Các phép chiếu xuyên tâm và các phép thấu xạ thể hiện trong mô hình xạ ảnh của không gian affine

Các phép chiếu xuyên tâm và các phép thấu xạ thể hiện trong mô hình xạ ảnh của không gian affine

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN – TIN.

MỞ ĐẦU:

Felix Klein là người đầu tiên đưa ra cách phân loại hình học theo nhóm các biến đổi trong nó, dựa vào cách phân loại này thì hình học xạ ảnh là môn hình học tổng quát nhất trong tất cả các môn hình học cao cấp và sơ cấp sử dụng công cụ tuyến tính Số lượng khái niệm, định lí của hình học xạ ảnh không nhiều nhưng nó đúng cho mọi hình học khác Hơn thế từ một số khái niệm, định lí của hình học xạ ảnh có thể suy ra được các khái niệm, định lí của hình học sơ cấp và affine Thế mạnh của hình học xạ ảnh là có thể giải quyết các bài toán về tính đồng qui và thẳng hàng (đặc biệt là hình học phẳng) một cách tổng quát Ngoài ra ta có thể sáng tạo các bài toán sơ cấp qua nguyên lý đối ngẫu, phương pháp đưa điểm ra vô tận

MỤC LỤC

Đề tài:

Các phép chiếu xuyên tâm và các phép thấu xạ Thể hiện trong

mô hình xạ ảnh của không gian Affine.

A Mô hình xạ ảnh của không gian Affine

I Xây dựng mô hình

II Một số thể hiện trong mô hình

B Phép chiếu xuyên tâm

I Định nghĩa

II Các định lý

III Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm

IV Phép chiếu xuyên tâm và đối ngẫu của nó trong P2

V Một số ứng dụng

C Phép thấu xạ

I Phép thấu xạ cặp

II Phép thấu xạ đơn

III Các phép thấu xạ trong không gian xạ ảnh P2 và P3

IV Các phép biến đổi affine sinh ra bởi các phép thấu xạ

V Bài tập

A MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFFINE

I XÂY DỰNG MÔ HÌNH:

Xuất phát từ không gian affine An ta đã biết cách xây dựng mô hình của không gian xạ ảnh Pn bằng cách thêm vào An những điểm vô tận Bây giờ ngược lại, từ không gian xạ ảnh Pn ta hãy bỏ bớt đi một số điểm nào đó để xây dựng mô hình của không gian affine

Ta hãy chọn trong Pn một siêu phẳng  bất kỳ và đặt

An = Pn \ là tập hợp những điểm thuộc Pn mà không thuộc  Ta sẽ chứng minh An là một không gian affine

Gọi Vn+1 là không gian vecto nền của không gian xạ ảnh Pn

Trang bị cho Vn+1 cấu trúc affine chính tắc:

Khi đó, ( 1 1 )

Vn+,Vn+,ϕ

là một không gian affine, kí hiệu lại là VA n+1 và kí

hiệu 0 r ∈ Vn+1là điểm 0 n 1

A

V +

Mỗi điểm X ∈ P Vn[ n+1] (đại diện bởi

vectơ x V r ∈ n+1 ) tương ứng với một không

gian vectơ con một chiều của Vn+1 Xét đường

thẳng affine dX qua O có không gian phương là

x

r

( không gian vectơ 1 chiều sinh bởi x r)

Đường thẳng affine này chỉ phụ thuộc điểm X

mà không phụ thuộc vectơ đại diện

Cho siêu phẳng xạ ảnh ∆ =π( )W° trong Pn[Vn+1] ( W là không gian vectơ con

n chiều trong Vn+1 ) Đặt WA là siêu phẳng affine qua O nhận W làm không gian phương

Ta trang bị cho An = P Vn[ ] \ ∆cấu trúc không gian affine liên kết với W như sau:

Trong VA n+1 lấy một siêu phẳng affine WA+song song (nhưng khác) với WA Khi đó, WA+ là một không gian affine n chiều nhận W làm không gian phương

Lấy X ∈A n , tức là X ∈P V n[ ] và X ∉∆ Khi đó vectơ đại diện của

là một không gian affine, thật vậy:

n

Y∈A (tương ứng với Y+ qua θ−1) thỏa:uuur XY = uuuuuur X Y+ + = v r

Vậy ∀ ∈ X An, ∀ ∈ v r W , ! ∃ ∈ Y An : uuur XY = v r

A : ∀ X Y Z , , ∈ A XY YZn: uuur uur + = uuuuuur uuuuur uuuuuur X Y+ + + Y Z+ + = X Z+ + = uuur XY

