Độ đo xác suất trên không gian hàm và không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI ———————————– NGUYỄN THẾ LÂM ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN HÀM VÀ KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Hà Nội - 2013 i Mục lục Mục lục ii Độ đo xác suất không gian Metric 1.1 Tính quy 1.2 Giá độ đo 1.3 Tính chất Radon 1.4 Độ đo hoàn hảo 1.5 Liên hệ phiếm hàm tuyến tính độ đo 1.6 Tôpô yếu không gian độ đo 12 1.7 Sự hội tụ phân phối mẫu 19 Độ đo xác suất không gian Hilbert 21 2.1 Giới thiệu 21 2.2 Hàm đặc trưng tiêu chuẩn compact 21 2.3 Một ước lượng phương sai 30 2.4 Phân phối chia vô hạn 34 2.5 Tiêu chuẩn compact 40 2.6 Luật kết hợp 46 Độ đo xác suất C[0,1] 51 3.1 Giới thiệu 51 3.2 Các độ đo xác suất C [0, 1] 52 3.3 Một điều kiện cho tồn trình ngẫu nhiên với quỹ đạo C[0, 1] 55 3.4 Sự hội tụ tới chuyển động Brownian 56 3.5 Phân bố biến ngẫu nhiên liên hệ với chuyển động Brownian 60 Tài liệu tham khảo 65 ii Lời mở đầu Độ đo xác suất không gian metric lĩnh vực quan trọng xác suất thống kê Để giúp độc giả hiểu rõ độ đo, tính chất độ đo, vai trò độ đo mối liên hệ độ đo với lĩnh vực toán học khác, tơi hồn thành luận văn Luận văn chia thành chương với phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo phụ lục Chương 1: Trình bày độ đo xác suất khơng gian metric Chương 2: Trình bày độ đo xác suất khơng gian Hilbert Chương 3: Trình bày độ đo xác suất C[0,1] Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng thuộc khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giúp đỡ khoa học mà thầy dành cho tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy phản biện, người đọc đóng góp ý kiến cho tơi để luận văn hồn thiện Qua xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội tận tình giảng dạy, cung cấp kiến thức để ngày hồn thiện chun mơn Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình người thân tạo điều kiện tốt cho thời gian làm luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn em hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2013 iii Danh mục ký hiệu C (X): Không gian hàm liên tục bị chặn X; C [0, 1]: Không gian hàm liên tục [0, 1]; Cµ : Giá µ; d (x, A) = inf d (x, y); y∈A µ ¯ độ đo xác định : µ ¯ (A) = µ (−A); µ (A): Độ đo tập A; |µ|2 := µ ∗ µ ¯; µ ˆ (y): Hàm đặc trưng µ; µα ⇒ µ: µα hội tụ yếu tới µ; 10 µ ∗ ν: Tích chập µ ν; 11 M (X): Không gian độ đo xác suất X; 12 f|A : f hạn chế A; 13 W: Độ đo wiener iv Chương Độ đo xác suất khơng gian Metric 1.1 Tính quy Chúng ta hiểu độ đo µ khơng gian Metric hàm tập khơng âm, cộng tính đếm µ lớp tập Borel BX thỏa mãn µ(X) = Định nghĩa 1.1 Cho µ độ đo không gian Metric X Một tập Borel A ⊆ X gọi µ−chính quy µ (A) = sup µ (C) : C ⊆ A, C đóng = inf µ (U ) : A ⊆ U, U mở Nếu tập Borel µ−chính quy ta nói µ quy Định lý 1.1 Cho X khơng gian Metric µ độ đo X Khi tập A ∈ BX µ−chính quy với ε > tồn tập mở Uε tập đóng Cε cho: (i) Cε ⊆ A ⊆ Uε ; (ii) µ(Uε − Cε ) < ε Định lý 1.2 Cho X không gian Metric µ độ đo X Khi µ quy Chứng minh Kí hiệu B = {A ⊂ X : A−µ quy} ⇒ B ⊂ BX Bởi φ, X vừa tập đóng, vừa tập mở ⇒ φ ∈ B, X ∈ B B đóng phép lấy phần bù Thật , cho A ∈ B ε > Khi tồn tập mở Uε ⊇ A tập đóng Cε ⊆ A cho µ(Uε − Cε ) < ε Ta có Uε ⊆ A ⊆ Cε , Cε − Uε = Uε − Cε µ(Cε − Uε ) = µ(Uε − Cε ) < ε ⇒ A ∈ B Vậy B đóng phép lấy phần bù Ta chứng minh B đóng phép hợp ∞ đếm Thật vậy, cho A1 , A2 , ∈ B, A = Ai Cho ε > cố định tùy i=1 ý Do An ∈ B nên tồn tập mở Un,ε tập đóng Cn,ε cho Cn,ε ⊆ An ⊆ Un,ε µ(Un,ε −Cn,ε ) < 3εn Đặt Uε = ∞ Un,ε , C = n=1 Cn,ε Do µ độ đo nên ta n k chọn số k đủ lớn để µ(C − n=1 Cn,ε ) < 2ε Đặt Cε = k Cn,ε Khi Uε − n=1 tập mở, Cε − tập đóng, Cε ⊆ A ⊆ Uε µ(Uε − Cε ) ≤ µ(Uε − C) + µ(C − Cε) ∞ µ (Un,ε − Cn,ε ) + ≤ n=1 ε ε ε + = ε n < Suy A ∈ B Vậy B σ- đại số Tiếp theo ta chứng minh B chứa tất tập đóng Cho C ⊂ X tập đóng ε > ⇒ C Gσ Do tồn ∞ tập mở U1 , U2 , , U1 ⊇ U2 ⊇ cho C = Un Do µ(Un ) → µ(C) ⇒ ∃n0 : n=1 µ(Un0 − C) < ε Lấy Cε = C, Uε = Un0 ⇒ µ(Uε − Cε ) < ε ⇒ C ∈ B 1.2 Giá độ đo Định lý 2.1 Cho X khơng gian Metric tách µ độ đo X Khi tồn tập đóng Cµ thỏa mãn: i) µ(Cµ ) = 1, ii) Nếu D tập đóng cho µ(D) = Cµ ⊆ D Hơn Cµ tập tất điểm x ∈ X cho µ(U ) > với tập mở U chứa x Chứng minh Đặt U ={U:U mở,µ (U) = 0} Bởi X tách ⇒ có nhiều đếm tập mở U1 , U2 , cho Un = {U : U ∈ U} Kí hiệu n Cµ = X − Uµ Bởi µ(Uµ ) = µ( Un = Uµ Đặt n Un ) ≤ n µ(Un ) = ⇒ µ(Cµ ) = Hơn nữa, n D tập đóng thỏa mãn µ(D) = ⇒ µ(X − D) = ⇒ X − D ∈ U X − D ⊆ Uµ tức Cµ ⊆ D Tính Cµ hiển nhiên Để chứng minh khẳng định cuối ý với x ∈ X − Cµ , Uµ tập mở chứa x µ(Uµ ) = Trái lại, x ∈ Cµ U tập mở chứa x ⇒ µ(U ) > 0, khơng U ⊆ Uµ (theo định nghĩa Uµ ) Định nghĩa 2.1 Tập đóng Cµ định lí 2.1 gọi giá µ Hệ 2.1 Cho X không gian Metric µ độ đo X cho với E ⊆ X, E tập Borel tách được, µ(X − E) = Khi µ có giá tách Cµ ⊆ E 1.3 Tính chất Radon Bây ta nghiên cứu lớp nhỏ độ đo không gian Metric - Các độ đo chặt Các độ đo chặt xác định giá trị chúng tập compact Định nghĩa 3.1 Một độ đo µ không gian Metric X gọi chặt ∀ε > tồn tập compact Kε ⊆ X cho µ(X − Kε ) < ε Định lý 3.1 Cho X khơng gian Metric µ độ đo chặt X Khi µ có giá tách với tập Borel E ε > đó, có tập compact Kε ⊆ E với µ(E − Kε ) < ε Chứng minh Giả sử Kn tập compact cho µ(X − Kn ) < n Một tập Kn tách compact khơng gian metric tách n Kn ⇒ µ(E0 ) = Do khẳng định thứ suy từ hệ Nếu E0 = n 2.1 Bây giả sử E ∈ BX Theo định lí 1.2, tồn tập đóng Cε ⊆ E cho µ(E − Cε ) < 2ε Với N đủ lớn, µ(X − KN ) < 2ε Đặt Kε = Cε ∩ KN Bởi Cε đóng , Kε compact Hơn nữa, Kε ⊆ Cε ⊆ E µ(E −Kε ) ≤ µ(E −Cε )+µ(X −KN ) < ε Bổ đề 3.1 Cho X không gian Metric đủ K ⊆ X, K- đóng Giả sử với kn n, tồn số nguyên kn cho K ⊆ Snj , Snj hình cầu đóng bán j=1 kính n X Khi K compact Định lý 3.2 Cho X không gian metric tách thỏa mãn tồn ∼ ∼ không gian metric tách được, đủ X cho X chứa X tập ∼ tôpô X tập Borel X Khi độ đo µ X chặt Đặc biệt X không