Phương pháp chiếu cho bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ HỒNG ANH PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM NGỌC ANH Thái Ngun - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Cơng trình hồn thành Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Ngọc Anh Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2014 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Ngun Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời nói đầu Một số kí hiệu - chữ viết tắt Chương Các kiến thức ánh xạ không giãn bất đẳng thức biến phân 1.1 Không gian Hilbert số tính chất 1.2 Điểm bất động ánh xạ không giãn 11 1.3 Bài toán Bất đẳng thức biến phân 14 1.3.1 Phép chiếu trực giao 14 1.3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 14 1.3.3 Một vài ứng dụng 20 Kết luận 26 Phương pháp chiếu dạng ẩn để giải toán VIFIX 27 2.1 Phát biểu toán 27 2.2 Phương pháp chiếu mở rộng 29 2.3 Phương pháp ánh xạ co 32 2.4 Kết luận 43 Phương pháp chiếu dạng để giải toán VIFIX 44 3.1 Phương pháp chiếu mở rộng 45 3.2 Phương pháp tối ưu hóa điểm bất động 49 1.4 Chương Chương Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3.3 Ứng dụng 54 3.4 Kết luận 59 Kết luận chung 61 Tài liệu tham khảo 62 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu Viễn thơng), người thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới thầy, giáo Khoa Tốn - Tin, Phòng Đào tạo, bạn học viên lớp Cao học Toán K6B trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học tập làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, 2014 Trần Thị Hoàng Anh Học viên Cao học Toán K6B, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Ngun Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đời vào năm 60, công cụ mạnh thống để nghiên cứu toán cân Theo Harker Pang, toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Hartman Stampacchia Những nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu tốn biên có dạng phương trình đạo hàm riêng Bài tốn biến phân không gian vô hạn chiều ứng dụng giới thiệu sách "An introduction to variational inequalities and their application" Kinderlehrer Stampacchia xuất năm 1980 sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free boundry problems" Baiocchi Capelo xuất năm 1984 Bài toán bất đẳng thức biến phân có quan hệ mật thiết với toán tối ưu khác Bài toán bù phi tuyến, xuất vào năm 1964 luân án tiến sĩ Cottle, trường hợp đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân Gần đây, toán bất đẳng thức biến phân đề tài nhiều người quan tâm nghiên cứu Nhiều tác giả quan tâm xây dựng kỹ thuật để giải bất đẳng thức biến phân vấn đề tối ưu hóa liên quan Một ứng dụng quan trọng toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn mô hình định tuyến lưu lượng mạng điện thoại CDMA (Viết tắt Code - Division mutiple access data network) đăng báo "Fixed point optimization algorithm and its Application to power control in CDMA data networks", Iiduka, Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ H (2010), Mathematical Programming, Series A, doi 10.1007/s10107010-0427-x.