Các phép chiếu xuyên tâm và các phép thấu xạ thể hiện trong mô hình xạ ảnh của không gian affine
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN. ĐỀ TÀI : “ CÁC PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM VÀ CÁC PHÉP THẤU XẠ. THỂ HIỆN TRONG MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFFINE” GVHD: PGS.TS LÊ ANH VŨ. 1 MỞ ĐẦU: Felix Klein là người đầu tiên đưa ra cách phân loại hình học theo nhóm các biến đổi trong nó, dựa vào cách phân loại này thì hình học xạ ảnh là môn hình học tổng quát nhất trong tất cả các môn hình học cao cấp và sơ cấp sử dụng công cụ tuyến tính. Số lượng khái niệm, định lí của hình học xạ ảnh không nhiều nhưng nó đúng cho mọi hình học khác. Hơn thế từ một số khái niệm, định lí của hình học xạ ảnh có thể suy ra được các khái niệm, định lí của hình học sơ cấp và affine. Thế mạnh của hình học xạ ảnh là có thể giải quyết các bài toán về tính đồng qui và thẳng hàng (đặc biệt là hình học phẳng) một cách tổng quát. Ngoài ra ta có thể sáng tạo các bài toán sơ cấp qua nguyên lý đối ngẫu, phương pháp đưa điểm ra vô tận 2 MỤC LỤC Đề tài: Các phép chiếu xuyên tâm và các phép thấu xạ. Thể hiện trong mô hình xạ ảnh của không gian Affine. A. Mô hình xạ ảnh của không gian Affine. I. Xây dựng mô hình. II. Một số thể hiện trong mô hình. B. Phép chiếu xuyên tâm. I. Định nghĩa. II. Các định lý. III. Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm. IV. Phép chiếu xuyên tâm và đối ngẫu của nó trong P 2 . V. Một số ứng dụng. C. Phép thấu xạ. I. Phép thấu xạ cặp. II. Phép thấu xạ đơn. III. Các phép thấu xạ trong không gian xạ ảnh P 2 và P 3 . IV. Các phép biến đổi affine sinh ra bởi các phép thấu xạ . V. Bài tập. 3 A. MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFFINE I. XÂY DỰNG MÔ HÌNH: Xuất phát từ không gian affine A n ta đã biết cách xây dựng mô hình của không gian xạ ảnh P n bằng cách thêm vào A n những điểm vô tận. Bây giờ ngược lại, từ không gian xạ ảnh P n ta hãy bỏ bớt đi một số điểm nào đó để xây dựng mô hình của không gian affine. Ta hãy chọn trong P n một siêu phẳng bất kỳ và đặt A n = P n \ là tập hợp những điểm thuộc P n mà không thuộc . Ta sẽ chứng minh A n là một không gian affine Gọi V n+1 là không gian vecto nền của không gian xạ ảnh P n . Trang bị cho V n+1 cấu trúc affine chính tắc: Khi đó, ( ) 1 1 V ,V , n n ϕ + + là một không gian affine, kí hiệu lại là 1n A V + và kí hiệu 1 0 n V + ∈ r là điểm 1 0 n A V + ∈ . Mỗi điểm 1 [ ] n n X P V + ∈ (đại diện bởi vectơ 1n x V + ∈ r ) tương ứng với một không gian vectơ con một chiều của V n+1 . Xét đường thẳng affine d X qua O có không gian phương là x r ( không gian vectơ 1 chiều sinh bởi x r ). Đường thẳng affine này chỉ phụ thuộc điểm X mà không phụ thuộc vectơ đại diện. 4 1 1 1 : ( , ) : n n n V V V x y xy y x ϕ + + + × → = − uur a Cho siêu phẳng xạ ảnh ° ( )W π ∆= trong P n [V n+1 ] ( W là không gian