Vậy ta đã trang bị cho A n =P V n[ ] \∆ cấu trúc không gian affine liên kết với W

II MỘT SỐ THỂ HIỆN TRONG MÔ HÌNH:

1 Tọa độ và mục tiêu affine:

Xét mục tiêu xạ ảnh ( ) {ℜ : A A A0, 1, 2, ,A E n, } của không gian xạ ảnh Pn Chọn siêu phẳng ∆ = A A1, 2, , An làm siêu phẳng vô tận

Gọi Ei là giao điểm của đường thẳng A0Ai với siêu phẳng chứa các đỉnh Ai còn lại của mục tiêu và điểm E (i=1 n)

Đặt ei =uuuurA E0 i (i=1 n), ta được hệ

vectơ {ei}i=1 n là các vectơ cơ sở trong không

gian vectơ Vn Do đó ta có thể dùng bộ điểm

{A0; E1, E2,…, En} (1) làm mục tiêu affine

của không gian affine An = Pn \

Một điểm X trong Pn có tọa độ xạ

Vậy tọa độ điểm X(1:X1: X2:…: Xn)

Với điểm O đã chọn (trong cách xây dựng mô hình affine ), ta có:

( )OX X, ( )OA0 A0, ( )e i A i i 1, 2, ,n

ϕ uuur = ϕ uuuur = ϕ = ∀ = nên

OXuuur=OAuuuur0+X1.A Euuuuur0 1+…+Xn.Auuuuur0E n

Suy ra uuuurA X0 =X1.A Euuuuur0 1+…+Xn.Auuuuur0E n

Vậy trong không gian affine, điểm X có tọa độ đối với mục tiêu (1) là X(X1, X1,…, Xn)

2.Các m_phẳng affine:

Xét một m_phẳng Pm nào đó của Pn mà không nằm trong siêu phẳng Pn-1 = ( Với

Do X không thuộc  nên x0 ≠ 0 nên

chia 2 vế của phương trình m_phẳng

Ta thấy ma trận hệ số của hệ phương trình này cũng có hạng là n – m

Thật vậy, ta hãy xét hệ phương trình sau:

ij 0

, 1, 2, , 0

n

j j

10 11 12 1

11 12 1

20 21 22 2

21 22 2 1

L K

K L

L K

Ta có rank(B) = n – m + 1 vì Pm không thuộc 

Nếu rank(B1) < n – m thì rank(B) < n – m +1 (vô lý) nên rank(B1) = n – m

Vậy hệ (I) xác định phương trình của một m_phẳng affine

3 Các phép biến đổi affine:

Trong tập hợp tất cả những phép biến đổi xạ ảnh của Pn, ta xét những phép biến đổi xạ ảnh biến siêu phẳng Pn-1 thành chính nó Mỗi phép biến đổi như vậy biến mỗi điểm có tọa độ xạ ảnh (x0: x1:…: xn) thành điểm có tọa độ xạ ảnh (x0’: x1’:…: xn’) sao cho nếu x0 = 0 thì x0’= 0 và nếu x0 ≠ 0 thì x0’≠0 Muốn vậy phương trình của phép biến đổi

xạ ảnh cần phải có phương trình x0 = x0’.Do đó phương trình của phép biến đổi xạ ảnh có dạng:

'

ij 0 '

L L L

LLKhi đó phép biến đổi xạ ảnh nói trên của Pn sẽ sinh ra trên không gian affine An

một phép biến đổi affine Thực vậy, ta hãy lấy một điểm X∈An có tọa độ xạ ảnh là (x0:

x1:…: xn), trong đó x0≠0 Qua phép biến đổi xạ ảnh nói trên điểm X biến thành điểm X’

có tọa độ xạ ảnh là (x0’: x1’:…: xn’) Chuyển tọa độ xạ ảnh của X và của X’ sang tọa độ affine ta có phép biến đổi là:

a Giả sử A,B,C,D là bốn điểm phân biệt nằm trên một đường thẳng xạ ảnh (d) của Pn

nhưng không có điểm nào trong bốn điểm nằm trên siêu phẳng vô tận =Pn-1 Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {Ei;E}i=0 n sao cho E0≡A, E1=(d) I Khi đó các điểm B,C,D có tọa độ biểu thị tuyến tính qua E0 và E1

E1

A

D

CAuuur=(-c,0,…,0), CBuuur=(b-c,0,…,0) , DAuuur=(-d,0,…,0), DBuuur=(b-d,0,…,0)

b Nếu có một trong bốn điểm A,B,C,D là điểm vô tận, chẳng hạn là điểm D thì khi đó ta

Vậy (ABCD∞)=(ABC).

A PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM

- Phép chiếu xuyên tâm giữ bất động

tất cả những điểm giao của hai siêu

phẳng α và β

II Một số định lý

e là vector đại diện của An'

e là vector đại diện của C

Dẫn đến: ϕ ( ) x là vector đại diện của X’

Vậy ta đã chứng minh pc được cảm sinh từ đẳng cấu tuyến tính ϕ sao cho

X ∈ α có vector đại diện x thì sẽ có p Xc( ) = X ' ∈ β vector đại diện là

( ) x x '

ϕ = Do đó pc là một đẳng cấu xạ ảnh

2.Định lý 2:

Cho 2 siêu phẳngα α , ' trong P Vn[ n+1] thì ánh xạ xạ ảnh f : α → α 'là một phép chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi mọi phần tử của α α∩ ' là tự ứng Tức là

Rõ ràng phép chiếu xuyên tâm biến mọi điểm M ∈ ∩ α α ' thành chính nó

Ngược lại: giả sử f : α → α ' là ánh xạ xạ ảnh mà ∀ ∈ ∩ M α α ', ( ) f M = M

và f X( ) =X ' ∈α' cũng đi qua điểm C từ đó kết luận C là tâm chiếu )

Lấy M ∈α α α\( ∩ ') có w W Z ∈ \ làm vector đại diện

Suy ra: ( )γ w =w'là vector đại diện của f M( ) =M '∈α α α'\( ∩ ')

Khi đó: W = ⊕ < > Z w , W '= ⊕<Z w'> và {w,w’} độc lập tuyến tính

Xét điểm C MM ∈ ' có vector đại diện (w'−λw)∉(W ∪W ')

Lấy X ∈ α có vector đại diện là x

f X = X ∈ α có vector đại diện là γ ( ) x = x '

Ta có:

( ) ( )

(z Z) ( )

phép chiếu xuyên tâm

thì hiền nhiên nó giữ

bất động những điểm

nằm trên Pn-2

+) Chiều đảo: f là ánh xạ xạ ảnh có tính chất f(M) = M với mọi M thuộc Pn-2 cần chứng minh f là phép chiếu xuyên tâm

Trong α chọn một mục tiêu xạ ảnh là {A1, A2, …An-1,An, E} với A1, A2, …,An-1 thuộc

Pn-2, ta có An, E không thuộc Pn-2 , gọi A’n = f(An) và E’ = f(E)

Trên β ta có mục tiêu là {A1, A2, …An-1,A’n, E’} là ảnh của mục tiêu

{A1, A2, …An-1,An, E} qua f Gọi M = AnE ∩ β thì M thuộc Pn-2 do f(M) = M nên đường thẳng A’nE’ cũng qua M Trong mặt phẳng xạ ảnh tạo bởi hai đường thẳng AnE và A’nE’ gọi C là giao điểm của AnA’n và EE’ Gọi f ’ là phép chiếu xuyên tâm có cơ sở nền

là α và β với tâm chiếu là C Ta có: f ’(Ai) = Ai với i = 1,2,…,n-1 do Ai với i = 1,2,…,n-1 nằm trên Pn-2 và f ’(An) = A’n và f ’(E) = E’ Do sự xác định duy nhất của phép biến đổi xạ ảnh xác định bởi {A1, A2, …An-1,An, E} và {A1, A2, …An-1,A’n, E’} nên f ≡ f ’

Vậy f là phép chiếu xuyên tâm

3.Định lý 3:

Trong Pnvới cho hai siêu phẳng α vàα ' Giả sử f : α → α 'là một ánh xạ xạ ảnh, không phải là phép chiếu xuyên tâm Khi đó ta có thể phân tích f thành tích của m phép chiếu xuyên tâm với m n ≤ + 1

Chứng minh:

• Xét trường hợpα α ≠ ' và trong α α ∩ 'có một p-phẳng β mà mọi điểm

β của đều tự ứng đối với f ( 0 ≤ < − p n 2 )

Vì f không phải là phép chiếu xuyên tâm nên β α α≠ ∩ '

