Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

đại học tháI nguyên TRNG I HC KHOA HC  - Lý minh thïy XÊp xỉ điểm bất động ánh xạ không giÃn không gian hilbert luận văn thạc sĩ toán học TháI nguyªn, 2014 Mục lục Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu Mở đầu Bài toán điểm bất động ánh xạ không giãn 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ không giãn 1.3 Bài toán điểm bất động 12 1.3.1 Bài toán điểm bất động 12 1.3.2 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động 15 Một số bổ đề bổ trợ 18 1.4 Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn 19 2.1 Phương pháp lặp Mann-Halpern cải biên 19 2.2 Điểm bất động chung hai ánh xạ không giãn 26 2.3 Phương pháp lai ghép thu hẹp 33 Kết luận 35 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tận tâm nhiệt tình Thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Trường Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Lý Minh Thùy DANH MỤC KÝ HIỆU X Không gian Banach thực H Không gian Hilbert thực ∅ Tập rỗng ∀x Với x ∃x Tồn x D(T ) Miền xác định toán tử T Fix(T ) Tập điểm bất động toán tử T xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn x Dãy {xn } hội tụ yếu tới x MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán chấp nhận lồi, toán cân Cho H không gian Hilbert thực;C tập lồi,đóng,khác rỗng H; T : C → H ánh xạ phi tuyến Điểm x∗ ∈ C thỏa mãn T x∗ = x∗ gọi điểm bất động ánh xạ T Trong nhiều trường hợp, việc giải phương trình đưa tốn tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn nghiệm phương trình tốn tử Ax = f , A : H → H ánh xạ phi tuyến, f phần tử thuộc H, điểm bất động ánh xạ S xác định Sx = Ax + x − f với x ∈ H Lý thuyết điểm bất động vấn đề xấp xỉ điểm bất động vấn đề thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày số kết Giáo sư Nguyễn Bường xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày số kiến thức khơng gian Hilbert, tốn điểm bất động số phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ Trong chương 2, chúng tơi trình bày phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Đóng góp luận văn đọc, dịch, tổng hợp kiến thức tài liệu [2] [3] Toàn phần chứng minh định lý chương làm rõ từ kết nghiên cứu công bố [2] [3] Chương Bài toán điểm bất động ánh xạ không giãn Trong chương này, trước hết giới thiệu không gian Hilbert thực, ánh xạ không giãn không gian Hilbert nhằm trang bị kiến thức cần thiết cho việc trình bày phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ khơng giãn Tiếp đó, chúng tơi trình bày tốn điểm bất động ánh xạ không giãn số phương pháp lặp cổ điển giải toán phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Ishikawa