gian metric tách được, đầy đủ độ đo X chặt ∼ ∼ Chứng minh Giả sử X ⊆ X , X không gian metric tách được, đầy đủ X ∼ ∼ tập borel X Cho trước độ đo µ BX Ta định nghĩa µ lớp B ∼ cách đặt X ∼ ∼ ∼ ∼ µ(A) = µ(A ∩X), A ∈ B ∼ X ˜ −X ˜ X Bởi X ∈ B ∼ ⇒ µ X ∼ ∼ = Suy µ độ đo chặt X Thực ∼ vậy, giả sử điều thiết lập Bởi X tập borel X ⇒ ∼ ∼ ∀ε > 0, ∃Kε ⊂ X, Kε compact X cho µ(X − Kε ) < ε (định lí 3.1) ∼ Kε compact X X tập tơpơ X Hơn ∼ µ(X − Kε ) = µ(X − Kε ) < ε Điều µ chặt Do ta giả định X khơng gian metric tách được, đầy đủ Chọn cố định ε > Giả sử d khoảng cách X Với số nguyên n bất kì, hình cầu bán kính n bao quanh điểm thiết lập phủ X Bởi X tách được, ta tìm thấy nhiều đếm Sn1 , Sn2 , cho X = Snj Rõ ràng X = j Snj j tồn số nguyên kn cho kn Snj ) ≥ − µ( j=1 ∞ kn kn Xn Bởi Kε ⊆ Snj , Xn đóng Đặt Kε = Đặt Xn = n=1 j=1 compact (bổ đề 3.1) Hơn µ(X − Kε ) ≤ Snj , Kε j=1 µ(X − Xn ) ≤ n 1.4 ε 2n n ε 2n = ε Độ đo hồn hảo Định nghĩa 4.1 Một khơng gian với độ đo (X, B, µ) gọi hồn hảo với hàm f nhận giá trị thực B- đo tập A đường thẳng thực cho f −1 (A) ∈B có tập borel A1 A2 đường thẳng thực cho A1 ⊆ A ⊆ A2 µf −1 (A2 − A1 ) = Bổ đề 4.1 Cho X khơng gian metric µ độ đo X Nếu f hàm đo borel X ε > tùy ý tồn tập đóng Cε cho: i)µ(X − Cε ) ≤ ε; ii)f|Cε liên tục Chứng minh Cho {f n } dãy hàm đơn giản hội tụ theo điểm tới f Cho trước ε > , theo định lí Egoroff tồn tập borel E ⊆ X cho µ(X − E) < ε fn hội tụ đến f E Bởi fn đơn giản E, ta kn kn viết fn = i=1 ani χEni Ở En1 , , Enkn tập borel rời nhau, Eni = E i=1 χA hàm đặc trưng A Bởi µ quy nên tồn tập đóng Cni ⊆ Eni cho µ(Eni − Cni ) ≤ ε 4n kn kn Đặt Cn = Cni Bởi Cni tập đóng rời i=1 ∞ fn số Cni ⇒ fn|Cn liên tục Đặt Cε = Cn ⇒ Cε đóng n=1 Hơn µ(X − Cε ) = µ(X − E) + µ(E − Cε ) µ(E − Cn ) ≤ µ(X − E) + n ε < + n ε kn n < ε kn Ta có Cε ⊆ Cn với n, fn|Cε liên tục với n f|Cε liên tục fn ⇒ f Cε Bổ đề 4.2 Cho X khơng gian metric µ độ đo chặt X Nếu f hàm đo ε > tồn tập compact Kε cho: i) µ(X − Kε ) ε; ii) f|Kε liên tục Định lý 4.1 Cho X khơng gian metric µ độ đo chặt X Khi (X, BX , µ) khơng gian với độ đo hoàn hảo Chứng minh Cho f hàm đo nhận giá trị thực Thật đủ để chứng minh với tập A ⊂ R1 cho f −1 (A) ∈ BX tồn tập borel A1 ⊆ A với µ(f −1 (A − A1 )) = 0, sau A2 xác định tập borel cho A2 ⊆ A µ (f −1 (A − A )) = Thật vậy, giả sử A ⊆ R1 tập cho E = f −1 (A) ∈ BX Cho { Cn } ,n = 1,2, { Kn } ,n = 1,2, hai dãy tập hợp cho i)K1 ⊆ K2 ⊆ , Kn − compact, f|Kn liên tục µ(X − Kn ) → 0, ii) C1 ⊆ C2 ⊆ ⊆ E, Cn đóng , µ(E − Cn ) → Đặt ∼ ∼ ∼ ∼ Kn = Kn ∩ Cn ⇒ K1 ⊆ K2 ⊆ ⊆ E, Kn −compact ∼ f tập compact f ∼ f[ n ∼ liên tục µ(E − Kn ) → (n → ∞) Nếu Bn = f (Kn ) ⇒ Bn ⊂ R1 ∼ Kn ∼ Kn liên tục A1 = Bn tập borel Bởi n ∼ Kn ] = A1 ⇒ ∼ Kn ⊆ f −1 (A1 ) Rõ ràng A1 ⊆ A f −1 (A1 ) ⊆ f −1 (A) = E n Kn ) = 0, µ(E − f −1 (A1 )) = Bởi µ(E − n 1.5 Liên hệ phiếm hàm tuyến tính độ đo Ở ta nghiên cứu mối liên hệ phiếm hàm tuyến tính độ đo Cho X khơng gian metric C(X) không gian