Luận văn sư phạm Không gian Afin - ơclit 4 chiều

                                                                         LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Đinh Văn Thủy, các thầy cơ  trong tổ Hình học – Khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cùng  các bạn sinh viên khoa Tốn đã nhiệt tình giúp đỡ em hồn thành khóa  luận tốt nghiệp của mình.  Khóa luận khơng  thể tránh khỏi những thiếu  sót, em rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của các thầy cơ, cùng các  bạn sinh viên để khóa luận thực sự hồn chỉnh, có ý nghĩa trong học tập  và nghiên cứu Hình học và thực tiễn.  Tơi mong Khóa luận này sẽ giúp đỡ một cách thiết thực cho các  độc giả và xin chân thành cảm ơn những góp ý của các bạn về các thiếu  sót.  Em xin chân thành cảm ơn!    Hà Nội, ngày tháng năm Sinh viên thực hiện      Vi Thị Thảo                                                                              LỜI CAM ĐOAN Đề cương khóa luận của tơi với chủ để: “KHƠNG GIAN AFIN –  ƠCLIT BỐN CHIỀU” đã được thực hiện và hồn thành tại Trường Đại  học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy Đinh Văn Thủy, các  thầy  cơ  trong  tổ  Hình  học,  các  bạn  sinh  viên  khoa  Tốn.  Tơi  xin  cam  đoan Khóa luận của tơi khơng trùng lặp hoặc sao chép của bất kì ai.  Nếu sai, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm.    Hà Nội, ngày tháng năm Sinh viên thực hiện        Vi Thị Thảo                                                                                              MỤC LỤC  Trang  MỞ ĐẦU    1  1. Lý do chọn đề tài   1  2. Mục đích nghiên cứu của đề tài   1  3. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài  . 1  4. Phương pháp nghiên cứu   2  5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu   2  6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn   2  NỘI DUNG   3   Chương 1: Cơ sở lý luận  . 3    1.1. Không gian afin   3    1.2. m-phẳng   3    1.3. Siêu mặt bậc hai   4    1.4. Không gian Ơclit   5  Chương 2: Không gian Ơclit 4 chiều   6  2.1. Định nghĩa   6  2.2. Mục tiêu trực chuẩn- tọa độ trực chuẩn  . 6  2.3. Các phẳng trong không gian Ơclit E4    7  Chương 3: Siêu mặt bậc 2 trong E4   .34  3.1. Định nghĩa  34  3.2. Dạng chính tắc  siêu mặt bậc 2 trong En   .34  3.3. Phương trình và siêu phẳng kính chính  .37  3.4. Siêu cầu siêu phẳng đẳng phương  .42  KẾT LUẬN  49  TÀI LIỆU THAM KHẢO  50                                                                           MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta đã được học về không gian afin-ơclit 2 chiều và 3 chiều  trong  trường  trung  học  phổ  thông.  Và  lên  đại  học,  ta  lại  tiếp  tục  được  nghiên cứu về khơng gian afin-ơclit n chiều. Một vấn đề nảy sinh trong  tơi là các khơng gian với n > 3, chẳng hạn n = 4 có điều gì giống và khác  so với khơng gian 2 và 3 chiều? Do đó, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo  Đinh Văn Thủy tơi đã chọn: “Khơng gian afin - Ơclit 4 chiều” làm đề tài  khóa luận tốt nghiệp của mình. Đây là một đề tài mới, chắc chắn khơng  tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tơi rất mong nhận được nhưng ý kiến  đóng góp của q thầy cơ và các bạn sinh viên để đề tài này được hồn  thiện hơn.  