Phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THIÊN QUANG PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2017 ii Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình TS Trương Minh Tun, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, thầy khoa Toán - Tin tham gia giảng dạy, truyền thụ kiến thức cho Đặc biệt PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy dạy bảo động viên tơi hồn thành tốt nhiệm vụ trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Diêm Điền đồng nghiệp gia đình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian qua iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu không gian Hilbert 10 1.2.1 Ánh xạ không giãn 10 1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 14 1.2.3 Toán tử đơn điệu 16 Chương Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn 22 2.1 Phương pháp chiếu co hẹp 22 2.2 Phương pháp lai chiếu 31 2.3 Một số ví dụ minh họa 35 Kết luận Tài liệu tham khảo 39 40 iv Một số ký hiệu viết tắt H không gian Hilbert X khơng gian Banach , tích vơ hướng H chuẩn H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm G(A) đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x αn α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng tốn chấp nhận lồi: "Tìm phần tử thuộc giao khác rỗng họ hữu hạn hay vơ hạn tập lồi đóng {Ci }i∈I không gian Hilbert H hay không gian Banach E", với I tập số Bài tốn có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, vật lý, y học Khi Ci = F (Ti ), với F (Ti ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, , N , có nhiều phương pháp đề xuất dựa phương pháp lặp cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt Năm 2008, tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R đưa số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [6] cho tốn tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert Ở đây, họ xây dựng điều kiện (điều kiện NST (I)) mô tả mối liên hệ hai họ ánh xạ không giãn Thông qua điều kiện tốn tìm điểm bất động chung họ ánh xạ khơng giãn (có thể hữu hạn hay vô hạn) đưa tốn tìm điểm bất động chung họ vơ hạn đếm ánh xạ khơng giãn Mục đích luận văn trình bày lại cách có hệ thống kết tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R tài liệu [6] Ngồi ra, luận văn chúng tơi xây dựng hai ví dụ số đơn giản lập trình thử nghiệm phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho phương pháp lặp Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn tập trung trình bày làm rõ số đặc trưng không gian Hilbert thực (các đẳng thức bất đẳng thức bản, phép chiếu mêtric, định lý tách tập lồi, tính đóng yếu tập lồi đóng), ánh xạ khơng giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu không gian Hilbert Chương Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung họ ánh xạ khơng giãn Nội dung chương trình bày lại kết tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R đưa số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp lai chiếu phương pháp chiếu co hẹp kết hợp với phương pháp lặp Mann [6] cho toán tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert với ứng dụng chúng Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm hai mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết ánh xạ khơng giãn, nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1] [2] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu , chuẩn kí hiệu Mệnh đề 1.1 Trong khơng gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau x−y + x−z = y−z + x − y, x − z , với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có y−z + x − y, x − z = y, y + z, z + x, x − x, z − x, y = [ x, x − x, y + y, y ] + [ x, x − x, z + z, z ] = x−y Vậy ta điều phải chứng minh + x − z Mệnh đề 1.2 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có λx + (1 − λ)y =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y (1.1) Chứng minh Ta có λx + (1 − λ)y = λ2 x + 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y 2 =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ)( x − x, y + y ) =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện | x, y | = x y , tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Giả sử ngược lại x = λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính chất tích vơ hướng, ta có < x − λy = λ2 y − 2λ x, y + x , với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc x, y tuyến tính Giả sử y = 0, với λ = , bất đẳng thức trở y thành | x, y | < x y , điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề chứng minh Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim xn , y = x, y , n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian l2 = {xn } ⊂ R : ∞ n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l2 , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ | en , y |2 < y < ∞ n=1 Suy limn→∞ en , y = 0, tức en Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ 0, en = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H dãy thỏa mãn điều kiện xn y = x, ta có lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ n→∞ x, nên {xn } bị chặn Chứng minh Vì xn Ta có xn − y = xn − x + x−y > xn − x + xn − x, x − y + xn − x, x − y Vì x = y, nên lim inf xn − y n→∞ > lim inf xn − x n→∞ + xn − x, x − y = lim inf xn − x n→∞ Do đó, ta nhận lim inf xn − x < lim inf xn − y n→∞ Mệnh đề chứng minh n→∞ (1.2) Mệnh đề 1.5 Mọi khơng gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn x xn → x , xn → x, n → ∞ Chứng minh Ta có xn − x = xn − xn , x + x → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.6 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, với x ∈ H, tồn phần tử PC x ∈ C cho x − PC x ≤ x − y với y ∈ C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf x − u Khi đó, tồn {un } ⊂ C u∈C cho x − un −→ d, n −→ ∞ Từ ta có un − um = (x − un ) − (x − um ) = x − un ≤ 2( x − un 2 + x − um + x − um un + um 2 ) − 4d −→ 0, 2 −4 x− n, m −→ ∞ Do {un } dãy Cauchy H Suy tồn u = lim un ∈ C Do chuẩn hàm số liên tục nên x − u = d Giả sử n→∞ tồn v ∈ C cho x − v = d Ta có u−v = (x − u) − (x − v) = 2( x − u 2 u+v + x−v )−4 x− 2 ≤ Suy u = v Vậy tồn phần tử PC x ∈ C cho x − PC x = inf u∈C x − u 26 thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T Đặt C1 = C, u1 = PC1 x0 xác định dãy {un } C sau:    y = αn un + (1 − αn )Tn un ,   n Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ un − z },    u =P x , n ∈ N, n+1 (2.3) Cn+1 ≤ αn ≤ a < với n ∈ N Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (T ) x0 Chứng minh Trước hết, ta F (T ) ⊂ Cn với n ≥ quy nạp Hiển nhiên F (T ) ⊂ C1 Giả sử F (T ) ⊂ Ck với k ≥ Khi đó, với u ∈ F (T ) ⊂ Ck , ta có yk − u = αk uk + (1 − αk )Tk uk − u ≤ αk uk − u + (1 − βk ) Tk uk − u ≤ αk uk − u + (1 − βk ) uk − u = uk − u u ∈ Ck+1 Từ suy F (T ) ⊂ Cn với n ≥ Tiếp theo, ta Cn lồi đóng với n ≥ Hiển nhiên C1 = C tập lồi đóng (theo giả thiết) Giả sử Ck tập