Luận văn sư phạm Độ đo xác suất trên không gian Metric

Khoá lu n t t nghi p TR Tr ng HSP Hà N i NG I H C S PH M Hà N I KHOA TOÁN ******************** V TR NG GIANG O XÁC SU T TRÊN KHÔNG GIAN METRIC KHÓA LU N T T NGHI P IH C Chuyên ngƠnh: Toán ng d ng hƠ n i ậ 2009 V Tr ng Giang K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr L IC M ng HSP Hà N i N Sau m t th i gian mi t mài nghiên c u v i s giúp đ c a th y giáo b n sinh viên, khóa lu n c a em đ n đ c hoàn thành Em xin bày t long bi t n sâu s c c a đ n th y giáo Nguy n Trung D ng t n tình giúp đ em su t trình nghiên c u hồn thành khóa lu n Em xin trân thành c m n s quan tâm, giúp đ c a th y cô khoa th y t Tốn ng d ng tr ng i h c S ph m Hà N i 2, s đ ng viên, giúp đ , đóng góp ý ki n c a b n bè dành cho em su t trình h c t p, nghiên c u hồn thành khóa lu n Do th i gian có h n ch a có kinh nghi m cơng tác nghiên c u khoa h c nên khóa lu n c a em khơng tránh kh i nh ng thi u xót R t mong nh n đ đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô b n đ khóa lu n c a em c hoàn thi n h n Hà N i, ngày 15 tháng 05 n m 2009 Sinh viên V Tr V Tr ng Giang ng Giang K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i L I CAM OAN Tôi xin cam đoan khóa lu n t t nghi p đ i h c thành qu c a riêng cá nhân tơi, khơng trùng l p v i b t kì đ tài đ c cơng b N u sai tơi xin ch u hồn tồn trách nhi m Hà N i, ngày 15 tháng 05 n m 2009 Sinh viên V Tr V Tr ng Giang ng Giang K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i m cl c L i nói đ u Ch ng Ki n th c chu n b 1.1 T p Borel 1.2 đo xác su t Borel 1.3 S h i t y u c a đ đo 15 1.4 Metric Prokhorov 20 Ch ng nh lý Riesz vƠ đ nh lý Prokhorov 29 2.1 nh lý Prokhorov 29 2.2 nh lý Riesz 38 2.3 nh lý Riesz không gian không compact 44 K t lu n 50 TƠi li u tham kh o 51 V Tr ng Giang K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i l i nói đ u Tốn ng d ng m t ngành tốn h c có ý ngh a r t to l n chi m m t v trí quan tr ng Nó c u n i đ đ a nh ng k t qu đ c nghiên c u lý thuy t c a gi i tích, đ i s , hình h c vào ng d ng ngành khoa h c khác th c t cu c s ng Lý thuy t xác su t m t b mơn có ng d ng r t r ng rãi ngành khoa h c t nhiên, khoa h c xã h i th c t cu c s ng Nó cơng c đ gi i quy t v n đ chuyên môn c a nhi u l nh v c nh kinh t , sinh h c, tâm lý – xã h i Do b mơn đ tr c đ a vào gi ng d y h u h t ng đ i h c, cao đ ng V i mong mu n tìm hi u sâu h n v b môn xác su t em ch n đ tài: “ đo xác su t không gian metric” Nghiên c u đ tài giúp có c h i tìm hi u sâu h n v đ đo xác su t không gian metric t ng quát m t s không gian đ c bi t N i dung c a khóa lu n bao g m Ch ng 1: Ki n th c chu n b Trong ch ng trình bày v khái ni m tính ch t c a t p Borel, đ đo xác su t Borel, s h i t y u c a đ đo metric Prokhorov Ch ng 2: nh lý Prokhorov vƠ đ nh lý Riesz N i dung c a ch ng đ nh lý Prokhorov, đ nh lý Riesz đ nh lý Riesz không gian không compact V Tr ng Giang K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Ch Tr ng HSP Hà N i ng ki n th c chu n b 1.1.T p Borel nh ngh a 1.1 Cho  X, d  không gian metric   đ i s Borel B  