[10] Bài toán đặt tìm phương án tối ưu lưu lượng đường truyền nhằm đạt chất lượng dịch vụ tốt cho tất đường truyền kết nối mạng với mạng liệu cho trước Trong luận văn này, xét số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tìm điểm x∗ ∈ F ix(T ) cho (A − γf )x∗ , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ F ix(T ), với T ánh xạ không giãn tập lồi, đóng, khác rỗng C không gian Hilbert thực H, A : C → H tốn tử tuyến tính bị chặn, dương mạnh, f : C → H ánh xạ co với hệ số ρ Luận văn đề cập đến hai thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân: Thuật toán chiếu dạng ẩn xt = T P rC [I − t(A − γf )]xt , ∀t ∈ (0, 1), thuật toán chiếu dạng xn+1 = βn xn + (1 − βn )T P rC [I − αn (A − γf )]xn , ∀n ≥ Đồng thời, luận văn chứng minh hội tụ mạnh hai thuật toán đến nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn (V IF IX) khơng gian Hilbert thực Nội dung luận văn viết báo "Algorithms Construction for Variational Inequalities", Yonghong Yao, Yeong - Cheng Liou and Shin Min Kang (2011), Fixed point Theory Appications, doi: 10.1155/ 2011/794203, ID 794203.[11] Chương Các kiến thức ánh xạ không giãn bất đẳng thức biến phân Chương nhắc lại kiến thức khơng gian Hilbert, tốn bất đẳng thức biến phân, ví dụ, kiến thức Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ánh xạ không giãn, điểm bất động ánh xạ không giãn, phép chiếu mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân Chương Phương pháp chiếu dạng ẩn để giải tốn (V IF IX) Chương trình bày phương pháp chiếu mở rộng dạng ẩn phương pháp ánh xạ co để giải toán (V IF IX) Chương Phương pháp chiếu dạng để giải tốn (V IF IX) Chương trình bày phương pháp chiếu mở rộng, phương pháp tối ưu hóa điểm bất động ứng dụng phương pháp Thái Nguyên, tháng 06 năm 2014 Học viên Trần Thị Hoàng Anh Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỘT SỐ KÍ HIỆU - CHỮ VIẾT TẮT Rn khơng gian Euclide n-chiều H không gian Hilbert thực |β| trị tuyệt đối số thực β x := y x gán y ∀x với x ∃x tồn x x chuẩn véc tơ x x, y tích vô hướng hai véc tơ x, y A⊂B tập A tập thực tập B A⊆B tập A tập B A∪B A hợp với B A∩B A giao với B B tích Đề-các hai tập A B argmin{f (x) | x ∈ C} tập điểm cực tiểu hàm f C δC (·) hàm C xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x P rC (x) phép chiếu mêtric, hay gọi phép chiếu trực giao điểm x tập C lim := lim sup giới hạn lim := lim inf giới hạn co bao lồi đóng VI tốn bất đẳng thức biến phân Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ V IF IX tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động T HV I toán bất đẳng thức biến phân tam cấp BV I toán bất đẳng thức biến phân hai cấp V I(F, C) toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá F C DV I(F, C) toán đối ngẫu toán V I B(O, R) hình cầu tâm O bán kính R CP (F, C) tốn bù tuyến tính FCnat ánh xạ giá tự nhiên Sol(F, C) tập nghiệm toán V I Sol(F, C)∗ tập nghiệm toán đối ngẫu DV I I ánh xạ đồng ∂f (x) vi phân f x NC (x) nón pháp tuyến điểm x tập C F ix(S) tập điểm bất động ánh xạ S Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 49 sup ˜ − γρ n γ (1 − βn )˜ γ2 n x − x∗ 2 + γρ xn − x∗ (A − γf )xn ≤ M Theo xn+1 − x∗ ≤ [1 − 2(˜ γ − ργ)αn ] xn − x∗ + 2(˜ γ − ργ)αn δn , (3.6) với δn = αn M + γf (x∗ ) − Ax∗ , un − x∗ γ˜ − γρ Từ (C1) (3.5), ta có lim sup βn ≤ n→∞ Áp dụng Bổ đề 3.0.2 (3.6) ta kết luận xn → x∗ 3.2 PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA ĐIỂM BẤT ĐỘNG Giả sử (A1 ) C ⊂ Rs tập lồi, đóng, khác rỗng dạng P rC biết; (A2 ) T : Rs → Rs ánh xạ không giãn với F ix(T )(⊂ C) = ∅; (A3 ) A : Rs → Rs toán tử liên tục Mục đích tốn tìm x∗ ∈ V I(F ix(T ), A)(⊂ C) Khi thuật tốn tối ưu hóa điểm bất động phát biểu sau: Bước Chọn x1 ∈ C, λ1 ∈ (0, ∞), α1 ∈ [0, 1) đặt n := Bước Cho xn ∈ C, chọn λn ∈ (0, ∞) αn ∈ [0, 1), đặt xn+1 ∈ C thỏa mãn   y n := T (xn − λn A(xn )),  xn+1 := P rC (αn xn + (1 − αn )y n ) Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 50 Cho n := n + 1, ta đến Bước Bây ta chứng minh hội tụ thuật tốn Định lí 3.2.1 ([10]) Giả sử (I){A(xn )}n∈N bị chặn, (II) V I(F ix(T ), A) khác rỗng (III) tồn n0 ∈ N cho V I(F ix(T ), A) ⊂ Ω := n n ∩∞ n=n0 {x ∈ F ix(T ) : x − x, A(x ) ≥ 0} Nếu {αn }n∈N ⊂ [0, 1) ∞ {λn }n∈N ⊂ (0, ∞) thỏa mãn (i) lim sup αn < (ii) n→∞ λ2n < ∞, dãy n=1 n {x }n∈N , cho thuật tốn có tính chất sau: (a) (Tính bị chặn) Với z ∈ Ω, tồn lim xn − z , dãy {xn }n∈N n→∞ n dãy {y }n∈N bị chặn (b) lim xn − y n = lim xn − T (xn ) = n→∞ n→∞ (c) (Tính hội tụ {xn }) Nếu xn − y n = o(λn ), {xn }n∈N hội tụ đến điểm thuộc V I(F ix(T ), A) Chứng minh (a) Từ điều kiện (I), ta đặt M1 := sup{ A(xn ) : n ∈ N} < ∞ Lấy z ∈ F ix(T ) từ giả thiết (A2 ) ta có yn − z = T (xn − λn A(xn )) − T (z) ≤ (xn − z) − λn A(xn ) = xn − z + 2λn z − xn , A(xn ) + λ2n A(xn ) ≤ xn − z + 2λn z − xn , A(xn ) + M1 λ2n 2 với n ∈ N Từ điều kiện (III), z ∈ Ω với n ≥ n0 , yn − z ≤ xn − z Từ tính khơng giãn P rC , tính lồi + M1 λ2n · (3.7) , bất đẳng thức (3.7) cho thấy rằng, với z ∈ Ω ⊂ F ix(T ) ⊂ C = F ix(P rC ) với n ≥ n0 , xn+1 − z = P rC (αn xn + (1 − αn )y n ) − P rC (z) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 51 αn (xn − z) + (1 − αn )(y n − z) ≤ ≤ αn xn − z + (1 − αn ) y n − z ≤ αn xn − z + (1 − αn ){ xn − z xn − z ≤ 2 2 + M1 λ2n } + M1 λ2n Do đó, với m, n ≥ n0 với z ∈ Ω, n+m x n+m+1 −z ≤ n+m x −z + M1 λ2n+m m ≤ x −z λ2i + M1 i=m ∞ ≤ xm − z λ2i + M1 i=m tức lim sup xn − z = lim sup xn+m+1 − z n→∞ n→∞ ∞ m ≤ x −z λ2i , ∀m ≥ n0 + M1 i=m Từ điều kiện (ii) nên limm→∞ ∞ i=m λi = 0, ta ∞ n lim sup x −z n→∞ m ≤ lim inf x −z m→∞ λ2i + M1 = lim inf xm −z i=m m→∞ Bất đẳng thức cho thấy, tồn lim xn − z với z ∈ Ω Do n→∞ đó, {xn }n∈N bị chặn Hơn nữa, bất đẳng thức (3.7) dãy {yn }n∈N bị chặn (b) Ta chứng minh lim xn − y n = Từ giả thiết (A2 ) x, y = n→∞ x 2+ y 2− x−y với n ≥ n0 , yn − z 2 (x, y ∈ RK ), ta với z ∈ Ω T (xn − λn A(xn )) − T (z) ≤ (xn − z) − λn A(xn ), y n − z = { (xn − z) − λn A(xn ) + y n − z 2 − (xn − z) − λn A(xn ) − (y n − z) } = Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 52 Khi đó, ta có xn − y ≤ (xn − z) − λn A(xn ) = xn − z 2 − (xn − y n ) − λn A(xn ) + 2λn z − xn , A(xn ) − xn − y n 2 +2λn xn − y n , A(xn ) = xn − z + 2λn z − y n , A(xn ) − xn − y n ≤ xn − z − xn − y n 2 + M2 λn , với M2 := sup{2| z − y n , A(xn ) | : n ∈ N} ≤ ∞ Từ bất đẳng thức(3.8) ta có xn+1 − z ≤ αn x n − z ≤ αn x n − z + (1 − αn ) xn − z ≤ xn − z + (1 − αn ) y n − z 2 − xn − y n − (1 − αn ) xn − y n + M2 λn + M2 λn , + M2 λn với z ∈ Ω với n ≥ n0 , (1 − αn ) xn − y n ≤ xn − z − xn+1 − z Từ điều kiện (ii) tồn lim xn − z (z ∈ Ω), vế phải bất n→∞ đẳng thức hội tụ đến 0, điều kiện (i) ứng với lim xn − y n = n→∞ Từ giả thiết (A2 ) ta có y n − T (xn ) = T (xn − λn A(xn )) − T (xn ) ≤ λn A(xn ) , điều kiện (I) (ii) lim y n − T (xn ) = n n n→∞ n n Do đó, từ đẳng thức (3.2) x − T (x ) ≤ x − y + y n − T (xn ) cho thấy lim xn − T (xn ) = n→∞ (c) Tính bị chặn {xn }n∈N bảo đảm tồn điểm tụ {xn }n∈N Cho x ∈ RK điểm tụ tùy ý {xn }n∈N Theo Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 53 giả thiết (A1 ) cho thấy tồn dãy {xni }i∈N cho {xni }i∈N hội tụ đến x ∈ C Bây ta chứng minh x ∈ F ix(T ) Từ (3.2) tính liên tục T nên = lim xni − T (xni ) = x − T (x) , i→∞ x ∈ F ix(T ) Tiếp theo ta chứng minh x ∈ V I(F ix(T ), A) Có nghĩa với z ∈ F ix(T ) với n ∈ N, √ z − x, A(x) − z −xn , A(xn ) z − x, A(x) − A(xn ) + xn − x, A(xn ) ≤ z−x = A(x) − A(xn ) + M1 xn − x Sự hội tụ (xni )i∈N đến x ∈ F ix(T ) giả thiết (A3 ) cho thấy lim z − xni , A{xni } = z − x, A(x) với z ∈ F ix(T ) Mặt i→∞ khác, bất đẳng thức (3.7) cho thấy với z ∈ F ix(T ) với n ∈ N, xn − z − y n − z + z − xn , A(xn ) + M1 λn λn = ( xn − z + y n − z ) ( xn − z − y n − z ) + z − xn , A(xn ) λn + M1 λn xn − y n ≤ M3 + z − xn , A(xn ) + M1 λn , λn ≤ với M3 := sup{ xn − z + y n − z : n ∈ N} < ∞ Do đó, từ điều giả sử (c) điều kiện (ii) điểm x ∈ F ix(T ), thỏa mãn ≤ y − x, A(x) ∀z ∈ F ix(T ) Khi đó, x ∈ V I(F ix(T ), A) Cuối cùng, ta chứng minh {xn }n∈N hội tụ đến điểm V I(F ix(T ), A) Cho x ∈ RK điểm tụ {xn }n∈N Khi đó, tồn dãy {xnj }j∈N ⊂ {xn }n∈N cho lim xnj − x = j→∞ Vì x ∈ V I(F ix(T ), A) ⊂ Ω Giả sử x = x tồn lim xn − z (z ∈ Ω) nghĩa n→∞ lim xn − x n→∞ = lim xni − x < lim xni − x = lim xn − x i→∞ n→∞ i→∞ nj nj = lim x − x < lim x − x = lim xn − x j→∞ j→∞ n→∞ Điều cho thấy x = x Do đó, dãy {xn }n∈N hội tụ đến điểm V I(F ix(T ), A) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 54 3.3 ỨNG DỤNG Mở rộng phương pháp chiếu việc tìm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn việc tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp (Bilevel Variational Inequalities - BVI) thuật toán chiếu mở rộng sau: Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Rn với tích vơ hướng ·, · chuẩn · Ta định nghĩa toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (BV I): Tìm x∗ ∈ Sol(G, C) cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ Sol(G, C), với G : C → Rn , Sol(G, C) kí hiệu tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân (V I): Tìm y ∗ ∈ C cho G(y ∗ ), y − y ∗ ≥ ∀y ∈ C, F : Sol(G, C) → Rn Trong nội dung phần này, quan tâm đến việc tìm nghiệm toán (BV I) với