lồi đóng với k ≥ Với z ∈ Ck , ta có yk − z ≤ uk − z tương đương với uk − yk , uk − z ≤ yk − uk Do đó, Ck+1 tập lồi đóng Suy Cn tập lồi đóng với n ≥ Như dãy {un } hoàn toàn xác định Từ un = PCn x0 , ta có x0 − un , un − y ≥ 0, ∀y ∈ Cn Vì F (T ) ⊂ Cn , nên ta có x0 − un , un − u ≥ 0, với u ∈ F (T ) n ≥ (2.4) 27 Suy với u ∈ F (T ), ta có ≤ x0 − un , un − u = x0 − un , un − x0 + x0 − u = − x0 − un + x0 − un x0 − u Suy x0 − un ≤ x0 − u , với u ∈ F (T ) n ≥ Từ un = PCn x0 un+1 = PCn+1 x0 ∈ Cn+1 ⊂ Cn , ta có x0 − un , un − un+1 ≥ (2.5) Từ (2.5), suy ≤ x0 − un , un − un+1 = x0 − un , un − x0 + x0 − un+1 = − x0 − un + x0 − un x0 − un+1 , ta nhận x0 − un ≤ x0 − un+1 , với n ≥ Kết hợp với tính bị chặn { x0 − un }, suy tồn giới hạn hữu hạn limn→∞ x0 − un = l Ta un − un+1 → Thật vậy, từ (2.5), ta có un − un+1 = un − x0 + x0 − un+1 = un − x0 + un − x0 , x0 − un+1 + x0 − un+1 = un − x0 + un − x0 , x0 − un + un − un+1 + x0 − un+1 2 = − un − x0 + un − x0 , un − un+1 + x0 − un+1 ≤ − un − x0 + x0 − un+1 , 28 kết hợp với limn→∞ x0 − un = l, ta nhận un − un+1 → Mặt khác, từ un+1 ∈ Cn+1 ⊂ Cn , suy yn − un+1 ≤ un − un+1 (2.6) Từ định nghĩa yn , ta có yn − un = (1 − αn ) Tn un − un Do đó, từ (2.6), ta nhận yn − un − αn ≤ yn − un 1−a yn − un+1 + un+1 − un = 1−a ≤ un+1 − un 1−a Tn un − un = (2.7) Từ (2.4), (2.5), (2.7) Định lý 2.1, suy dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (T ) x0 Định lý chứng minh Từ Định lý 2.2, Takahashi cộng đưa kết cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn hay nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert Định lý 2.3 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, đóng, khác rỗng H Cho T ánh xạ không giãn từ C vào với F (T ) = ∅ x0 ∈ H Với C1 = C u1 = PC1 x0 , xác định dãy {un } sau:    y = αn un + (1 − αn )T un ,   n Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ un − z },    u n+1 = PCn+1 x0 , n ∈ N, 29 ≤ αn ≤ a < với n ∈ N Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (T ) x0 Chứng minh Với n ≥ 1, đặt Tn = T Hiển nhiên {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T Do đó, từ Định lý 2.2, suy điều phải chứng minh Định lý chứng minh Định lý 2.4 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, đóng, khác rỗng H Cho T ánh xạ không giãn từ C vào với F (T ) = ∅ x0 ∈ H Với C1 = C u1 = PC1 x0 , xác định dãy {un } sau:    y = αn un + (1 − αn ) βn un + (1 − βn )T un ,   n Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ un − z },    u =P x , n ∈ N, n+1 Cn+1 ≤ αn ≤ a < < b ≤ βn ≤ c < với n ∈ N Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (T ) x0 Chứng minh Với n ≥ 1, đặt Tn x = βn x + (1 − βn )T x, với x ∈ C Theo Mệnh đề 1.12, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T Do đó, từ Định lý 2.2, suy điều phải chứng minh Định lý chứng minh Định lý 2.5 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, đóng, khác rỗng H Cho S T hai ánh xạ không giãn từ C vào với F (S) ∩ F (T ) = ∅ x0 ∈ H Với C1 = C u1 = PC1 x0 , xác định dãy {un } sau:    y = αn un + (1 − αn ) βn Sun + (1 − βn )T un ,   n Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ un − z },    u n+1 = PCn+1 x0 , n ∈ N, 30 ≤ αn ≤ a < < b ≤ βn ≤ c < với n ∈ N Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (S)∩F (T ) x0 Chứng minh Với n ≥ 1, đặt Tn x = βn Sx + (1 − βn )T x, với x ∈ C Theo Mệnh đề 1.13, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với {S, T } Do đó, từ Định