B  X    đ i s nh nh t X mà có ch a t t c t p m c a X Các ph n t c a B đ c g i t p Borel c a X nh ngh a 1.2 Không gian metric  X, d  đ đ c g i tách đ c n u có t p đ m c trù m t, t c t n t i x1, x2, X cho  x1, x2 ,   X ( A - bao đóng c a A t p đóng nh nh t ch a A X B đ 1.1 N u X không gian metric tách đ c, trùng v i   đ i s sinh b i t t c các hình c u m (ho c đóng) c a X Ch ng minh Kí hi u A    đ i s sinh b i hình c u m (ho c đóng) c a X Hi n nhiên A  B Gi s D t p đ m đ c trù m t X U  X m V i x U , l y r  , r ฀ cho B x, r   U ( B x, r  hình c u m ho c đóng v i tâm x bán kính x  B yx , r / 2  B x, r  r) l y yx  D  B x, r / 3 Khi t rx  r / Khi U  B yx , rx  : x  U V Tr ng Giang K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p h p đ m đ Tr ng HSP Hà N i c Thành U  A suy B  A B đ 1.2 Cho  X, d  không gian metric tách đ c C  B đ m đ c N u C tách r i hình c u đóng v i m, ngh a v i m i hình c u đóng B x  B t n t i C C cho B  C x  C ,   đ i s sinh b i C   đ i s Borel Ch ng minh Hi n nhiên   C  B ,   C   đ i s sinh b i C L y B hình c u đóng X Khi B  C  C: B  C giao c a đ m đ ph n t c a   C Theo b đ ta nh n đ c c B    C nh ngh a 1.3 N u f : S T AS, AT t đ c g i đo đ ng ng   đ i s S T, f cn u f 1  A   x  S: f  x   A AS v i m i A AT M nh đ 1.1 Cho  X, d  không gian metric B  X    đ i s nh nh t cho v i m i hàm (giá tr th c) liên t c X đo đ V Tr ng Giang c K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p 1.2 Tr ng HSP Hà N i đo xác su t Borel nh ngh a 1.4 Cho  X, d  không gian metric M t đ đo Borel h u h n X ánh x  : B  X  [0, ) cho   , A1, A2,  B r i   A     i 1 i  i 1  Ai  ,   X  B đ 1.3 Cho X không gian metric  đ đo h u h n X Cho A1, A2 , dãy t p Borel Khi ta có (1) N u A1  A2  A   i 1 Ai ,   A  limn   An   (2) N u A1  A2  A   i 1 Ai ,   A  limn   An   B đ 1.4 N u  m t đ đo Borel h u h n X A m t h t p Borel r i c a X, có nhi u nh t đ m đ đ đo c ph n t c a A có khác m  1, đ t Am   A  A :   A  1/ m V i m i Ch ng minh V i A1, A2, Am phân bi t ta có  k    X      Ai     A1     A2      Ak   k / m ,  i 1  Do Am có nhi u nh t m  X  ph n t V y V Tr ng Giang K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i  A A :   A  0   A m1 đ m đ m c Ví d N u  m t đ đo Borel ฀ ,   t   v i m i t tr nhi u nh t đ m đ c t ฀ M nh đ 1.2 M i đ đo Borel h u h n X quy, t c v i m i BB   B  sup  C : C  B, C ®ãng ( chÝnh quy trong)  inf  U  : U  B, U më Ch ng minh T p R đ A R  c xác đ nh b i   A  sup  C : C  A, C đóng A inf U  : U  A, U më Ta ch ng t r ng R ch a t p Borel B s AR (chÝnh quy ngoµi) c 1: R  _đ i s : R Gi   L y C đóng U m v i C AU   A    C     A   U    Khi U c  Ac  Cc , U c đóng, Cc m   Ac     X    A    X     C      Cc    ,   Ac     X    A    X    U      U c    Do Ac  R Gi s A1, A2, R   V i m i i l y V Tr ng Giang 10 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Ui m , Ci đóng v i Ci  A  Ui ,  Ui     Ai   2i  ,   Ai     Ci   2i  / Khi  C  A  U ,  U i i i i  i     i i i m     i 1    i 1    Ui      Ai     Ui \  Ai   i i        Ui \ Ai      Ui \ Ai   i 1  i 1   i 1 i 1     Ui     Ai     2i       k  H n n a    