toán tử F G thỏa mãn điều kiện: (A1 ) G giả đơn điệu C F đơn điệu mạnh với hệ số β tập Sol(G, C) (A2 ) F L1 - Liên tục Lipschitz Sol(G, C) (A3 ) G L2 - Liên tục Lipschitz C (A4 ) Tập nghiệm Sol(BV I) toán (BV I) khác rỗng Để tìm nghiệm tốn (BV I), ta đề xuất thuật toán chiếu mở rộng việc ta xây dựng dãy lặp Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 55 Thuật tốn 3.3.1 Chọn u ∈ Rn , x0 ∈ C, n = 0, < λ ≤ 2β , L21 dãy số dương {δn }, {λn }, {αn }, {βn }, {γn } {¯n } thỏa mãn    lim δn = 0, lim ¯n = 0,   n→∞ n→∞   ∞ αn + βn + γn = ∀n ≥ 0, αn = ∞,  n=1      lim αn = 0, lim βn = η ∈ (0, ], lim λn = 0, λn ≤ ∀n ≥ L2 n→∞ n→∞ n→∞ Bước Đặt y n := P rC xn − λn G(xn ) z n := P rC xn − λn G(y n ) Bước Cho j = 0, 1, Đặt    xn,0 := z n − λF (z n ),       y n,j := P rC xn,j − δj G(xn,j ) ,    xn,j+1 := αj xn,0 + βj xn,j + γj P rC xn,j − δj G(y n,j )      Nếu xn,j+1 − P rSol(G,C) (xn,0 ) ≤ ¯n đặt hn := xn,j+1      và đến Bước Bước Đặt xn+1 := αn u + βn xn + γn hn Dựa Thuật toán 3.3.1, ta xây dựng thuật toán mà ta cố định j cho dãy lặp phụ thuộc vào n Thuật tốn trình bày sau: Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Euclid n chiều Rn , G : C → Rn giả đơn điệu Lipschitz với hệ số L2 C, S : C → C ánh xạ không giãn cho Sol(G, C) ∩ F (S) = ∅, với F (S) tập điểm bất động S Cho dãy {xn } {y n }    x0 ∈ Rn ,    y n = P rC xn − δn G(xn ) ,     xn+1 = αn x0 + βn xn + γn SP rC xn − δn (y n ) ∀n ≥ 0, Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 56 với {αn }, {βn }, {γn } {δn } thỏa mãn điều kiện sau:    δn > ∀n ≥ 0, lim δn = 0,   n→∞     αn + βn + γn = ∀n ≥ 0, ∞  αn = ∞, lim αn = 0,   n→∞  n=1     0 < lim inf βn < lim sup βn < n→∞ n→∞ Với điều kiện trên, thuật toán Yao [13] dãy {xn } {y n } hội tụ đến điểm P rSol(G,C)∩F (S) (x0 ) Ứng dụng dãy lặp với S ánh xạ đồng nhất, ta có số Bổ đề sau dùng để chứng minh hội tụ thuật toán Bổ đề 3.3.1 ([6]) Giả sử toán tử G F thỏa mãn A1 -A4 Khi dãy {xn,j } cho Thuật toán 3.3.1 hội tụ đến điểm P rSol(G,C) z n − λF (z n ) j → ∞ Hơn nữa, ta có hn − P rSol(G,C) z n − λF (z n ) ≤ ¯n ∀n ≥ 0, vịng lặp bên kết thúc sau nhiều bước hữu hạn Bổ đề 3.3.2 ([6]) Cho dãy {xn }, {y n } {z n } Thuật toán 3.3.1, G ánh xạ giả đơn điệu Lipschitz với hệ số L2 C, x∗ ∈ Sol(G, C) Khi đó, ta có z n − x∗ ≤ xn − x∗ − (1 − λn L2 ) xn − y n − (1 − λn L2 ) y n − z n (3.8) Bổ đề 3.3.3 ([6]) Giả sử toán tử G F thỏa mãn A1 -A4 Khi dãy {xn } Thuật tốn 3.3.1 bị chặn Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 57 Bổ đề 3.3.4 ([6]) Cho dãy {xn } {y n } hai dãy bị chặn Rn , {βn } ⊂ [0, 1] Để    < lim inf βn ≤ lim sup βn < 1,   n→∞  n→∞  xn+1 = (1 − βn )y n + βn xn ,      lim sup( y n+1 − y n − xn+1 − xn ) ≤ n→∞ Khi đó, lim y n − xn = n→∞ Bổ đề 3.3.5 ([6]) Giả sử toán tử G F thỏa mãn A1 -A4 dãy {xn } {z n } cho Thuật toán 3.3.1 Khi đó, ta có z n+1 − z n ≤(1 + λn+1 L2 ) xn+1 − xn + λn G(y n ) + λn+1 G(xn+1 ) + G(y n+1 ) + G(xn ) (3.9) Hơn nữa, dãy {z n } bị chặn lim z n+1 − z n = lim xn+1 − xn = n→∞ n→∞ Bổ đề 3.3.6 ([6]) Giả sử toán tử G F thỏa mãn A1 -A4 Khi với điểm