lý 2.2, suy điều phải chứng minh Định lý chứng minh Định lý 2.6 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, đóng, khác rỗng H Cho T = {T (s) : ≤ s < ∞} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn từ C vào với F (T ) = ∅ x0 ∈ H Với C1 = C u1 = PC1 x0 , xác định dãy {un } sau:  λn   T (s)un ds, y = α u + (1 − α )  n n n n  λn  Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ un − z },     un+1 = PC x0 , n ∈ N, n+1 (2.8) ≤ αn ≤ a < 1, < λn < ∞ với n ∈ N λn → ∞ Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (T ) x0 Chứng minh Với n ≥ 1, đặt Tn x = λn λn T (s)xds, với x ∈ C Theo Mệnh đề 1.14, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T Do đó, từ Định lý 2.2, suy điều phải chứng minh Định lý chứng minh Định lý 2.7 Cho H không gian Hilbert thực cho A : H −→ 2H toán tử đơn điệu cực đại Với u1 = x0 ∈ H C1 = H, xác định dãy 31 {un } sau:    y = αn un + (1 − αn )JλAn un ,   n Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ un − z },    u =P x , n ∈ N, n+1 (2.9) Cn+1 ≤ αn ≤ a < 1, < λn < ∞ với n ∈ N λn → ∞ Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PA−1 x0 Chứng minh Với n ≥ 1, đặt Tn x = JλAn x với x ∈ C Theo Mệnh đề 1.16, {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với J A = (I + A)−1 Do đó, từ Định lý 2.2, suy điều phải chứng minh Định lý chứng minh 2.2 Phương pháp lai chiếu Năm 2003, Nakajo Takahashi [3] chứng minh định lý đây: Định lý 2.8 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, đóng, khác rỗng H Cho T ánh xạ không giãn từ C vào với F (T ) = ∅ Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } sau   yn = αn xn + (1 − αn )T xn ,      Cn = {z ∈ C : yn − z ≤ xn − z },   Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},     x n+1 = PCn ∩Qn x1 , n ≥ 1, (2.10) {αn } dãy số thực thỏa mãn điều kiện αn ⊂ [0, a), với a < Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh PF (T ) x1 , n → ∞ Ngoài ra, Nakajo Takahashi [3] chứng minh định lý cho tốn tìm điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn 32 Định lý 2.9 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, đóng, khác rỗng H Cho T = {T (s) : ≤ s < ∞} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C cho F (T ) = ∅ Với x1 ∈ C bất kỳ, ta xác định dãy {xn } sau  λn   y = α x + (1 − α )  n n n n T (s)xn ds,  λ  n   C = {z ∈ C : y − z ≤ x − z }, n n n   Qn = {z ∈ C : xn − z, x − xn ≥ 0},      xn+1 = PC ∩Q x1 , n ≥ 1, n n (2.11) {αn } dãy số thực thỏa mãn điều kiện αn ⊂ [0, a), với a < {λn } dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện λn → ∞ Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh PF (T ) x1 , n → ∞ Sử dụng Định lý 2.1, Takahashi, Takeuchi Kubota đưa tổng quát Định lý 2.8 Định lý 2.9, sau: Định lý 2.10 Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi, đóng, khác rỗng H Cho {Tn } T hai họ ánh xạ khơng giãn từ C vào cho ∩∞ n=1 F (Tn ) = F (T ) = ∅ cho x0 ∈ H Giả sử {Tn } thỏa mãn điều kiện NST (I) ứng với T Đặt C1 = C, u1 = PC1 x0 xác định dãy {un } C sau:   yn = αn un + (1 − αn )Tn un ,      Cn = {z ∈ C : yn − z ≤ un − z },   Qn = {z ∈ C : x0 − un , un − z ≥ 0},     u n+1 = PCn ∩Qn x0 , n ∈ N, (2.12) ≤ αn ≤ a < với n ∈ N Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (T ) x0 Chứng minh Ta biểu diễn lại tập Cn Qn dạng đây: Cn = C ∩ {z ∈ H : un − yn , z ≥ ( un − yn )}, 33 Qn = C ∩ {z ∈ H : un − x0 , z ≥ un − x0 , un } Vì C tập lồi, đóng {z ∈ H : un − yn , z ≥ ( un − yn )}, {z ∈ H : un − x0 , z ≥ un − x0 , un } nửa khơng gian đóng H, nên Cn Qn tập lồi đóng Lấy u ∈ F (T ) Khi đó, với n ≥ 1, ta có yn − u = αn un + (1 − αn )Tn un − u ≤ αn yn − u + (1 − αn ) Tn un − Tn u ≤ αn yn − u + (1 − αn ) un − u = yn − u Suy u ∈ Cn với n ≥ Do đó, ta nhận F (T ) ⊂ Cn với n ≥ Tiếp theo, ta F (T ) ⊂ Qn với n quy nạp Thật vậy, từ u1 = PC x0 , ta có x0 − u1 , u1 − y ≥ 0, với y ∈ C, suy Q1 = C Do F (T ) ⊂ Q1 Giả sử F (T ) ⊂ Qk với k ≥ Từ uk+1 = PCk ∩Qk x0 , ta có x0 − uk+1 , uk+1 − y ≥ 0, với y ∈ Ck ∩ Qk Do F (T ) ⊂ Ck ∩ Qk , nên ta nhận x0 − uk+1 , uk+1 − u ≥ 0, với u ∈ F (T ) Suy ra, F (T ) ⊂ Qk+1 Như vậy, ta nhận F (T ) ⊂ Qn với n ≥ Tóm lại, ta có F (T ) ⊂ Cn ∩ Qn với n ≥ dãy {un } hồn tồn xác định 34 Vì F (T ) ⊂ Qn từ định nghĩa Qn , ta có x0 − un , un − u ≥ 0, (2.13) với u ∈ F (T ) Từ un+1 = PCn ∩Qn x0 ∈ Qn , ta có x0 − un , un − un+1 ≥ (2.14) Mặt khác, un+1 = PCn ∩Qn x0 ∈ Cn , nên từ định nghĩa Cn , ta nhận yn − un+1 ≤ un − un+1 Từ cách xác định yn , ta có yn − un = (1 − αn ) Tn un − un Tương tự chứng minh Định lý 2.2, ta nhận yn − un ≤ un − un+1 (2.15) Tn un − un ≤ − αn 1−a Từ (2.13)-(2.15) Định lý 2.1, suy dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PF (T ) x0 Định lý chứng minh Tương tự Định lý 2.7, ta có kết cho tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Định lý 2.11 Cho H không gian Hilbert thực cho A : H −→ 2H toán tử đơn điệu cực đại Với u1 = x0 ∈ H C1 = H, xác định dãy {un } sau:   yn = αn un + (1 − αn )JλAn un ,      Cn = {z ∈ C : yn − z ≤ un − z },   Qn = {z ∈ C : x0 − un , un − z ≥ 0},     u n+1 = PCn ∩Qn x0 , n ∈ N, (2.16) ≤ αn ≤ a < 1, < λn < ∞ với n ∈ N λn → ∞ Khi đó, dãy {un } hội tụ mạnh z0 = PA−1 x0 Nhận xét 2.1 Từ Nhận xét 1.1, ta thấy Định lý 2.11 cho trường hợp dãy {λn } thỏa mãn điều kiện inf n {λn } = λ > 35 2.3 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.1 Xét tốn tìm điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn T = {T (s) : ≤ s < ∞} từ R3 vào R3 xác định    cos s − sin s x    1   T (s)x =   sin s cos s 0 x2  , 0 x3 với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 với s ≥ Ta biết T nửa nhóm ánh xạ khơng giãn F (T ) = {(0, 0, a) : a ∈ R} (xem Ví dụ 1.4) Với x0 = (1, 2, 3), ta có z0 = PF (T ) x0 = (0, 0, 3) Dưới ta mô tả hội tụ dãy lặp {xn } xác định Định lý 2.6 Định lý 2.9 thông qua đánh giá khoảng cách nghiệm xấp xỉ xn nghiệm xác z0 Áp dụng Định lý 2.6 Định lý 2.9 với x0 = (1, 2, 3), αn = n+1 λn = n, ta nhận bảng kết đây: Phương pháp lặp (2.8) n 34 43 50 TOL 10−4 10−5 10−6 xn − x∗ 7.66 × 10−5 9.89 × 10−6 9.04 × 10−7 xn (3.1 × 10−5 , × 10−5 , 3) (2.67 × 10−6 , 9.52 × 10−6 , 3) (7.06 × 10−6 , 5.65 × 10−6 , 3) Phương pháp lặp (2.11) TOL 10−4 10−5 10−6 n xn − x∗ 595 9.23 × 10−5 1591 9.36 × 10−6 3642 8.47 × 10−7 xn (−1.39 × 10−5 , 9.13 × 10−5 , 3) (−3.02 × 10−6 , 8.86 × 10−6 , 3) (−1.86 × 10−6 , 8.26 × 10−6 , 3) Bảng 2.1: Nghiệm xác (0, 0, 3) Sự hội tụ dãy nghiệm xấp xỉ cho phương pháp lặp (2.8) (2.10) mô tả hình đây: 36 Hình 2.1: Nghiệm xác z0 = (0, 0, 3) Ví dụ 2.2 Xét tốn tìm phần tử x∗ ∈ S = argminx∈R3 f (x), f xác định f (x) = Ax, x + B, x + C, với   1 −1    , B = −4 −4 , C số tùy ý A= 1 −1   −1 −1 Ta có f = 2A Do A ma trận nửa xác định dương nên f hàm lồi R3 Ngồi ra, f hàm thường, liên tục R3 , nên ∂f toán tử đơn điệu cực đại Như vậy, toán tương đương với tốn sau: Tìm phần tử x∗ ∈ (∂f )−1 = ∅ Dễ dàng kiểm tra