hàm thực liên tục bị chặn X Với f ∈ C(X), ta kí hiệu f = Sup |f (x)| ⇒ (C(X), )−không gian x∈X Banach Định nghĩa 5.1 Một phiếm hàm tuyến tính ∧ C(X) ánh xạ ∧ : C(X) → R f → ∧(f ) cho ∧(αf + βg) = α ∧ (f ) + β ∧ (g) với số α, β, với f, g ∈ C(X) Một phiếm hàm tuyến tính ∧ gọi dương ∧(f ) ∀f Chú ý ∧ phiếm hàm tuyến tính dương ∧(f ) ∀f ∧(g), g Kí hiệu hàm nhận giá trị nơi Cho trước độ đo µ X , phiếm hàm ∧µ : g → gdµ dễ thấy phiếm hàm tuyến tính dương C(X) với ∧µ (1) = Trong phần ta chứng minh X compact phiếm hàm tuyến tính dương tạo theo nghĩa Từ trở ta xét phiếm hàm tuyến tính dương cố định ∧ C(X) với ∧(1) = X không gian metric F0 : lớp tất tập đóng X, G0 : lớp tất tập mở X Với tập C ∈ F0 , đặt λ(C) = inf{∧(f ) : f χC } Với χC hàm đặc trưng C Xuyên suốt phần ta kí hiệu C tập đóng G tập mở Định lý 5.1 λ hàm định nghĩa tốt F0 có tính chất sau: i) λ(C) ∀C ∈ F0 ; ii) C1 ⊆ C2 ⇒ λ(C1 ) λ(C2 ); hàm không phù hợp cho ứng dụng Tốt có khơng gian mà độ đo xử lý khơng gian metric tách không gian metric tách đủ để kết chương trước sử dụng với sở Trường hợp đơn giản quan trọng ta lấy T = [0, 1] xét tập C [0, 1] X C [0, 1] không gian hàm liên tục [0, 1] 3.2 Các độ đo xác suất C [0, 1] Ta thấy C [0, 1] không gian Banach tách ta xác định với x ∈ C [0, 1], x = Sup |x (t)| 0≤t≤1 Với x ∈ C [0, 1] δ > 0, ta định nghĩa ωx (δ) = Sup |x (t ) − x (t )| |t −t |≤δ Bởi hàm liên tục [0, 1] liên tục đều, suy ωx (δ) → δ → với x Ta viết C thay C [0, 1] Chú ý x → x x → ωx (δ) liên tục C Định lý 2.1 Lớp Bc tập Borel C trùng với σ-đại số nhỏ tập C mà σ-đại số ánh xạ π t : x → x (t) đo ∀t ∈ [0, 1] Nếu µ ν độ đo C, điều kiện cần đủ để µ = ν µt1 , ,tk = ν t1 , ,tk ∀k t1 , t2 , , tk ∈ [0, 1] Ở µt1 , ,tk ν t1 , ,tk độ đo không gian véctơ k chiều Rk cảm sinh µ ν thông qua ánh xạ π t1 , ,tk : x → (x (t1 ) , , x (tk )) Chứng minh Giả sử A σ-đại số nhỏ tập C mà σ-đại số ánh xạ π t đo với t Bởi π t liên tục C suy A ⊆ Bc Để chứng minh Bc ⊆ A, thật đủ để A chứa tất tập mở Bởi C tách nên tập mở hợp đếm hình cầu đóng đủ để chứng minh A chứa tất hình cầu đóng Nếu a>0 số thực bất kỳ, x0 ∈ C r1 , r2 , liệt kê số hữu tỉ [0, 1], ta có ∞ {x : x − x0 ≤ a} = {x : |x (rn ) − x0 (rn )| ≤ a} n=1 52 Vế phải phương trình nằm A suy hình cầu {x : x − x0 ≤ a} ∈ A, A = Bc Để chứng minh phần thứ ta viết At1 , ,tk = (π t1 , ,tk ) −1 (A) : A ⊆ Rk , A tập Borel } At1 , ,tk = F k,t1 , ,tk Hiển nhiên, µt1 , ,tk = ν t1 , ,tk ∀k t1 , , tk ∈ [0, 1] µ (E) = ν (E) ∀E ∈ F F đại số Boolean sinh A ta có µ (E) = ν (E) ∀E ∈ A Điều chứng minh µ = ν Bởi C khơng gian metric tách đủ, theo định lí 3.2 chương 1, độ đo C chặt Bây ta đưa tiêu chuẩn compact tập độ đo xác suất C Bổ đề 2.1 Cho A ⊆ C Để A¯ compact cần đủ điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: (i) Sup |x (0)| < ∞, x∈A (ii) lim Sup ωx (δ) = δ↓0 x∈A ¯ compact cần đủ Bổ đề 2.2 Cho Γ tập độ đo xác suất C Để Γ với ε > tồn số Mε > hàm ω (δ, ε) giảm tới δ ↓ cho (i) µ ({x : |x (0)| ≤ Mε }) > − ε (ii) µ ({x : ωx (δ) ≤ ω (δ, ε) ∀δ}) > − ε ∀µ ∈ Γ Chứng minh Giả sử Γ tập độ đo thỏa mãn điều kiện Với ε > 0, ta viết Aε = {x : |x (0)| ≤ Mε } , Bε = {x : ωx (δ) ≤ ω (δ, ε) ∀δ} Khi Kε = Aε ∩ Bε tập đóng Theo bổ đề 2.1, Kε compact Rõ ràng ¯ compact µ (Kε ) > − ε; ∀µ ∈ Γ, Theo định lí 6.7, chương 1, Γ ¯ compact Khi theo định lí 6.7, chương 1, tồn tập Ngược lại, giả sử Γ compact Kε cho µ (Kε ) > − ε ∀µ ∈ Γ Đặt Mε = Sup |x (0)| , x∈Kε ω (δ, ε) = Sup ωx (δ) x∈Kε 53 Theo bổ đề 2.1, Mε < ∞ ω (δ, ε) ↓ δ ↓ Rõ ràng ε µ ({x : |x (0)| ≤ Mε }) ≥ µ (Kε ) > − , ε µ ({x : ωx (δ) ≤ ω (δ, ε) ∀δ}) ≥ µ (Kε ) > − , ∀µ ∈ Γ ¯ compact cần Định lý 2.2 Giả sử Γ tập độ đo xác suất C Để Γ đủ điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với ε > tồn số Mε cho µ ({x : |x (0)| ≤ Mε }) > − 2ε , ∀µ ∈ Γ; (ii) Với ε > δ > tồn η = η (ε, δ) > cho µ ({x : ωx (η) ≤ δ}) > − 2ε , ∀µ ∈ Γ Chứng minh Điều kiện cần: ¯ compact (i) vừa chứng minh bổ đề trước Giả sử Γ Đối với (ii) ý tồn hàm ω (δ, ε) ↓ δ ↓ cho µ ({x : ωx (δ) ≤ ω (δ, ε) ∀δ}) > − 2ε , ∀µ ∈ Γ Ta tìm η = η (ε, δ) cho ω (η, ε) ≤ δ Khi hiển nhiên µ ({x : ωx (η) ≤ δ}) > − ε ∀µ ∈ Γ Điều kiện đủ: Với số nguyên n=1,2, ε > cho trước, tồn ηε,n cho Fε,n = x : ωx (ηε,n ) ≤ ∞ n µ (Fε,n ) > − ε 2n+1 ∀µ ∈ Γ Đặt Kε = {x : |x (0)| ≤ Mε } ∩ Fε,n n=1 Hiển nhiên, µ (Kε ) ≥ − ε ∀µ ∈ Γ Nếu x ∈ Kε , với n, x ∈ Fε,n tồn ηε,n thỏa mãn ωx (ηε,n ) ≤ n1 Nói cách khác, Sup ωx (η) → η → Bởi x∈Kε Sup |x (0)| ≤ Mε < ∞ suy Kε compact Do theo định lí 6.7, chương 1, x∈Kε ¯ compact Γ 54 3.3 Một điều kiện cho tồn trình ngẫu nhiên với quỹ đạo C[0, 1] Cho {ξt , ≤ t ≤ 1} trình ngẫu nhiên P t1 , ,tk phân phối xác suất hữu hạn chiều trình ngẫu nhiên Điều kiện phải thỏa mãn để tồn độ đo µ C[0,1] cho µt1 , ,tk = P t1 , ,tk ∀k t1 , , tk ∈ [0, 1] Theo định lí 2.1 µ tồn Từ trở ta ký hiệu C = C[0, 1] Sau điều kiện đủ (không chứng minh) Định lý 3.1 Cho {ξt : ≤ t ≤ 1} trình ngẫu nhiên P t1 , ,tk phân phối xác suất Rk véc tơ (ξt1 , , ξtk ) Nếu có số α, δ, K > cho E |ξt1 − ξt2 |α = |u − v|α dP t1 ,t2 (u, v) ≤ K|t1 − t2 |1+δ ∀t1 , t2 ∈ [0, 1], R2 tồn độ đo µ C cho P t1 , ,tk = µt1 , tk ∀k t1 , , tk ∈ [0, 1] Định lý 3.2 Tồn độ đo W (C, Bc ) với tính chất sau: (i) W ({x :x (0) = 0}) = 1, (ii) Nếu ≤ t1 < t2 < t3 < < tn ≤ 1, biến ngẫu nhiên u1 , u2 , , un u1 (x) = x (t1 ) , uj (x) = x (tj ) − x (tj−1 ) với < j ≤ n, độc lập không gian xác suất (C, Bc , W), (iii) Nếu ≤ s ≤ t ≤ 1, biến ngẫu nhiên u u (x) = x (t) −x (s) có phân phối chuẩn với trung bình phương sai t-s Chứng minh Một kiểm tra đơn giản điều kiện tương thích ta kết luận tồn trình ngẫu nhiên {ξt : ≤ t ≤ 1} cho (i) ξt − ξs có phân bố chuẩn với kỳ vọng phương sai t-s, ≤ s ≤ t ≤ (ii) ≤ t1 < t2 < < tn ≤ 1, biến ngẫu nhiên ξt1 , ξt2 −ξt1 , , ξtn −ξtn−1 độc lập Bởi E |ξt − ξs |4 = E |ξt − ξs |2 = |t − s|2 , theo định lí 3.1 suy tồn độ đo W C thỏa mãn (ii) (iii) (i) suy từ thực tế ξ1/n2 → với xác suất