phương pháp lặp Halpern Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1]-[7] 1.1 Không gian Hilbert Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm số kết không gian Hilbert thực H Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính R Một tích vơ hướng H ánh xạ, ký hiệu ·, · : H × H → R thỏa mãn điều kiện sau: i) x, x > 0, ∀x = 0, x, x = ⇔ x = 0; ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R; iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H Không gian tuyến tính H với tích vơ hướng ·, · gọi không gian tiền Hilbert Nhận xét 1.1 i) Không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với chuẩn: ||x|| = x, x , ∀x ∈ H ii) Đẳng thức hình bình hành ln thỏa mãn không gian tiền Hilbert H: ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ), ∀x, y ∈ H Ngược lại, không gian định chuẩn X có chuẩn thỏa mãn đẳng thức hình bình hành ta xây dựng tích vơ hướng x, y = (||x + y||2 − ||x − y||2 ), ∀x, y ∈ X Khi X trở thành khơng gian tiền Hilbert iii) Trong không gian tiền Hilbert H bất đẳng thức Schwarz thỏa mãn: | x, y | ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ H Định nghĩa 1.2 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1 Các không gian Rn , L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng xác định tương ứng là: n xi yi , x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn ; x, y = i=1 b x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ L2 [a, b] x, y = a Định nghĩa 1.3 Dãy {xn }∞ n=1 không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H n→∞ lim xn , y = x, y , với y ∈ H Định nghĩa 1.4 Tập hợp C ⊂ H gọi lồi ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C Ví dụ 1.2 Trong khơng gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, hình cầu tập lồi Định nghĩa 1.5 Tập C ⊂ H gọi tập đóng dãy hội tụ {xn } ⊂ C có giới hạn thuộc C, tức ➝ ➠ ∀{xn } ⊂ C : xn → x ⇒ x ∈ C Ví dụ 1.3 Hình cầu đóng B(x, r) tâm x, bán kính r tập đóng Bổ đề 1.1 Giả sử H không gian Hilbert thực, C tập lồi, đóng H điểm x, y, z ∈ H Với số thực a bất kỳ, tập hợp ➝ v ∈C : y−v ≤ x−v tập lồi đóng H ➠ + z, v + a 1.2 Ánh xạ không giãn Cho H không gian Hilbert thực, T : H → H ánh xạ với miền xác định D(T ), miền giá trị R(T ) Định nghĩa 1.6 Ánh xạ T : H → H gọi liên tục Lipschitz tồn số L > thỏa mãn Tx − Ty ≤ L x − y , ∀x, y ∈ D(T ) (1.1) Số L gọi số Lipschitz T Nếu L < T ánh xạ co L = T ánh xạ không giãn, nghĩa là: Tx − Ty ≤ x − y , ∀x, y ∈ D(T ) (1.2) Sau khái niệm số tính chất phép chiếu mêtric Định nghĩa 1.7 Cho C tập lồi ,đóng khơng gian Hilbert thực H, phép chiếu mêtric PC từ H lên C cho tương ứng x ∈ H với phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn x − PC (x) ≤ x − y với y ∈ C Bổ đề 1.2 Cho C tập lồi, đóng khơng gian Hilbert thực H, với x ∈ H, tồn z ∈ C cho ||z−x|| ≤ ||y−x||, với y ∈ C z = PC (x) z − x, y − z ≥ 0, với y ∈ C Định lý 1.1 Nếu C tập lồi ,đóng , khác rỗng khơng gian Hilbert H tồn phần tử x0 C cho x0 ≤ x với x ∈ C giới hạn hữu hạn n→∞ lim ||xn − x0 || = c Mặt khác, từ xn+1 ∈ Wn , ta có xn − x0 , xn+1 − xn ≥ suy ||xn − xn+1 ||2 = ||xn − x0 − (xn+1 − x0 )||2 = ||xn − x0 ||2 − xn − x0 , xn+1 − x0 + ||xn+1 − x0 ||2 ≤ ||xn+1 − x0 ||2 − ||xn − x0 ||2 , ∀n ≥ Vì vậy, (2.3) suy từ bất đẳng thức lim ||xn − x0 || = c n→∞ Vì αn → dãy {xn }, {PC T PC (xn )} bị chặn, từ (2.1) suy lim ||zn − PC (xn )|| = n→∞ lim (1 − αn )||PC (xn ) − PC T PC (xn )|| n→∞ (2.4) = Mặt khác, xn+1 ∈ Hn , nên ||yn − xn+1 ||2 ≤ ||xn − xn+1 ||2 + βn (||x0 || + xn − x0 , xn+1 ) Vì vậy, từ (2.3), tính bị chặn dãy {xn }, β → bất đẳng ta suy lim ||yn − xn+1 || = (2.5) lim ||yn − xn || = (2.6) n→∞ Kết hợp với (2.3) suy n→∞ Chú ý PC T zn = yn − βn (xn − PC T zn ) + βn (xn − x0 ) 23 nên ||xn − PC T zn || ≤ ||xn − yn || + βn ||xn − PC T zn || + βn ||xn − x0 || Từ (2.2) bất đẳng thức cuối ta suy ||xn − PC T zn || ≤ (||xn − yn || + βn ||u0 − x0 ||) − βn Vì βn → (βn ≤ − β với β ∈ (0, 1)), (2.6) bất đẳng ta nhận lim ||xn − PC T zn || = n→∞ (2.7) Hơn nữa, ta có PC T zn = PC TC T zn ||zn − PC T zn || ≤ ||zn − PC (xn )|| + ||PC (xn ) − PC PC (T zn )|| ≤ ||zn − PC (xn )|| + ||xn − PC T zn || Từ (2.4), (2.7), bất đẳng thức cuối suy lim ||zn − PC T zn || = n→∞ (2.8) Do {xn } bị chặn, tồn dãy {xnj } ⊂ {xn } hội tụ yếu tới phần tử p ∈ H j → ∞ Từ (2.7) (2.8) ta có {znj } hội tụ yếu tới p Vì {zn } ⊂ C, ta p ∈ C theo Bổ đề 1.4 công thức (2.8), p ∈ Fix(PC T ) = Fix(T ) Bây giờ, từ (2.2) tính nửa liên tục yếu chuẩn ta suy ||x0 − u0 || ≤||x0 − p|| ≤ lim inf ||x0 − xnj || j→∞ ≤ lim sup ||x0 − xnj || ≤ ||x0 − u0 || j→∞ Vì vậy, ta lim ||x0 − xnj || = ||x0 − u0 || = ||x0 − p|| j→∞ 24 Từ suy xnj → p = u0 theo Bổ đề 1.5 Sử dụng tính phép chiếu u0 = PFix(T ) (x0 ), ta có xn → u0 Từ (2.6) (2.8) ta có yn → u0 zn → u0 Định lý chứng minh Hệ 2.1 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H T : C → H ánh xạ không giãn cho Fix(T ) = ∅ Giả sử {βn } dãy [0, 1] cho βn → Khi dãy {xn } {yn } định nghĩa                                              x0 ∈ H bất kỳ; yn = βn x0 + (1 − βn )PC T PC (xn ); Hn = {z ∈ H : ||yn − z||2 ≤ ||xn − z||2 +βn (||x0 || + xn − x0 , z )}; Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}; xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, hội tụ mạnh tới điểm u0 = PFix(T ) (x0 ) n → ∞ Chứng minh Sử dụng Định lý 