Luận văn sư phạm Mô hình xạ ảnh của không gian Afin và không gian Ơclit

Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH LỜI CẢM ƠN Trong thời gian hồn thành khóa luận, bên cạnh nỗ lực miệt mài nghiên cứu thân đónggóp quý báu bạn bè thầy tổ hình học khoa Tốn, đặc biệt thầy Đinh Văn Thủy – người trực tiếp hướng dẫn tận tình, chu em hồn thành khóa luận Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo Đinh VănThủy, quý thầy cô, bạn bè cổ vũ, động viên em suốt thời gian hồn thành khóa luận Một lần em xin gửi lời cảm ơn kính chúc sức khỏe tới thầy cô! Hà Nội, tháng 5năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hiền SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan trước hội đồng khoa học Trường Đại học sư phạm Hà Nội hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp khoa Tốn: Khóa luận “Mơ hình xạ ảnh khơng gian afin khơng gian ơclit” tơi viết, kết tìm tịi, tổng hợp từ tài liệu tham khảo hướng dẫn thầy Đinh Văn Thủy, trích dẫn khóa luận trung thực Khóa luận khơng trùng với khóa luận tác giả khác Hà Nội, tháng 5năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hiền SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương I: MƠ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHƠNG GIAN AFIN 1.1.Xây dựng mơ hình 1.2.Một số khái niệm hình học afin thể mơ hình 1.2.1 Tọa độ afin mục tiêu afin 1.2.2 Các m – phẳng afin 1.2.3 Sự phương phẳng afin 1.2.4 Phép biến đổi afin 1.2.5 Tỉ số kép 10 1.2.6 Siêu mặt bậc hai afin An = Pn \ Pn-1 12 1.3 Mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin 13 1.3.1 Mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin 13 1.3.2 Thể afin đường conic A2 13 Chương 15 MƠ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHƠNG GIAN ƠCLIT 15 2.1 Xây dựng mơ hình 15 2.1.1 Cái tuyệt đối không gian xạ ảnh Pn 16 2.2.Một số khái niệm hình học ơclit thể mơ hình 16 2.2.1 Sự vng góc hai đường thẳng 16 2.2.2 Siêu cầu 17 2.2.3 Phép đồng dạng 18 2.3 Mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Ơclit 20 2.3.1 Mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Ơclit 20 2.3.2 Một số thể mơ hình 20 SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Chương 3: BÀI TẬP 23 Dạng 1: Áp dụng mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin vào giải tốn 23 Dạng 2: Áp dụng mơ hình xạ ảnh mặt phẳng Ơlit vào giải toán sơ cấp 35 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội SVTH: Nguyễn Thị Thu HiềnK35G – SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp ĐH Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học xạ ảnh môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành toán trường đại học sư phạm nước Mục đích mơn học cung cấp cho sinh viên nhìn tổng quan hình học mối quan hệ chúng Đồng thời hình học xạ ảnh giúp có phương pháp suy luận, phương pháp giải sáng tạo số toán trường trung học phổ thơng Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải sáng tạo tốn hình học afin hình học ơclit vấn đề bảnvà mục đích, yêu cầu quan trọng dành cho sinh viên học mơn hình học xạ ảnh Nhằm tìm hiểu rõ hình học xạ ảnh đồng thời ứng dụng vào việc giải tốn hình học afin hình học ơclittôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: “Mơ hình xạ ảnh khơng gian afin khơng gian ơclit” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu mơ hình xạ ảnh khơng gian afin khơng gian ơclit Đối tượng nghiên cứu Mơ hình xạ ảnh không gian xạ ảnh An En Mức độ phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan mơ hình xạ ảnh khơng gian afin khơng gian ơclit Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu cách xây dựng mơ hình xạ ảnh khơng gian afin không gian ơclit SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền1K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội  Khóa luận tốt nghiệp ĐH Tìm hiểu số khái niệm hình học afin hình học ơclit thể mơ hình  Tìm hiểu mơ hình xạ ảnh mặt phẳng afin mặt phẳng  Một số tốn chọn lọc áp dụng mơ hình xạ ảnh hình học ơclit A2, E2 SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền2K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH NỘI DUNG Chương I: MƠ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHƠNG GIAN AFIN 1.1.Xây dựng mơ hình Trong Pnchọn siêu phẳngPn-1nào gọi An= Pn\ Pn-1là tập hợp điểm Pn mà không thuộc Pn-1 Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {Ai;E} Pn cho đỉnh A1, A2, , An thuộc Pn-1 đỉnh An+1 không thuộcPn-1 Đối với mục tiêu chọn siêu phẳng Pn-1 có phương trình xn+1=0 Bởi điểm X thuộc An có tọa độ xạ ảnh (x1, x2, , xn+1) xn+1≠0 có tọa độ xạ ảnh không (X1, X2, ,Xn) Xi = Khi có song ánh từ tập An vào Rnbằng cách ta cho điểm thuộc An tương ứng với tọa độ không Gọi Vn khơng gian vectơ n chiều trường số thực R với sở{ , } ta xét ánh xạ: φ : An x AnVn (X,Y)φ(X,Y) = =(Y1 – X1, Y2 – X2, ,Yn – Xn )∕ { } Thì ánh xạ φ thõa mãn tiên đề không gian afin, thật vậy: +)  X An : X= ( X1, X2, , Xn ) =(v1,v2, ,vn)  Vn Khi có điểm Y=(Y1,Y2, ,Yn) vớiY1= X1+ v1; Y2= X2+ v2; ; Yn= Xn+ φ(X,Y) = +)  X, Y,Z An : X= ( X1, X2, , Xn ), Y=(Y1,Y2, ,Yn), Z=( Z1, Z2, , Zn ) Ta có φ(X,Z) = = (Z1 – X1, Z2 – X2, ,Zn – Xn) =(Z1 – Y1, Z2 – Y2, ,Zn – Yn )+ (Y1 – X1, Y2 – X2, ,Yn – Xn ) = + = φ(X,Y)+ φ(Y,Z) SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền3K35G – SP Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Vậy Anđược gọi mơ hình xạ ảnh không gian afin 1.2.Một số khái niệm hình học afin thể mơ hình 1.2.1 Tọa độ afin mục tiêu afin Ta xét mục tiêu xạ ảnh {Ai; E}của không gian xạ ảnh Pn Gọi Ei giaocủa đường thẳng AiAn+1 với E siêu X An+1 phẳngchứa đỉnh Ai lại mục tiêuvà điểm E, Xi Xi giao điểm củađường thẳng Ei với siêu phẳngchứa Ai điểm Ai cịn lại điểm X Hình Ta có tỉ số kép (H.1): (AiAn+1EiXi)= (AiAn+1EiEi)=1 Do điểm Ei có tọa độ xạ ảnh là: Ei =(0, ,0,1,0, ,0,1) (số thứ cột thứ i) Do ta tính tọa độ xạ ảnh điểm E1,E2, ,En là: E1= (1,0, ,0,1) E2= (0,1,0, ,0,1) En= (0, , 1,1) Ta suy tọa độ xạ ảnh không điểm là: E1= (1,0, ,0) E2= (0,1,0, ,0) En= (0, ,0,1) SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền4K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Điểm An+1(0,0, ,0,1) có tọa độ xạ ảnh khơng là: An+1=(0,0, ,0) Do cách đặt tương ứng xây dựng mơ hình ta có: = (1,0, ,0) = = (0,1,0, ,0) = = (0, ,0,1) = Ta nhận thấy vectơ vectơ sở khơng gian vectơ Vn Do ta có thểdùng điểm{An+1; E1,E2, , En} làm mục tiêu afin không gian afin An= Pn\ Pn-1 Mục tiêu afin sinh mục tiêu xạ ảnh {Ai; E} cho Nếu điểm XAn= Pn\ Pn-1có tọa độ xạ ảnh không (X1, X2, , Xn ) vectơ có tọa độ là: = (X1 – , X2 – 0, ,Xn – 0) = (X1, X2, , Xn) Điều chứng tỏ (X1, X2, , Xn) tọa độ afin điểm X mục tiêu afin {An+1; Ei}, i = 1,2, ,n Vậy : Kết luận: Tọa độ xạ ảnh không điểm X thuộc An mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} tọa độ afin điểm X mục tiêu afin {An+1; Ei}, i= 1,2, ,n, mục tiêu afin {An+1; Ei} gọi sinh mục tiêu xạ ảnh {Ai ; E} cho trước Ví dụ: Trong mặt phẳng afin A2 = P2\P1, ta thấy mục tiêu afin {A3; E1,E2} sinh mục tiêu xạ ảnh {A1, A2,A3; E} Trong trường hợp đường thẳngP1 = A1A2 đường thẳng vơ tận có phương trình x3 =0 nên khơng có mặt phẳng mặt afin Các đường thẳng SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền5K35G – SP Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH +) Cách chuyển 2:Chọn ∆ đường thẳng qua MN ta có AB//A’B’, BC//B’C’ Định lí Đơdác trở thành: ∆ ABC &∆ A’B’C’ có AA’, BB’, CC’ đồng quy AB//A’B’, BC//B’C’ CA//C’A’ +) Cách chuyển 3: Chọn ∆ đường thẳng không điểm hình vẽ Định lí Đơdác trở thành: Nếu tam giác ABC tam giác A’B’C’ có A’A, B’B, C’C đồng quy M = AB  A’B’, N = BC B’C’, P = CA  C’A’ thẳng hàng ●Dùng hình học afin để nghiên cứu hình học xạ ảnh Bài 8: Chứng minh định lí Papuýt P2bằng hình học afin Định lí Papt: Cho ba điểm phân biệt A, B, C nằm đường thẳng d ba điểm phân biệt A’, B’, C’ nằm đường thẳng d’ Nếu ta gọi P=AB’ BA’, M=AC’CA’, N=BC’CB’thì ba điểm M, N, P thẳng hàng A C B M P N I B’ C’ A’ Chuyển toán afin: +) Chọn ∆ đường MN xét A2 =P2\ MN +) Khi ta xét A2 BC’// CB’ AC’//CA định lí Papt trở thành định lí sau: SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền29K35G – SP Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH +) Cho điểm phân biệt A, B,C, A’, B’, C’ Trong A,B,C thuộc đường thẳng d, A’, B’, C’ thuộc đường thẳng d’ Nếu BC’//CB’, AC’//CA’ AB’//BA’ Chứng minh: +)Trường hợp 1: d d’= I Ta có: BC’// CB’  Hay = A (2) C = CA’//AC’  = (4) Từ (1),(3)  C’ A’ I =  =  Từ (2), (4)  - B = (3) = Do = (1) = Hay = = ( - ) hay =  Mà A,B,A’, B’ phân biệt nên AB’//A’B (đpcm) +) Trường hợp 2: d//d’ Từ giả thiết BC’//B’C d//d’ BC = C’B’  = Tương tự Nên + = = + hay = Mà A,B,A’,B’ phân biệt nên AB’//A’B C B A’ hay (đpcm) A C’ SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền30K35G – SP Tốn B’ = B’ Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Vậy định lí Papuýt chứng minh A2  Định lí Pa puýt chứng minh P2 Bài 9: Chứng minh định lí Mênêlat