ĐỘ ĐO HAUSDORFF TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC

Độ đo Hausdorff không gian metric MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Độ đo I II Một số định nghĩa không gian metric Đƣờng kính Khoảng cách hai tập 3 Ánh xạ Holder – Ánh xạ Lipschitz ζ-đại số Borel Tập μ*-đo đƣợc Hai tập tách đƣợc hàm f III Định lý Carathéodory CHƢƠNG ĐỘ ĐO HAUSDORFF TRÊN KHÔNG GIAN METRIC I Độ đo Carathéodory II Độ đo Hausdorff không gian metric Định nghĩa Tính chất III Độ đo Hausdorff ℝ ℝ2 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 14 GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết độ đo đƣợc xây dựng tập X ≠ ∅ bất kỳ, ta có không gian độ đo (X,ℱ,μ) Khi tập X có trang bị metric đầy đủ độ đo liên hệ metric độ đo có tính chất thú vị Trong phạm vi đề tài này, em xét độ đo Hausdorff số tính chất không gian metric Xây dựng độ đo Hausdorff bƣớc đầu việc xây dựng độ đo Carathéodory Từ đƣa ví dụ tính độ đo Hausdorff số tập đơn giản Do thời gian hạn chế nên tiểu luận nhiều thiếu sót, em hy vọng nhận đƣợc góp ý thầy cô bạn Mọi ý kiến thắc mắc xin gửi địa email: voluan.0402@gmail.com GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ I Độ đo Cho (X,ρ) không gian metric, hàm tập hợp μ: 𝒫(X) → đo X nếu: đƣợc gọi độ (i) μ(∅) = (ii) μ(A) ≤ μ(B); A, B  X ; A  B (iii)  ( i Ai )    ( Ai ) ; ( Ai )i ⊂ 𝒫(X) i II Một số định nghĩa không gian metric Đường kính Cho (X,ρ) không gian metric, định nghĩa đƣờng kính tập A⊂ X, kí hiệu d(A) d  A  sup  (u, v) u ,vA Khoảng cách hai tập Cho (X,ρ) không gian metric Với tập X A B, ta định nghĩa khoảng cách A B, kí hiệu ρ(A,B),  ( A, B)  inf  (u, v) uA,vB Ánh xạ Holder – Ánh xạ Lipschitz (i) Cho (X,ρ) không gian metric Một ánh xạ f: X → X đƣợc gọi ánh xạ Holder với số mũ α số c > nếu:  (f( x),f(y))  c  (x, y) x, y  X (ii) Nếu α = f ánh xạ Lipschitz GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric σ-đại số Borel Cho (X,ρ) không gian metric Lúc ζ-đại số sinh họ tập mở X đƣợc gọi ζ-đại số Borel X, kí hiệu ℬ(X) hay đơn giản ℬ Mỗi phần tử ℬ(X) đƣợc gọi tập Borel Tập μ*-đo Cho (X,ρ) không gian metric, μ * độ đo X Một tập A ⊂ X đƣợc gọi μ*-đo đƣợc nếu: E  X ,  * ( E )   * ( E  A)   * ( E \ A) Ta kí hiệu ℒ lớp tất tập μ*-đo đƣợc: ℒ=  A  X : E  X ,  * ( E )   * ( E  A)   * ( E \ A) Vì ta có bất đẳng thức  * E   * ( E  A)   * ( E \ A) nên A tập μ*-đo đƣợc nếu:  * E   * ( E  A)   * ( E \ A) Hai tập tách hàm f Hai tập A B X đƣợc gọi tách đƣợc hàm thực f X có số thực a b mà a < b cho f ≤ a A f ≥ b B Khi ta nói f tách hai tập A B III Định lý Carathéodory Cho (X,ρ) không gian