2.1 với αn = 1, ta thu điều cần chứng minh Hệ 2.2 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H T : C → H ánh xạ không giãn cho Fix(T ) = ∅ Giả sử {αn } dãy [0, 1] cho αn → Khi dãy {xn } 25 {yn } định nghĩa                                    x0 ∈ H, bất kỳ; yn = PC T (αn PC (xn ) + (1 − αn )PC T PC (xn )); Hn = {z ∈ H : ||yn − z|| ≤ ||xn − z||}; Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}; xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, hội tụ mạnh tới điểm u0 = PFix(T ) (x0 ) n → ∞ Chứng minh Trong Định lý 2.1 đặt βn = 0, ta thu điều cần chứng minh 2.2 Điểm bất động chung hai ánh xạ không giãn Cho C1 C2 hai tập lồi ,đóng khơng gian Hilbert H Cho T1 : C1 → H T2 : C2 → H hai ánh xạ khơng giãn Bài tốn nghiên cứu mục là: Tìm phần tử p ∈ F := Fix(T1 ) ∩ Fix(T2 ) (2.9) Để giải toán (2.9), ta xét dãy lặp                                                      x0 ∈ H bất kỳ; zn = xn − µn (xn − T1 PC1 xn ); yn = βn x0 + (1 − βn )T2 PC2 zn ; Hn = {z ∈ H : ||yn − z||2 ≤ ||xn − z||2 + βn (||x0 ||2 +2 xn − x0 , z )}; Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}; xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 26 (2.10) Chúng ta hội tụ mạnh dãy {xn }, {yn } {zn } xác định (2.10) tương ứng đến điểm p q Định lý 2.2 Cho C1 , C2 hai tập lồi ,đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H T1 , T2 hai ánh xạ không giãn C1 C2 cho F := Fix(T1 )∩Fix(T2 ) = ∅ Giả sử {µn } {βn } dãy số [0, 1] cho µn ∈ (a, b) với a, b ∈ (0, 1) βn → Khi dãy {xn }, {zn } {yn }, xác định (2.10) hội tụ mạnh u0 = PF (x0 ) n → ∞ Chứng minh Trước hết ta ý ||yn − z||2 ≤ ||xn − z||2 + βn (||x0 ||2 + xn − x0 , z ), tương đương với (1 − βn )xn + βn x0 − yn , z ≤ xn − yn , xn βn − ||yn − xn ||2 + ||x0 ||2 2 Vì vậy, Hn nửa không gian Rõ ràng, Fix(T ) = Fix(T PC ) := {p ∈ H : T PC p = p}, ˜ ) ∩ Fix(T ˜ ) với ánh xạ T : C → C Do F = Fix(T T˜i = Ti PC , T˜i , i = 1, hai ánh xạ khơng giãn H Do từ (2.10) Bổ đề 1.3 ta có p ∈ F 27 ||zn − p||2 = ||(1 − µn )(xn − p) + µn (T˜1 xn − p)||2 = (1 − µn )||xn − p||2 + µn ||T˜1 xn − p||2 − (1 − µn )µn ||xn − T˜1 xn ||2 ≤ (1 − µn )||xn − p||2 + µn ||xn − p||2 (2.11) − (1 − µn )µn ||xn − T˜1 xn ||2 ≤ ||xn − p||2 − (1 − µn )µn ||xn − T˜1 xn ||2 ≤ ||xn − p||2 Lập luận tương tự, kết hợp với tính lồi chuẩn ||.