Ci   limk    Ci  , v i k đ  i 1   i 1  l n đó, k     k     Ci      Ci    / Khi C  i 1 Ci  i 1 Ai , C đóng  i 1   i 1              Ai     C     Ai      Ci    /  i 1   i 1   i 1         Ai \  Ci    / i 1  i 1         Ai \ Ci     /  i 1       Ai \ Ci    / i 1 V Tr ng Giang 11 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p 2.2 Tr ng HSP Hà N i nh lý Riesz Trong ch ng minh đ nh lý Prokhorov ta có s d ng đ nh lý Riesz lý thu đ cs t ng ng gi a hàm không gian hàm liên t c đ đo t p c b n s đ nh nh lý đ c áp d ng v i không gian compact c th o lu n ph n Ph n ti p theo thu đ c t vi c compact hóa m r ng đ i v i không gian không compact Cho  X, d  không gian metric V i m i đ đo Borel h u h n  X , ánh x   đ c xác đ nh b i   f    fd , f  Cb  X  , n tính t Cb  X  vào ฀   f    f d  f    X Do   Cb  X  , Cb  X  không gian Banach đ i ng u c a không gian Banach  C  X , b   ( f   supxX f  x  ) H n n a,     X        X      X ta có     X  H n n a, f     f   nh ngh a 2.2 M t ánh x n tính  : Cb  X  ฀ đ c g i d ng n u   f   v i m i f  Cb  X , v i f  V Tr ng Giang 39 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i (Khi f  g    f     g ) B đ 2.2 V i m i ánh x d ng   Cb  X  ta có     Ch ng minh Hi n nhiên,         f     V i f  Cb  X , f  f  , v y  f         f   f     ,   f     f  Do       N u X compact, Cb  X  C X   f : X  ฀ : f liªn tơc m i hàm n tính b ch n d ng C X  đ c bi u di n b ng m t đ đo Borel h u h n X Chân lí c a m nh đ không ph thu c vào X t n t i hay không m t không gian metric Trong vi c m r ng cho tr ng h p không compact mà ta s th o lu n ph n ti p theo ta c n nh ng tính ch t t ng quát c a khơng gian compact Hausdorff khơng metric hóa đ c V hình th c ta khơng có đ nh ngh a t p Borel, đ đo Borel, Cb  X  , v.v… v i không gian topo mà khơng metric hóa đ V Tr ng Giang c Các đ nh ngh a t 40 ng t c ng b b qua K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i nh lý 2.2 ( nh lý Riesz) N u  X, d  không gian compact Hausdorff   C X  d ng   1, t n t i nh t m t đ đo Borel xác su t  X cho   f    fd v i m i f  C X  B ng s xác đ nh rõ ràng, đ nh lý Riesz có th đ hàm b ch n khơng nh t thi t ph i d c m r ng t ng ng cho ng C X  đ đo Borel h u h n X H n th n a không gian topo c ng v y Xét topo y u* Cb  X  , topo thơ nh t cho hàm     f  Cb  X  liên t c v i m i f  Cb  X M t dãy 1,2, Cb  X  h i t theo topo y u* t i   Cb  X  ch n  f     f  v i m i f  Cb  X M nh đ sau đ c suy tr c ti p M nh đ 2.2 Cho  X, d  không gian metric compact , 1, 2 , đ đo Borel h u h n X Khi hai m nh đ sau t (a) n   t c là,  fd n ng đ ng:   fd v i m i f  Cb  X (b) n   theo topo y u*, t c n  f     f  v i m i f  Cb  X Cùng v i s phù h p c a phép bi u di n đ đo không d b i đ đo cịn có th đ ng, vi c bi u di n c m r ng đ i v i m i ph n t c a Cb  X  Ta đ a vào m nh đ mà không ch ng minh V Tr ng Giang 41 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i nh ngh a 2.3 M t đ đo có d u không gian metric  X, d  ánh x  : B  X  ฀ có d ng   1  2 1 2 đ đo Borel h u h n X i u t ng đ ng v i    0,   _c ng tính, t c là, A1, A2 , B  X  r i    A     i 1 i  i 1   