mô hình xạ ảnh của không gian ơclid

Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên nghành dành cho sinh viên nghành toán tại các trường đại học sư phạm trong cả nước.Mục đích của môn học này là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về hình học và mối quan hệ giữa chúng.Đồng thời hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận,phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán ở trường trung học phổ thông. việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán về hình học ơclit là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích, yêu cầu quan trọng cho sinh viên khi học môn học hình học xạ ảnh

MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Hình học xạ ảnh môn học chuyên nghành dành cho sinh viên nghành toán trường đại học sư phạm nước.Mục đích môn học cung cấp cho sinh viên nhìn tổng quan hình học mối quan hệ chúng.Đồng thời hình học xạ ảnh giúp có phương pháp suy luận,phương pháp giải sáng tạo số toán trường trung học phổ thông việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải sáng tạo toán hình học ơclit vấn đề mục đích, yêu cầu quan trọng cho sinh viên học môn học hình học xạ ảnh Nhằm tìm tìm hiểu rõ hình học xạ ảnh đồng thời ứng dụng vào việc giải toán hình học ơclit chọn đề tài "Mô hình xạ ảnh không gian ơclit" Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu mô hình xạ ảnh không gian ơclit Đối tượng nghiên cứu - Mô hình xạ ảnh không gian En Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu 5.Nội dung nghiên cứu -Tìm hiểu cách xây dựng mô hình xạ ảnh không gian ơclit - Một số khái niệm hình học ơclit thể mô hình - Mô hình xạ ảnh mặt phẳng ơclit - Một số toán áp dụng CHƯƠNG I MỘT SỐ YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC AFIN VÀ HÌNH HỌC ƠCLIT 1.1 Định nghĩa Cho V không gian Vectơ trường K tập A không rỗng mà phần tử gọi điểm Giả sử có ánh xạ uuuu r ϕ : A × A → V (Ta ký hiệu ϕ ( MN ) = MN với M, N ∈ A) thoả mãn hai tiền đề : ur i Với điểm M∈A vectơ U ∈ V có điểm N∈ A uuuu r ur cho MN = U uuur uuur uuuu r ii Với ba điểm M,N, P∈ A MN + NP = MP Khi ta gọi ba (A, ϕ ,V) không gian afin A liên kết với không gian vectơ V Ký hiệu A - Nếu K = R ta gọi A không gian Afin thực - Nếu K = C ta gọi A không gian Afin phức Ở ta xét không gian Afin thực 1.2 Hệ điểm độc lập Một hệ m + điểm A0,A1, ,Am (m ≥ ) không gian Afin A gọi độc uuuur uuuuu r uuuuur A A , A A , , A0 Am độc lập tuyến tính lập m vectơ Hệ không độc lập gọi hệ phụ thuộc 1.3 Định nghĩa mục tiêu afin Cho không gian afin n – chiều A liên kết với không gian vectơ A Gọi ur uu r uu r ε = {e1 , e2 , , en } sở A O điểm thuộc A tập hợp ur uu r uu r {O; ε } hay {O, e1 , e2 , , en } gọi mục tiêu afin A, O gọi điểm gốc mục tiêu, ei vectơ thứ i mục tiêu 1.4 Định nghĩa ur uu r uu r Trong không gian afin A n – chiều cho mục tiêu afin {O, e1 , e2 , , en } với uuu r ur điểm X ∈ A ta có vectơ OA ∈ A , có phần tử X , X , , X n uuur ur uu r uu r R cho OX = X e1 + X e2 + X n en Bộ n phần tử ( X , X , , X n ) gọi toạ độ điểm X mục tiêu chọn ký hiệu X ( X , X , , X n ) hay X = ( X , X , , X n ) 1.5 Các phẳng không gian afin ur Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A Gọi I điểm uuur ur ur ur A α không gian vectơ A Khi tập hợp α = M ∈ A \ IM ∈ α { ur gọi phẳng (Gọi tắt "phẳng") qua I có phương α ur Nếu α có số chiều m α phẳng m- chiều hay gọi m-phẳng } 1.5.2 Vị trí tương đối phẳng Định nghĩa:Trong không gian afin An cho p - phẳng α q- phẳng (p < q) ur ur có phương α , β a) Cái phẳng α β gọi cắt chúng có điểm chung ur ur b) Cái phẳng α gọi song song với β α không gian β c) Cái phẳng α β gọi chéo chúng không cắt không song song với d) Giao α ⊂ β hiểu theo nghĩa thông thường lý thuyết tập hợp gọi