||2 , ta nhận ||yn − p||2 = ||βn x0 + (1 − βn )T˜2 zn − p||2 ≤ βn ||x0 − p||2 + (1 − βn )||T˜2 zn − T˜2 p||2 ≤ βn ||x0 − p||2 + (1 − βn )||zn − p||2 ≤ βn ||x0 − p||2 + (1 − βn )||xn − p||2 = ||xn − p||2 + βn (||x0 − p||2 − ||xn − p||2 ) = ||xn − p||2 + βn (||x0 ||2 + xn − x0 , p ) Do p ∈ Hn với n ≥ Điều có nghĩa Fix(T ) ⊂ Hn với n ≥ Tiếp theo, ta Fix(T ) ⊂ Hn ∩ Wn với n ≥ quy nạp Với n = 0, ta có W0 = H Fix(T ) ⊂ H0 ∩ W0 Giả sử xi biết Fix(T ) ⊂ Hi ∩ Wi với i > Tồn phần tử xi+1 ∈ Hi ∩ Wi cho xi+1 = PHi ∩Wi (x0 ) Do theo Bổ đề 1.2 ta có xi+1 − x0 , p − xi+1 ≥ 0, 28 với p ∈ Hi ∩ Wi Vì Fix(T ) ⊂ Hi ∩ Wi nên Fix(T ) ⊂ Wi+1 Vậy ta có Fix(T ) ⊂ Hi+1 ∩ Wi+1 Hơn Fix(T ) tập lồi ,đóng ,khác rỗng H nên tồn phần tử u0 ∈ Fix(T ) cho u0 = PFix(T ) (x0 ) Từ xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), ta nhận ||xn+1 − x0 || ≤ ||z − x0 ||, với z ∈ Hn ∩ Wn Và u0 ∈ Fix(T ) ⊂ Wn , ta thu ||xn+1 − x0 || ≤ ||u0 − x0 ||, n ≥ (2.12) Điều kéo theo {xn } bị chặn Ta lim ||xn+1 − xn || = (2.13) n→∞ Từ định nghĩa Wn Bổ đề 1.2, suy xn = PWn (x0 ) Do xn+1 ∈ Hn ∩ Wn , ta có ||xn+1 − x0 || ≥ ||xn − x0 ||, n ≥ Do {||xn −x0 ||} khơng giảm bị chặn Vậy, tồn n→∞ lim ||xn − x0 || = c Mặt khác, từ xn+1 ∈ Wn , ta có xn − x0 , xn+1 − xn ≥ ||xn − xn+1 ||2 = ||xn − x0 − (xn+1 − x0 )||2 = ||xn − x0 ||2 − xn − x0 , xn+1 − x0 + ||xn+1 − x0 ||2 ≤ ||xn+1 − x0 ||2 − ||xn − x0 ||2 , 29 ∀n ≥ Do (2.13) suy từ bất đẳng thức n→∞ lim ||xn −x0 || = c Mặt khác, xn+1 ∈ Hn nên ||yn − xn+1 ||2 ≤ ||xn − xn+1 ||2 + βn (||x0 || + xn − x0 , xn+1 ) Do đó, từ (2.13), tính bị chặn {xn }, βn → bất đẳng thức suy lim ||yn − xn+1 || = (2.14) n→∞ Điều với (2.13) kéo theo lim ||yn − xn || = (2.15) n→∞ Chú ý từ T˜2 zn = yn − βn (xn − T˜2 zn ) + βn (xn − x0 ), ta suy ||xn − T˜2 zn || ≤ ||xn − yn || + βn ||xn − T˜2 zn || + βn ||xn − x0 || Từ (2.12) bất đẳng thức ta nhận ||xn − T˜2 zn || ≤ (||xn − yn || + βn ||u0 − x0 ||) − βn Do βn → (βn ≤ − β với β ∈ (0, 1)), (2.15) bất đẳng thức trên, ta nhận lim ||xn − T˜2 zn || = (2.16) n→∞ Ta chứng minh ||xn − T˜1 xn || → ||xn − T˜2 xn || → 0, n → ∞ Thật vậy, từ dãy {xn } bị chặn, với p ∈ F dãy {T˜1 xnk − xnk } {T˜1 xn − xn } tồn dãy {xnj } ⊂ {xnk } cho lim ||xnj − p|| = lim sup ||xnk − p|| = a j→∞ k→∞ 30 Do (2.16), (2.11) bất đẳng thức ||xnj − p|| ≤ ||xnj − T˜2 znj || + ||T˜2 znj − p|| ≤ ||xnj − T˜2 znj || + ||znj − p|| ≤ ||xnj − T˜2 znj || + ||xnj − p||, ta nhận lim ||xnj − p|| = lim ||znj − p|| = a j→∞ j→∞ Từ (2.11) điều kiện µn , ta suy a(1 − b)||T˜1 xnj − xnj || ≤ ||xnj − p|| − ||znj − p|| Vì vậy, ||T˜1 xnj − xnj || → ||T˜1 xn − xn || → n → ∞ Hơn ||T˜2 xn − xn || ≤ ||T˜2 xn − T˜2 zn || + ||T˜2 zn − xn || ≤ ||xn − zn || + ||T˜2 zn − xn ||, lim ||zn − xn || = n→∞ lim µn ||T˜1 xn − xn || = 0, n→∞ (2.17) (2.16) ||T˜1 xn − xn || → ta nhận ||T˜2 xn − xn || → Bởi {xn } bị chặn nên tồn dãy {xni } {xn } hội tụ yếu đến phần tử p ∈ H i → ∞ Do Bổ đề 1.3 ||T˜1 xn − xn ||, ||T˜2 xn − xn || → 0, ta có p ∈ F Từ (2.12) tính nửa liên tục yếu chuẩn ta suy ||x0 − u0 | ≤ ||x0 − p|| ≤ lim inf ||x0 − xnj || j→∞ ≤ lim sup ||x0 − xnj || ≤ ||x0 − u0 || j→∞ 31 Do vậy, ta nhận lim ||x0 − xnj || = ||x0 − u0 || = ||x0 − p|| j→∞ Điều kéo theo xnj → p = u0 Bổ đề 1.5 Do tính hình chiếu u0 = PFix(T ) (x0 ), nên ta có xn → u0 Từ (2.17) ta thu yn → u0 zn → u0 tương ứng Định lý chứng minh Hệ 2.3 Cho C1 , C2 hai tập lồi ,đóng ,khác rỗng không gian Hilbert thực H T1 , T2 hai ánh xạ không giãn C1 C2 cho Fix(T1 ) ∩ Fix(T2 ) = ∅ Giả sử {µn } dãy số [0, 1] thỏa mãn < a ≤ µn ≤ b < Khi dãy {xn } {yn }, xác định                                    x0 ∈ H bất kỳ; yn = T2 PC2 (xn − µn (xn − T1 PC1 xn )); Hn = {z ∈ H : ||yn − z|| ≤ ||xn − z||}; Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}; xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ hội tụ mạnh u0 = PF (x0 ) n → ∞ Chứng minh Đặt βn = Định lý 2.2, ta thu điều phải chứng minh Hệ 2.4 Cho C1 , C2 hai tập lồi ,đóng ,khác rỗng khơng gian Hilbert thực H C = C1 ∩ C2 = ∅ Giả sử {µn }, {βn } hai dãy số [0, 1] cho µn ∈ (a, b) với a, b ∈ (0, 1) βn → Khi 32 dãy {xn } {yn }, xác định                                                      x0 ∈ H bất kỳ; zn = xn − µn (xn − PC1 xn ); yn = βn x0 + (1 − βn )PC2 zn ; Hn = {z ∈ H : ||yn − z||2 ≤ ||xn − z||2 + βn (||x0 ||2 +2 xn − x0 , z )}; Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}; xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ hội tụ mạnh u0 = PC (x0 ) n → ∞ Chứng minh Trong Định lý 2.2, đặt T1 = T2 = T , ta thu điều phải chứng minh 2.3 Phương pháp lai ghép thu hẹp Trong mục nghiên cứu phương pháp lai ghép thu hẹp [3] để tìm điểm bất động ánh xạ T :                  x0 ∈ H = H0 , yn = xn − µn (I − T PC )xn ; Hn+1 = {z ∈ Hn : ||yn − z|| ≤ ||xn − z||} ; xn+1 = PHn+1 (x0 ), (2.18) n ≥ Ta có định lý sau Định lý 2.3 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H T ánh xạ không giãn C cho Fix (T ) = ∅ Giả sử {µn } dãy khoảng (a, 1) với a ∈ (0, 1] Khi đó, dãy {xn } {yn } định nghĩa (2.18) hội tụ mạnh tới điểm u0 = PFix(T ) (x0 ) 33 Chứng minh Đầu tiên ta ý ||yn − z|| ≤ ||xn − z|| tương đương với yn − xn , xn − z ≤ − ||yn − xn ||2 Vì vậy, Hn nửa không gian Tiếp theo, ta Fix(T ) ⊂ H0 , với n ≥ Rõ ràng Fix(T ) = Fix(T PC ) := {p ∈ H : T P (CP ) = p} với ánh xạ T từ C vào C Vì vậy, ta có với p ∈ Fix(T ) : ||yn − p|| = ||(1 − µn )xn + µn T PC xn − p|| = ||(1 − µn )(xn − p) + µn (T PC xn − T PC p)|| ≤ (1 − µn )||xn − p|| + µn ||xn − p|| = ||xn − p|| Do đó, p ∈ Hn , ∀n ≥ Hơn nữa, Fix(T ) tập lồi, đóng, khác rỗng H, theo Bổ đề 1.2, tồn phần tử u0 ∈ Fix(T ) cho u0 = PFix(T ) (x0 ) Từ xn+1 = PHn+1 (x0 ), ta ||xn+1 − x0 || ≤ ||z − x0 ||, ∀z ∈ Hn+1 Vì u0 ∈ Fix(T ) ⊂ Hn+1 , nên ||xn+1 − x0 || ≤ ||u0 − x0 ||, ∀n ≥ (2.19) Bây ta lim ||xn+m − xn || = 0, n→∞ 34 (2.20) với số nguyên cố định m > Thật vậy, từ định nghĩa Hn+1 , ta suy Hn+1 ⊂ Hn , ta có ||xn − x0 || ≤ ||xn+1 − x0 ||, ∀n ≥ Vì vậy, tồn n→∞ lim ||xn − x0 || = c Tiếp theo, theo Bổ đề 1.4, xn+m ∈ Hn xn = PHn (x0 ), ta có xn − x0 , xn+m − xn ≥ Vậy ||xn+m − xn ||2 = ||xn+m − x0 ||2 − ||xn − x0 ||2 − xn − x0 , xn+m − xn ≤ ||xn+m − x0 ||2 − ||xn − x0 ||2 , từ n→∞ lim ||xn − x0 || = c, ta có (2.20) Vì {xn } dãy Cauchy Ta giả sử xn → p ∈ H Mặt khác, từ (2.20) bất đẳng thức sau ||yn − xn || µn ≤ (||yn − xn+m || + ||xn+m − xn ||) α ≤ ||xn+m − xn ||, α ||xn − T PC xn || = ta lim ||xn − T PC xn || = n→∞ Vì vậy, p = T PC p Điều có nghĩa p ∈ Fix(T ) Bây từ (2.19) Bổ đề 1.2 suy p = u0 Sự hội tụ mạnh dãy {yn } tới u0 lim ||yn − xn || = n→∞ lim µn ||xn − T PC xn || = 0, n→∞ xn → u0 Định lý chứng minh xong 35 Kết luận Luận văn trình bày số cải biên phương pháp lặp MannHalpern, phương pháp lai ghép thu hẹp để xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn điểm bất động chung hai ánh xạ không giãn không gian Hilbert Các phương pháp mở rộng cho việc tìm điểm bất động chung họ hữu hạn, vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert, không gian Banach 36 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2003 [2] Ng Buong, Ng.D Lang, Hybrid Mann - Halpern iteration methods for nonexpansive mappings and semigroups, Appl Math Comput., 218(2011), 2459–2466 [3] Ng Buong, Ng.D Lang, Shrinking hybrid descent-like methods for nonexpansive mappings and semigroups, Nonl Funct Anal Appl., 16(3)(2011), 331–339 [4] B Halpern, Fixed points of nonexpanding maps, Bull Amer Math Soc., 73(1967), 957–961 [5] S Ishikawa, Fixed points by a new iteration method, Proc Amer Math Soc., 44(1)(1974), 147–150 [6] W.R Mann, Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc., 4(1953), 506–510 [7] K Nakajo and W Takahashi, Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups, J Math Anal Appl., 279(2003), 372–379 37 ... để xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn điểm bất động chung hai ánh xạ không giãn không gian Hilbert Các phương pháp mở rộng cho việc tìm điểm bất động chung họ hữu hạn, vô hạn ánh xạ không giãn. .. toán điểm bất động ánh xạ không giãn 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ không giãn 1.3 Bài toán điểm bất động 12 1.3.1 Bài toán điểm bất động. .. MannHalpern xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn T không gian Hilbert H Kết lấy từ báo [2] công bố năm 2011 Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng, khác rỗng H, T : C → H ánh xạ không giãn