metric, μ* độ đo X Khi hàm tập μ = μ*|ℒ độ đo GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric CHƯƠNG ĐỘ ĐO HAUSDORFF TRÊN KHÔNG GIAN METRIC I Độ đo Carathéodory Mệnh đề 1.1 Cho (X,ρ) không gian metric, φ hàm thực tập X μ* : 2X → [0,∞] độ đo có tính chất tập A,B tách φ, thì:  * ( A  B)   * ( A)   * ( B) Khi φ đo với độ đo cảm sinh μ*  Chứng minh: Lấy a ∈ ℝ, ta cần chứng minh tập hợp E  {x  X |  ( x)  a} μ*-đo đƣợc + Trƣớc hết ta chứng minh với ε > A ⊂ X tập có độ đo hữu hạn thì:  * ( A)     * ( A  E )   * ( A  E C ) Đặt B  A  E C  A  E C Với số tự nhiên n, Bn  {x  B |  ( x)  a  1/ n} Rn  Bn \ Bn1 Ta có    B  Bn   Rk   k n1  Trong Bn2 ta có   a  1/ (n  2) , Rn ta có   a  1/ (n  1) Nhƣ k 1 Rn Bn2 tách đƣợc, R2k j 1 R2 j tách đƣợc chứa B2 k 2 Vì k   k 1  k * * *   R2 j    ( R2 k )    R2 j     ( R2 j )  j 1   j 1  j 1 * GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric k Từ  R2i  B  A ta có j 1 k   * ( R2 j )   * ( A) , chuỗi j 1  Tƣơng tự, chuỗi   * ( R2 j1 ) hội tụ, chuỗi j 1    (R * j 1 2j ) hội tụ    (R ) * k k 1 hội tụ Chọn n đủ lớn để    ( R )   Ta có, * k  n 1 k  * ( B)   * ( Bn )     (R )   (B )   * * k k  n1 n  * ( Bn )   * ( Bn )   Hay Khi  * ( A)   * (Bn  C)   * (Bn )   * (C) với A,B rời Do đó,  * ( A)   * (Bn )   * (C)   Cho ε → ta suy điều phải chứng minh + Trƣờng hợp  * A   bất đẳng thức  * A   * ( A  E )   * ( A \ E ) hiển nhiên Định nghĩa Cho (X,ρ) không gian metric Một độ đo μ* : 2X → [0,∞] gọi độ đo Carathéodory với tập A, B X mà  ( A, B)  ,  * ( A  B)   * ( A)   * ( B) Mệnh đề 1.2 Cho μ* độ đo Carathéodory không gian metric (X,ρ) Khi tập Borel X đo độ đo μ* GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric  Chứng minh: Họ tập Borel ζ-đại số nhỏ chứa tập đóng, tập đo đƣợc ζ-đại số Do ta cần tập đóng đo đƣợc Tuy nhiên tập đóng F X đƣợc biểu diễn thành F  f 1 (0) với f hàm liên tục X xác định f ( x)   ( F ,{x}) Từ ta chứng minh hàm liên tục đo đƣợc Để chứng minh điều đó, ta sử dụng mệnh đề 1.1 Thật vậy, cho A B hai tập X mà tồn hàm số f liên tục X số thực a,b với a < b cho f ≤ a A f ≥ b B Vì tính liên tục f, ta có  ( A, B)  Lại có, theo giả thiết  * ( A  B)   * ( A)   * ( B) Theo mệnh đề 1.1, ta suy hàm liên tục đo đƣợc Mệnh đề đƣợc chứng minh II Độ đo Hausdorff không gian metric Định nghĩa Cho (X,ρ) không gian metric số s > Với số thực dƣơng s, ta xác định độ đo H s ζ-đại số Borel ℬ(X) đƣợc gọi độ đo Hausdorff X với số chiều s nhƣ sau: Với δ > E ⊂ X ta xét họ (hữu hạn hay đếm đƣợc) tập {Ak} tập X cho  k 1 Ak  E d(Ak) ≤ δ với k (mỗi họ nhƣ đƣợc gọi δ- phủ E) Ta định nghĩa:  s H s (E)  