vectơ con n chiều trong V n+1 ). Đặt W A là siêu phẳng affine qua O nhận W làm không gian phương. Ta trang bị cho [ ]\ n n A P V = ∆ cấu trúc không gian affine liên kết với W như sau: Trong 1n A V + lấy một siêu phẳng affine A W + song song (nhưng khác) với A W . Khi đó, A W + là một không gian affine n chiều nhận W làm không gian phương. Lấy n X A ∈ , tức là [ ] n X P V ∈ và X ∉∆ . Khi đó vectơ đại diện của X là x W ∉ r . Suy ra 1 {0} n x W x W V + ∩ = ⊕ = r r r . Từ đó, ta có: X A d W X + + ∩ = , X + là duy nhất và ánh xạ : n A A W X X θ + + → a là song ánh. A n , W cùng với ánh xạ : ( , ) : n n f A A W X Y XY X Y + + × → = uuuuuur uuur a là một không gian affine, thật vậy: 1 A : , : ! n a X A v W X W + + ∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ r ( )X X θ + = ,( θ là song ánh). Mặt khác do A W + là không gian affine n chiều nhận W làm không gian phương nên tồn tại duy nhất a Y W + + ∈ sao cho: X Y v + + = uuuuuur r . Lại vì θ là song ánh nên có duy nhất n Y A ∈ (tương ứng với Y + qua 1 θ − ) thỏa: XY X Y v + + = = uuuuuur uuur r . Vậy , , ! : n n X A v W Y A XY v ∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ = r uuur r 5 2 A : , , : n X Y Z A XY YZ X Y Y Z X Z XY + + + + + + ∀ ∈ + = + = = uuuuuur uuuuur uuuuuur uuur uur uuur Vậy ta đã trang bị cho [ ] \ n n A P V = ∆ cấu trúc không gian affine liên kết với W. II. MỘT SỐ THỂ HIỆN TRONG MÔ HÌNH: 1. Tọa độ và mục tiêu affine: Xét mục tiêu xạ ảnh ( ) { } 0 1 2 : , , , , , n A A A A E ℜ của không gian xạ ảnh P n . Chọn siêu phẳng 1 2 , , , n A A A ∆ = làm siêu phẳng vô tận. Gọi E i là giao điểm của đường thẳng A 0 A i với siêu phẳng chứa các đỉnh A i còn lại của mục tiêu và điểm E (i=1 n). Đặt e i = 0 i A E uuuur (i=1 n), ta được hệ vectơ {e i } i=1 n là các vectơ cơ sở trong không gian vectơ V n . Do đó ta có thể dùng bộ điểm {A 0 ; E 1 , E 2 ,…, E n } (1) làm mục tiêu affine của không gian affine A n = P n \. Một điểm X trong P n có tọa độ xạ ảnh là X(x 0 : x 1 :…: x n ).(X ∉ ). Do đó x 0 ≠ 0. Ta đặt X i = 0 i x x (i=1 n). Vậy tọa độ điểm X(1:X 1 : X 2 :…: X n ). Với điểm O đã chọn (trong cách xây dựng mô hình affine ), ta có: ( ) ( ) ( ) 0 0 , , 1,2, , i i OX X OA A e A i n ϕ ϕ ϕ = = = ∀ = uuur uuuur nên OX uuur = 0 OA uuuur +X 1 . 0 1 A E uuuuur +…+X n . 0 A n E uuuuur Suy ra 0 A X uuuur =X 1 . 0 1 A E uuuuur +…+X n . 0 A n E uuuuur Vậy trong không gian affine, điểm X có tọa độ đối với mục tiêu (1) là X(X 1 , X 1 ,…, X n ). 2.Các m_phẳng affine: 6 Xét một m_phẳng P m nào đó của P n mà không nằm trong siêu phẳng P n-1 = ( Với 1 2 , , , n A A A ∆ = ) . Đối với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, có phương trình x 0 = 0 và P m có phương trình là: ij 0 . 0 , 1, 2, , n j j a x i n m = = = − ∑ Trong đó ma trận A=(a) ij có hạng rank(A) = n – m . Gọi A m là tập hợp những điểm X thuộc P m mà không thuộc tức là A m = P m I A n và có tọa độ X(x 0 : x 1 : …: x n ). Ta có: ij 0 . 0 , 1,2, , n j j a x i n m = = = − ∑ Do X không thuộc nên x 0 ≠ 0 nên chia 2 vế của phương trình m_phẳng cho x 0 , ta được: ij 1 . 0 , 1,2, , (I) n j io j a X a i n m = + = = − ∑ Ta thấy ma trận hệ số của hệ phương trình này cũng có hạng là n – m. Thật vậy, ta hãy xét hệ phương trình sau: ij 0 . 0 , 1,2, , 0 n j j o a x i n m x = = = − = ∑ . Đặt 7 10 11 12 1 11 12 1 20 21 22 2 21 22 2 1 ,0 ,1 ,2 , ,1 ,2 , và 1 0 0 0 n n n n n m n m n m n m n n m n m n m n a a a a a a a a a a a a a a B B a a a a a a a − − − − − − − = = L L L L K K L L K . Ta có rank(B) = n – m + 1 vì P m không thuộc . Nếu rank(B 1 ) < n – m thì rank(B) < n – m +1 (vô lý) nên rank(B 1 ) = n – m. Vậy hệ (I) xác định phương trình của một m_phẳng affine. 3. Các phép biến đổi affine: Trong tập hợp tất cả những phép biến đổi xạ ảnh của P n , ta xét những phép biến đổi xạ ảnh biến siêu phẳng P n-1 thành chính nó. Mỗi phép biến đổi như vậy biến mỗi điểm có tọa độ xạ ảnh (x 0 : x 1 :…: x n ) thành điểm có tọa độ xạ ảnh (x 0 ’ : x 1 ’ :…: x n ’ ) sao cho nếu x 0 = 0 thì x 0 ’ = 0 và nếu x 0 ≠ 0 thì x 0 ’ ≠ 0. Muốn vậy phương trình của phép biến đổi xạ ảnh cần phải có phương trình x 0 = x 0 ’ .Do đó phương trình của phép biến đổi xạ ảnh có dạng: ' ij 0 ' 0 0 . , 1,2, , n i j j x a x i n x x = = = = ∑ Trong đó ma trận A của phép biến đổi xạ ảnh là một ma trận vuôn cấp n+1 không suy biến và có dạng: A= 10 11 1 20 21 2 0 1 1 0 0 n n n n nn a a a a a a a a a L L L L L L L Khi đó phép biến đổi xạ ảnh nói trên của P n sẽ sinh ra trên không gian affine A n một phép biến đổi affine. Thực vậy, ta hãy lấy một điểm X ∈ A n có tọa độ xạ ảnh là (x 0 : x 1 :…: x n ), trong đó x 0 ≠ 0. Qua phép biến đổi xạ ảnh nói trên điểm X biến thành điểm X ’ có tọa độ xạ ảnh là (x 0 ’ : x 1 ’ :…: x n ’ ). Chuyển tọa độ xạ ảnh của X và của X ’ sang tọa độ affine ta có phép biến đổi là: 8 ' 1 11 1 12 2 1 10 ' 2 21 1 22 2 2 20 ' 1 1 2 2 0 . . . . . . . . . n n n n n n n nn n n X a X a X a X a X a X a X a X a X a X a X a X a = + + + + = + + + + = + + + + (*) Với X i = 0 i x x , X’ i = 0 ' i x x (i=1 n). Trong đó ma trận A ’ =(a ij ),( i,j=1 n) là ma trận vuông cấp n không suy biến nên ta được phương trình (*) là phương trình một phép biến đổi affine. 4. Tỉ số kép: a. Giả sử A,B,C,D là bốn điểm phân biệt nằm trên một đường thẳng xạ ảnh (d) của P n nhưng không có điểm nào trong bốn điểm nằm trên siêu phẳng vô tận =P n-1 . Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {E i ;E} i=0 n sao cho E 0 ≡ A, E 1 =(d) I . Khi đó các điểm B,C,D có tọa độ biểu thị tuyến tính qua E 0 và E 1 . Ta có: A ≡ E 0 (1:0:0:…:0), E 1 (0:1: …:0). Do đó tọa độ các điểm còn lại là: B(1:b:0:…:0), C(1:c:0:…:0), D(1:d:0:…:0). Do A ≠ B nên b ≠ 0. Suy ra 1 1 0 b =b ≠ 0. Vậy ta có (ABCD)= 1 1 1 1 0 0 : : 1 1 1 1 c d c d c b d b b c b d = − − . Nếu chuyển tọa độ các điểm xạ ảnh sang tọa độ affine ta có: A(0,0,…,0), B(b,0,…,0), C(c,0,…,0), D(d,0,…,0). Từ đó ta tính được tọa độ các vectơ sau: 9 (d) P n-1 E 0 E 1 A B C D CA uuur =(-c,0,…,0), CB uuur =(b-c,0,…,0) , DA uuur =(-d,0,…,0), DB uuur =(b-d,0,…,0) Do đó (ABC)= c c b− và (ABD)= d d b− Vậy ta được (ABCD)= ( ) ( ) ABC ABD b. Nếu có một trong bốn điểm A,B,C,D là điểm vô tận, chẳng hạn là điểm D thì khi đó ta có D ≡ E 1 và ta có: (ABCD)= 1 1 1 0 0 0 1 1 : : 1 1 1 0 1 1 c c c c b c b b c b = = − − . Vậy (ABCD ∞ )=(ABC). A. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM I. Định nghĩa Trong không gian xạ ảnh n P cho 2 siêu phẳng α và β và điểm \{ } n C P α β ∈ ∪ Và : c p α β → sao cho X α ∈ thành ( ) ' c p X X = sao cho CX 'X β ∩ = Khi đó c p được gọi là phép chiếu xuyên tâm từ α lên β với tâm C. Nhận xét: - Phép chiếu xuyên tâm hoàn toàn xác định bởi cặp siêu phẳng α , β và tâm chiếu C. - Phép chiếu xuyên tâm giữ bất động tất cả những điểm giao của hai siêu phẳng α và β. II. Một số định lý 10 [...]... bằng phép chiếu xuyên siêu phẳng IV Phép chiếu xuyên tâm và đối ngẫu của nó trong P2: 1 Định nghĩa : a) Định nghĩa 1: Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm gọi là phép chiếu xuyên tâm (phép phối cảnh) nếu các đường thẳng nối các điểm tương ứng luôn đi qua một điểm C cố định, điểm C được gọi là tâm phối cảnh 17 b) Đối ngẫu của định nghĩa 1: Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh. .. 23 không bất động ( tức là một điểm bất kỳ của đường thẳng có thể biến thành một điểm khác cũng thuộc đường thẳng đó ) điểm đó gọi là tâm thấu xạ Nhận xét: - Nếu tâm thấu xạ O không nằm trên nền thấu xạ α thì phép thấu xạ đơn chính là phép thấu xạ tâm O và cơ sở thấu xạ là siêu phẳng α - Nếu tâm thấu xạ O thuộc siêu phẳng α thì thấu xạ f được gọi là thấu xạ đơn đặc biệt Chứng minh: - Giả sử f là phép. .. trục 2 Một số định lý: Định lý 1: phép chiếu xuyên siêu phẳng là một ánh xạ xạ ảnh Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếu xuyên siêu phẳng là đường nối hai tâm phải tự ứng Định lý 3: Một ánh xạ xạ ảnh không phải là phép chiếu xuyên xạ ảnh đều có thể phân tích thành không quá n+1 phép chiếu xuyên siêu phẳng 3 Bài tập áp dụng Hãy phát biểu các bài tập ở mục 1.4 dưới dạng bài... một phép thấu xạ nào giữ bất động một siêu phẳng thì hoặc đó là thấu xạ tâm hoặc là thấu xạ đặc biệt III Các phép thấu xạ trong không gian xạ ảnh P2 và P3 : 1 Trong không gian P2 : - Thấu xạ ( 0, 1) – cặp nền là ( O ,d ) với O là một điểm và d là đường thẳng không qua O Với mỗi điểm M ∉ d và M ≠ O đường thẳng OM cắt d tại A và nếu M’ = f(M) thì (OAMM’) = k ( với k là một số cho trước ) 25 - Thấu xạ. .. là một ánh xạ xạ ảnh rơi vào một trong hai trường hợp trên Suy ra f là tích của một số ≤ n + 1 phép chiếu xuyên tâm III.Đối Ngẫu Của Phép Chiếu Xuyên Tâm: Cũng như nhiều các khái niệm, định lý trong hình học xạ ảnh thì phép chiếu xuyên tâm cùng với các định lý bài tập về nó thì đều có đối ngẫu Do tính đối ngẫu cho nên ở đây chúng tôi chỉ nêu khái niệm và định lý mà không chứng minh lại Và hãy xem như... trên Pn-2 và f ’(An) = A’n và f ’(E) = E’ Do sự xác định duy nhất của phép biến đổi xạ ảnh xác định bởi {A1, A2, …An-1,An, E} và {A1, A2, …An-1,A’n, E’} nên f ≡ f ’ Vậy f là phép chiếu xuyên tâm 14 3.Định lý 3: Trong P n với cho hai siêu phẳng α và α ' Giả sử f : α → α ' là một ánh xạ xạ ảnh, không phải là phép chiếu xuyên tâm Khi đó ta có thể phân tích f thành tích của m phép chiếu xuyên tâm với m... từ đó suy ra một kết quả của hình học affine phẳng bằng mô hình xạ ảnh của không gian affine 20 B - CÁC PHÉP THẤU XẠ I Phép thấu xạ cặp: a) Định nghĩa: - Trong Pn cho m – phẳng (α) và (n – m – 1) – phẳng (β) bù nhau, tức là α ∩β =∅ n ta bảo α và β là (m, n – m – 1) – cặp α ⊕β = P - Cho f là một phép biến đổi xạ ảnh của P n , ta nói f là thấu xạ cặp ( thấu xạ (m,n – m – 1) – cặp ) với (α , β) là... ứng M và M’ = f(M) thì ảnh N’ của điểm N được xác định : +) O, N, N’ thẳng hàng 27 +) Đường thẳng MN cắt M’N’ tại một điểm nằm trên P IV Các phép biến đổi affine sinh ra bởi các phép thấu xạ : Ta biết rằng mỗi phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn siêu phẳng vô tận W của P n và đều sinh ra một phép biến đổi affine trong không gian affine A n = Pn \W Sau đây, ta xét một vài trường hợp khi f là một phép thấu xạ. .. C, không đi qua C’ mà bởi tâm là một điểm và trong α '' ≠ α Gọi s : α ' → α '' là phép chiếu xuyên tâm U ∈ CC ' , thì s ° f : α → α '' là một ánh xạ xạ ảnh có C ∈ α ∩ α '' tự ứng Áp dụng trường hợp trên suy ra là tích của một ≤ n − 1 phép chiếu xuyên tâm Do đó f là tích của một số xuyên tâm Cuối cùng xét trường hợp ≤n phép chiếu α = α ' Chỉ cần lấy một phép chiếu xuyên tâm r : α ' → α ''' nào đó... phẳng α và β là 2 không gian xạ ảnh (n-1) - chiều thì phép chiếu xuyên tâm là một đẳng cấu xạ ảnh Chứng minh: W n và W 'n Gọi Đặt δ là 2 không gian vecto nền của α và β = α ∩ β là (n-2)-phẳng {A1 , , An −1 , An } hệ điểm độc lập xạ ảnh của α Cho Trong đó: Ai ∈ δ ∀i = 1, n − 1 An ∈ α \ δ ' An = pc ( An ) Ta có: Hệ ' {A1 , , An −1 , An } độc lập xạ ảnh Thật vậy: nếu ' {A1 , , An −1 , An } phụ thuộc xạ ảnh . Các phép chiếu xuyên tâm và các phép thấu xạ. Thể hiện trong mô hình xạ ảnh của không gian Affine. A. Mô hình xạ ảnh của không gian Affine. I. Xây dựng mô hình. II. Một số thể hiện trong mô. xạ. I. Phép thấu xạ cặp. II. Phép thấu xạ đơn. III. Các phép thấu xạ trong không gian xạ ảnh P 2 và P 3 . IV. Các phép biến đổi affine sinh ra bởi các phép thấu xạ . V. Bài tập. 3 A. MÔ HÌNH. “ CÁC PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM VÀ CÁC PHÉP THẤU XẠ. THỂ HIỆN TRONG MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFFINE GVHD: PGS.TS LÊ ANH VŨ. 1 MỞ ĐẦU: Felix Klein là người đầu tiên đưa ra cách phân loại hình