định lí Xêva P2 hình học afin ● Định lí Mênêlauýt: Trong P2 cho ba điểm không thẳng hàng A1, A2, A3 đường thẳng d khơng qua điểm cắt đường thẳng A2A3, A3A1, A1A2 tương ứng K1, K2, K3 Gọi L1, L2, L3 điểm tương ứng đường thẳng A2A3, A3A1, A1A2 (khác A1, A2, A3) Điều kiện cần đủ để3 điểm L1,L2,L3 thẳng hàng :[A2A3K1L1][A3A1K2L2][A1A2K3L3]= K1 Chuyển toán afin: +) Ta chọn d đường thẳng vô tậnvà xét A2= P2\d +) Lúc A2 K1, K2, K3 điểm vơ tận ta có: SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền31K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH [A2A3K1L1]= [A3A1K2L2]= [A1A2K3L3]= = = = Định lí Mênêlat hình học sơ cấp phát biểu lại sau: +) Định lí: Cho tam giác ABC điểm M, N, P thuộc cạnh BC, CA, AB Ba điểm M, N, P thẳng hàng =1 Chứng minh:  Điều kiện cần: ∆ ABC, MBC, N NCA, PAB M, N, P thẳng hàng Chứng minh: =1  = = P M Từ A kẻ AQ// BC, Q MN ta có  Q A C B = = =1 (đpcm)  Điều kiện đủ: ∆ ABC, MBC, NCA, PAB Cmr M, N, P thẳng hàng Giả sử PN BC= M’, theo định lí Mênêlauýt phần thuận ta có: =1 Theo giả thiết phần đảo ta có =1 SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền32K35G – SP Tốn =1 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH  M’ M hay M, N, P thẳng hàng Vậy định lí chứng minh A2  Định lí Mênêlauýt chứng minh P2 ● Định lí Xêva: Trong P2 cho ba điểm khơng thẳng hàng A1, A2, A3 đường thẳng d khơng qua điểm cắt đường thẳng A2A3, A3A1, A1A2 tương ứng K1, K2, K3 Gọi L1, L2, L3 điểm tương ứng đường thẳng A2A3, A3A1, A1A2 (khác A1, A2, A3) Điều kiện cần đủ để đường thẳng A1L1, A2L2, A3L3 đồng quy là: [A2A3K1L1][A3A1K2L2][A1A2K3L3]= - Chuyển toán afin +) Ta chọn d đường thẳng vô tận L1 xét A2 = P2\ d A3 K +) Lúc A2 K1, K2, K3là điểm vơ tận ta có: [A2A3K1L1]= [A3A1K2L2]= [A1A2K3L3]= = = K2 L2 = A2 A1 K3 L3 Định lí Xêva hình học sơ cấp phát biểu sau: +) Định lí: Cho tam giác ABC, ba điểm E, F, G thuộc cạnh BC, CA, AB Khi đường thẳng AE, BF, CG đồng quy khi: =-1 Chứng minh : Ta chứng minh định lí phương pháp đại số: +) Điều kiện cần:Cho tam giác ABC, EBC, FCA, GAB AE, BF, CG đồng qui SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền33K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH =-1 Chứng minh Giả sử AE, BF, CG đồng qui O Áp dụng định lí Mênêlauýt cho tam giác BEA với điểm O, G, C A G thẳng hàng tam giác CEAvới F điểm B, O, F thẳng hàng =1 (1) (2) =1 O B Nhân hai vế (1) (2) ta được: C E =1 = - (đpcm)  +) Điều kiện đủ: Cho tam giác ABC, EBC, FCA, GAB = - Chứng minh AE, BF, CG đồng qui Gọi O= BF  CG ta có AO  BC giả sử AO//BC, áp dụng định lí Talét ta có: (4) (3) Nhân vế (3) (4) ta = =-1 = - ta có Thay (5) vào =1 BC Mâu thuẫn với B≠ C nên AOBC=E’BC Áp dụng điều kiện cần với AE’, BF, CG đồng quy ta có =-1 SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền34K35G – SP Toán (5) Trường ĐHSP Hà Nội Mà =-1  Khóa luận tốt nghiệp ĐH =  E’  E Vậy AE, BF, CG đồng qui O (đpcm) Vậy định lí Xêva chứng minh A2  Định lí Xêva chứng minh P2 Dạng 2: Áp