Ai  , supAB X   A   nh lý 2.3 Cho  X, d  không gian metric compact V i đ đo h u h n  X , đ t   f    fd , f  C X  , T ánh x    Khi (1) T      T     T   T  c   cT    v i m i đ đo Borel h u h n   X m i c  (2) T m t phép đ ng phôi liên t c t {  :  đ đo Borel h u h n X } lên {  Cb  X  :  T  P  X    {  Cb  X  :   1, d d ng} v i topo y u*, ng}, (3) T m r ng nh t thành phép đ ng phơi n tính liên t c t đ đo Borel có d u X lên C  X  v i topo y u* V Tr ng Giang 42 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr Nh n xét (1) có th ch r ng C X  tách đ c n u X compact metric hóa đ c (1) có th nh n đ   C X :   1 metric hóa đ c t tính tách đ ng HSP Hà N i c c a C X  c Vì v y T đ nh lý phép đ ng phôi không ph i phép đ ng phôi liên t c nh t Bây gi ta có c s quay l i k t thúc ch ng minh đ nh lý 5.3 nh lý 2.4 Cho  X, d  không gian metric Khi   (1) B    Cb  X  :   compact y u* ( nh lý Alaoglu)   (2)   Cb  X  :   1, d­ ¬ng đóng y u* B Ch ng minh (2) V i   B d ng, ta có         Do   C  X :   1, d­ ¬ng b      Cb  X  :   1,     1,  f   0, f  Cb  X  cho f     B :      1     B :   f   0 f Cb  X , f  Vì     f  liên t c y u* v i m i f  Cb  X , t p đóng y u* B H qu 2.1 N u  X, d  khơng gian metric compact,  P  X  , dP  không gian metric compact V Tr ng Giang 43 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Ch ng minh ánh x Tr  ng HSP Hà N i  T : P  X     C  X  :   1, d­ ¬ng   m t phép đ ng phôi liên t c đ i v i topo y u*  Theo đ nh lý trên,  compact y u* Nh v y P  X  dãy compact Vì P  X  khơng gian metric, P  X  compact V Tr ng Giang 44 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i nh lý Riesz khơng gian khơng compact 2.3 Vì ph n l n quan tâm đ n không gian metric mà khơng compact, vi c t t nhiên s đ a nghiên c u s m r ng c a đ nh lý Riesz đ i v i không gian không compact Vi c m r ng có th thu đ c b ng cách compact hóa khơng gian S compact hóa c a B đ 2.1 có u m h n vi c metric hóa, nh ng khơng phù h p v i m c đích hi n t i Ta mu n tìm m i liên h gi a hàm liên t c không gian compact hóa v i hàm liên t c, b ch n không gian ban đ u Nh v y s compact hóa s compact hóa Stone – Cech nh lý 2.5 Cho  X, d  không gian metric T n t i không gian compact Hausdorff Y ánh x T : X  Y cho (i)T m t phép đ ng phôi t X lên T  X  (ii) T  X  trù m t Y , (iii) V i m i f  Cb  X t n t i m t ch m t g C Y “ mà khu ch f”, t c g  T  f C p  Y, T đ nh lý nh t v b n ch t đ c g i compact hóa Stone – Cech c a X Ta s không c n ph i xét chi ti t xem X nh không gian c a Y Khi đ nh lý nói r ng m i không gian metric X không gian trù m t c a không gian compact Hausdorff Y cho Cb  X  ฀ C Y theo đ ng c u t nhiên c a s m r ng h n ch T đ nh lý Riesz v i không gian compact Hausdorff ta có k t lu n sau V Tr ng Giang 45 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i H qu 2.2 Cho  X, d  không gian metric N u  : Cb  X  ฀ n tính b ch n d ng, t n t i nh t đ đo Borel h u h n  compact hóa Stone – Cech Y c a X cho   f    f d v i m i f  Cb  X f m r ng c a f Nh v y hàm n tính b ch n d ng Cb  X  t ng ng v i đ đo Borel h u h n compact hóa Stone – Cech c a X