Luận văn sư phạm Không gian xạ ảnh Pn

A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài        Bộ mơn Hình học xạ ảnh là học phần nối tiếp sau học phần Hình học  Afin và hình học Ơclit. Mơn học chủ yếu đề cập đến các tính chất xạ ảnh,  các tính chất bất biến qua các phép biến đổi xạ ảnh với mục đích giúp cho  sinh viên có cái nhìn tổng qt các bài tốn hình học phẳng liên quan đến  tính  đồng  quy,  thẳng  hàng.  Đồng  thời,  Hình  học  xạ  ảnh  giúp  chúng  ta  có  một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài tốn  thuộc chương trình phổ thơng.          Khơng  gian  xạ  ảnh  Pn  nằm  trong  Hình  học  xạ  ảnh  được  học  vào  học  vào học kỳ 1 năm thứ ba của Sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2.  Trong phần này  đã đưa ra những  khái niệm  cơ  bản:  Định  nghĩa  về  khơng  gian xạ ảnh và các mơ hình của nó, phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình của  m – phẳng, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng, tỉ số kép của chùm bốn siêu  phẳng và ngun tắc đối ngẫu trong các khơng gian xạ ảnh. Đây là một nội  dung quan trọng, mở đầu cho việc hình thành những khái niệm về hình học  xạ ảnh và cũng là cơ sở cho việc giải các bài tốn hình học xạ ảnh sau này.        Với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về khơng gian xạ ảnh và các khái niệm  liên quan, được sự gợi ý của thầy hướng dẫn Đinh Văn Thủy, tơi quyết định  nghiên cứu đề tài:  “Khơng gian xạ ảnh Pn” Mục đích nghiên cứu - Định nghĩa khơng gian xạ ảnh và tính chất của khơng gian xạ ảnh.  - Khái niệm về phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình m – phẳng, tỉ số kép của  bốn điểm thẳng hàng và chùm bốn siêu phẳng. Ngun tắc đối ngẫu trong  các khơng gian xạ ảnh.  - Các dạng bài tập liên quan.  Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống các  kiến thức về khơng gian xạ ảnh và việc xây dựng các khái  niệm liên quan.  - Nghiên cứu các bài tập liên quan đến định nghĩa khơng gian xạ ảnh, tính  chất của khơng gian xạ ảnh. Các dạng bài tập về tọa độ xạ ảnh, phẳng, tỉ số  kép và các phát biểu đối ngẫu.  Đối tượng phạm vi nghiên cứu -  Đối  tượng:  các  bài  tốn  liên  quan  đến  khơng  gian  xạ  ảnh  Pn,  phẳng,  hệ  điểm độc lập, tọa độ xạ ảnh, xây dựng các mơ hình của khơng gian xạ ảnh  và các tính chất của chúng. Các dạng bài tốn về tỉ số kép, hàng điểm điều  hịa, chùm siêu phẳng điều hịa.  - Phạm vi nghiên cứu: một số lớp các bài tốn trong hình học xạ ảnh.  Ý nghĩa khoa học thực tiễn      Giúp cho sinh viên có tài liệu tham khảo về việc xây dựng các ví dụ về  khơng gian xạ ảnh và một số tính chất của nó, giúp cho việc học tập mơn  hình học xạ ảnh tốt hơn.  