dụng mô hình xạ ảnh mặt phẳng Ơlit vào giải tốn sơ cấp ● Dùng hình học xạ ảnh để nghiên cứu hình học Ơclit Bài 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a b điểm A thuộc a, điểm D không thuộc a, b , đường thẳng biến thiên qua D, cắt a M cắt b N Tìm quỹ tích đường thẳng qua M thẳng góc với AN Chứng minh: Gọi ∆ đương thẳng vô tận I, J hai điểm xyclic A D không thuộc ∆, a b không trùng với ∆ Đặt P=AN ∆ Đường thẳng qua M, thẳng góc với AN, thể đường thẳng xạ ảnh qua M, cắt ∆ điểm Q thỏa mãn [PQIJ]= - Tìm quỹ tích đường thẳng MQ sau: có ánh xạ f: a∆ biến M thành Q theo quy tắc: cho Ma, nối MD cắt b N, nối NA cắt ∆ P, lấy Q∆ cho [PQIJ]= -1, đặt f(M)= Q Dễ dàng thấy f ánh xạ xạ ảnh tích f=k◦h◦g; : g: M  N phép chiếu xuyên tâm h: N  P phép chiếu xuyên tâm k: P Q biến đổi xạ ảnh đối hợp ∆ nhận I, J làm hai điểm bất động Đặt E = a ∆, B = ED  b, H = AB∆ Khi f(E) = E  [HEIJ] = -1 SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền35K35G – SP Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Vậy [HEIJ] = -1 f phép chiếu xuyên tâm quỹ tích đường thẳng MQ chùm đường thẳng có tâm tâm chiếu Nếu [HEIJ] ≠ -1 theo định lí Steiner đối ngẫu, quỹ tích đường thẳng MQ hình bao ngoại tiếp đường ôvan tiếp xúc với A ∆  Ta có lời giải tốn Ơclit sau : ● Nếu đường thẳng qua D, song song với a, cắt b điểm B mà AB  a đường thẳng qua M vng góc với AN lập thành chùm ● Nếu đường thẳng qua D, song song với a, không cắt b hay cắt b điểm  AB khơng vng góc với a quỹ tích đường thẳng qua M vng góc với AN tập tiếp tuyến parabol mà a làm tiếp tuyến cho trước P ● I Q ● ● E ● a b J ● ● (∆) ● M A ● ● N ● D Bài 2: Chứng minh quỹ tích chân đường vng góc hạ từ tiêu điểm parabol đến tiếp tuyến thay đổi parabol tiếp tuyến đỉnh parabol Chứng minh: Gọi ∆ đường thẳng vô tận I, J hai điểm xyclic Parabol (G) thể đường ôvan tiếp xúc với ∆ P Gọi Q điểm ∆ cho [PQIJ]= -1; tiếp tuyến xuất phát từ Q đến (G) (mà khác ∆) tiếp tuyến đỉnh A parabol Hai tiếp tuyến xuất phát từ I, J cắt điểm F F tiêu điểm parabol SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền36K35G – SP Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Ta cần chứng minh QA thể quỹ tích chân đường vng góc hạ từ tiêu điểm đến tiếp tuyến biến thiên parabol Lấy điểm M QA mà M≠ Q , tiếp tuyến (m) xuất phát từ M (mà khác với QA) cắt ∆ N Khi tiếp tuyến biến thiên ta có ánh xạ xạ ảnh f: hg{QA}  hg {∆}, MN (theo định lí Steiner) Do đặt N’ = FM∆ có biến đổi xạ ảnh g: ∆∆, NN’ Dễ thấy g(Q) = P Vì [QPIJ]= -1 nên [NN’IJ]=-1 Điều có nghĩa mặt phẳng Ơclit M chân đường vng góc hạ từ tiêu điểm M đến tiếp tuyến (m) parabol Ngược lại, giả sử M điểm mà tiếp tuyến từ M cắt ∆ N,đường thẳng FM cắt ∆ N’, thỏa mãn [NN’IJ]=-1 Đặt NMQA=M1, N1’=FM1∆ Theo phần thuận ta có [NN1’IJ]= -1 Do N’1N’ Suy M1M Vậy M nằm QA Điều có nghĩa Ơclit M chân đường vng góc hạ từ tiêu điểm đến tiếp tuyến parabol M phải nằm tiếp tuyến đỉnh củaparabol Q ● I ● N’ ● N P ● ● J ● (∆) m M ● ● A● ● F Bài 3: Chứng minh từ điểm M đường chuẩn (d) ứng với tiêu điểm F đường cônic(G) ta dựng tiếp SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền37K35G – SP Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH tuyến MT (G) với T tiêu điểm F nhìn đoạn [MT] góc vng Chứng minh: Đường thẳng vô tận ∆, hai điểm xyclic I, J Cônic (G) đường ôvan Tiêu điểm F giao hai tiếp tuyến IA, JB với A, B hai tiếp điểm Đường chuẩn ứng với F AB Giả sử M điểm thực thuộc AB mà M ∆ Xét tiếp tuyến MT với (G) (tại tiếp điểm T) Đặt m= FT∆ Rõ ràng M cực FT FT liên hợp với (G) Do [mtIJ]= -1 Điều có nghĩa Ơclit F nhìn [MT] góc vng (∆) I ● m ● T ● M A t ● J ● ● (G) ● ● B ● F Bài 4:Cho hai hypebol vuông cắt bốn điểm A, B, C, D Chứng minh đường bậc hai suy biến qua A, B, C, D cặp đường thẳng vng góc, đường conic qua A, B, C, D hypebol vng elip khơng trịn Chứng minh: Gọi ∆ đường thẳng vô tận I, J hai điểm xyclic.Bốnđiểm A, B, C, D nằm ∆ tạo thành hình bốn đỉnh Đường bậc hai Ơclit qua A, B, C, D thể đường bậc hai xạ ảnh (G) qua A, B, C, D Theo định lí Desargues thứ hai, giả sử (G) cắt ∆ hai điểm P, Q có biến đổi đối hợp f: ∆∆, PQ SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền38K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Có hai đường hypebol vuông (G1), (G2) qua A, B, C, D có hai cặpđiểm (P1, Q1), (P2, Q2) thỏa mãn [P1Q1IJ]=-1, [P2Q2IJ]=-1 Do với cặp giao điểm (P,Q) ta có [PQIJJ]=-1 Nếu (G) đường ơvan (P, Q) thực (G) thể hypebol vuông Nếu (G) đường ôvan (P, Q) ảo liên hợp (G) thể elip mà khơng phải đường trịn Nếu G suy biến thành cặp đường thẳng (đi qua A, B, C, D) (G) thể cặp đường thẳng Ơclit vng góc (đi qua A, B, C, D) Bài 5: Cho đường tròn (G), dây cung [AB], trung điểm H [AB] hai dây cung [CD], [EF] qua H Đặt P=CEAB, Q=DFAB, R=CFAB, T=DEAB Chứng minh H trung điểm [PQ] [RT] Chứng minh: Gọi ∆ đường thẳng vô tận I, J hai điểm xyclic Đường tròn (G) thể đường ôvan qua I, J Các điểm A, B, H nằm bên ∆ đặt K = AB∆ [ABHK]= -1 Áp dụng định lí Desargues thứ hai vào chùm đường bậc hai qua C, D, E, F ( cụ thể (G) đường bậc hai suy biến) (CE, FD) (CF, DE) với cát tuyến AB, ta có biến đổi xạ ảnh đối hợp f: hg{AB}hg{AB} mà f(A) = B, f(P) = Q, f(R) = T, f(H) = H Vì [ABHK] =-1, f(H) = H nên f(K) = K Do [ PQHK ] = -1, [BTHK]=-1 Vì K điểm vơ tận AB nên điều có nghĩa Ơclit H trung điểm [PQ] [RT] K ● C ● A ● R ● E ● M ● ●● T B ● ● Q ● D I ● F ● P ● J (∆) SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền39K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH Bài 6: Cho đường tròn (G)và tiếp tuyến (d) điểm T Lấy hai điểm phân biệt A, B thuộc (d) đối xứng với qua T, đường thẳng qua A cắt (G) hai điểm P, Q đường thẳng qua B cắt (G) hai điểm V, W Đặt M=dPV, = d QW, N = d  PW, = d  QV Chứng minh T trung điểm đoạn [ M ], [ N ] Chứng minh: Đường thẳng vô tận ∆, hai điểm xyclic I, J Đường tròn đường ôvan (G) qua I, J tiếp xúc với (d) T Đặt S= (d)∆ [ABTS]=-1 Áp dụng định lí Desargues thứ hai vào bốn đường bậc hai qua