n → ∞ Chú ý: Quá trình ngẫu nhiên x(t) định lí gọi chuyển động Brownian độ đo W không gian C gọi độ đo Wiener 55 3.4 Sự hội tụ tới chuyển động Brownian Bây ta nghiên cứu mối quan hệ thú vị độ đo Wiener C tổng biến ngẫu nhiên độc lập mà tuân theo định lí giới hạn trung tâm Cho ξn1 , ξn2 , , ξnkn dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực tuân theo tiêu chuẩn Lindeberg Trong trường hợp này, phân phối ξn1 + + ξnkn hội tụ tới phân phối chuẩn Điều đáng ý phân phối tổng riêng max (ξn1 + + ξni ), max |ξn1 + + ξni |, có giới hạn n → ∞, mà độc lập với phân phối ξni Ta sử dụng lý thuyết phát triển để có định lí chung theo hướng Bổ đề 4.1 Cho ξ1 , ξ2 , , ξn n biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, độc lập, k xác định không gian xác suất (X, B, P ) ζk = ξi , k = 1, 2, , n, ζ0 = i=1 Khi P ≤ α−1 P ({|ζn | > t}) max |ζk | > 2t 1≤k≤n P ({|ζn − ζk | ≤ t}) ≥ α với k=0,1,2, ,n Chứng minh Cho Ak Bk biến cố xác định Ak = {|ζ1 | ≤ 2t, , |ζk−1 | ≤ 2t, |ζk | > 2t} , Bk = {|ζn − ζk | ≤ t} , k = 0, 1, , n Khi n E = {|ζn | > t} ⊇ (Ak ∩ Bk ) k=1 A1 , A2 , , An rời với k cố định, Ak Bk độc lập Do n P ({|ζn | > t}) ≥ P (Ak ∩ Bk ) k=1 n n P (Ak ) P (Bk ) ≥ α = k=1 = αP P (Ak ) k=1 max |ζk | > 2t 1≤k≤n Cho {ξni } , i = 1, 2, , kn dãy biến ngẫu nhiên xác đinh không gian xác suất (X, B, P ) thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với n cố định, biến ngẫu nhiên {ξni } độc lập kn (ii) Eξni = 0, V (ξni ) = bni , bni = 1, V-Ký hiệu phương sai i=1 56 (iii) Các hàm phân phối Fni biến ngẫu nhiên ξni , i = 1, 2, , kn thỏa mãn điều kiện Lindeberg, tức là, với ε > 0, kn u2 dFni (u) = Lim n→∞ i=1 |u|>ε Giả sử ξn (t) , t ∈ [0, 1] hàm ngẫu nhiên xác định sau: ξn (t) = Snk + t − tnk Snk+1 − Snk , t ∈ tnk , tnk+1 tnk+1 − tnk k Ở tn0 = 0, Sn0 = 0, tnk = k ξni , k ≥ bni , Snk = i=1 i=1 Rõ ràng ξn (t) = Snk t = tnk ξn (t) đường thẳng nối (tnk , Snk ) tnk+1 , Snk+1 khoảng tnk , tnk+1 Do ξn (t) liên tục với xác suất Do có tương ứng độ đo Pn không gian (C, Bc ), theo q trình ngẫu nhiên ξn (t) , t ∈ [0, 1] phân phối Định lý 4.1 Cho ξn (t) q trình mơ tả Pn phân phối ξn (t) không gian (C, Bc ) Khi Pn ⇒ W n → ∞ Ở W độ đo Wiener (C, Bc ) Chứng minh Giả sử w (t) trình chuyển động Brownian W phân phối C Trước tiên ta thiết lập phân phối hữu hạn chiều trình ξn (t) tương ứng hội tụ yếu tới phân phối hữu hạn chiều trình w (t) Đặt ξni , t ∈ [0, 1] ξn (t) = tni bất kỳ, P ({|ξn (t) − ξn (t)| > α}) ≤ P Sup |ξni | > α i k ≤ kn P ({|ξni | > α}) = i=1 dFni (u) i=1 kn ≤ α−2 u2 dFni i=1 57 |u|>α |u|>α Theo điều kiện (iii), Số hạng cuối vế phải bất đẳng thức dần tới n → ∞ Do để chứng minh hội tụ phân phối hữu hạn chiều ξn (t), đủ để làm giống ξn (t) Bởi w (t) ξn (t) trình với số gia độc lập w (0) = ξn (0) = 0, đủ để chứng minh hội tụ phân phối ξn (t ) − ξn (t ) tới phân phối w (t ) − w (t ) ∀0 ≤ t ≤ t ≤ Ta ý ξn (t ) − ξn (t ) = ξni tổng biến ngẫu nhiên độc t ≤tni ≤t lập tuân