giao hai phẳng α β e) Tổng ( α + β ) hai phẳng α β giao tất phẳng chứa α β Định lý Giao hai phẳng α β tập rỗng phẳng có phương α ⊂ β 1.6 Siêu mặt bậc hai 1.6.1 Định nghĩa Trong không gian afin An trường số thực chọn mục tiêu Afin ur uu r uu r {O, e1 , e2 , , en } cho phương trình bậc hai: n ∑a xx i , j =1 ij i n j + 2∑ xi + a0 = ( 1) i =1 Tập tất điểm X thuộc An cho toạ độ ( x1, x2 , , xn ) thoả mãn phương trình (1) gọi siêu mặt bậc hai xác định phương trình 1.6.2 Định nghĩa Tâm siêu mặt bậc hai (S) điểm mà ta chọn làm gốc mục tiêu phương trình (S) có dạng n ∑a xx i , j =1 ij i j + a0 = hay x t Ax + a0 = với A = [ a0 ] n*n 1.6.3 Phương tiệm cận ur Vectơ C = (c1, c2, , cn ) gọi phương tiệm cận siêu mặt bậc hai (S) n ur t có phương trình: x Ax + 2a x + a0 = C ≠ C AC = ∑ an ci c j = t t i , j =1 1.6.4 Định nghĩa tiếp tuyến Đường thẳng d gọi tiếp tuyến siêu mặt bậc hai (S') Hoặc phương d phương tiệm cận (S) d cắt (S) điểm (điểm gọi tiếp điểm hay ta gọi điểm tiếp xúc với (S) Hoặc d nằm (S) Nếu siêu mặt bậc hai (S) có phương trình x tAx + 2a tx+ a0 = cho B ( b1,b2 , , b n ) nằm (S ) đường thẳng d qua B có phương C = (c 1, c2 cn) tiếp tuyến b AC + 2a C + a0 = 1.7 Tích vô hướng không gian vectơ Ơclit 1.7.1 Định nghĩa Cho V không gian Vectơ thực, tích vô hướng V ánh xạ: t t ϕ : V ×V → R ( x, y ) → ( x, y ) Thoả mãn điều kiện i - ϕ ánh xạ song tuyến tính ϕ ( x + x ', y ) = ϕ ( x, y ) + ϕ ( x ', y ) ϕ (λ x ', y ) = λϕ ( x, y ) ϕ ( x , y + y ' ) = ϕ ( x , y ) + ϕ ( x, y ' ) ϕ ( x, λ y ) = λϕ ( x, y ) ∀x, x ', y, y ' ∈ V , ∀λ ∈ R ϕ (x,y) = ϕ (y,x), ∀x,y ∈ V ii - ϕ đối xứng iii - ϕ xác định dương: ϕ (x,x) ≥ 0, ∀x ∈ V ϕ (x,x) = 0,  ∀x = θ 1.7.2 Định nghĩa Một không gian véctơ thực với tích vô hướng uur gọi không gian vectơ Ơclit Ký hiệu: E n 1.8 Định nghĩa Hai vectơ khác θ không gian vectơ ơclit En gọi trực giao với góc chúng Nếu x,y trực giao với x ⊥ y Nhận xét: x ⊥ y ⇔ x.y = π 1.9 Định nghĩa Hệ vectơ {a1, a2, ,an} gọi hệ trực giao hai vectơ tuỳ ý hệ trực giao với Hệ trực giao gồm toàn vectơ đơn vị gọi hệ trực chuẩn Nhận xét  neu i = j Hệ {a1, a2, ,an} hệ trực chuẩn ⇔ a j = δ ij =  0 neu i ≠ j 1.10 Định nghĩa ur uu r uu r Cơ sở ε = {e1 , e2 , , en } không gian vectơ ơclit n- chiều En gọi sở ur uu r uu r n trực chuẩn E ε = {e1 , e2 , , en } hệ trực chuẩn Toạ độ vectơ hệ trực chuẩn gọi toạ độ trực chuẩn 1.11 Không gian Ơclit Định nghĩa Không gian Ơclit không gian Afin liên kết với không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều Không gian Ơclit gọi n- chiều không gian vectơ Ơclít liên kết với có chiều n Ký hiệu không gian Ơclit n- chiều là: En 1.12 Định nghĩa ur uu r uu r Mục tiêu afin {O, e1 , e2 , , en } không gian Ơclit n- chiều En gọi mục tiêu trực ur uu r uu r chuẩn sở ε = {e1 , e2 , , en } En sở trực chuẩn Toạ độ điểm mục tiêu trực chuẩn gọi toạ độ trực chuẩn ur ur 1.13 Định nghĩa Hai phẳng α (α ), β ( β ) En gọi vuông góc với phương r r r ur r ur chúng vuông góc với tức u v = 0(∀u ∈ α , ∀v ∈ β ) Ký hiệu: α ⊥ β 1.14 Siêu mặt bậc hai En 1.14.1 Dạng tắc cuả siêu mặt bậc hai En ur uu r uu r Giả sử {O, e1 , e2 , , en } mục tiêu trực chuẩn En Cho (S) siêu mặt bậc hai En có phương trình x t Ax + 2a t x + a0 = (1) t Trong A ma trận đối xứng , A ≠ 0nn , A = A , nên có ma trận C trực giao cấp n để C t AC có dạng chéo Ta tìm mục tiêu trực chuẩn cho phương trình (S) mục tiêu có dạng đây: r ∑λ x i =1 r ∑λ x i =1 = 1;1 ≤ r ≤ n( I ) = 0;1 ≤ r ≤ n( II ) = xi +1 ;1 ≤ r ≤ n( III ) i i r ∑λ x i =1 i i i i Các dạng (I), (II), (III) gọi dạng tắc phương trình siêu mặt bậc hai (S) 1.14.2 Phương siêu mặt bậc hai ur Định nghĩa Trong En với mục tiêu trực chuẩn {0, ei } cho siêu mặt bậc hai có t t phương trình: x Ax + 2a x + a0 = ur r Vectơ C ( c1 , c2 , , cn ) ≠ gọi phương siêu mặt bậc hai AC= λ C ur ur ( tức ∑ aij ci = λ ci ; n = 1, 2, , n )Hay vectơ C phương (S) C vectơ n j =1 riêng ma trận A Nhận xét a Phương phương tiện cận giá trị riêng tương ứng λ ≠ ur ur b Siêu phẳng kính liên hợp với phương C có phương vuông góc với C 1.14.3 Định nghĩa Siêu phẳng kính liên hợp với phương gọi siêu phẳng kính ur 1.14.4 Định lý Trong En với mục tiêu trực chuẩn {0, ei } (i = 1,2 , n) cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình n n i =1 i =1 ∑ bi xi + 2∑ bi xi + a0 = ur uu r uu r Khi vectơ e1 , e2 , , en phương (S) 1.15 Siêu cầu En 1.15.1 Siêu cầu thực Định nghĩa Trong En, cho điểm I số thực r > Tập hợp S ( I , r ) = {M ∈ E n / d ( I , M ) = r} gọi siêu cầu thực tâm I bán kính r Nhận xét ur Giả sử {0, ei } (i = 1,2, , n ) mục tiêu trực chuẩn En I(a1, a2, an ) phương trình siêu cầu S (I,r) là: n n ∑ xi − 2∑ xi + i =1 i =1 n ∑a i =1 i − r2 = Vậy siêu cầu thực siêu mặt bậc hai 1.15.2 Siêu cầu tổng quát Định nghĩa: Trong En với mục tiêu trực chuẩn, cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình n ∑x i =1 i n + 2∑ xi + a0 = i =1 gọi siêu cầu tổng quát En Nhận xét ur r a Đối với siêu cầu tổng quát vectơ C ≠ phương tiện cận luôn phương Mọi siêu phẳng qua tâm siêu phẳng kính b Siêu tiếp diện siêu cầu S (I,r) điểm M ∈ S ( I , r ) siêu phẳng qua M trực giao với đường thẳng IM CHƯƠNG II:MỘT SỐ YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC XẠ ẢNH 2.1 Định nghĩa Cho Vn ( n ≥ ) không gian vectơ trường K (K trường số phức thực) Ta ký hiệu [Vn] tập tất không gian chiều Vn Lấy tập P không rỗng Nếu có song ánh p : [V n+1] → P ba ( P, p, V ) gọi không gian xạ ảnh n +1 n – chiều liên kết với không gian V n+1 Ký hiệu Pn Mỗi phần tử A ⊂ Pn gọi điểm không gian xạ ảnh uu r uu r uu r r Nếu V1 ⊂ Vn+1 , P (V1) = A, véc tơ X ≠ cho < X >= V vectơ X gọi véc tơ đại diện điểm A Lưu ý Hai vectơ đại diện cho điểm cộng tuyến với 2.2 Các phẳng không gian xạ ảnh 2.2.1 Định nghĩa ( ) n +1 Cho không gian xạ ảnh P, p, V Vm+1 không gian Vn+1 Tập hợp p ( [ Vm+1 ( ]) ⊂ P gọi m – phẳng m, chiều P, ký hiệu P m , ) P m = p  V m +1  không gian xạ ảnh m- chiều 0– phẳng điểm 1- phẳng đường thẳng 2- phẳng mặt phẳng (n-1)- phẳng siêu phẳng 2.3 Hệ điểm độc lập Trong không gian xạ ảnh P cho hệ k điểm M , M2 , Mk có vectơ đại diện ur uu r uu r tương ứng : x1 , x2 , , xk (k ≤ n) ur Hệ điểm M , M , M k gọi độc lập hệ vectơ đại diện xi { } (i = 1, 2, k ) hệ độc lập tuyến tính 2.4 Mục tiêu xạ ảnh Trong không gian xạ ảnh Pn Hệ gồm n +2 điểm có thứ tự {A0 , A1 An, E} gọi mục tiêu xạ ảnh hệ n+1 điểm n+2 điểm độc lập 2.5 Toạ độ xạ ảnh Trong không gian xạ ảnh P cho mục tiêu { Ai ; E } ε = n ur ei , i = 1, n sở { } đại diện cho mục tiêu Với M ∈ Pn x vectơ đại diện điểm M Khi toạ độ ur điểm M mục tiêu { Ai; E } toạ độ x sở ε = ei { } 2.6 Phương trình tổng quát m – phẳng Phương trình tổng quát m – phẳng Pn có dạng : n ∑b x j =1 ij i = 0;(i = 1, 2, , n − m) Trong B = [bij] ma trận có hạng n-m ( i = 0,1,2 ,n,m, j = 0,1,2 , ,n) 2.7 Tỷ số kép điểm thẳng hàng Trong Pn cho điểm A,B,C,D thuộc đường thẳng cho A khác B; C D không trùng với A B Giả sử với mục tiêu cho trước P n cho điểm A,B,C, D có ma trận toạ độ cột [A], [B] , [C], [D] [ C ] = λ1 [ A] + µ1 [ B ] Ta có: [ D ] = λ2 [ A] + µ2 [ B ] Tỷ số kép điểm A,B,C,D theo thứ tự ký hiệu [A,B.C,D] xác định µ µ [ A, B, C , D ] = : λ2 λ1 Định nghĩa 2.7.1 Nếu tỷ số kép [A,B,C,D] = -1 ta nói cặp điểm C,D chia điều hoà cặp điểm A,B, hay nói cách khác cặp A,B cặp điểm C,D liên hợp điều hoà hay nói hàng điểm [A,B,C,D] hàng điểm điều hoà Định nghĩa 2.7.2.Trong không gian xạ ảnh Pn tập siêu phẳng qua n2 phẳng gọi chùm siêu phẳng với giá n-2 phẳng Định nghĩa 2.7.3 Bốn siêu phẳng