P, Q, V, W (G), (PQ, VW), (PV, QW), (PW, QV) với đường thẳng (d) ta có biến đổi xạ ảnh đối hợp f , f(N)= đường thẳng (d) mà f(A) = B, f(M) = [ABTS] =-1 nên f(S) = S Do [ M TS] = -1,[ N , f(T) = T Vì TS]=-1 Vì S điểm vơ tận (d) nên điều có nghĩa Ơclit T trung điểm đoạn [ M ] [N ] ( G) (∆) V ● ● J Q ● ● I P● ● N ● S ● ● ● M A ● W ● T SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền40K35G – SP Toán ● B ● (d) Trường ĐHSP Hà Nội ●Dùng Khóa luận tốt nghiệp ĐH hình học Ơclit để nghiên cứu hình học xạ ảnh Bài 7: Trong P2 cho hai điểm A, B nằm ∆, hai điểm I, J ∈∆ Với M thuộc ∆ xét N cho (IJMN) = -1 Tìm tập hợp điểm K với K = AM⋂BN K B  A   I  M  J  N (∆) Chứng minh: Chuyển toán ơclit: Chọn ∆ đường thẳng vô tận với hai điểm xyclic I, J Ta có AM ⋂ BN = K ⇒ KA  KB Nên quỹ tích K đường trịn đường kính AB Vậy quỹ tích điểm K tốn xạ ảnh ban đầu đường ơvan qua A, B, I, J SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền41K35G – SP Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH KẾT LUẬN Trong khóa luận em đưa nội dung liên quan đến mô hình xạ ảnh khơng gian Afin khơng gian Ơclit Nội dung khóa luận bao gồm: Mơ hình xạ ảnh khơng gian Afin Mơ hình xạ ảnh khơng gian Ơclit Bài tập ứng dụng Qua khóa luận thân em lĩnh hội thêm tri thức mơn hình học xạ ảnh, việc nghiên cứu sâu “ Mơ hình xạ ảnh khơng gian afin khơng gian Ơclit” góp phần bổ sung thêm vào kết quan trọng mơn hình học xạ ảnh, mơn có tầm quan trọng tốn học Tuy nhiên thời gian thực không nhiều kiến thức cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót, em mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hồn thiện Cuối em xin chân thành cám ơn thầy khoa tốn trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em suốt q trình hồn thành khóa luận, đặc biệt giúp đỡ bảo tận tình thầy Đinh Văn Thủy giúp em hồn thành khóa luận SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền42K35G – SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp ĐH TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương (2006), “Hình học xạ ảnh”, nhà xuất Đại học Sư Phạm Hà Nội Phạm Đình Đơ (2002), “ Bài tập hình học xạ ảnh”, nhà xuất Đại học Sư Phạm Hà Nội Nguyễn Mộng Hy ( 2009), “ Hình học cao cấp”, nhà xuất giáo dục Việt Nam SVTH: Nguyễn Thị Thu Hiền43K35G – SP Toán ... Mơ hình xạ ảnh khơng gian xạ ảnh An En Mức độ phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan mơ hình xạ ảnh không gian afin không gian ơclit Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu cách xây dựng mơ hình xạ ảnh không. .. hình học afin hình học ơclittơi chọn đề tài nghiên cứu khoa học là: “Mơ hình xạ ảnh khơng gian afin khơng gian ơclit? ?? Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu mơ hình xạ ảnh khơng gian afin không gian ơclit. .. Khóa luận tốt nghiệp ĐH KẾT LUẬN Trong khóa luận em đưa nội dung liên quan đến mơ hình xạ ảnh khơng gian Afin khơng gian Ơclit Nội dung khóa luận bao gồm: Mơ hình xạ ảnh khơng gian Afin Mơ hình xạ