aun − Atn = n→∞ lim xn − tn = (2.20) n→∞ Vì dãy {xn } bị chặn, tồn phần tử z ∈ H dãy {xni } {xn } cho {xni } hội tụ yếu tới z với i → ∞ Do vậy, {uni } {tni } hội tụ yếu tới z i → ∞ Vì {tni } ⊂ C0 C0 tập lồi đóng khơng gian Hilbert H, ta có z ∈ C0 Bây ta z ∈ ΩA ∩ F Trước tiên, thấy z ∈ ΩA Tập hợp B(v) = Av + NC0 (v) với v ∈ C0 mà ➝ ➠ NC0 (v) = w ∈ H : v − y, w ≥ ∀y ∈ C0 B(v) = ∅ với v ∈ / C0 Khi đó, B ánh xạ đơn điệu cực đại ∈ B(v) v ∈ ΩA (xem [7]) Giả sử (v, w) ∈ G(B) Khi ta có w ∈ B(v) = A(v) + NC0 (v) w − A(v) ∈ NC0 (v) tương đương với v − y, w − A(v) ≥ ∀y ∈ C0 (2.21) Tương tự, từ tn = PC0 (xn − λn A(un )), v ∈ C0 Bổ đề 1.3, ta nhận tn − v, xn − λn A(un ) − tn ≥ Suy ra, v − tn , (tn − xn )/λn + A(un ) ≥ 31 Từ (2.21), tính đơn điệu A bất đẳng thức trên, ta có v − tni , w ≥ v − tni , A(v) ≥ v − tni , A(v) − v − tni , (tni − xni )/λni + A(uni ) ≥ v − tni , A(v) − A(tni ) + v − tni , A(tni ) − A(uni ) − v − tni , (tni − xni )/λni ≥ v − tni , A(tni ) − A(uni ) − v − tni , (tni − xni )/λni Khi cho i → ∞ bất đẳng thức trên, sử dụng (2.20) tính chất λn ta suy v − z, w ≥ với v ∈ C0 Vì B ánh xạ đơn điệu cực đại, z ∈ B −1 (0) Điều có nghĩa z ∈ ΩA Bây ta chứng minh z ∈ F Để làm điều này, ta chứng minh z = T (z) Giả sử z = T (z) Từ điều kiện Opial’s Bổ đề 2.1, ta có lim inf xni − z < lim inf xni − T (z) i→∞ i→∞ ≤ lim inf ( xni − Lni (xni ) i→∞ + Lni (xni ) − T (xni ) + T (xni ) − T (z) ) ≤ lim inf ( xni − Lni (xni ) i→∞ + Lni (xni ) − T (xni ) + xni − z ) (2.22) Chú ý với tập giới nội K H {Ti } ánh xạ khơng giãn M = supx∈S, i≥1 Si x < ∞ Với x ∈ K, ta có ∞ n κi Si (x) − κi Si (x) sn i=1 κ i=1 n n ∞ κi Si (x) − κi Si (x) + κi Si (x) ≤ sn i=1 κ i=1 κ i=n+1 Ln (x) − T (x) = 32 κ − sn n ∞ κi Si (x) κi Si (x) + κsn i=1 κ i=n+1 M (κ − sn ) M ∞ M ∞ ≤ + κi = κi κ κ i=n+1 κ i=n+1 ≤ Vì ∞ i=n+1 κi → n → ∞ nên Ln x − T x → (n → ∞) với x ∈ K Với K = {xn } ta nhận lim Ln (xn ) − T (xn ) = n→∞ (2.23) Từ (2.17), (2.22) (2.23) suy lim inf xni − z < lim inf xni − z i→∞ i→∞ Điều mâu thuẫn Hơn nữa, từ Bổ đề 2.1 ta có z ∈ Fix(T ) = F Giả sử, z ∈ ΩA ∩ F, suy ωw (xn ) ⊂ ΩA ∩ F Trong (2.11), đặt u0 = PΩA ∩F (x), ta nhận xn+1 − x ≤ x − PΩA ∩F (x) (2.24) Chú ý ωw (xn ) ⊂ ΩA ∩ F, từ (2.24) Bổ đề 2.2 suy tính hội tụ mạnh dãy {xn+1 } tới u0 = PΩA ∩F (x) n → ∞ Tính hội tụ mạnh dãy {yn }, {zn } {un } đến u0 suy từ (2.14), (2.16) (2.18) Nếu đặt C0 = C, Ci = H, Ti = I với i ≥ βn = với n ≥ Định lý 2.1, thu thuật tốn tìm phần tử tập ΩA Chúng ta tìm kết tương tự [3] 33 Định lý 2.2 Giả sử C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Giả sử A : C → H ánh xạ L-liên tục Lipschitz cho ΩA = ∅ Giả sử {xn }, {un } {zn } dãy sinh                                              x = x1 ∈ H, tùy ý , un = PC (xn − λn APC (xn )), zn = xn − µn [xn − PC (xn − λn A(un ))], Hn = {z ∈ H : zn − z ≤ xn − z }, Qn = {z ∈ H : xn − x, z − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Qn (x), n ≥ 1, {λn } ⊂ [a, b] ⊂ (0, 1/L), {µn } ⊂ [c, d] ⊂ (0, 1) Khi đó, dãy {xn }, {un } {zn } hội tụ mạnh tới điểm u0 = PΩA (x) Đặt A = O, C0 = H