Lấy một điểm A ∈ α nhưng A ∉ α ' , điểm I ∈ β , điểm B trên đường thẳng IA

mà không trùng với I, A

Đặt A’=f(A), B’=f(B), thì A’B’ đi qua I

Do đó AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm C nào đó

Lấy một siêu phẳng α1 chứa β và A nhưng không chứa A’ thì chứa cả B

Gọi g1: ' α → α1 là phép chiếu xuyên tâm bởi tâm C

Khi đó, tích g1° f : α → α1 là một ánh xạ xạ ảnh,

(p+1)-phẳng tổng β + A nằm trên giao α α∩ 1 và mọi điểm của (p+1)-phẳng tổng

A

β + đều bất động đối với g1° f (vì các điểm trên β đều bất động khi qua f và g1

nên β bất động qua g1° f và A qua f biến thành A’ mà A’ qua g1 biến thành giao điểm của CA’ với α1 tức là điểm A vậy A bất biến qua g1° f , mọi điểm thuộc β + A đều biểu thị qua p+1 điểm độc lập trong β và A suy ra nó bất động )

Nếu g1° f không phải là phếp chiếu xuyên tâm ( tức là β + A ≠ ∩ α α1) thì cho

1

g ° f đóng vai trò như f ban đầu ta lại có phép chiếu xuyên tâm g2: α1 → α2 sao

cho g2 ° g1° f : α → α2 giữ bất động mọi điểm của một (p+2)- phẳng nào đó nằm trong α α ∩ 2

Tiếp tục cách làm như thế sau một số hữu hạn bước ta có thể tìm được các phép chiếu xuyên tâm g1: ' α → α1, g2: α1 → α2, , gp : αp−1 → αpsao cho tích

1

h g = ° ° g ° f α → α giữ bất động các điểm của một (n-2)-phẳng

Do đó h là một phép chiếu xuyên tâm

Suy ra f = g1−1° ° gq−1° h là tích của q+1 phép chiếu xuyên tâm Vì q p n + ≤ + 2

số ≤ − n 1 phép chiếu xuyên tâm Do đó f là tích của một số ≤n phép chiếu xuyên tâm

• Cuối cùng xét trường hợp α α = ' Chỉ cần lấy một phép chiếu xuyên tâm

r α → α nào đó thì r f ° : α → α ''' là một ánh xạ xạ ảnh rơi vào một trong hai trường hợp trên Suy ra f là tích của một số ≤ + n 1 phép chiếu xuyên tâm

III.Đối Ngẫu Của Phép Chiếu Xuyên Tâm:

Cũng như nhiều các khái niệm, định lý trong hình học xạ ảnh thì phép chiếu xuyên tâm cùng với các định lý bài tập về nó thì đều có đối ngẫu Do tính đối ngẫu cho nên ở đây chúng tôi chỉ nêu khái niệm và định lý mà không chứng minh lại Và hãy xem như là một bài tập

1 Định nghĩa:

Trong không gian xạ ảnh Pncho 2 điểm O và O’ và siêu phẳng α ∈ Pn \ OO'

Gọi B là bó đường thẳng tâm O , B’ là bó đường thẳng tâm O’

Và pα : B → B ' theo quy tắc ∀ ∈ m B biến thành p mα( ) = m ' sao cho

Định lý 1: phép chiếu xuyên siêu phẳng là một ánh xạ xạ ảnh

Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếu xuyên siêu phẳng là đường nối hai tâm phải tự ứng

Định lý 3: Một ánh xạ xạ ảnh không phải là phép chiếu xuyên xạ ảnh đều có thể phân tích thành không quá n+1 phép chiếu xuyên siêu phẳng

b) Đối ngẫu của định nghĩa 1:

Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng được gọi là phép chiếu xuyên trục (phép phối cành) nếu giao điểm của các cặp đường thẳng tương ứng luôn nằm trên một đường thẳng t cố định, đường thẳng t được gọi là trục phối cảnh

2.Định lý:

Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh f giữa hai hàng điểm {m} và {m’} là phép chiếu xuyên tâm là giao điểm O của hai giá tự ứng, tức f(O) = O

b) Định lý đối ngẫu của định lý 1:

Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh f giữa hai chùm đường thẳng {S} và {S’} là phép chiếu xuyên trục là đường thẳng nối S và S’ tự ứng, tức f(SS’) = SS’

V.

Một số áp dụng:

Áp dụng 1 : Chứng minh định lý papus bằng phép chiếu xuyên tâm

Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 2 đường thẳng phân biệt d d cắt nhau tại O Trên d1, 2 1 cho 3 điểm phân biệt , ,A B C O≠ Trên d2 cho 3 điểm phân biệt A’, B’, C’ khác O Gọi D,E,F lần lượt là giao điểm của BC’ và B’C, CA’ và AC’ , AB’ và A’B Khi đó D,E,F thẳng hàng

Chứng minh:

Gọi M =AC'∩B C' và

' '