U,V,W, Z chùm gọi chùm bốn siêu phẳng điều hoà, tỷ số kép siêu phẳng –1 Khi ta nói cặp siêu phẳng U,V chia điều hoà cặp siêu phẳng W,Z ký hiệu [U,V,W,Z ] = - Định lý 2.7.1 Cho bốn siêu phẳng [ U,V,W,Z ] thuộc chùm, U,V, W,Z đôi phân biệt Nếu đường thẳng d cắt bốn siêu phẳng điểm A,B,C,D ( không cắt giá chùm) tỷ số kép điểm không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d tỷ số kép chùm siêu phẳng tương ứng Định lý hình bốn đỉnh toàn phần Trong hình bốn đỉnh toàn phần hai điểm chéo nằm đường chéo chia điều hoà cặp giao điểm đường chéo với cặp cạnh qua điểm chéo thứ ba Định lý hình bốn cạnh toàn phần Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đường chéo qua điểm chéo chia điều hoà đường thẳng nối hai điểm chéo với hai đỉnh nằm đường chéo thứ ba Định lý Giả sử hai điểm phân biệt Y Z liên hợp với siêu mặt bậc hai (S) không gian xạ ảnh Pn Nếu đường thẳng (Y,Z) cắt (S) hai điểm phân biệt M,N [Y,Z,M,N] = -1 Nếu đường thẳng (Y,Z) cắt (S) điểm điểm Y Z 2.8 Siêu phẳng liên hợp siêu mặt bậc hai không suy biến 2.8.1.Định nghĩa.Hai siêu phẳng U V gọi liên hợp với siêu mặt bậc hai không suy biến (S) hai điểm đối cực chúng liên hợp với (S) 2.8.2 Tính chất Tính chất Hai siêu phẳng liên hợp với siêu mặt bậc hai không suy biến siêu phẳng qua điểm đối cực siêu phẳng Tính chất Siêu phẳng U liên hợp với siêu mặt bậc hai ( S) U tiếp xúc với (S) (tại điểm U* điểm đối cực U) Tính chất Cho hai siêu phẳng phân biệt U,V liên hợp với siêu mặt bậc hai không suy biến (S) Nếu qua giao U ∩ V có hai siêu phẳng phân biệt P Q tiếp xúc với (S) [U,V,P,Q] = -1 2.16 Định nghĩa Trong P2 cho hai chùm đường thẳng phân biệt {S}, {S'} đường thẳng p không thuộc chúng (có nghĩa p không qua S không qua S') Ánh xạ f : {S} → {S'} biến đường thẳng m ∈ {S} thành đường thẳng m' qua S' m ∩ p gọi phép chiếu xuyên trục, p gọi trục phép chiếu f 2.17 Định lý Stâyne (Steiner) Xét mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) a/ Cho hai điểm cố định S S2 nằm đường Ovan điểm M thay đổi Ovan Khi ánh xạ f : {S 1} → {S2} biến đường thẳng S1M thành đường thẳng S2M ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục (Chú ý rằng, M trùng với S1, ta xem S1M tiếp tuyến OVan S 1, S2 thế) b/ Ngược lại: Cho ánh xạ xạ ảnh f: {S 1} → {S2} hai chùm phân biệt {S1} {S2} Nếu f phép chiếu xuyên trục tập hợp giao điểm đường thẳng tương ứng đường OVan Xét không gian mở rộng (phức) P2 thay S1, S2 hai điểm xyclic I, J định lý Stâyne Từ ta có: 10 Ký hiệu K0 nhóm tất phép biến đổi xạ ảnh không gian xạ ảnh P n Khi hình học xạ ảnh hình học nhóm K0 Gọi W siêu phẳng vô tận P n tập hợp phép biến đối xạ ảnh giữ nguyên W làm thành nhóm K Nhóm đẳng cấu với nhóm A n tất phép Afin không gian Afin An = Pn\ Pn-1 Xét tập hợp phép xạ ảnh giữ nguyên W giữ nguyên tuyệt đối (T) tập hợp làm thành nhóm đẳng cấu với nhóm phép đồng dạng Đn En 3.3.3 Ý nghĩa xạ ảnh tính vuông góc En Định lý Điều kiện cần đủ để hai đường thẳng a b vuông góc với hai điểm vô tận chúng liên hợp với tuyệt đối (T) Chứng minh Cách 1: Giả sử hai đường thẳng a, b có vectơ phương r r a = ( a1 , a2 , , an ) b = ( b1 , b2 , , bn ) Gọi A B điểm vô tận a b toạ độ xạ ảnh chúng A = (0 : a1 : a2, an), B = (0 : b1 : b2, bn) r r Hai đường thẳng a b vuông góc với a b = , hay a1b1 + a2b2 + + anbn =0 ⇔( A ) B =0 t Điều chứng tỏ hai điểm A B (trên W) liên hợp với tuyệt đối (T) Cách 2: Ta dựng qua gốc A0 mục tiêu trực chuẩn {A 0; Ei}, hai đường thẳng d1và d,1 song song với d d, Trên d1và d,1 ta lấy hai điểm X X, , , , khác với A0 có tọa độ ( X , X , , X n ) ( X , X , , X n ) , Gọi A∞ A∞ hai điểm vô tận d d,1 (cũng diểm vô tận d d,) , tọa độ xạ ảnh A∞ A∞ A∞ = ( X , X , , X n , 0) , A∞, = ( X 1, , X 2, , , X n, , 0) (vì P n−1 có phương trình X