inf   d ( Ak )   k 1 s Ta có δ giảm dần tới H  tăng dần phải tiến đến giới hạn, ta đặt H s* (E)  lim H s (E)  0 Định lý 1.1 Cho (X,ρ) không gian metric s số thực dương Khi GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric H s* : 2X → [0,∞] độ đo Carathéodory  Chứng minh: * Dễ thấy H s hàm tập đơn điệu tăng 2X H s* ()  Do H s* độ 2X Ta cần chứng minh độ đo Carathéodory Thật vậy, cho E F hai tập X cho  ( E, F )   Từ ta có H s (E F )  H s (E)  H s (F) với    : {Ak} họ tập đếm đƣợc, đƣờng kính nhỏ δ, chứa E  F , E F hai tập tách đƣợc Cho δ→0, ta có H s* (E F)  H s* (E)  H s* (F) * Từ Mệnh đề 1.2 (phần Độ đo Carathéodory) ta suy H s sinh độ đo ζ-đại số mà chứa tập Borel X Ta thu hẹp độ đo ℬ(X) H s gọi độ đo Hausdorff s-chiều không gian metric X  Nhận xét (i) Trong định nghĩa độ đo Hausdorff, thay phủ phủ mở (phủ đóng) (ii) Nếu X tập compact định nghĩa độ đo Hausdorff thay phủ phủ mở hữu hạn Tính chất Mệnh đề 2.1 Cho (X,ρ) không gian metric, A tập Borel chứa X, s t hai số thực dương cho  s  t   Khi đó: a/ H s (A)    Ht (A)  b/ Ht (A)   H s (A)   GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric  Chứng minh  a/ Giả sử H s (A)   Khi đó, với    ta có H s   Với ( Ei ) δ-phủ A cho  (dE ) s i   , tồn  H s (A)  i H t (A)   (dEi )t  [(dEi ) s (dEi )t  s ] i i   [(dEi ) s  t  s ]   t  s  [( dEi ) s  i  i t s   ( H s (A)  1) Cho δ→0 ta thu đƣợc H t (A)  b/ Từ câu a/ ta có: H t (A)   H s (A)   với  s  t   Định lý 2.2 Cho X=ℝn không gian Euclide với metric thông thường Khi đó, với s > 0, H s độ đo Borel quy  Chứng minh: Ta có H s độ đo Borel ℝn Xét tập A ⊂ ℝn, với s > cho trƣớc + Nếu H s (A)   , ta có ℝn tập Borel H s (A)  H s ( H s (A)  H s ( n n ) Do )   + Nếu H s (A)   ( n) ( n) Với n ∈ ℕ, chọn (Ui ) phủ mở A; d(Ui )  [ d(U (n) i n s )]  H ( A)  s i thỏa mãn: n n GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric Đặt G    U i( n ) Khi A ⊂ G G tập Gδ Do G tập Borel i 1 n 1 Lại có G  U i( n ) nên (Ui( n ) )  phủ G Do đó: n i n s H (G)   [ d(U (n) i n s )] H (A)  s i n Vì A  G nên: n s n s n s H (A)  H (G)  H (A)  n Cho n → ∞ ta thu đƣợc H s (A)  H s (G) Vậy H s độ đo Borel quy ℝn Định lý 2.3 Cho( X,𝜌) không gian metric Với s  , H s không tăng theo s Tức  s  t   H s (A)  Ht (A) , A  X  Chứng minh: Lấy  s  t   Với tập A  X ,    , ta có: H s ( A)  inf{ (dU i ) s (U i ) δ - phủ A} i  inf{ (dU i )t (U i ) δ - phủ A} i  H t ( A) 10 GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric Do đó: H s (A)  lim H s ( A)  lim Ht ( A)  H t (A)  0  0 Vậy H s không tăng theo s Định lý 2.4 Cho (X,ρ) không gian metric (i) Nếu