N = AB∩A C

Xét các phép chiếu xuyên tâm h AB: '→d1 với tâm A’ và g d: 1→B C' với tâm C’Đặt f =gh AB: '→B C'

f biến B’ thành B’ => f là phép chiếu xuyên tâm từ AB’ đến B’C

Ngoài ra, f lần lượt biến A,F,N lần lượt thành M,D,C

Vì vậy, AM(≡ AC') ,DF, NC (≡A C' ) đồng quy tại tâm chiếu của f

Đặt f =g h AB° : →A B' ' là phép chiếu xuyên tâm

(Do là tích của các phép chiếu xuyên tâm và f giữ bất động D= AB∩A B' ')

Do đó: AA’, BB’,MP(≡CC') phải đồng quy tại tâm chiếu O của f

Suy ra: AA’, BB’, CC’ đồng quy

Chiều đảo:

Xét hai tam đỉnh DBB’ và FCC’ có A = DB∩FC, A’ = DB’∩FC’, O = BB’∩CC’ do O,

A, A’ thẳng hàng (do AA’, BB’, CC’ đồng qui tại O ) nên áp dụng chiều thuận của định

lý Desargues thứ I thì BC, B’C’, DF đồng qui tại E, tức D, E, F thẳng hàng

Bài Tập áp dụng:

Chứng minh các bài toán sau bằng phép chiếu xuyên tâm:

a) Định lý Menalaus

b) Trong P V2[ ], cho 2 đường thẳng phân biệt d và d’ và ba điểm phân biệt

A, B ,C không thuộc các đường thẳng đó Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt d tại M, cắt d’ tại M’ Gọi N’ là giao điểm của BM và d’, N là giao điểm CM’ và d Chứng minh rằng có điểm I∈P V2[ ] để I, N, N’ luôn thẳng hàng Xét trường hợp đặc biệt khi B trùng với C

c) Trong 2[ ]

P V , cho 2 đường thẳng phân biệt d và d’ và ba điểm phân biệt

A, B ,C không thuộc các đường thẳng đó Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt d tại M, cắt d’ tại M’ Xác định tập hợp giao điểm của BM và CM’ Chọn đường thẳng vô tận qua A,B,C từ đó suy ra một kết quả của hình học affine phẳng bằng mô hình xạ ảnh của không gian affine

- Cho f là một phép biến đổi xạ ảnh của Pn , ta nói f là thấu xạ cặp ( thấu xạ (m,n –

m – 1) – cặp ) với (α , β) là cặp nền nếu f giữ bất động mọi điểm nằm trên α và β Tức là:

- Trong trường hợp m = 0 thì thấu xạ

( 0, n – 1 ) – cặp được gọi là thấu xạ tâm với tâm là α = O

và cơ sở thấu xạ là siêu phẳng β

thì đường thẳng nối X và X’ cắt α tại A và cắt β tại B đều

có tỷ số kép của hàng 4 điểm (ABXX’) = k

Chứng minh:

Gọi f là phép thấu xạ (m,n – m – 1) – cặp nền là (α , β) với α là cái phẳng m – chiều (m < n) và β là cái phẳng (n – m – 1) – chiều bù với α và hai cái phẳng này chứa toàn những điểm kép của f Vì dim α = m nên có thể chọn trong đó m+1 điểm độc lập xạ ảnh

là A A0, 1, , Am Vì dim β = n – m – 1 nên ta có thể chọn trong đó n – m điểm

độc lập xạ ảnh là Am+1, Am+2, , An Chọn thêm một điểm E không nằm trên α

và β ( điều này có thể làm được vì α và β là hai phẳng chéo nhau ) ta được một mục tiêu

xạ ảnh trong Pn là R:{A0 ,A1 , , A m, A m+1 , , A n,E} Gọi

{ e e0, 1, , em, em+1, , en} là cơ sở nền của mục tiêu R Đối với mục tiêu trên thì m - phẳng α có phương trình là xm+1 = xm+2 = = xn = 0 còn (n –

m – 1 ) – phẳng β có phương trình là x0 = x1 = = xm = 0 Qua phép thấu

xạ f các điểm thuộc α và β đều kép nên ta suy ra biểu thức tọa độ của f đối với mục tiêu

số xm+1 ,….,xn phải có ít nhất một số khác 0 (do X không thuộc α ) Ta có X’ = (px0 :px1 :

…:pxm :qxm+1 :….:qxn) Giả sử đường thẳng nối X và X’ cắt α tại A và cắt β tại B Điểm

A thuộc đường thẳng XX’ nên A có tọa độ là:

[ ]A =λ.[X ]+µ.[X '] , mặt khác A thuộc α nên tọa độ của A thỏa phương trình của α