x∗ ∈ Sol(BV I) ta có xn+1 −x∗ ≤ αn u−x∗ + xn −x∗ − n n x −y +2γn ¯n z n −x∗ +γn ¯2n (3.10) Hơn lim P rSol(G,C) z n − λn F (z n ) − z n n→∞ = lim P rSol(G,C) xn − λn F (xn ) − xn n→∞ =0 Dựa vào bổ đề nêu trên, ta chứng minh định lý quan trọng sau: Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 58 Định lý 3.3.1 ([6]) Giả sử toán tử G F thỏa mãn A1 -A4 Khi dãy {xn } {z n } Thuật toán 3.3.1 hội tụ đến điểm x∗ nghiệm toán (BV I) Chứng minh Bổ đề 3.3.3 dãy {xn } bị chặn Theo Bổ đề 3.3.5, ta thấy dãy {z n } bị chặn Do đó, tồn M > cho P rSol(G,C) (z n − λF (z n )) − x∗ ≤ M ∀n ≥ (3.11) Vì F toán tử đơn điệu mạnh với hệ số β liên tục Lipschitz với hệ số L1 , ta có P rSol(G,C) (z n − λF (z n ) − x∗ = P rSol(G,C) (z n − λF (z n )) − P rSol(G,C) (x∗ − λF (x∗ )) ≤ z n − λF (z n ) − (x∗ − λF (x∗ )) = z n − x∗ 2 − 2λ F (z n ) − F (x∗ ), z n − x∗ + λ2 F (z n ) − F (x∗ ) ≤ z n − x∗ 2 − 2λβ z n − x∗ + λ2 L21 z n − x∗ Kết hợp điều với (3.11), ta có z n − x∗ = z n − P rSol(G,C) (z n − λF (z n )) + x∗ − P rSol(G,C) (z n − λF (z n )) + zn − P rSol(G,C) (z n − λF (z n )), P rSol(G,C) (z n − λF (z n )) − x∗ ≤ z n − P rSol(G,C) (z n − λF (z n )) + 2M z n − P rSol(G,C) (z n − λF (z n ) + z n − x∗ Theo Bổ đề 3.3.6 λ < λ(2β − λL21 ) z n − x∗ − 2λβ z n − x∗ 2β , L21 2 + λ2 L21 z n − x∗ ta viết ≤ z n − P rSol(G,C) (z n − λF (z n )) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 59 + 2M z n − P rSol(G,C) (z n − λF (z n )) →0 n → ∞ Do đó, dãy {z n } hội tụ đến điểm x∗ ∈ Sol(BV I) Tương tự, ta dãy {xn } hội tụ đến nghiệm x∗ toán ✷ (BV I) Kết trực tiếp Định lý 3.3.1 trình bày hệ sau: Hệ 3.3.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng G : C → Rn giả đơn điệu,liên tục Lipschitz với hệ số L {xn } {y n } hai dãy cho    x ∈ Rn ,    y n = P rC xn − λn G(xn ) ,     xn+1 = αn x0 + βn xn + γn SP rC xn − λk G(y n ) ∀n ≥ 0, với {αn }, {βn }, {γn } {δn } thỏa mãn điều kiện:    < λn ≤ L1 ∀n ≥ 0,       αn + βn + γn = ∀n ≥ 0, ∞  αn = ∞, lim αn = 0,   n→∞  n=1      lim βn = η ∈ (0, ] n→∞ Khi đó, {xn } {y n } hội tụ đến điểm x¯ ∈ Sol(G, C) 3.4 KẾT LUẬN Trong Chương 3, trình bày phương pháp chiếu dạng chứng minh hột tụ phương pháp Trước tiên, ta trình bày cách tổng quan phương pháp chiếu mở rộng Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 60 Phần tiếp theo, ta trình bày phương pháp tối ưu hóa điểm bất động Phương pháp giúp ta tìm điểm bất động x∗ ∈ V I(F ix(T ), A)(⊂ C) cách ta xây dựng dãy lặp   y n := T (xn − λn A(xn )),  xn+1 := P rC (αn xn + (1 − αn )y n ) Cuối cùng, ta trình bày ứng dụng phương pháp việc tìm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân cấp (BV I) chứng minh hội tụ thuật toán phương pháp chiếu gradient Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ KẾT LUẬN CHUNG Bài tốn Bất đẳng thức biến phân toán tổng quát tiếp cận nhiều hướng khác Luận văn trình bày phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn chứng minh hội tụ phương pháp Nội dung trình bày luận văn bao gồm Nhắc lại số kiến thức không gian Hilbert như: Vectơ trực giao, toán tử compact, toán