M t u c n bi t đ đo nh v y t p trung X S thay đ i có quan h ch t ch v i tính liên t c c a hàm h n so v i h i t thông th ng Kh ng đ nh đ nh lý ti p theo m t m r ng c a đ nh lý Riesz đ i v i không gian compact V i lý thuy t h i t c a dãy suy r ng nh lý 2.6 Cho  X, d  không gian metric   Cb  X  d m nh đ sau t ng đ ng Các ng: (a) T n t i m t đ đo Borel h u h n kín  X cho   f    fd v i m i f  Cb  X (b) V i m i   t n t i t p compact K  X cho   f    v i m i f  Cb  X v i f   f  K  (c) H n ch c a  hình c u đ n v B  f  Cb  X  : f    liên t c đ i v i topo c a h i t đ u t p compact N u (a) th a mãn, đ đo  nh t V Tr ng Giang 46 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Ch ng minh Vi c ch ng minh tính nh t th ng xuyên Nó c ng đ c suy t đ nh lý trù m t ph n  a   c : Gi s  fi iI l i B f  B cho fi h i t đ u đ n f t p compact Gi s   Ta mu n ch ng minh r ng t n t i i0  I cho   fi     f    v i m i i  I ,i  i0 Vì  kín, t n t i m t t p compact K  X v i   X \ K    / Khi fi h i t đ u đ n f K, nh v y t n t i i0  I cho fi  f   /  3  K   1 K v i m i i  i Khi v i i  i ,   fi     f    fi  f d   K  X\ K  3  K   fi  f d   K   fi  f  X \ K   /  2 /   Do   fi     f   liên t c B  c   b : Gi s  b khơng Khi t t p compact K  X t n t i fK  Cb  X  v i fK n t i   cho v i m i   fK  K cho   fK    Khi  fK KK , K  K  X : K compact v i quan h bao hàm đ c xem nh quan h th t , l i B mà h i t t i không theo topo c a h i t đ u t p compact Th t v y, v i m i t p compact K0  X , fK  K0 v i m i K  K0 Vì   fK    v i m i K K , u ch ng t  không liên t c B V Tr ng Giang 47 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p  b   a : Tr ng HSP Hà N i V i m i m l y m t t p compact Km  X cho   f   1/ m v i m i f  Cb  X , f   f  Km Gi s Y compact hóa Stone – Cech c a X V i m i g C Y , h n ch c a X ph n t c a Cb  X  ta có th đ nh ngh a   g    g X  , g CY Khi  : C Y  ฀ m t hàm n tính b ch n d ng, nh v y theo đ nh lý Riesz t n t i m t đ đo Borel h u h n  Y cho   g   gd v i m i g C Y Ta mu n h n ch c a  m t đ đo  X mà bi u di n cho  Vì v y ta c n ch  không h i t X t E   m Km  X Vì m i Km compact, E t p Borel Y ch  khơng h i t ngồi E ta s d ng u ki n  b b ng cách x p x  K c m b i m t hàm liên t c t hm  x   mind  x, Km  ,1 , x  Y, m  Khi hm  C Y ,  hm   K c m n hm   K c n   , hm  x  v i m m i x  Kmc Do theo đ nh lý h i t đ n u,   Y \ Km     K d  lim  n hm d c m  lim n V Tr ng Giang  n n  hm  lim n 48  n hm X   / m, K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Theo gi thuy t (b) Thành      Y \ E     Kmc    m1  t   A    A  E , AB  X ( Chú ý r ng AB  X  A  E Borel E Borel Y.) Khi ch ng t r ng  bi u di n cho  ,  đ đo Borel h u h n X l y f  Cb  X f  Cb  Y  m r ng c a f Vì   Y \ E    X \ E  , u ch ng t r ng  fd   f  E   d   f  Ed   f d   f    f  Cu i cùng, ý r ng   X \ Km     E \ Km     Y \ Km   1/ m v i m i m,  đ đo Radon Nh n xét (1) N u X compact, m i   Cb  X  th a mãn u ki n (c) Do ta có th áp d ng đ nh lý Riesz v i không gian metric compact (2) đ u tiên ta ch r ng n u  X, d  không gian metric đ tách c, m i đ đo Borel h u h n X đ đo Radon Do v i khơng gian nh v y u ki n (c) c n thi t cho vi c bi u di n m t đ đo Borel h u h n V Tr ng Giang 49 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i Ví d Cho X  ฀ , d  x, y  x  y , x, y  X Ta s ch r ng t n t i   Cb  X  mà không bi u di n đ c b ng m t đ đo Borel h u h n Chú ý r ng Cb  X   l   ฀  đ t 0  x   lim x  k  k v i m i x  c  { y  l   ฀  : limk y  k  t n t i} T p c khơng gian đóng c a l   ฀  0 hàm n tính d  ng b ch n c t  p  x   max limsup x  k  ,0 , x  l   ฀  k Khi p x  y  p x   p y p  x    p x  v i m i x, y  l   ฀  ,   H n n a, 0  x  p x v i m i x  c Do theo đ nh lý Hahn – Banach, t n t i m t hàm n tính  : l   ฀   ฀ mà m r ng c a 0 cho   x   p x  v i m i x  l   ฀  Khi   x   p x   x  v i m i x  l   ฀   b ch n, v i x  l   ฀  , x  ta có   x      x    p  x   ,  d ng Bây gi l y xn  n,n1,   c , n  1,2, Khi   xn   0  xn   v i m i n, nh ng v i đ đo Borel h u h n b t kì  ฀ ta có V Tr ng Giang  x d  n n   , xn  theo tong m 50 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i  xn  v i m i n Do  không th bi u di n b ng m t đ đo Borel h u h n V Tr ng Giang 51 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i k t lu n Trong khóa lu n em nghiên c u m t s v n đ c b n sau đây: đo xác su t Borel, s h i t y u c a đ đo, metric Prokhorov, đ nh lý Prokhorov, đ nh lý Riesz, đ nh lý Riesz đ i v i không gian không compact Lu n v n mang tính ch t t ng quan nh ng em ch ng minh m t s đ nh lý, b đ đ a ví d c th đ làm rõ h n m t s tính ch t, đ hi u rõ h n v n đ mà khóa lu n đ c p Mong r ng s m t tài li u b ích cho nh ng quan tâm đ n v n đ Do th i gian có h n ch a có kinh nghi m cơng tác làm nghiên c u khoa h c nên khóa lu n c a em không tránh kh i nh ng thi u sót R t mong nh n đ Tr c s đóng góp ý ki n c a th y b n đ c c k t thúc khóa lu n em xin g i l i c m n chân thành nh t t i th y t Toán ng d ng, th y cô khoa đ c bi t th y Nguy n Trung D ng – ng i t n tình ch b o, giúp đ em su t th i gian qua đ có th hồn thành khóa lu n V Tr ng Giang 52 K31B CN Toán Khoá lu n t t nghi p Tr ng HSP Hà N i tƠi li u tham kh o Ti ng Vi t [1] Nguy n Vi t Phú, Nguy n Duy Ti n, (2002), “C s lý thu t xác su t”, NXB i h c Qu c gia Ti ng Anh [1] Billingslay, Patrick, (1968), “Convergence of Probability measures”, Wiley and Sons, New York – London [2] K.R.Parthasarathy, (1967), “Probability measures on metric spaces”, Academic [3] Onno Van Gaans, (2003), “Probability measuré on metric space”, Delft University of Technology, Holand V Tr ng Giang 53 K31B CN Toán ... sâu h n v b môn xác su t em ch n đ tài: “ đo xác su t không gian metric? ?? Nghiên c u đ tài giúp có c h i tìm hi u sâu h n v đ đo xác su t không gian metric t ng quát m t s không gian đ c bi t N... khơng gian metric compact, m i đ đo Borel h u h n X đ đo Radon Không gian metric tách đ đ c đ y đ đôi c g i không gian Polish nh lý 1.1 N u  X, d  không gian metric tách đ c đ , m i đ đo Borel... X, d  không gian metric tách đ không gian metric tách đ c, P  X  c ng c v i metric Prokhorov c m sinh H n n a, m t dãy P  X  h i t theo metric ch h i t y u t i m t gi i h n V Tr ng Giang