n −1 = ) điều kiện cần đủ để d1 d,1 vuông góc với là: n uuuur uuuur A0 X A0 X = ⇔ ∑ X i X ,i i =1 , điều kiện để hai điểm A∞ A∞ liên hợp với tuyệt đố T 19 A∞ 3.3.4.Công thức Laghe (Laguerre) Trong En cho hai đường thẳng a b với véc tơ phương A, B hai điểm vô vận a b Đường thẳng AB cắt tuyệt đối (T) hai điểm ảo liên hợp P Q góc ϕ hai đường thẳng a, b tính theo công thức Laghe 1  cos ϕ = cos  in [ P, Q, A, B ] ÷ ,i đơn vị ảo  2i  Đặc biệt a ⊥ b [P, Q, A, B] = - 3.3.5 Siêu mặt bậc hai En Giả sử (S) siêu mặt bậc hai Pn có phương trình mục tiêu xạ ảnh chọn là: n ∑a x x i ,i =1 ij i j =0 Ta đặt S' = S \ W (W siêu phẳng xạ ảnh x = 0) ,lúc điểm (S') có tọa độ thoả mãn phương trình n ∑a x x i ,i =1 ij i n j + 2∑ aij xi + a00 = 0, X i = xi \ x0 i =1 Nếu aịj không đồng thời không (i, j = 1,2, , n) (S') tiêu siêu mặt bậc hai En mục tiêu trực chuẩn {A0; Ei} sinh mục tiêu xạ ảnh {Ai; E}, i = 0, 1, 2, , n Khi ta nói siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) sinh siêu mặt bậc hai (S') 3.3.6 Siêu cầu Định lý Mỗi siêu mặt bậc hai không gian Ơclit E n siêu cầu cắt siêu phẳng vô tận W theo tuyệt đối (T) Chứng minh Điều kiện cần: Mỗi siêu cầu (S) E n có phương trình mục trực chuẩn là: n ∑X i =1 i n + 2∑ X i + a = i =1 Chuyển sang toạ độ xạ ảnh X = (x0 : x1 : : xn) với Xi = xi / x0 phương trình trở thành 20 n n a0 x0 + ∑ xi + 2∑ x0 xi = 2 i =1 i =1 Giao (S) với siêu phẳng vô tận W : x0 = tập hợp x0 =   2  x1 + x2 + + xn = Như vậy, ( S ) ∩ W = ( T ) hay (C) qua (T) Điều kiện đủ: Cho (S) siêu mặt bậc hai E n có phương trình mục tiêu trực chuẩn n n i ,i =1 i =1 ∑ aij X i X j + 2∑ aij X i + a00 = Chuyển sang toạ độ xạ ảnh ta có phương trình n ∑a x x i ,i =1 ij i j =0 Giao (S) với siêu phẳng vô tận W tập hợp  x0 =  n   ∑ aij xi x j = i ,i =1 Nếu giao trùng với tuyệt đối (T) thì: aij = kδ ij với k ≠ Như phương trình trở thành n n k ∑ X i + 2∑ aij X i + a00 = i =1 i =1 phương trình phương trình siêu cầu Vậy định lý chứng minh Chú ý Tâm siêu cầu điểm đối cực siêu phẳng vô tận siêu cầu 3.3.7 Phương siêu mặt bậc hai En Trong En cho siêu mặt bậc hai (S') sinh siêu mặt bậc hai xạ ảnh (S) r Phương c ( c1 , c2 , , c2 ) phương (S') vuông góc siêu phẳng kính r γ liên hợp với phương c điểm vô tận C (0, c1, c2, ,cn) ứng với phương r c liên hợp với điểm thuộc γ ∩W hay nói cách khác: không gian xạ ảnh n-1 chiều W,C điểm đối cực siêu phẳng γ ∩W dối với (T) Từ suy - Nếu (S') siêu cầu phương phương 21 - Trong E2 đường cônic khác đường tròn có hai phương 3.3.8 Thể mô hình xạ ảnh không gian Ơclit P2 Giả sử E2 = P2\W, W đường thẳng vô tận, tuyệt đối (T) bây  x0 =  2  x1 + x2 = Như (T) không chứa điểm P Nếu xét không gian mở rộng (phức) P2 tuyệt đối (T) gồm hai điểm ảo I = (0 : : i) j = (0 : 1: - i) Hai điểm gọi hai điểm xiclic mặt phẳng Ơclit 3.15.1 Mệnh đề Hai đường thẳng mặt phẳng Ơclit vuông góc với hai điểm vô tận chúng chia điều hoà hai điểm xiclic I, J Chứng minh Trong E2 giả sử hai đường thẳng a, b có vectơ phương là tập: r a = ( a1 , a2 ) , r b = ( b1 , b2 ) Gọi A, B hai điểm vô tận a b toạ độ xạ ảnh chúng A (0 : a1 : a2) , B (0 : b1 : b2) Điều kiện cần Do a b vuông góc với nên ta có: a1b1 + a2b2 = mà: a = k + l b = k2 + l2 (A) = k1 (I) + l1 ( J ) ⇔ 1 ⇒  ( B) = k2 ( I ) + l2 (J)  a2 = ik2 − il2 b2 = ik2 − il2 ia + a ia − a ib + b ib − b ⇒ k1 = , l1 = , k2 = , l = 2i 2i 2i 2i ib1 + b2 ia1 + a2 k k ⇒ [ I , J , A, B ] = : = 2i : 2i l2 l1 ib1 − b2 ia1 − a2 2i 2i (ib + b )(ia − a ) − a b − ib1a2 + a1b2 − a2b2 = 2 = 11 (ib1 − b2 )(ia1 + a2 ) − a1b1 + ib1a2 − ia1b2 − a2b2 =− i (a1b1 − a1b2 ) = −1 i (a1b1 − a1b2 ) Như A, B chia điều hoà hai điểm xiclic I, J Điều kiện đủ: Ta có [A, B, I, J] = - ⇔ − a1b1 − ib1a2 + ia1b2 − a2b2 − a1b1 + ib1a2 − ia1b2 − a2b2 22 ⇔ − a1b1 − ia2b1 + ia1b2 − a2b2 = a1b1 − ia2b1 + ia1b2 + a2b2 ⇔ ( a1b1 + a2b2 ) = ⇔ a1b1 + a2b2 = Vậy a, b vuông góc với Định lý chứng minh 3.15.2 Tiêu điểm đương conic E2 Xét mô hình xạ ảnh mặt phẳng Ơclit E = P2\W Giả sử (C') đường conic E2 sinh đường Ovan (C) P Điểm F E2 gọi tiêu điểm conic (C') không gian mở rộng (phức) P hai đường thẳng FI, FJ hai tiếp tuyến Ovan (C) Đường thẳng d E gọi đường chuẩn conic (C') ứng với tiêu điểm F d sinh đường thẳng P đường đối cực F Ovan (C) Như vậy, tiêu điểm F giao điểm hai tiếp tuyến từ I J tới Ovan (C) đường thẳng ảo Nếu (C') đường tròn (C) qua hai điểm xiclic I, J Khi F giao điểm hai tiếp tuyến I J Như F điểm đối cực đường thẳng W (C) nên F tâm đường tròn (C') Trong trường hợp đường chuẩn không có, hay ta nói đường chuẩn đường thẳng vô tận W Nếu (C') đường tròn qua I, quan J, có hai tiếp tuyến với C) Khi (C') parabol W tiếp xúc với (C) Do tiếp tuyến nói có hai tiếp tuyến trùng trùng với W Hai tiếp tuyến lại ảo liên hợp nên cắt điểm thực F Vậy parabol có tiêu điểm F đường chuẩn Khi (C') Parabol W không cắt (C) hay W cắt (C) hai điểm phân biệt, tiếp tuyến phân biệt chia thành hai cặp ảo liên hợp Vậy (C') có hai tiêu điểm hai đường chuẩn 3.15.3/ Sự xác định đường tròn E2 Như chương ta biết đường Ovan (C) P xác định qua ba điểm thực A, B, C hai diểm xyclic I, J, ba điểm thẳng hàng Trong mô hình E2 = p2\W, với W đường thẳng vô tận qua I, J điểm chung thực với (C), đường Ovan (C) sinh đường tròn (C'), E2 qua ba điểm thực A, B, C Vậy qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có đường tròn qua chúng CHƯƠNG 4: Ứng dụng mô hình xạ ảnh không gian Ơclit 23 A - Dùng mô hình xạ ảnh mặt phẳng Ơclit để giải toán mặt phẳng Ơclit Trong mục trình bày toán Ơclit toán gốc cách bổ sung thêm đường thẳng vô tận ta có toán xạ ảnh tương ứng chứng minh không gian xạ ảnh, kết chứng minh không gian xạ ảnh kết không gian Ơclit A.1 Bài toán Ơclit Chứng minh ba đường cao tam giác đồng quy Đối với toán ta dễ dàng chứng minh kiến thức hình học sơ cấp Giờ ta phân tích toán Ơclit để chuyển sang toán xạ ảnh không gian xạ ảnh giải không gian xạ ảnh * Xét mô hình P2 = E2 ∪ ∆ (∆ đường thẳng vô tận qua điểm xyclic I, J), ∆ ABC thể đơn hình ABC có đỉnh không thuộc ∆ P = BC ∩ ∆, Q = CA ∩ ∆, R = BA ∩ ∆ * Ba đường thẳng x, y, z qua A, B ,C thể ba đường cao tam giác ABC cắt ∆ E, F, K cho cặp điểm (P, E), (Q, F), (R, K) chia điều hoà I, J Khi đường thẳng x, y, z đồng quy Bài toán xạ ảnh tương ứng Trong P2 cho điểm A, B, C không thẳng hàng đường thẳng ∆ không qua chúng, hai điểm I, J thuộc ∆ Gọi P = BC ∩ ∆, Q = CA ∩ ∆, R = AB ∩ ∆ Ba đường thẳng x, y, z qua A, B , C cắt ∆ E, F, K cho [PEIJ] = - 1, [QFIJ] = - 1, [RKIJ] = - Chứng minh ba đường thẳng x, y, z đồng quy E P F R K Q ∆ C A z B y Chứng minh: Ta dùng phương pháp toạ độ Trong P2 ta chọn mục tiêu {A0, A1, A2; E} (1) Đường thẳng ∆ có phương trình x = 0, I (0, , i), J (0, 1, -i) Chọn A (1, 1, 0), B (1, 0, 1) , C (c, c 1, c2) (1) Khi AB = (-1, 1, 1), BC = (c1, c2 - c0, - c1) , CA = (c2, - c2, c1 - c0) P = BC ∩ ∆ ⇒ P (0, c1,c2-c0), Q = CA ∩ ∆ ⇒ Q (0, c1 - c0, c2), R = AB ∩ ∆ ⇒ R (0, 1- 1) 24 Giả sử E (x0E, x1E, x2E), F (xoF, x1F, x2F), K (xoK, x1K, x2K) (1) Ta có ic1 + c2 − c0 ic − c + c  [ I] + [ J] [ P ] = 2i 2i   [ E ] = ix1E + x2 E [ I ] + ix1E − x2 E [ J ]  2i 2i  x0 E =  E ∈ ∆ [ PEIJ ] = −1 nên ta suy ra:  ix1E + x2 E ic1 + c2 − c0  ix − x : ic − c + c = −1 2E  1E  x0 E =  ⇔  x1E = c2 − co ⇒ E (0, c2 − c0 , −c1 )  x = −c  2E Tương tự ta tính F (0, - c2, c1 - c0), k (0, 1, 1) Đường thẳng x qua A E có toạ độ: x ( - c1, c1, c2 - c0) Đường thẳng y qua B F có toạ độ: y ( - c2, c1 - c0, c2) Đường thẳng z qua C K có toạ độ: z ( c2- c1 , c0 , - c0) − c1 c1 c2 − c0 − c2 c1 − c0 c2 = Xét: − c2 − c1 c0 − c0 Vậy x, y, z đồng quy A.2 Bài toán Ơclit 2: Chứng minh Parabol a/ Đường chuẩn tiếp tuyến đỉnh luôn vuông góc với trục đối xứng b/ Đỉnh trung điểm đoạn thẳng nối tiêu điểm với giao điểm đường chuẩn trục đối xứng Đối với toán ta chứng minh không gian Ơclit cách sử dụng kiến thức hình học sơ cấp Giờ ta xét không gian xạ ảnh P2 * Parabol thể Ovan (C) tiếp xúc với đường thẳng vô tận ∆ điểm E Tiêu điểm F giao điểm hai tiếp tuyến từ I từ J tới Ovan (C) * Đường thẳng qua tiếp điểm A, B hai tiếp tuyến FI, FJ thể đường chuẩn ứng với tiêu điểm F Parabol * S = AB ∩ ∆ Đối cực S, qua E cắt lại (C) điểm OE thể trục đối xứng parabol Điểm thể đỉnh parabol gọi C = AB ∩ ∆ Bài toán xạ ảnh tương ứng: 25 Trong P2 cho đường Ovan (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ điểm thực E, hai điểm xuyclic I , J ∈ ∆ Hai tiếp tuyến vẽ từ I j tiếp xúc với (C) A B cắt F Đường thẳng qua E F cắt C O AB C Gọi S = AB ∩ ∆ Chứng minh rằng: a/ SO tiếp tuyến (C) [SEIJ] = - b/ [FCOE] = - I S E J ∆ A C • • • • B F Chứng minh: a/ Ta có S liên hợp với E C S = AB ∩ ∆, AB đối cực F ⇒ S liên hợp với F (C) Suy S cực EF (1) = EF ∩ (C) ⇒ liên hợp với S (C) Do S0 tiếp tuyến (C) C = AB ∩ EF ⇒ C liên hợp với F C liên hợp với S ⇒ C cực FS (2) Từ (1) (2) ta suy EF FS liên hợp với (C) Mà S = FS ∩ ∆, E = EF ∩ ∆, I = FI ∩ ∆, J = FJ ∩ ∆ ⇒ [SEIJ] = - b/ F liên hợp với C (C) Mà FC ∩ (C) = E nên ta suy ta [FCOE] = - Ta có lời giải toán Ơclit S điểm vô tận AB 0S E điểm vô tận OE Từ [SEIJ] = - ⇒ AB vuông góc với OE 0S vuông góc với OE [FC0E] = - ⇒ trung điểm F C A.2 Bài toán Ơclit 3: Cho D không nằm cạnh ∆ABC Các đường thẳng a, b, c qua D vuông góc với DA, DB, DC cắt BC, CA, AB A', B', C' Chứng minh điểm A', B', C' thẳng hàng 26 Đối với ta dùng kiến thức hình học sơ cấp để chứng minh Giờ ta phân tích để chuyển sang toán xạ ảnh giải không gian xạ ảnh * Xét mô hình P2 = E2 ∪ ∆ (∆ đường thẳng vô tận qua điểm xyclic I, J), ∆ABC thể đơn hình ABC có đỉnh không thuộc ∆ điểm D không thuộc ∆ Điều kiện a ⊥ DA, b ⊥ DB, C ⊥ DC theo nghĩa Ơclit thể ý nghĩa xạ ảnh * P = AD ∩ ∆, Q = BD ∩ ∆, R = CD ∩ ∆, E = a ∩ ∆, F = b ∩ ∆, K = C ∩ ∆ (P,E) , (Q,F), (R,K) chia điều hoà I, J *A' = a ∩ BC, B' =b ∩ CA, C' = c ∩ AB thẳng hàng Bài toán xạ ảnh tương ứng: Trong P2 cho điểm phân biệt A, B, C không thẳng hàng đường thẳng ∆ không qua chúng, hai điểm xyclic I , J ∈ ∆ Một ∆điểm D không nằm cạnh đơn hình ABC, không thuộc ∆, đường thẳng a, b, c qua D cắt ∆ E, F, K cho P = AD ∩ ∆, Q = BD ∩ ∆, R - CD ∩ ∆ (P,E), Q,F), (C, K) chia điều hoà I, J Gọi A' = a ∩ BC, B' = b ∩ CA, C'= c ∩ AB A', B', C' thẳng hàng Q F A • c P • • A' D C • C' B a B • B' Chứng minh: Ta dùng phương pháp toạ độ Đối với mục tiêu (1) ta cho A (1, 1, 0), B (1, 0, 1), C (1, 1, 1) phương trình đường thẳng ∆ x0 = 0, I (0, 1, i), J (0, 1, -i) Chọn D (d0, d1, d2) cho D không nằm ∆ , AB, AC BC AB (-1, 1, 1) , CA (1, - 1,0), BC (-1, 0, 1) AD (d2, - d2, d1 - d0), BD (d1, d2 - d0, - d1), CD (d2 - d1, d0 - d2, d1 - d0) P = AD ∩ ∆ ⇒ P (0, d1- d0, d2), Q = BD ∩ ∆ ⇒ Q (0, d1, d2 - d0), R = AD ∩ ∆ ⇒ R (0, d1- d0, d2- d0) Vì E, F, k thuộc ∆ (P, E), (Q, F), (R,K) chia điều hoà I, J nên E (0, - d2, d1 - d0),F (0, d2 - d1, - d1), k (0, d2 - d0, d0 - d1) Đường thẳng a qua D E có tọa độ a (d12 - d1d0+d22 , d02 -d0d1, - d0d2) Đường thẳng b qua D F có tọa độ b (- d12 - d22 + d0d2, d0d1, d0d2 - d02) 27 Đường thẳng c qua D K có tọa độ c (d0d1- d12 - d22 + d0d 2, d0d1- d02 , d0d2-d02) A' = a ∩ BC ⇒ A' (d0d1-d02, d12 - d1d0 + d22 - d0d2, d0d1 - d02) B' = b ∩ CA ⇒ B' (d02 -d0d2, d02 - d0d2 , - d12 - d22 + d0d1 + d0d2) C' = c ∩ AB ⇒ C' (d0d2- d0d1, -d12- d12-d22+d0d1+2d0d2, d02+d12+d22- 2d0d1-d0d2) d d1 − d0 2 Xét: d − d d d d − d d1 d12 − d1d + d 2 − d d d0 − d0 d − d − d12 − d 2 + d d1 + 2d d d d1 − d 2 =0 − d1 − d + d d1 + d d 2 2 d + d1 + d − 2d d1 − d d Vậy A', B' , C' thẳng hàng A.3/ Bài toán Ơclit 4: Cho ba dây cung AB, CD, EF đường tròn (O) cho CD, EF qua trung điểm H AB Gọi M, N giao điểm AB với CE DF, P, Q giao điểm AB với CF DE Chứng minh H trung điểm MN PQ Đối với ta chứng minh cách sử dụng kiến thức hình học sơ cấp Bây ta phân tích toán để chuyển sang toán xạ ảnh giải bên xạ ảnh * Xét mô hình P = E ∪ ∆ (∆ đường thẳng vô tận qua điểm xylic I, J) * Khi đường tròn G thể đường Ovan qua hai điểm xyclic I J * H trung điểm AB có ý nghĩa xạ ảnh gọi K = ∆ ∩ AB [ABHK] = - Bài toán xạ ảnh tương ứng Trong P2 cho đường thẳng ∆ qua hai điểm xyclic I, J Một đường Ovan (C) qua I, J điểm thực chung với ∆ Gọi AB, CD, EF ba dây cung đường Ovan (C) cho K = AB ∩ ∆, H∈AB [ABHK] = - CD, EF qua H Gọi M,N,P,Q giao điểm AB với CE, DF, CF DE Chứng minh [MNHK] = - [PQHK] = -1 M A P C E H Q 28 B N I D F J Chứng minh: Ta dùng phương pháp tọa độ Đối với muc tiêu (1) chọn phương trình đường thẳng ∆: xo = Vì Ovan (C) qua hai điểm xyclic I, J nên có phương trình - x02 + x12 + x22 = A, B ∈ (C) chọn A (1, 0, 1), B (1, 0, - 1) ⇒ AB (0, , 0) K = AB ∩∆ ⇒ K (0, 0, 1) Vì [ABHK] = - ⇒ H (1, 0, 0) Chọn C (c0, c1, c2) ∈ (C) ⇒ CH (0,- c2, c1) , D = CH ∩ (C), toạ độ D nghiệm hệ phương trình: c1 x2 = c2 x1  2 − x0 + x1 + x2 = ⇒ D ( −c0 , c1 , c2 )  2  − c0 + c1 + c2 = Chọn E (e0, e1, e2) ∈ (C) ⇒ EH (0, - e2, e1) , F = EH ∩ (C), tọa độ F nghiệm hệ phương trình e1 x2 = e2 x1  2  − x0 + x1 + x2 = ⇒ F ( −e0 , e1 , e2 )  2  − e0 + e1 + e2 = ⇒ CE (c1e2 - c2e1, - c2e0 - c0e2, c0e1 -c1e0), CF (c1e2 - c2e1, c2e0 - c0e2, c0e1 + c1e0), DF (c1e2 - c2e1, c2e0 - c0e2, c0e1 -c1e0), DE (c1e2 - c2e1, c2e0 + c0e2, - c0e1 - c1e0), M = AB ∩ CE ⇒ M (c0e1 -c1e0, 0, c2e1 - c1e2), N = AB ∩ DF ⇒ N (c1e0 - c0e1, 0, c2e1- c1e2), P = AB ∩ CF ⇒ P (c0e1 + c1e0, 0, c2e1 - c1e2), Q = AB ∩ DE ⇒ Q (c0e1 + c1e0, 0, c1e2- c2e1) Ta có: [ M ] = ( c0 e1 − c1e0 ) [ H ] + ( c2 e1 − c1e2 ) [ K ] ( c e − c0e1 ) : ( c0e1 − c1e0 ) = −1 ⇒ [ MNHK ] =  ( c2e1 − c1e2 ) ( c2e1 − c1e2 ) [ N ] = ( c1e0 − c0e1 ) [ H ] + ( c2e1 − c1e2 ) [ K ] [ P ] = ( c0 e1 + c1e0 )  [ Q ] = ( c0e1 − c1e0 ) [ H] [H] [ K] (c e -ce ) (c e + ⇒ [ PQHK ] = 1 : c2e1 ) [ K ] ( c1e2 − c2 e1 ) ( c2e1 − + ( c2 e1 − c1e2 ) + ( c1e2 − c1e0 ) = −1 c1e2 ) B Dùng mô hình xạ ảnh mặt phẳng Ơclit để giải toán mặt phẳng xạ ảnh Trong mục trình bày toán xạ ảnh toán gốc cách bớt đường thẳng vô tận đó, ta có toán Ơclit tương ứng Kết 29 chứng minh không gian xạ ảnh kết qủa chứng minh không gian Ơclit B-1 Bài toán xạ ảnh 1: Cho đường thẳng ∆ qua hai điểm xyclic I, J Hai điểm A, B không nằm ∆ Gọi a đường thẳng qua A cắt ∆ M, b đường thẳng qua B cắt ∆ N cho [MNIJ] = - Gọi P = a ∩ b Tìm quỹ tích điểm P * Đối với toán ta xét mô hình E = P2\∆ (∆ dường thẳng vô tận) Vì [MNIJ] = - 1, M, N ∈ ∆ có ý nghĩa Ơclic đường thẳng a vuông góc đường thẳng b P Bài toán Ơclit tương ứng Trong E2 cho hai điểm A, B cố định Tìm quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB góc vuông Ta đa biết E2 quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định góc vuông đường tròn đường kính AB Suy quỹ tích điểm P mặt phẳng xạ ảnh đường OVan (C) qua A, B hai điểm xycli I J B.2/ Bài toán xạ ảnh 2: Trong P2 cho đường Ovan (C) đường thẳng ∆ qua hai điểm xyclic I, J Từ I, J ta dựng đường thẳng tiếp xúc với (C) A, B cắt F Từ M đường thẳng AB (M ≠ A, M ≠ B) dựng tiếp tuyến MT với (C) (T tiếp điểm) Gọi P = FM ∩ ∆, Q = FT ∩ ∆ Chứng minh [PQIJ] = - Chứng minh FI đối cực A (C) FJ đối cực B (C) ⇒ AB đối cực F (C) M ∈ AB ⇒ M liên hợp với F (C) MT đối cực T (C) ⇒ M liên hợp với T (C) ⇒ M cực FT FM FT liên hợp với (C) