Độ đo xác suất trên không gian Metric

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TRƢỜNG ĐẠI HọC SƢ PHẠM Hà NỘI KHOA TOÁN ******************** VŨ TRƢỜNG GIANG ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN METRIC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng hà nội – 2009 Vũ Trường Giang K31B CN Toán LỜI CẢM ƠN Sau thời gian miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ thầy giáo bạn sinh viên, khóa luận em đến hoàn thành Em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng tận tình giúp đỡ em suốt q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận Em xin trân thành cảm ơn quan tâm, giúp đỡ thầy cô khoa thầy tổ Tốn ứng dụng trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến bạn bè dành cho em suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa luận Do thời gian có hạn chưa có kinh nghiệm cơng tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu xót Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận em hồn thiện Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2009 Sinh viên Vũ Trường Giang LờI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học thành riêng cá nhân tơi, khơng trùng lặp với đề tài cơng bố Nếu sai tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2009 Sinh viên Vũ Trường Giang mục lục Lời nói đầu Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập Borel 1.2 Độ đo xác suất Borel 1.3 Sự hội tụ yếu độ đo 15 1.4 Metric Prokhorov 20 Chƣơng Định lý Riesz định lý Prokhorov .29 2.1 Định lý Prokhorov 29 2.2 Định lý Riesz 38 2.3 Định lý Riesz không gian không compact 44 Kết luận .50 Tài liệu tham khảo 51 lời nói đầu Tốn ứng dụng ngành tốn học có ý nghĩa to lớn chiếm vị trí quan trọng Nó cầu nối để đưa kết nghiên cứu lý thuyết giải tích, đại số, hình học vào ứng dụng ngành khoa học khác thực tế sống Lý thuyết xác suất mơn có ứng dụng rộng rãi ngành khoa học tự nhiên, khoa học xã hội thực tế sống Nó công cụ để giải vấn đề chuyên môn nhiều lĩnh vực kinh tế, sinh học, tâm lý – xã hội Do mơn đưa vào giảng dạy hầu hết trường đại học, cao đẳng Với mong muốn tìm hiểu sâu môn xác suất em chọn đề tài: “Độ đo xác suất không gian metric” Nghiên cứu đề tài giúp có hội tìm hiểu sâu độ đo xác suất không gian metric tổng quát số không gian đặc biệt Nội dung khóa luận bao gồm Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm tính chất tập Borel, độ đo xác suất Borel, hội tụ yếu độ đo metric Prokhorov Chƣơng 2: Định lý Prokhorov định lý Riesz Nội dung chương định lý Prokhorov, định lý Riesz định lý Riesz không gian không compact Chƣơng kiến thức chuẩn bị 1.1.Tập Borel Định nghĩa 1.1  X,d  Cho không gian metric đại số Borel B B  X đại số nhỏ X mà có chứa tất tập mở X Các phần tử B gọi tập Borel X Định nghĩa 1.2 Không gian metric  gọi tách có tập đếm X,d  trù mật, tức tồn x1, x2, X cho - bao x1, x2, X ( A đóng A tập đóng nhỏ chứa A X Bổ đề 1.1 Nếu X khơng gian metric tách được, trùng với  đại số sinh tất các hình cầu mở (hoặc đóng) X Chứng minh Kí hiệu A đại số sinh hình cầu mở (hoặc đóng) X Hiển nhiên A B Giả sử D tập đếm trù mật X U X mở Với xU , lấy r r cho B x,r 0,   U (  x bán kính xB yx ,r / 2 r) B x,r hình cầu mở đóng với tâm  lấy yx D B x,r / 3 Khi rx r / Khi B x,r  Đặt U B yx ,rx : x U hợp đếm Thành U A Bổ đề 1.2 Cho  suy B A không gian metric tách C B đếm X,d  Nếu C tách rời hình cầu đóng với điểm, nghĩa với hình cầu đóng B x B tồn CC B  cho C x C ,  đại số sinh C đại số Borel Chứng minh Hiển nhiên CB , hình cầu đóng X Khi  C đại số sinh C Lấy B B  CC: giao đếm B C phần tử C Theo bổ đề ta nhận B  C Định nghĩa 1.3 Nếu f : ST A ,A S T tương ứng đại số S T, f gọi đo Ax S: fS  x  A A f 1 với AA T Mệnh đề 1.1 Cho X,d   không gian metric B X đại số nhỏ cho với hàm (giá trị thực) liên tục X đo 1.2 Độ đo xác suất Borel Định nghĩa 1.4  X,d  Cho không gian metric Một độ đo Borel hữu hạn X ánh xạ : B X [ 0,) cho μ  0 , A A1, A2 , B rời μ  μ A ,  i 1  i i 1 i X1 Bổ đề 1.3 Cho X không gian metric là độ đo hữu hạn X Cho A1, A2, dãy tập Borel Khi ta có (1) Nế A1 A2 u   A i  Ai ,  (2) Nế A1 A2 u  A i Ai , 1  Alimn  An   Alimn  An  Bổ đề 1.4 Nếu là độ đo Borel hữu hạn X A họ tập Borel rời X, có nhiều đếm phần tử A có độ đo μ khác 2.3 Định lý Riesz khơng gian khơng compact Vì phần lớn quan tâm đến không gian metric mà khơng compact, việc tất nhiên đưa nghiên cứu mở rộng định lý Riesz không gian không compact Việc mở rộng thu cách compact hóa khơng gian Sự compact hóa Bổ đề 2.1 có ưu điểm việc metric hóa, khơng phù hợp với mục đích Ta muốn tìm mối liên hệ hàm liên tục không gian compact hóa với hàm liên tục, bị chặn khơng gian ban đầu Như compact hóa compact hóa Stone – Cech Định lý 2.5 Cho X,d  không gian metric Tồn không gian compact Hausdorff Y ánh xạ T : X Y cho (i)T phép đồng phôi từ X lên (ii) T TX trù mật Y, X (iii) Với f Cb tồn X g C Y “ mà khuếch f”, tức g T f Cặp Y,T định lý chất gọi compact hóa Stone – Cech X Ta không cần phải xét chi tiết xem X khơng gian Y Khi định lý nói khơng gian metric X không gian trù mật không gian compact Hausdorff Y cho Cb X theo đẳng cấu tự nhiên mở rộng hạn chế Từ định lý C Y  Riesz với không gian compact Hausdorff ta có kết luận sau Hệ 2.2 Cho  X,d  : Cb không gian metric Nếu X tuyến tính bị chặn dương, tồn độ đo Borel hữu hạn  compact hóa Stone – Cech Y X cho f  với f Cb X f d f mở rộng f Như hàm tuyến tính bị chặn dương Cb  tương ứng với độ đo X Borel hữu hạn compact hóa Stone – Cech X Một điều cần biết độ đo tập trung X Sự thay đổi có quan hệ chặt chẽ với tính liên tục hàm so với hội tụ thông thường Khẳng định định lý mở rộng định lý Riesz không gian compact Với lý thuyết hội tụ dãy suy rộng Định lý 2.6 Cho X,d   không gian metric  dương Các Cb X mệnh đề sau tương đương: (a) Tồn độ đo Borel hữu hạn kín trên X cho f fd với f Cb X  (b) Với  tồn tập compact K  X f Cb vớ i X cho f với   f 1 f 0 K  (c) Hạn chế trên hình cầu đơn vị f f Cb X  : 1 B tục topo hội tụ tập compact Nếu (a) thỏa mãn, độ đo là  liên  Chứng minh Việc chứng minh tính thường xun Nó suy từ định lý trù mật phần  a c: Giả sử fi  i lưới B f B cho fi hội tụ đến f tập compact Giả sử 0 Ta muốn chứng minh tồn i0 cho  I fi  f với i I ,i i0 Vì là kín, tồn  tập compact K X với tồn i0 I fi f X \ K / fi hội tụ đến f K, Khi cho / 3 K 1trên K với i i Khi với i i , fi  f fi f d  fi f d   K X K Do fi   f     K  3 K 1 / 2/  là liên tục B fi  f  c b: Giả sử  b  tập compact K X cho X \ K  khơng Khi tồn  cho với  f tồn fK Cb với X  K  fK  K fK  Khi K , K  K X : K  fK  K với quan compact hệ bao hàm xem quan hệ thứ tự, lưới B mà hội tụ tới không theo topo hội tụ tập compact Thật vậy, với tập compact K0  X, fK  K0 với K K0 Vì điều chứng tỏ khơng liên tục B fK với K   K ,  b a: m lấy tập compact Km  X Với f với f Cb  X ,  1/ m f 1  compact hóa Stone – Cech X Với phần tử cho f  Km Giả sử Y gC Y , hạn chế X Cb Xvà ta định nghĩa g X  g  , gC Y Khi : C Y  hàm tuyến tính bị chặn dương, theo định lý Riesz tồn độ đo Borel hữu hạn trên Y cho g với gC Y   gd Ta muốn hạn chế là độ đo trên X mà biểu diễn cho  Vì ta cần khơng hội tụ ngồi X Đặt E  m Km X Km compact, E tập Borel Y Để Vì  khơng hội tụ ngồi E ta sử dụng điều kiện b hàm liên tục Đặt cách xấp xỉ K c m hm xmindx, x Y,m 1 Km  ,1 , Khi hm C Y ,  n   , c hm Kc m n hm hm  x  0 Km xK c Do theo định lý hội tụ đơn điệu, m Y \ Km   lim  c d  Km lim lim n n h m d n  n  hm n hm  1 / m, n X với Theo giả thuyết (b) Thành Y \ E  K  c   m  m1  0 Đặt  A AB X  A E, ( Chú ý AB X   A E Borel E Borel Y.) Khi là độ đo Borel hữu hạn X Để chứng tỏ biểu diễn cho , lấy f Cb  f Cb Ylà mở rộng f Vì Xvà Y \ E X \ E0 , điều chứng tỏ fdf  d  Cuối cùng, ý E df  Edf f  f  X \ Km  E \ Km Y \ Km 1/ m với m, là độ đo Radon Nhận xét (1) Nếu X compact, Cb Xthỏa mãn điều kiện (c) Do ta áp dụng định lý Riesz với không gian metric compact (2) Đầu tiên ta  không gian metric đủ tách X,d  được, độ đo Borel hữu hạn X độ đo Radon Do với không gian điều kiện (c) cần thiết cho việc biểu diễn độ đo Borel hữu hạn Ví dụ Cho X  d x,y x  x,yX Ta tồn   , y,   mà không biểu diễn độ đo Borel hữu hạn Chú ý Cb X Cb  và đặt  X l 0 xlim x  k  k với xc {   :  yl limk  đóng l    y k tồn tại} Tập c không gian  0 hàm tuyến tính dương bị chặn c Đặt  p x max limsup x  k  ,0 , xl    k Khi p x yp  x  p x  p yvà 0 Hơn 0 nữa,  x  p x  với x, yl p x   , với x c Do theo định lý Hahn – Banach, tồn hàm tuyến tính : l rộng      mà 0là mở  cho   với x  px  x l  x     p x   x với Khi xl     bị chặn, với x l   ,  x  ta có  x  x p x0, là dương Bây lấy xn  n,n1,  n 1,2, c , Khi  xn 0  xn 1 với n, với độ đo Borel hữu hạn   ta có x d n  n  , xn theo tong điểm  0 xn 1 với n Do khơng thể biểu diễn độ đo Borel hữu hạn kết luận Trong khóa luận em nghiên cứu số vấn đề sau đây: Độ đo xác suất Borel, hội tụ yếu độ đo, metric Prokhorov, định lý Prokhorov, định lý Riesz, định lý Riesz không gian không compact Luận văn mang tính chất tổng quan em chứng minh số định lý, bổ đề đưa ví dụ cụ thể để làm rõ số tính chất, để hiểu rõ vấn đề mà khóa luận đề cập Mong tài liệu bổ ích cho quan tâm đến vấn đề Do thời gian có hạn chưa có kinh nghiệm cơng tác làm nghiên cứu khoa học nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn đọc Trước kết thúc khóa luận em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy tổ Tốn ứng dụng, thầy khoa đặc biệt thầy Nguyễn Trung Dũng – người tận tình bảo, giúp đỡ em suốt thời gian qua để hồn thành khóa luận tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến, (2002), “Cơ sở lý thuết xác suất”, NXB Đại học Quốc gia Tiếng Anh [1] Billingslay, Patrick, (1968), “Convergence of Probability measures”, Wiley and Sons, New York – London [2] K.R.Parthasarathy, (1967), “Probability measures on metric spaces”, Academic [3] Onno Van Gaans, (2003), “Probability measuré on metric space”, Delft University of Technology, Holand ... muốn tìm hiểu sâu mơn xác suất em chọn đề tài: Độ đo xác suất không gian metric Nghiên cứu đề tài giúp có hội tìm hiểu sâu độ đo xác suất không gian metric tổng quát số không gian đặc biệt Nội... khơng gian metric compact, độ đo X,d  Borel hữu hạn X độ đo Radon Không gian metric tách đầy đủ gọi không gian Polish Định lý 1.1 Nếu  khơng gian metric tách đủ, độ đo X,d  Borel hữu hạn X độ đo. .. Nếu vµ   A  R B độ đo hữu hạn không gian metric X với A đóng (hoặc A mở),   A Định nghĩa 1.5 (Độ đo Radon) Một độ đo Borel hữu hạn  trên X gọi độ đo Radon với 0 tồn tập