βn = với n ≥ Định lý 2.1, với định lý ta tìm thuật tốn tìm điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn Ti tập lồi đóng khác rỗng Ci H Ta nhận kết tương tự [4] Định lý 2.3 Giả sử {Ci }i≥1 {Ti }i≥1 họ vô hạn đếm tập lồi đóng khác rỗng Ci không gian Hilbert thực H ánh xạ không giãn Ti Ci , tương ứng cho F = ∩i≥1 Fix(Ti ) = ∅ 34 Khi dãy {xn }, {zn } {yn } sinh bởi:                                              x = x1 ∈ H, tùy ý, zn = xn − µn (xn − Ln (xn )), yn = Ln zn , Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z }, Qn = {z ∈ H : xn − x, z − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Qn (x), n ≥ 1, {µn } ⊂ [c, d] ⊂ (0, 1) Ln định nghĩa (2.4)-(2.5) với Si = Ti PCi , hội tụ mạnh tới điểm u0 = PF (x) 35 KẾT LUẬN Luận văn trình bày phương pháp lặp [8] để tìm nghiệm chung cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Kết sử dụng phương pháp lai ghép quy hoạch toán học, phương pháp đường dốc, phương pháp lặp Halpern để tìm nghiệm chung cho bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung ánh xạ không giãn Nét phương pháp sử dụng ánh xạ đơn giản dễ tính tốn so với số phương pháp lặp có Đóng góp tác giả viết luận văn đọc hiểu, nghiên cứu tài liệu, hệ thống kiến thức làm chi tiết chứng minh [8] Kết mở rộng cho tốn tương tự cho nửa nhóm ánh xạ không giãn không gian Banach 36 Tài liệu tham khảo [1] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2003) [2] Y Alber and I Ryazantseva, Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer (2006) [3] H Iiduka and W Takahashi, Strong convergence theorems for nonexpansive nonself mappings in Banach spaces, Pana Math J., 14, 49–61 (2004) [4] N Nadezhkina and W Takahashi, Strong covergence theorem by a hybrid method for nonexpansive mappings and Lipschitz continuous monotone mappings, SIAM J Optim., 16(4), 1230–1241 (2006) [5] R.P Agarwal, D O’Regan, and D.R Sahu, Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer (2009) [6] S.-S Chang, Y.J Cho, and A Zhou, Iterative Methods for Nonlinear Operator Equations in Banach Spaces, Nova Science Publishers, Inc., Huntington, New York (2001) 37 [7] W Takahashi and K Shimoji, Convergence theorems for nonexpensive mappings and feasibility problems, Math Comput Model., 32, 1463–1471 (2000) [8] Ng.T.T Thuy, A new hybrid method for variational inequality and fixed point problems, Vietnam J Math 41, 353–366 (2013) DOI 10.1007/s10013-013-0027-1 38 ... tới nghiệm x∗ toán bất đẳng thức biến phân (1.12) 1.3.2 Nghiệm chung bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động Takahashi Toyota nghiên cứu tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân điểm bất động. .. Chương Tìm nghiệm chung bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động Chương này, chúng tơi trình bày kết phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ đếm... Một phương pháp giải bất đẳng thức biến phân dựa cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung phương pháp đưa bất đẳng thức biến phân tốn tìm điểm bất động ánh xạ nghiệm thích hợp Bài tốn