A ⊂ X λ > H s ( A)   s H s (A) (ii) Nếu f: X→X ánh xạ Holder với số mũ α > số c > với A ⊂ X, ta có s H s (f(A))  c H s (A)    Chứng minh (i) Nếu {Ai} δ-phủ A { λAi} λδ-phủ λA, H s ( A)  [d ( Ai )]s   s [d ( Ai )]s   s H s (A) Cho δ→0 ta thu đƣợc H s ( A)   s H s (A) Áp dụng kết cho tập λA số (1) ta có bất đẳng thức ngƣợc lại:  s 1  1 H s  ( A)     H s ( A)     H s ( A)  s H s ( A)   s H s ( A)  H s ( A) (2) Từ (1) (2) suy H s ( A)   s H s (A) 11 GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric (ii) Nếu {Ai} δ-phủ A d[f (Ai )]  c [d (Ai )] , {f(Ai)} (cδα)-phủ s s f(A) Vậy [d ( f ( Ai ))]  c  [d (Ai )]s , ta có H c  s  s  ( f ( A))  c  H s ( A) s Cho δ→0 ta suy H s (f(A))  c  H s (A)  Hệ 2.5 Nếu   f ánh xạ Lipschitz Khi H s ( f (A))  cs  H s ( A)  Chứng minh Từ định lý 2.4, thay   ta có điều phải chứng minh III Độ đo Hausdorff ℝ ℝ2 Ta khảo sát độ đo Hausdorff với số chiều s = s = 1, tức độ đo Hausdorff ℝ ℝ2 Mệnh đề 3.1 Cho (X,ρ) không gian metric, A ⊂ X, A đếm Khi với s ∈ (0,+∞): H s ( A)   Chứng minh: Lấy s ∈ (0,+∞) Giả sử A  {an }n Với ε > 0, với n ∈ ℕ, đặt U n  B(an ;   ns 1 ) Khi đó: n Vậy (U n )n    ns U n  A ; d (U n )     ns -phủ A Do đó: 12 GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric   n 1 n 1 H s ( A)   d (U n ) s   (  ) s  ns    ( s  2 n )   s n 1 Suy ra:  s H s ( A)  lim H ( A )  lim  0 s  0  0 Vậy H s ( A)  Mệnh đề 3.2 Trong ℝ, độ đo Hausdorff với s = độ đo Lebesgue, hay H1 = ℒ1  Chứng minh: Trong ℝ, lấy tập A bất kì, A ⊂ ℝ Với δ > 0, xét (Ai) δ-phủ A Đặt = inf Ai ; bi = sup Ai Khi ta có Ai  [ai ; bi ] d(Ai )  d([ai ; bi ]) Lại có, ℝ V([ai ; bi ]) = V([ai ; bi )) = d([ai ; bi ]) = bi  , đó: H1 ( A)  inf{ d ( Ai ) | (Ai) δ-phủ A} i  inf{ d ([ai ; bi ]) | ([ai ; bi ]) δ-phủ A} i  inf{ V([ai ; bi ]) | ([ai ; bi ]) δ-phủ A} i  L1 (A) Vậy H1 = ℒ1 ℝ 13 GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H.L.Royden and P.M.Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson, 2010 [2] Lƣơng Hà, Giáo trình Độ đo tích phân, Dự án phát triển giáo viên THPT & TCCN, 2013 [3] Nguyễn Văn Khuê, Cơ sở Lý thuyết hàm Giải tích hàm - tập 1, NXB Giáo dục, 2001 [4] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [5] Đinh Thị Nga, Khóa luận tốt nghiệp Độ đo Hausdorff tính chất, khóa học 2007-2011 14 GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân [...]