tử bị chặn, Định nghĩa ánh xạ không giãn, ví dụ minh họa số tính chất ánh xạ không giãn Phát biểu chứng minh số định lý điểm bất động ánh xạ khơng giãn như: định lý Browder, định lí Kirk, Phát biểu toán bất đẳng thức biến phân, ví dụ minh họa Trình bày phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn chứng minh hội tụ phương pháp như: phương pháp chiếu dạng dạng ẩn, dạng hiện, phương pháp ánh xạ co, phương pháp tối ưu hóa điểm bất động, Trình bày ứng dụng phương pháp việc tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Liêm, N.X (2001),"Bài tập Giải tích hàm", NXB Giáo dục Hà Nội [2] Tân, Đ.H., Hà, N.T.T (2003),"Các định lí điểm bất động", NXB Đại học sư phạm Hà Nội [3] Liêm, N.X (1996),"Giải tích hàm", NXB Giáo dục Hà Nội [4] Lưu, Đ.V., Khải, P.H (2000),"Giải tích lồi", NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [5] Tụy, H (2005),"Hàm thực giải tích hàm", NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Anh, P.N., Kim, J.K., Muu, L.D (2012),"An Extragradient Algorithm for Solving Bilevel Pseudomonotone Variational Inequalities", J of Global Optimization 52, pp 627 - 639, doi 10.1007/s 10898 012 - 9870 - y [7] Behera, A and Panda, G.K (1997),"A Generlization of Minty’s Lemma", Indian J of Pure and Applied Mathematics 28(7), pp 897-903 [8] Ceng, L.C., Ansari, Q.H., Yao, J.C (2011),"Iterative Methods For Triple Hirerarchical Variational Inequalities in Hilbert Spaces", J of Optimization Theory and Applications 151, pp 489-512 [9] Debnath, L., Mikusinski, P (2005),"Hilbert Spaces with Application", Elsevier Academic Press Publications Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 63 [10] Iiduka, H (2010),"Fixed point optimization algorithm and its Application to power control in CDMA data networks", Mathematical Programming, Series A, doi 10.1007/s10107-010-0427-x [11] Yao, Y., Liou, Y.C., Kang, S.M (2011),"Algorithms Construction for Variational Inequalities", Fixed point Theory Appications, doi: 10.1155/2011/794203, ID 794203 [12] Yao, Y., Liou, Y.C (2010),"An Implicit Extragradient Method for Hierarchical Variational Inequalities", Fixed point Theory and Applications, doi: 10.1155/2011/697248, ID 697248 [13] Yao, Y., Liou, Y.C., and Yao, J.C (2007),"An extragradient method for fixed point problems and variational inequality problems", J of Inequalities and Applications, doi: 10.1155/2007/38752, ID 38752 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... IF IX toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động T HV I toán bất đẳng thức biến phân tam cấp BV I toán bất đẳng thức biến phân hai cấp V I(F, C) toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá... bày phương pháp chiếu dạng ẩn cho việc giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn chứng minh hội tụ Tiếp theo, phương pháp ánh xạ co dạng ẩn cho lớp toán bất đẳng thức. .. bày phương pháp chiếu dạng ẩn dạng để giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Phương pháp chiếu giới thiệu Korpelevich vào năm 1976 sở để xây dựng phương pháp chiếu