Mục đích nghiên cứu đề tài  -  Đề  tài khóa luận nghiên cứ những đặc trưng cơ bản của khơng  gian afin –  Ơclit bốn chiều:  các khái niệm cơ  bản của  các phẳng  trong  không gian afin – Ơclit bốn chiều.  -  Xây  dựng  hệ  thống  bài  tập  trong  không  gian  afin  –  Ơclit  bốn  chiều.  Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài -  Nghiên  cứu  lý  thuyết  của không gian  afin  –  Ơclit  trong  trường  hợp tổng quát, áp dụng với n = 4.  -  Chỉ  ra  dạng  của  các  phẳng  trong  không  gian  afin  -  Ơclit  bốn  chiều.  -  Nghiên  cứu  các  tính  chất  của  các  phẳng  trong  khơng  gian  afin  oclit 4 chiều, m – phẳng trong khơng gian afin - Ơclit bốn chiều.  - Xây dựng hệ thống bài tập của không gian afin - Ơclit bốn chiều.                                                                             Phương pháp nghiên cứu  - Phương pháp đọc sách.  Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Không gian afin – ơclit 4 chiều Ý nghĩa lý luận thực tiễn Khóa  luận nghiên  cứu và thể hiện cụ thể khơng gian  afin  -  Ơclit  bốn chiều và các tính chất của nó, bổ sung thêm các hiểu biết về khơng  gian  afin  –  Ơclit  4  chiều,  so  sánh  với  không  gian  afin  –  Ơclit  hai,  ba  chiều đã biết. Từ đó ta hiểu sâu sắc hơn về hình học nhiều chiều.                                                                               NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khơng gian afin Định nghĩa: cho tập hợp A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi  là điểm. Cho V là một khơng gian vectơ trên trường K và cho ánh xạ F:   A  A  V  được  kí  hiệu  là  F(M,N)= MN   với  các  điểm  M,N  thuộc  A  và   vectơ  MN  thuộc V.  Bộ ba (A,F,V) gọi là không gian afin nếu 2 tiên đề sau được thỏa  mãn:   i)Với mọi điểm  M thuộc A và mọi vectơ  u  thuộc V có duy nhất    điểm N  A sao cho:  MN = u      ii)Với mọi ba điểm M,N,P thuộc A ta ln có:  MN  NP  MP   Khi đó ta nói rằng khơng gian afin (A,F,V) liên kết với khơng gian vectơ  V trên trường K và được gọi tắt là khơng gian afin A trên trường K.  Khơng gian afin A gọi là n chiều nếu dim V = n. KH: dim A = n hay An   1.2 m-phẳng  Cho khơng gian afin A liên kết với khơng gian vectơ Ơclit  A  Gọi    I là một điểm của A và    là một khơng gian con của  A  Khi đó tập hợp    những điểm M  A sao cho  IM      được gọi là cái phẳng Ơclit  đi   qua I và có phương là        = {M  E | IM      } được gọi là cái phẳng (gọi tắt là “phẳng”)   qua I và có phương là      Nếu    có số chiều bằng m thì  gọi là phẳng m chiều hay cịn gọi  là m- phẳng.                                                                               Như vậy: 0- phẳng chính là một điểm  1- phẳng là đường thẳng  2- phẳng là mặt phẳng  (n-1)- phẳng là siêu phẳng  1.3 Siêu mặt bậc hai Trong An tập các điểm thỏa mãn phương trình:   4 i , j 1 i 1  aij xi x j  2 xi  a0  (*) với aij = aji; i,j= 1,  aij > 0  được gọi là siêu mặt bậc hai.  - Tâm:  Cho (S) là siêu mặt bậc hai , gọi I là tâm của (S) nên chọn  I làm gốc tọa độ thì phương trình của (S) có dạng: xtAx+a0=0  M(S) thì M’ đối xứng M qua gốc tọa độ cũng thuộc (S) hay I  là tâm đối xứng của (S).  +) I là tâm của (S) có phương trình (*) khi và chỉ khi tọa độ I là  nghiệm của hệ phương trình:   Ax + a = 0    với A = (aij) ; a = (ai)  - Phương tiệm cận-đường tiệm cận  Phương  tiệm  cận:  vectơ  c  (c1 , c2 , , cn ) gọi  là  phương  tiệm  cận    của siêu mặt bậc hai (S) với phương trình (*) nếu  c  và  ct Ac    Đối với siêu mặt bậc hai có tâm duy nhất, một đường thẳng đi qua  tâm gọi là đường tiệm cận của siêu mặt bậc hai đó nếu phương của nó là  phương tiệm cận và nó khơng cắt siêu mặt bậc hai.  - Điểm kì dị: Nếu I là tâm của (S) và I(S) thì I được gọi là điểm  kì dị  Ax  a  I là điểm kì dị tọa độ là nghiệm   t a x  a0    -  Tiếp tuyến: đường  thẳng d(S) hoặc  d(S)  tại hai điểm  trùng  nhau thì được gọi là tiếp tuyến của (S).                                                                             -  Siêu tiếp diện: Nếu B thuộc (S) và B là điểm khơng kì dị thì các  tiếp tuyến tại B của (S) tạo thành một siêu phẳng. Siêu phẳng này gọi là  siêu tiếp diện của (S) tại điểm B.  1.4 Khơng gian Ơclit Khơng gian Ơclit  là một  loại  khơng  gian afin  liên  kết  với khơng  gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều. Kí hiệu: E  Khơng gian vectơ Ơclit liên kết với nó được ký hiệu là VE hoặc  E                                                                                                          Chương KHÔNG GIAN ƠCLIT CHIỀU 2.1 Định nghĩa: Không  gian  Ơclit  4  chiều  là  một  không  gian  afin  liên  kết  với   khơng gian vectơ Ơclit 4 chiều. Kí hiệu : E4 và  E  là nền của nó.  2.2 Mục tiêu trực chuẩn – Tọa độ trực chuẩn.  a) Mục tiêu trực chuẩn     Mục tiêu afin ( 0, e1 , e2 , e3 , e4 ) của không gian Ơclit 4 chiều E4 được      gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu cơ sở ( e1 , e2 , e3 , e4 ) của không gian vectơ  Ơclit 4 chiều là cơ sở trực chuẩn. Tức là:    Khi i ≠ j  Khi i = j  ei   e j  = ij =  0   1 b) Tọa độ trực chuẩn Tọa độ của một điểm thuộc E4 đối với một mục tiêu trực chuẩn gọi  là tọa độ trực chuẩn của điểm đó đối với mục tiêu đã cho.  c) Khoảng cách điểm Cho  2  điểm  M,  N  của  khơng  gian  Ơclit E4.  Khoảng  cách giữa  2  điểm đó:    d(M, N) =  MN  =  MN   Chú ý: a) d(M, N) = d(N, M).  b, d(M, N) ≥ 0 và d(M, N) = 0  M  N  c) d(M, N) + d(N, P) ≥ d(M, P) với  3 điểm bất kỳ M, N, P.  d) Nếu M, N, P là 3 điểm phân biệt thì điểm N thuộc đoạn thẳng  MP                                                                              (M, N) + d(N, P) = d(M, P).  e) M(x1,x2,x3,x4), N(y1,y2,y3,y4)  E4  d(M, N) =  (y  x ) i i   i 1 2.3 Các phẳng không gian Ơclit E4 2.3.1 Định nghĩa   Gọi I là một điểm của E4 và    là một không gian con của  E 4. Khi    đó tập hợp những điểm M  A sao cho  IM      được gọi là cái phẳng   Ơclit  đi qua I và có phương là        = {M  E | IM      }   được gọi là cái phẳng (gọi tắt là “phẳng”) qua I và có phương là      Nếu    có số chiều bằng m thì  gọi là phẳng m chiều hay cịn gọi  là m- phẳng  Như vậy trong khơng gian ơclit 4 chiều có:   + 0- phẳng chính là một điểm  + 1- phẳng là đường thẳng  + 2- phẳng là mặt phẳng  + 3- phẳng là siêu phẳng  2.3.2 Phương trình tham số phẳng E4  Cho mục tiêu R = {0, ei }14  và m-phẳng  = (I, W)      Tọa độ I ( b1', b2' , b3' , b4' ) / R và giả sử { a1 ,  a ,  a ,  a } là cơ sở trên W       Khi đó:  a i  =  a1i e1  +  a2i e2  +  a3i e3  +  a4i e4    M = (x1, x2, x3, x4)     IM   W                                                                              x12 x22 x32 x42     0  a1 a2 a3 a4  x12 x22 x32 x42      0  a1 a2 a3 a4 5). Siêu mặt bậc 2 có phương trình dạng III với r = 3 và các hệ số  i ,  i  =  1,  2,  3  cùng  dấu  thì  được  gọi  là  siêu  mặt  paraboloid  eliptic  có  phương trình:  x12 x22 x32    px4   a12 a22 a32 6) Siêu mặt bậc 2 có phương trình dạng III với r = 3 và các hệ số  i , i = 1, 2, 3 khác dấu thì được gọi là siêu mặt paraboloid hypeboloic  có phương trình:  x12 x22 x32    px4   a12 a22 a32 7) Các siêu mặt bậc hai với r  3:  x12 x22 x32 x12 x22 x32                                         a12 a22 a32 a1 a2 a3 x12 x22 x32 x12 x22 x32                                        a12 a22 a32 a1 a2 a3 x12 x22 x32 x12 x22 x32                                        a12 a22 a32 a1 a2 a3 x12 x22 x12 x22   px3                                     px3   a12 a22 a1 a2 x12 x22 x12 x22                                               a12 a22 a1 a2 x12 x22 x12 x22                                               a1 a2 a1 a2   36                                                                          x12 x22                                       a12 a22 x12  px2   a12 x12  1                                             a12 x12  1  a1 x12 0  a12 3.3 Phương siêu phẳng kính     Trong E với mục tiêu trực chuẩn  {0, e1 ,e2 , e3 , e4 }  cho siêu mặt bậc 2  S có phương trình:   x  A  x    a   x   b    t t  Mỗi vectơ riêng  c  của ma trận A xác định một phương (Không    gian con một chiều ( c ) sinh bởi  c gọi là một phương chính của S. Cho   ( c )  là  một  phương  chính  khơng  phải  là  phương  tiệm  cận,  khi  đó  siêu   phẳng kính của S liên hợp với phương ( c )  gọi là một siêu phẳng kính  chính của S.  Nhận xét:   Phương chính ( c ) khơng phải là phương tiệm cận của S khi và   chỉ khi giá trị riêng  ứng với vectơ  c  là khác 0.   Từ nhận  xét trên  ta suy ra phép đối  xứng qua  siêu phẳng kính  chính sẽ biến S thành chính nó.  Định lý 2: Phương trình của siêu mặt bậc 2 (S) đối với mục tiêu      trực chuẩn  {0, e1 ,e2 , e3 , e4 }  có dạng:  b x i 1 i i  + 2  a x  + b = 0  i 1 i i       (3.7)  Khi và chỉ khi các vectơ  {e1 ,e2 , e3 , e4 }  là phương chính của (S).    37                                                                          Bài tập:  Bài 1: Xác định tâm và phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai:  a)  x12  2x 22  10 x32  x42  2x1 x2  6x x3  8x  10    b)  4x12  2x 22  3x32  x42  - 4x1 x2  2x x3  4x1 x4  2x x4  2x1  x  x  15    Giải:  1  1 a) Ta có: A =   0 0  3 10 0 0  0 0   0    và   a      0    4 4  x1  x2   x1     x 0  x1  x2  3x    Tâm thỏa mãn Ax + a=0      3x2  10x   x3   4 x4    x4    +  Phương  tiệm  cận:  Gọi  c  (c1 , c2 , c3 , c4 ) là  phương  tiệm  cận  của  siêu mặt bậc hai thỏa mãn:  c  c  c  c  c12  c22  c32  c42      12 2 24  t c Ac  c1  2c2  10c3  4c4  2c1c2  6c2c3     2 b) Ta có:    A =       1   2     1  2          a =   0  0  1 1     2 Tâm có tọa độ thỏa mãn   Ax +  a = 0   x1  x2  2x     2 x1  x2  x  x4   4 x1  x4       x2    x2  3x    x3    2x1  x2  x4       38                                                                           Phương tiệm cận: Gọi  c  (c1 , c2 , c3 , c4 ) là phương tiệm cận của siêu  mặt bậc hai và nó  thỏa mãn:    c12  c22  c32  c42  c12  c22  c32  c42      t  2 2  4c1  2c2  3c3  c4  4c1c2  4c1c4  2c2c4  2c2c3  c Ac  Bài 2: Chứng tỏ siêu mặt bậc hai sau là siêu nón:  x12  x 22  x42  2x1 x4  2x1  6x  2x  10    Giải:  x12  x 22  x42  2x1 x4  2x1  6x  2x  10     x12  x 22  x42  2x1 ( x4 1)  6x  2x  10     (x1  x4  1)2  ( x4  1)2  x 22  x42  6x  2x  10     (x1  x4  1)2  x42  2x   x 22  x42  6x  2x  10     (x1  x4 1)2  x 22  6x      (x1  x4  1)2  ( x2  3)2    Đặt :  X= (x1  x4 1) ; Y= x2            (*)  Khi đó (*) trở thành:   X  Y    Vậy đây là phương trình của siêu nón cần chứng minh.  Bài 3: Tìm dạng chính tắc của siêu mặt bậc hai ơclit:    2x12  2x 22  x32  x42  4x1 x2  2x1x4  2x x3  4x x4      (1)  Giải:    2 Ta có :     A =        2 1  0 2  2                                       39                                                                          Ta xét đa thức đặc trưng:  A   I  =  2 2 2 2 1 0 1 2 2 2 2 2 = (2   ) 1 2 2   2 2  +  2   2 2 2   2 -  2 =  (2   )      5(2   )    2(2   )2    3  (2   )2      = (2   )4 10(2   )    Cho  A   I   (2   )4  10(2   )2     (1)  Đặt: t =  (2   )2  (t > 0)  Khi đó (1) trở thành:  t 10t     Phương trình có hai nghiệm:    t1   (2   )2   1  3; 2     t2   (2   )   3  1; 4  *Với  1   có vectơ riêng xác định bởi:   x1  2x  x4   2x1  x2  x3   x2  x3  2x  x  2x  x  0  x1   x4 x  x 0       0  x3   x4  x4  R 0  Vậy vectơ riêng ứng với  1   là  v1  (1,1, 1,1)   * Với  2   có vectơ riêng xác định bởi:   x1  2x  x4  2x1  x2  x3   x2  x3  2x  x  2x  x    40 0  x1  x4 x  x 0       0  x3  x4  x4  R 0 2   2                                                                           Vậy vectơ riêng ứng với  2   là  v2  (1,1,1,1)   * Với  3  1  có vectơ riêng xác định bởi:   3x1  2x  x4  2x1  3x2  x3   x2  3x3  2x  x  2x  3x  0  x1   x4 x  x 0       0  x3  x4  x4  R 0  Vậy vectơ riêng ứng với  3  1  là  v3  (1, 1,1,1)   * Với  4   có vectơ riêng xác định bởi:  3x1  2x  x4   2x1  3x2  x3   x2  3x3  2x  x  2x  3x  0  x1  x4 x  x 0     x x   0   x4  R 0  Vậy vectơ riêng ứng với  4   là  v4  (1, 1, 1,1)       Chuẩn hóa  v1 , v2 , v3 , v4  ta được:     v1  1 1   v2  1 1  e1      , ,  ,  ;  e2     , , ,  ;   v1  2 2  v2  2 2     v3  1 1   v4  1 1  e3      ,  , ,  ;  e4     ,  ,  ,    v3  2 2  v4  2 2  1  1  2  2    1 1 1   Khi đó ta có ma trận đổi cơ sở sau  C                1  1   2 2  1 1    2 2   41                                                                          1 1    2 2   1 1    C t AC             1   2 2  1 1      2 2  1  1  2  2   2 1  1 1      2     1                 2   1 1      2  2   2 1   1 2  2 3 0 0   0    =           0 1    0 0 5 Dùng phép biến đổi mục tiêu trực chuẩn:    y1    x1  x2  x3  x4   y  x  x  x  x 4  2     y   x  x  x  x     y4   x1  x2  x3  x4   Khi đó  (1) trở  thành:  3x12  x22  x32  5x 24    Đây  là  phương  trình  chính tắc của siêu mặt bậc hai.  3.4 Siêu cầu siêu phẳng đẳng phương 3.4.1 Siêu cầu Định nghĩa: Trong E4 cho điểm I và số thực r sao cho r  0. Tập hợp  C(I, r) = {M  E4| d(I, M) = r}  gọi là một siêu cầu tâm I bán kính r.  Giả  sử  I  có  tọa  độ  (a1,  a2,  a3,  a4)  đối  với  mục  tiêu  trực  chuẩn      {0, e1 ,e2 , e3 , e4 }  của E4. Ta có phương trình của siêu cầu dạng:  (x1 - a1)2 + (x2 - a2)2 + (x3 - a3)2  + (x4 - a4)2 = r2     42   (3.8)                                                                           4 i 1 i 1 i 1 2 Hay:   xi  - 2  xi  +    = r2  Từ  phương trình (3.8)  ta  thấy siêu  cầu  là  một  siêu  mặt bậc 2  khi I    O,  phương trình của siêu cầu C(O; r) có dạng đơn giản:  x12 + x22 + x32  + x42 = r2    Đặt bi  = -ai, i =  1, 2, 3, 4 và b =  a i 1 i   i 1 (3.9)   r  thì (3.8) có dạng:   x  + 2  bi xi  + b = 0    i   i 1     (3.10)  Đảo lại, mỗi phương trình (3.10) xác định một siêu cầu C(I; r) với:  4 i 1 i 1 I(-b1; -b2; -b3; -b4) và r =   bi  b  nếu   bi  b   3.4.2 Miền miền ngồi siêu cầu Định nghĩa: Trong E4 cho siêu cầu C(I; r). Tập hợp các điểm M   E4   sao cho d(I, M)  r gọi là miền ngồi của siêu cầu.  Mệnh đề: Điểm M thuộc miền trong của C(I; r) khi và chỉ khi mọi đường  thẳng chứa M đều cắt C(I; r) tại 2 điểm.  Điểm M thuộc miền ngồi của C(I; r) khi và chỉ khi tồn tại một  đường thẳng chứa M mà khơng cắt C(I; r).  Mọi siêu phẳng đi qua tâm của siêu cầu đều là siêu phẳng kính  chính.  Chứng minh:  Mục tiêu trực chuẩn mà gốc là tâm I. Khi đó phương trình của  siêu cầu có dạng: x12 + x22 + x32  + x42 = r2.    43                                                                          Lấy  điểm  M( x10 , x 02 , x 30 , x 04 )  và  xét  đường  thẳng  l  đi  qua  M  và  có  phương trình tham số:   x1  x10  c1t   x2  x2  c2t     x3  x3  c3t  x  x0  c t 4   Trong đó  c  (c1, c2, c3, c4) là vectơ chỉ phương đơn vị. Giao điểm  của đường thẳng l với siêu cầu C(I; r) (Ứng với tham số t) là nghiệm của  phương trình:  ( x10  c1t )  ( x20  c2t )2  ( x30  c3t )2  ( x40  c4t )2  r   (3.11)  Hay:    t  2(c.IM ).t  d ( I , M )2  r         (3.12)  Từ đó nếu M thuộc miền trong của C(I; r), tức là: d(I,M)