... ánh xạ Lipschitz Khi đó H s ( f (A))  cs  H s ( A)  Chứng minh Từ định lý 2.4, thay   1 ta có điều phải chứng minh III Độ đo Hausdorff trong ℝ và ℝ2 Ta khảo sát độ đo Hausdorff với số chiều s = 0 và s = 1, tức là độ đo Hausdorff trong ℝ và ℝ2 Mệnh đề 3.1 Cho (X,ρ) là không gian metric, A ⊂ X, A đếm được Khi đó với mỗi s ∈ (0,+∞): H s ( A)  0  Chứng minh: Lấy s ∈ (0,+∞) Giả sử A  {an }n Với...  2  ns -phủ của A Do đó: 12 GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff trên không gian metric   n 1 n 1 H s ( A)   d (U n ) s   (  2 ) s  ns    ( s  2 n )   s n 1 Suy ra:  s H s ( A)  lim H ( A )  lim  0 s  0  0 Vậy H s ( A)  0 Mệnh đề 3.2 Trong ℝ, độ đo Hausdorff với s = 1 chính là độ đo Lebesgue, hay H1 = ℒ1  Chứng minh: Trong ℝ, lấy tập A bất kì, A ⊂.. .Độ đo Hausdorff trên không gian metric Do đó: H s (A)  lim H s ( A)  lim Ht ( A)  H t (A)  0  0 Vậy H s không tăng theo s Định lý 2.4 Cho (X,ρ) là không gian metric (i) Nếu A ⊂ X và λ > 0 thì H s ( A)   s H s (A) (ii) Nếu f: X→X là ánh xạ Holder với số mũ α > 0 và hằng... ]) là δ-phủ của A} i  inf{ V([ai ; bi ]) | ([ai ; bi ]) là δ-phủ của A} i  L1 (A) Vậy H1 = ℒ1 trên ℝ 13 GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff trên không gian metric TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H.L.Royden and P.M.Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson, 2010 [2] Lƣơng Hà, Giáo trình Độ đo và tích phân, Dự án phát triển giáo viên THPT & TCCN, 2013 [3] Nguyễn Văn Khuê, Cơ sở Lý thuyết hàm... 1 H s  ( A)     H s ( A)     H s ( A)  1 s H s ( A)   s H s ( A)  H s ( A) (2) Từ (1) và (2) suy ra H s ( A)   s H s (A) 11 GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff trên không gian metric (ii) Nếu {Ai} là δ-phủ của A thì d[f (Ai )]  c [d (Ai )] , cho nên {f(Ai)} là (cδα)-phủ của s s f(A) Vậy [d ( f ( Ai ))]  c  [d (Ai )]s , do đó ta có H c  s  s  ( f... Nguyễn Văn Khuê, Cơ sở Lý thuyết hàm và Giải tích hàm - tập 1, NXB Giáo dục, 2001 [4] Hoàng Tụy, Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [5] Đinh Thị Nga, Khóa luận tốt nghiệp Độ đo Hausdorff và các tính chất, khóa học 2007-2011 14 GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân ... (X,ρ) không gian metric, μ* độ đo X Khi hàm tập μ = μ*|ℒ độ đo GVHD: PGS.TS Lê Văn Hạp SV: Võ Thị Luân Độ đo Hausdorff không gian metric CHƯƠNG ĐỘ ĐO HAUSDORFF TRÊN KHÔNG GIAN METRIC I Độ đo Carathéodory.. .Độ đo Hausdorff không gian metric LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết độ đo đƣợc xây dựng tập X ≠ ∅ bất kỳ, ta có không gian độ đo (X,ℱ,μ) Khi tập X có trang bị metric đầy đủ độ đo liên hệ metric độ đo. .. này, em xét độ đo Hausdorff số tính chất không gian metric Xây dựng độ đo Hausdorff bƣớc đầu việc xây dựng độ đo Carathéodory Từ đƣa ví dụ tính độ đo Hausdorff số tập đơn giản Do thời gian hạn chế