tập nghiệm toán S = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 − x3 = 2} 37 Với x0 = (2, 0, −3) z = (a, b, a + b − 2) ∈ S với a, b ∈ R, ta có z − x0 = (a − 2)2 + b2 + (a + b + 1)2 Khi đó, z = PS x0 g(a, b) = (a − 2)2 + b2 + (a + b + 1)2 đạt giá trị nhỏ Dễ thấy, g(a, b) đạt giá trị nhỏ a = b = −1 Suy z0 = PS x0 = (1, −1, −2) Chú ý 2.1 Ta tìm hình chiếu z0 x0 lên tập S cách sử dụng đặc trưng phép chiếu mêtric (xem Mệnh đề 1.7), tức z0 = PS x0 x0 − z0 , z0 − z ≥ 0, với z ∈ S Gỉa sử z0 = (a0 , b0 , a0 + b0 − 2) Khi bất đẳng thức tương đương với (2 − a0 )(a0 − a) − b0 (b0 − b) − (1 + a0 + b0 )(a0 + b0 − a − b) ≥ 0, với a, b ∈ R Điều tương đương với (2a0 + b0 − 1)a + (a0 + 2b0 + 1)b + a0 − b0 − 2(a20 + a0 b0 + b20 ) ≥ 0, với a, b ∈ R Bất đẳng thức xảy    2a + b0 − = 0,   a0 + 2b0 + = 0,    a − b − 2(a2 + a b + b2 ) ≥ 0 0 0 Suy z0 = PS x0 = (1, −1, −2) Áp dụng Định lý 2.7 Định lý 2.11 với x0 = (2, 0, −3), αn = λn = n, ta nhận bảng kết đây: n+1 38 Phương pháp lặp (2.9), (2.16) n 18 22 26 TOL 10−4 10−5 10−6 xn − x∗ 9.17 × 10−5 7.08 × 10−6 5.29 × 10−7 xn (1.000052, −0.999947, −2.000052) (1.000004, −0.999995, −2.000004) (1, −0.999999, −2) Bảng 2.2: Nghiệm xác z0 = (1, −1, −2) Chú ý 2.2 Trong trường hợp phương pháp lặp (2.9) (2.16) cho ta kết Từ Nhận xét 2.1, áp dụng Định lý 2.7 Định lý 2.11 với x0 = (2, 0, −3), λn = với n ≥ 1, ta nhận bảng kết đây: αn = n+1 Phương pháp lặp (2.9) TOL 10−4 10−5 10−6 n xn − x∗ 21 8.86 × 10−5 26 6.26 × 10−6 30 7.38 × 10−7 xn (1.000051, −0.999948, −2.000051) (1.000003, −0.999996, −2.000003) (1, −0.999999, −2) n xn − x∗ 30 9.32 × 10−5 37 × 10−6 43 7.48 × 10−7 xn (1.000053, −0.999946, −2.000053) (1.000004, −0.999995, −2.000004) (1, −0.999999, −2) Phương pháp lặp (2.16) TOL 10−4 10−5 10−6 Bảng 2.3: Nghiệm xác (1, −1, −2) Nhận xét 2.2 Phương pháp chiếu co hẹp (2.9) cho ta kết tốt phương pháp lai chiếu (2.16) 39 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng không gian Hilbert, ánh xạ không giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert; • Các kết Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R tài liệu [6] cho tốn tìm điểm bất động chung họ ánh xạ khơng giãn; • Xây dựng ví dụ số đơn giản dựa phần mềm MATLAB nhằm minh họa thêm cho phương pháp 40 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] Nakajo K., Takahashi W (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal Appl., 279, pp 372-379 [4] Nakajo K., Shimoji K., Takahashi W (2007), "Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings in Banach spaces", J Nonlinear Convex Anal., 8, pp 11-34 [5] Shimizu N., Takahashi W (1997), "Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 211, pp 71-83 [6] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R (2008), "Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", J Math Anal Appl., 341, pp 276-286 ... Chương Một số phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn 22 2.1 Phương pháp chiếu co hẹp 22 2.2 Phương pháp lai chiếu 31 2.3 Một số... phương pháp lặp Mann [6] cho tốn tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn không gian Hilbert Ở đây, họ xây dựng điều kiện (điều kiện NST (I)) mô tả mối liên hệ hai họ ánh xạ không giãn Thông... phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn Nội dung chương trình bày lại kết tác giả Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R đưa số phương pháp lai ghép bao gồm phương pháp lai