theo điều kiện Lindeberg Do theo định lí giới hạn trung tâm, phân phối ξn (t ) − ξn (t ) hội tụ tới phân phối chuẩn với trung bình phương sai V (ξni ) = t − t Lim n→∞ t ≤tni ≤t Thực vậy, với ε > bất kỳ, V (ξni ) − (t − t ) ≤ max bni i t ≤tni ≤t ≤ ε2 + max u2 dFni (u) i |u|>ε kn ≤ ε2 + u2 dFni (u) i=1 |u|>ε Số hạng cuối vế phải bất đẳng thức dần tới n → ∞ Điều hoàn thành chứng minh hội tụ phân phối hữu hạn chiều ξn (t) Bây ta dãy độ đo {Pn } C compact có điều kiện Đặt Γ = {Pn : n = 1, 2, } Γ thỏa mãn điều kiện (i) định lí 2.2 suy từ thực tế P {ξn (0) = 0} = Để chứng minh điều kiện (ii) định lí 2.2 tương đương với việc rằng, với ε > 0, lim lim P k→0 n→∞ Sup |ξn (t ) − ξn (t )| > ε = (4.1) |t −t |≤k Bởi Sup |ξn (t ) − ξn (t )| ≤ Sup |t −t |≤h k ≤ Sup k 58 Sup |ξn (t) − ξn (kh)| kh Sup kh ε du |u|> 8ε với k Từ (4.2) ta đạt lim P n→∞ ≤ k:kh ε |t −t |≤h 1 √ h − 64 ε2 2π 1 ≤√ h 2π − 64 ε2 h exp √ ε |u|> |u|> 59 h du h exp √ ε −u2 −u2 du ε ε (4.2) Bởi h exp −u2 c2 du ≤ |u|> √c u2 exp −x2 du → |u|> √c h h h → 0, suy (4.1) chứng minh Theo định lí 2.2, Γ compact có điều kiện Do Pn ⇒ W C Hệ 4.1 Với hàm liên tục nhận giá trị thực ϕ không gian C, phân phối ϕ (ξn ) hội tụ yếu tới phân phối ϕ (w) n → ∞ 3.5 Phân bố biến ngẫu nhiên liên hệ với chuyển động Brownian Cho W độ đo Wiener không gian C Với hàm liên tục x ∈ C , đặt f1 (x) = max x (t) t∈[0,1] f2 (x) = max |x (t)| t∈[0,1] Rõ ràng f1 f2 hàm liên tục C Bây ta tìm phân phối f1 f2 x phân phối theo W Với a = bất kỳ, giả sử τa (x) điểm [0, 1] cho với δ > bất kỳ, Sup τa ≤t≤τa +δ x(t) a > Tuy nhiên, x(t) a x(t) a ≤ với t ≤ τa ≤ 1∀t, τa (x) xác định +∞ τa hàm định nghĩa tốt C gọi thời điểm vượt qua mức a Giả sử τa (x) điểm cho x(t) a x(t) a < 1∀t < τa x (τa ) = a Tuy nhiên, < 1∀t, τa xác định +∞ Khi τa hàm định nghĩa tốt C gọi thời điểm chạm (tới) mức a Bổ đề 5.1 W {x :τa (x) = τa (x)} = Chứng minh Bởi x (t) −x (t) có phân phối W, khơng tính tổng quát ta giả sử a > ∞ Ta có {x : τa (x) < τa (x)} ⊆ r,m=1 x : maxr x (t) = a Bởi τa (x) < τa (x) ∀x ∈ C, 0≤t≤ m r≤m 60 đủ để W x : max x (s) = a = với t 0≤s≤t Bởi với t1 nhỏ t, x : max x (s) = a 0≤s≤t ⊆ x : max x (s) = a ∪ x : max x (s) = a 0≤s≤t1 t1 j≤k−1 j≤k−1 Khi biến ngẫu nhiên (−1) εnk xnk độc lập phân phối Điều xnk độc lập với εnk , xn1 , , xnk−1 Bởi xnk −xnk phân phối suy (−1)εnk xnk có phân phối chuẩn với trung bình phương sai n1 Do (n) phân phối hữu hạn chiều trình x(n) (t) x1 (t) trùng Bởi (n) hàm x(n) (t) x1 (t) hội tụ tới x (t) (Ta x) (t) với xác suất n → ∞, suy W = WT−1 a Định lý 5.1 Cho a>0, W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d] 0≤t≤T max[d,a] =√ 2πT max[2a−c,a] −u2 2T exp du + √ 2πT max[c,a] exp −u2 2T du max[2a−d,a] Chứng minh Bởi W {x :x (T ) = a} = 0, W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d] = W {x : x (T ) ∈ [c, d] ∩ [a, ∞)} 0≤t≤T +W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d] ∩ (−∞, a] (5.1) 0≤t≤T Cho Ta phép biến