B NỘI DUNG Chương 1: CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 1.1 Khơng gian xạ ảnh phẳng 1.1.1 Định nghĩa      Cho    là  khơng  gian  vectơ  có  > trên trường   Ta kí hiệu  là  tập hợp các khơng gian con một chiều của   Cho   là tập hợp tùy ý.  Nếu có một song ánh:  :  → 〈 ⃗〉     (〈 ⃗〉) =   thì bộ ba ( , ,  ) được gọi là không gian xạ ảnh.  : Không gian vectơ liên kết với không gian xạ ảnh.  Mỗi phần tử của  được gọi là điểm (xạ ảnh).  Vectơ  ⃗ ≠ 0 mà   (〈 ⃗〉) = hiệu là  ⃗.  Do đó, ∀ ⃗ = Nếu  =  được gọi là vectơ đại diện của  , thường kí  ⃗ ( ≠ 0) cũng là vectơ đại diện của    + 1  thì  bộ ba  ( , ,  )  được  gọi  là  khơng gian xạ ảnh chiều. Kí hiệu là         Khơng gian xạ ảnh trên trường số thực  gọi là khơng gian xạ ảnh thực.  Kí hiệu:  ( ).       Khơng gian xạ ảnh trên trường số phức  gọi là khơng gian xạ ảnh phức.  Kí hiệu:  ( ).  1.1.2 Phẳng 1.1.2.1 Định nghĩa    Cho ( , ,  ) là khơng gian xạ ảnh. Gọi  có  > 0.  Khi đó  = Nếu  là khơng gian vectơ con của     được gọi là phẳng xạ ảnh  = + 1 thì   được gọi là   = Như vậy, mỗi điểm của  − phẳng.  \ ⃗∈     là một 0 − phẳng.  − phẳng chính là đường thẳng.  − phẳng chính là mặt phẳng.  ( − 1) − phẳng của   cịn gọi là siêu phẳng.  1.1.2.2 Phẳng tổng, phẳng giao     Cho  Khi đó  ,  là các phẳng xạ ảnh,  ∩ Do  vậy  khi  = ∅   ∩ được gọi là phẳng giao của  = + = 0⃗   ∩ ≠ ∅  thì  ( = 1,2).  = ∩  và    = ∩   cũng  là  phẳng.  Nó    là  phẳng  có  số  chiều  bé  nhất  chứa  cả  phẳng tổng của   và   Kí hiệu là  = Tương tự xây dựng khái niệm:   +   ,   được  gọi  là  + Phẳng giao của một họ phẳng là phẳng lớn nhất nằm trong các phẳng   của họ.   + Phẳng tổng của một họ phẳng là phẳng bé nhất chứa tất cả các phẳng   của họ.  1.1.2.3 Định lý số chiều Định lý: a) b) ∩ ∩ ≠ ∅   = ∅   ( + )= + ( + )= + − dim ( ∩ ).  + 1.  Chứng minh: +  là phẳng có khơng gian con liên kết là  ,   = = ( + )=   a)   ∩ ≠ ∅  ( + b)  ∩    ( )= + ( + )= (  = ∅  + )= − + 1)+( + − ( ∩ +1+ ( + )= +1+ + 1) −[ ( ∩ ) + 1] + 1  + 1.  Phản chứng để có điều ngược lại của a), b).  1.1.3 Hệ điểm độc lập )  ( ∩ ).  + dim ( + )+1 =   ) + + ( + )+1 =(   + 1.1.3.1 Định nghĩa     Cho       Nếu A1 , A2 ,, Am   độc  lập  tuyến     điểm  A1 , A2 ,, Am  trong   tính thì hệ điểm đã cho được gọi là hệ điểm độc lập Ví dụ:       Hệ hai điểm phân biệt độc lập.      A  B  A  k B  , k  A ,  B    độc lập tuyến tính.          Hệ ba điểm khơng thẳng hàng (cùng thuộc một đường thẳng) là độc lập.        C  AB  C   A , B     C  , A , B    độc lập tuyến tính.      1.1.3.2 Định lý Định lý 1: Qua  m  1 điểm độc lập có và duy nhất  m   phẳng.  Chứng minh: } độc lập.  Thật vậy, cho hệ { , … ,  = Ai  ( = 0,  ) là không gian vectơ   = ( = 0,  ) là  − phẳng đi qua   và  Nếu  =  cũng     Ai  ∈ , = 0,    = Ai ⊂   − phẳng đi qua Từ (1) và (2) suy ra =   = +1= + 1 chiều.  , ,…, ∈    (1)  (2)   Định lý được chứng minh.  Định lý 2: Hệ r điểm (r  ≥ 2) là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng  thuộc một (r – 2) – phẳng Chứng minh:      Giả sử  , ,… là r điểm của không gian xạ ảnh  lượt là r vectơ   ⃗,  ⃗, … , Hệ điểm  , có đại diện lần   (r ≥ 2).  ⃗ của    là độc lập khi và chỉ khi các vectơ  mi  độc lập tuyến tính nên  khơng cùng thuộc một khơng gian vectơ con r – 1 chiều của  khi và chỉ khi hệ điểm  , tức là  khơng cùng nằm trên một (r – 2) – phẳng. Định lý  được chứng minh.  1.1.4 Định lý Đờ-dác Định lý:         Trong khơng gian xạ ảnh cho 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ trong đó khơng có  ba điểm nào thẳng hàng. Khi đó, hai mệnh đề sau đây tương đương:  a. Ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.  b.  Giao  điểm  của  các  cặp  đường  thẳng  AB  và  A’B’, BC   và  B’C’, CA   và     C’A’  là ba điểm thẳng hàng.  Chứng minh: (a ⇒ b)  Gọi S = AA ∩ BB ∩ CC S ∈ AA ⇒ S⃗ = λ A⃗ + μ B⃗   Do  các  vectơ  đại  diện  có  thể  sai  khác  thừa  số  khác  0.  Có  thể  coi  rằng:  S⃗ = A⃗ + A′⃗  Tương tự: S⃗ = B⃗ + B′⃗ = C⃗ + C′⃗  B  Suy ra: A⃗ + A′⃗ = B⃗ + B′⃗  ⇒ A⃗ − B⃗ = B′⃗ − A′⃗ = M⃗  A’  M  P  ⇒ M⃗ là vectơ đại diện của  M = AB ∩ AB′       N  B Và B⃗ + B′⃗ = C⃗ + C′⃗  ⇒ B⃗ − C⃗ = C′⃗ − B′⃗ = N⃗                             ⇒ N⃗ là vectơ đại diện của  C  A  C’  S  N = BC ∩ B′C′  ⇒ C⃗ + C′⃗ = A⃗ + A′⃗   ⇒ C⃗ − A⃗ = A′⃗ − C′⃗ = P⃗   ⇒ P⃗ là vectơ đại diện của P = CA ∩ C′A′. Ta có: M⃗ + N⃗ + P⃗ = 0⃗    ⇒ M, N, P thẳng hàng.  (b ⇒ a)  Xét hệ 6 điểm {B, B , M, C, C , P}  Với M = AB ∩ AB , P = AC ∩ A′C′  Do BC, B’C’, MP  đồng quy tại N nên theo chứng minh phần trên ta suy ra:  BC ∩ B′C′, B M ∩ C P, MB ∩ PC thẳng hàng.    AA’, BB’, CC’ đồng quy. Định lý được chứng minh.  1.2 Mơ hình khơng gian xạ ảnh 1.2.1 Mơ hình tắc (mơ hình vectơ):       Cho   là một khơng gian vectơ  + 1 chiều.  = và   là phép đồng  nhất của   Do   là song ánh nên:  ( , ,  ) là khơng gian xạ ảnh n chiều.  1.2.2 Mơ hình bó       Giả  sử  là  khơng  gian  afin  + 1  chiều  có  nền  là    Lấy   Tập hợp các đường thẳng đi qua   được gọi là bó đường thẳng  ∈ tâm  , kí hiệu    Xét ánh xạ  :   →                           〈 ⃗〉    Đường thẳng qua   có phương 〈 ⃗〉                                           = ( , 〈 ⃗〉)   thì   là song ánh nên ( , 1.2.3 Mơ hình afin     Lấy siêu phẳng      Gọi  = Xét ánh xạ  :                         ∪ →  thì   là song ánh và  ánh: :  → , có nền là  ⊂  Gọi  ⃗ , ) là khơng gian xạ ảnh  chiều.  ∩    là bó đường thẳng tâm   với  ∉ nếu ∦ ∥     =  với   trong mơ hình bó ở 1.2.2 thì  ′ là song  ⇒( , ) là khơng gian xạ ảnh   chiều.  , Chú ý: Trong  có hai loại điểm:               Điểm afin thơng thường trong               Điểm “vơ tận” thuộc  1.2.4 Mơ hình số học     Cho   là một trường nào đó,   là tích Đề-các của với chính nó  + 1  lần, tức là:   = {( , Xét không gian vectơ  mà  ⃗ ≠ 0⃗ = (0,0, … ,0) ∈ ,…, )\ Cho vectơ  ⃗ = ( ,   ∈ } ,…, )∈ kí  hiệu  〈 ⃗〉  là  không  gian  vectơ  một  chiều  sinh  ra  bởi  ⃗  và  kí  hiệu  ( , ,…, ) = 〈 ⃗〉 − 0⃗   Như vậy ( , ,…, ) là một lớp các bộ số sắp thứ tự (khơng đồng thời  bằng 0) của   và hai bộ bất kỳ trong lớp đó thì tỉ lệ với nhau (hệ số tỉ lệ  ≠ 0).  Gọi  là tập hợp tất cả các lớp như vậy.  Có thể lập song ánh  : Khi đó ( , K →               〈 ⃗〉   ( , ,…, )  , ) là một khơng gian xạ ảnh n chiều trên   Ta gọi nó là  mơ hình số học của  1.3 Tọa độ xạ ảnh ( ).  1.3.1 Mục tiêu xạ ảnh       Cho khơng gian xạ ảnh  hợp có thứ tự   + 2 điểm của  liên kết  – khơng gian vectơ  :{ , ,…,  Một tập  ; } được gọi là mục tiêu xạ  ảnh nếu bất kỳ  + 1 trong  + 2 điểm đó đều độc lập.  Dễ thấy rằng mục tiêu xạ ảnh là tồn tại.  Các điểm   gọi là các đỉnh của mục tiêu xạ ảnh, điểm U gọi là điểm đơn vị.  −  phẳng ( Các  < ) đi qua  + 1 đỉnh gọi là các  − phẳng toạ độ,  đặc biệt là các đường thẳng     với  ≠ , gọi là các trục tọa độ.  1.3.2 Định lý 1.3.2.1 Phát biểu       Nếu  cho các  mục  tiêu xạ  ảnh  gian  vectơ  liên  kết  ={ , } trong  thì  trong khơng    n có  cơ  sở    ei   mà  ei   là  vectơ  đại  diện  của   ( = 0, ).   e  i   là vectơ đại diện của điểm    n i 0     là duy nhất theo nghĩa nếu có   '  e 'i   như vậy thì  e 'i  kei        1.3.2.2 Chứng minh  Sự tồn tại: Gọi  si  là vectơ đại diện của  ( = 0, )       n   si  là cơ sở của         Gọi  ⃗ là vectơ đại diện của   thì:      u  k0 s0  k1 s1  kn sn                   với    ≠ ( = 0, )  Vì trái lại có, chẳng hạn  = 0 thì:      u  k1 r1  k2 r2   kn rn      10 = =( ∩ = ∩ =( − , − , − )  − , − , − )  Cộng ba dòng tọa độ của  , ,  lại ta được (0, 0, 0) nên:  bb '  cc ' cc '  aa ' aa '  bb' b'  c' c'  a' a '  b' bc c  a  0  ab Do đó  , ,  thẳng hàng.  2.5 Tỉ số kép Bài 21: Trong    cho  mục  tiêu  { , , }  và  ba  điểm  có  tọa  độ  , (1, −1, 0),  (1, 0, −1), (0, 1, −1) đối với mục tiêu đó. Chứng minh rằng  ba điểm này thẳng hàng. Tìm điểm   sao cho có ( ) =  cho trước.  Giải: 1 Vì  1    nên  , ,  thẳng hàng.  1 Dễ thấy  rằng  = − +  Giả sử  = Theo giả thiết: ( Vì  ≠ 0, chọn  Vậy  = − ) =  tức là:  =1⇒ +  thì ( ) =  k2  = −   l2 = −   + , tức là  = (− + 1, , −1).  Bài 22: Cho  đường  thẳng  xạ  ảnh    và  sáu  điểm  , , , Chứng minh rằng nếu: ( thì (   )=(  :   ∙  )=( )=( ) = −1.  )=( 43 , ) = −1  , ′  trên    Giải: Chọn  mục  tiêu  trên    (không  gian  xạ  ảnh  một  chiều)  là  { , ; }  thì  = (1, 0), = (0, 1), Theo  giả  thiết  ( = + Tương tự:  ( ( ′ ′ = (1, 2).  = (1, 1).  ) = −1  hay  ( ) = −1 hay ( ′) = −1 và  = ) = −1 hay ( ( )=( )=( = −   nên  −  ⇒ + = (2, 1).  +  ⇒ ′) = −1 và  = Từ đó suy ra:   ) = −1  mà  = = − ) = −1.  Bài 23: Cho 4 điểm phân biệt thẳng hàng  , , ,  sao cho ( Chứng minh rằng có cặp điểm  ,  duy nhất sao cho:   ( Giải: Trong  )=( = (1, 0)                                                                                   = (1, 1).            Giả sử điểm   có tọa độ dạng (0, ) ⇒ ⇒ Điểm  = (0, 1) =   ⇒( ) = 0 (Mâu thuẫn giả thiết ( Vậy  có tọa độ dạng (0, ) =     ABCD   Vậy  > 0, ) > 0.  ) = −1.  , cho mục tiêu xạ ảnh { , ; } sao cho:     = (1, 1).  1 :    ⇒ d d +            = 1.  ) > 0).  > 0                                                      ≠ 1 (Vì nếu  = 1 thì  = ).  Cần tìm  (1, ), (1, ) để ( = (0, 1)  ) = −1 và (CDPQ) = −1.  44 ⎧( ⇒ )= = −1   −1 −1 : = −1 − − ⎨(CDPQ) = ⎩ =−   ⇔ ( − 1) ( − ) = −1 ( − ) ( − 1) =− ⇔ = ⇔ = ±√    Vậy có cặp điểm  ,  duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài là:  1, √ , (1, −√ ) hay  1, −√ , (1, √ ).  Bài 24: Trên đường thẳng xạ ảnh cho 5 điểm phân biệt  , , , ,  và điểm   Chứng minh rằng ( ( Giải: )=( ) thì  ) ( ≡   ) ( ) = 1 và nếu   Theo tính chất tỉ số kép ta có:  ( ) ( Do đó:   )=( ), ( ) ( )=( ), ( ( ) ( )=( ) = 1. Nếu ( )=( ) thì   = = Do đó: + + ,  , k2 k '2  .   l2 l '2 = ′ Mặt khác, có thể viết  D  + ′  thỏa mãn: k2 k1 k '2 k1 :  :  .  l2 l1 l '2 l1 k2 k' A  B, G  A  B   l2 l '2 45 ) = 1.  Suy ra:  ≡   Bài 25: Trong   cho hai đường thẳng phân biệt   và  ′ cắt nhau tại điểm  , ba  điểm  phân  biệt  , ,   trên  ,  ba  điểm  phân  biệt  ′, ′, ′  trên  ′.  Chứng  minh  rằng  cần  và  đủ  để  ( ).  Giải: Đặt  = ′∩ Cần và đủ để  (     , )=( ′. Giả sử  , ′ đồng quy là  ).      Bài 26: Trong  ( ): − +2 +2 )=( ′ đi qua  , tức là  )= )   ≡ ′′, hay  d  D  C  B’  C’    ′  đồng  quy  là  ( ,  cắt  ′ tại  ′′ thì ( B  A  ( ): , D’  d’  O   cho bốn đường thẳng có phương trình:  +3 = 0                   ( ): = 0                 ( ): + +7 = 0  = 0  Chứng tỏ rằng chúng cùng thuộc một chùm đường thẳng. Tính tỉ số kép của  bốn đường thẳng theo thứ tự đã cho.  46 Giải: − +2 =0 + =0 ⇔ +2 +3 =0 Xét hệ: =7 = ⇒ (7, 1, −3).  = −3   thỏa  mãn  phương  trình  ( ) ⇒  Bốn  đường  thẳng  đã  cho  thuộc  vào  một  chùm đường thẳng có tâm  (7, 1, −3).  Áp dụng cơng thức tính tỉ số kép cho:  = (1, −1, 2), = (1, 2, 3), = (3, 0, 7).  Ta được:     1 : 3 1     Bài 27: Xét mục tiêu { , ( 〈 , Giải: , , , , , ; } của không gian  , , ; }, ta có:  , 〉.  Xét mục tiêu xạ ảnh: { , = (0, 1, 0, 0),  , = (0, 0, 1, 0),  〉, =〈 , , Phương trình của mặt phẳng   là:  x0 0 x1 x2 0  và điểm  ). Tìm tỉ số kép của bốn mặt phẳng: 〈 , , 〉 và 〈 , Gọi  = 〈 , = (0, 3, 1),  , 〉, 〈 , , = (1, 0, 0, 0)   = (0, 0, 0, 1),  = (1, 1, 1, 1).  〉,  = 〈 , x3   x3     0   47 , 〉, =〈 , , 〉.  〉,  Phương trình của mặt phẳng   là:  x0 0 x1 x2 0 x3   x2    Phương trình của mặt phẳng   là:  x0 1 x1 1 x2 0 x3   x2  x3    Phương trình của mặt phẳng   là:  x0 x1 x2 x3 0 0   a3 x2  a2 x3    a0 a1 a2 a3 Từ đó ta có:  (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, −1), (0, 0, Ta có: Bốn mặt phẳng  , , và   cùng chứa đường thẳng  thuộc chùm mặt phẳng có giá  Có:  = − ,     = −  a2 1 a2 :  a3 a3 Bài 28: Trong  ,− ).   nên chúng       cho hai đường thẳng phân biệt  ,  và một đường điểm    không nằm trên chúng. Một đường thẳng thay đổi đi qua   cắt  ,  lần lượt  tại  ,   Cho  số    mà  ( ) =   ≠ 0, ≠ 1.  Tìm  quỹ  tích  các  điểm    sao  cho  48 Giải: Đặt  =  là đường thẳng  ∩ ,    Qua   dựng đường thẳng   sao cho ( Nếu   ( ) =   ≠  và   ∈ ,  cắt  ,  tại  ,  thì  ) =      Ngược lại, nếu   là điểm khác    sao cho có ( ) =    (trong đó   ( = , ∩ ∈   , , = ) thì   ∩ B  trừ đi điểm    lần  lượt  trên  , khơng  thuộc  ( ) ( ( ) ( , ,   mà  không  trùng  với  , ,   Gọi    Đặt  , , , = ∩  đồng quy là:  ) ( ) = 1  ) ( ) = −1  b. Cần và đủ để  , ,  thẳng hàng là:  Giải: n   cho ba điểm  , ,  không thẳng hàng và ba điểm  , ,    Chứng minh rằng:  a. Cần và đủ để  b  N  Vậy quỹ tích   là đường thẳng    Bài 29: Trong  m  M  O  ) =  Do đó  , a  A  Chọn mục tiêu ( , , , ) thì   49 , = ∩ là  một  điểm  , = ∩ (1, 0, 0), (0, 1, 0),   (0, 0, 1), (1, 1, 1),  (0, ( , , ), ( , 0, A  ),  Q  (0, 1, 1).  , 0), Áp  dụng  cơng  thức  tính  tỉ  số  kép ta được:    BCPA   aa '  ,    CAQB '  b2  ,   b1  ABRC '  c2   c1                  = (0, − , = (− , , 0).  ),  = ( , 0, − ),                   a. Cần và đủ để  b c2  a2 ⇔ b2 c1 a1 c2 C’ B’  Ta lại có:  R , , C  A’  P   đồng quy là:  a1 b2  a1b1c1  a2b2c2   a1b1c1  a2b2c2     c1 =1⇔( ) ( b. Cần và đủ để  , ,  thẳng hàng là:  ) ( ) = 1  a2 a b c b1  a1b1c1  a2b2c2    1    a1 b1 c1 50 B  Bài 30: Trong  trên  , , qua  , ,  cắt  ) = −1  ) ( ) ( ⇔(   cho  ba  điểm  độc  lập  , ,   và  ba  điểm , ,  mà không trùng với  , ,  Một đường thẳng   không đi  ,  lần lượt tại  , a. Cần và đủ để  , ,  thẳng hàng là:  ( ) ( ( ) ( b. Cần và đủ để  Giải: lần  lượt  , , , , ′. Chứng minh rằng:  ) = 1. (Định lý Menelaus)  ) (  đồng quy là:  ) = −1. (Định lý Ceva)  ) ( A      Q  R    d        C’’      E        A’’  A’’’  B  P  C    Đặt  = ta được ( ∩ , = ) = −1.   Áp dụng Bài 29 suy ra:   Xét hình bốn đỉnh tồn phần  ∩ a. Cần và đủ để  , ,  thẳng hàng là:  51    (   ) = −1   ) ( ) ( ) ( ) ( ⇔ ( ) (                                                    (mà ( ) ( ⇔( b. Cần và đủ để  ) ( ( ) ( ⇔( , ) ( ) ( , ) ( ) = −1)  ) = 1.   đồng quy là:  ) ( ) = 1  ) (                                                    (mà ( ⇔( ) = −1    ) ( 2.6 Nguyên tắc đối ngẫu ) = 1  ) = −1.   ) = −1)  Bài 31: Phát biểu định lý đối ngẫu của định lý Đờ-dác 1 trong    Giải: Định lý:  Trong  cho  hai  bộ  ba  điểm  ( , , ), ( , )  trong  đó  , khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng  ( , ,  đồng quy là ba cặp đường thẳng ( , ′ ′) giao nhau tại ba điểm thẳng hàng.   Đối ngẫu: Trong  , ), ( ),   ,  cho hai bộ ba mặt phẳng ( , , ), ( ′, ′, ′) trong  đó khơng có ba mặt phẳng nào cùng chứa một đường thẳng. Điều kiện cần  và đủ để ba đường thẳng:  = ∩ ′, = một mặt phẳng là ba cặp đường thẳng: ( ∩ , ∩ , ∩ = ∩ ′ cùng thuộc  ), ( ∩ , ∩ ),  ( ∩ , ′ ∩ ′) nằm trong ba mặt phẳng chứa một đường thẳng chung.  Bài 32: Hãy phát biểu mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề sau: “Trong   cho  bốn đường thẳng  , , ,  cùng đi qua điểm O. Một đường thẳng   không     52   đi qua O cắt  , , ,  lần lượt tại  , , ,  thì tỉ số kép ( ) khơng phụ  thuộc vào  ”.  Giải: “Trong  điểm    cho  bốn  điểm  , , ,   cùng  thuộc  một  đường  thẳng  o.  Một  ∉ o  và  nối  với  , , ,   lần  lượt  tạo  thành  các  đường  thẳng  , , ,   thì tỉ số kép ( ) khơng phụ thuộc vào điểm  ”.  2.7 Bài tập đề nghị hướng dẫn giải 2.7.1 Đề Bài 1: Trong   với một mục tiêu cho trước  a) Tìm   để ba điểm  ( , ), ( , , b) Tìm   để ba đường thẳng  − + − + = 0 đồng quy.  Bài 2: Viết công thức đổi tọa độ trong  a) Từ mục tiêu { , b) Từ mục tiêu { , , , , , = 0, Bài 3: Trong  , , − } sang mục tiêu { , =( } sang mục tiêu { , = (0, 1, 1, 1); Chứng  minh  rằng:  { ′ , ′ , ′ , , , , − ) thẳng hàng.  = 0,   , , , , , , }.  , ′ } biết tọa độ  ).  }.  } cho các điểm:  = (0, 0, 1, −1); = (1, 0, 0, −1)  }  là  mục  tiêu  xạ  ảnh.  Tìm  ma  trận  chuyển từ mục tiêu thứ nhất sang mục tiêu thứ hai.    , } sang mục tiêu { ,  cho mục tiêu xạ ảnh { , = (1, −1, 0, 0); ,  trong các trường hợp sau đây:  điểm  ′ đối với mục tiêu thứ nhất là  c) Từ mục tiêu { , ), ( , ,     53   2.7.2 Hướng dẫn giải Bài 1: a) Để  , ,  thẳng hàng thì cần và đủ là:  a0 b0 c0 a1 a2 b1 b2     c1 c2 Suy ra nếu  Còn nếu  b1 b1 c    thì  x  b1 c1 c1 b0 c0 b0 b1 c0 c1 b2 b0 b2 c c c2 a0  a1    b0 b1 b0 c0 c1 c0    thì mọi   đều thỏa mãn.  b) Để ba đường thẳng đã cho đồng quy thì cần và đủ là:  1 1 1   hay  u  1  .  u Bài 2: a) b) c) = ′ = ′ = ′ = = = ′ ′ ′ ( ≠ 0)  = ′ − ′ = ′ − ′ = ′ ( ≠ 0)  ( ≠ 0)  54 Bài 3: Do  ⃗ = ⃗ + ⃗ − ⃗ + ⃗  ⇒{ ′, }  là một mục tiêu xạ ảnh.   x0  x '0  x '3   x1   x '0  x '3 (  0)   Công thức đổi tọa độ là:   x  x '  x '   x3  x '1  x '2  x '3                           55 C KẾT LUẬN Qua  q trình tìm  hiểu và nghiên  cứu khóa  luận, em  đã bước đầu làm  quen với cách làm việc khoa học, hiệu quả. Qua đó, em cũng củng cố thêm  cho  mình  kiến  thức  về  không  gian  xạ  ảnh,  đồng  thời  thấy  được  sự  phong  phú, lý thú của tốn học. Đặc biệt khóa luận này tơi nghiên cứu một cách  khái qt về định nghĩa khơng gian xạ ảnh, xây dựng các mơ hình, tỉ số kép  của bốn điểm thẳng hàng và chùm bốn siêu phẳng. Bên cạnh đó là ngun  tắc đối ngẫu trong các khơng gian xạ ảnh. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích  cho các bạn sinh viên quan tâm đến mơn hình học xạ ảnh nói riêng và hình  học nói chung. Mặc dù có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và  kiến  thức  nên  khóa  luận  khơng  tránh  khỏi  những  thiếu  sót.  Tơi  rất  mong  nhận được sự đóng góp q báu của thầy cơ và các bạn sinh viên.                                                                                        Sinh viên                                                                              Ngơ Mạnh Hùng      56 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Khu Quốc Anh, Phạm Bình Đơ, Tạ Mân (1984), Bài tập hình học cao cấp tập II,  Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội 2. Văn Như Cương (1999), Giáo trình hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Giáo      dục, Hà Nội.  3. Văn Như Cương, Kiều Huy Ln (1978), Hình học cao cấp, Nhà xuất      bản Giáo dục, Hà Nội.  4. Phạm Bình Đơ (2002), Bài tập hình học xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm.  5. Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục,       Hà Nội.  6. Nguyễn Mộng Hy (2008), Bài tập Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo      dục, Hà Nội.  7. Nguyễn Cảnh Tồn (1979), Hình học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục,      Hà Nội.                57 ... là  không gian xạ ảnh chiều. Kí hiệu là         Khơng? ?gian? ?xạ? ?ảnh? ?trên trường số thực  gọi là khơng? ?gian? ?xạ? ?ảnh? ?thực.  Kí hiệu:  ( ).       Khơng? ?gian? ?xạ? ?ảnh? ?trên trường số phức  gọi là khơng? ?gian? ?xạ? ?ảnh? ?phức. ... ) là một khơng? ?gian? ?xạ? ?ảnh? ?n chiều trên   Ta gọi nó là  mơ hình số học của  1.3 Tọa độ xạ ảnh ( ).  1.3.1 Mục tiêu xạ ảnh       Cho khơng? ?gian? ?xạ? ?ảnh? ? hợp có thứ tự   + 2 điểm của  liên kết  – không? ?gian? ?vectơ ... - Hệ thống các  kiến thức về khơng? ?gian? ?xạ? ?ảnh? ?và việc xây dựng các khái  niệm liên quan.  - Nghiên cứu các bài tập liên quan đến định nghĩa khơng? ?gian? ?xạ? ?ảnh,  tính  chất của khơng? ?gian? ?xạ? ?ảnh.  Các dạng bài tập về tọa độ? ?xạ? ?ảnh,  phẳng, tỉ số