đổi xác định bổ đề 5.2 Bởi theo chứng minh bổ đề 5.1, W x : max x (t) = a 0≤t≤T = 0, theo bổ đề 5.2 ta có W x : max x (t) > a, x (T ) ∈ [c, d] ∩ (−∞, a] 0≤t≤T = W x : max (Ta x) (t) > a, (Ta x) (T ) ∈ [c, d] ∩ (−∞, a] 0≤t≤T = W x : max x (t) ≥ a, x (T ) ∈ [2a − d, 2a − c] ∩ (a, ∞] 0≤t≤T Nhưng biến cố {x (T ) ∈ [2a − d, 2a − c] ∩ (a, ∞]} bao hàm biến cố Do W x : max x (t) > a,x (T ) ∈ [c, d] ∩ [−∞, a) 0≤t≤T 62 max x (t) ≥ a 0≤t≤T max[2a−c,a] =√ 2πT e −u2 2T du (5.2) max[2a−d,a] Hơn W {x :x (T ) ∈ [c, d] ∩ [a, ∞)} max[d,a] √ = exp 2πT −u2 2T du (5.3) max[c,a] Các phương trình (5.1)-(5.3) hồn thành chứng minh định lí Trong định lí trên, lấy [c, d] = (−∞, +∞) ta Hệ 5.1 Với a>0 ∞ W x : max x (t) > a 0≤t≤T =√ 2πT 63 exp a −u2 2T du KẾT LUẬN Nội dung trình bày luận văn kiến thức bổ ích độ đo xác suất khơng gian hàm không gian Hilbert Mỗi chương có định nghĩa, định lý chứng minh chặt chẽ Những độc giả học cao học toán chuyên ngành ”lý thuyết xác suất thống kê toán học” hồn tồn đọc hiểu luận văn Mặt khác tài liệu tham khảo tốt cho muốn nghiên cứu sâu lĩnh vực xác suất thống kê Do thời gian có hạn nên nội dung trình bày luận văn cịn mang tính chất khái qt Vì bạn đọc muốn tìm hiểu sâu luận văn tham khảo thêm tài liệu trích cuối khóa luận này, bạn nghiên cứu thêm phần ”Độ đo xác suất D[0, 1]”(chương VII), ”Độ đo xác suất nhóm metric (chương III)” [5] 64 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng (1998), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [2] Đặng Hùng Thắng (2006), Q trình ngẫu nhiên tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm , Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mơ hình xác suất ứng dụng, phần III Giải tích ngẫu nhiên , Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [5] K.R PARTHASARATHY, ”Probability measures on metric spaces”, Ams Chelsea Publishing, American Mathematical Society Providence, Rhode Island 65 PHỤ LỤC Định lý Cho X không gian Metric, A, B tập đóng rời X Khi tồn hàm liên tục f (x) X thỏa mãn: 1) 2) Nếu ≤ f (x) ≤ 0,x ∈ A f (x) = 1,x ∈ B inf d (x, y) = δ > hàm f chọn liên tục x∈A,y∈B Định lý Hàm d (x, A) thỏa mãn bất đẳng thức |d (x, A) − d (y, A)| ≤ d (x, y) Đặc biệt d (x, A) liên tục Định lý Hàm ϕ xác định Y hàm đặc trưng độ đo µ ∈ M (X) ⇔ điều kiện sau (1) ϕ (e) = 1; (2) ϕ liên tục (3) ϕ xác định dương 66 ... 11 M (X): Không gian độ đo xác suất X; 12 f|A : f hạn chế A; 13 W: Độ đo wiener iv Chương Độ đo xác suất khơng gian Metric 1.1 Tính quy Chúng ta hiểu độ đo µ không gian Metric hàm tập không âm,... tham khảo phụ lục Chương 1: Trình bày độ đo xác suất khơng gian metric Chương 2: Trình bày độ đo xác suất không gian Hilbert Chương 3: Trình bày độ đo xác suất C[0,1] Luận văn hoàn thành hướng... độ đo µ = ν 1.6 Tôpô yếu không gian độ đo Cho X không gian metric M(X) không gian độ đo BX Một phần tử µ ∈ M(X) hàm tập khơng âm, cộng tính đếm được, xác định BX với µ(X) = C(X) khơng gian hàm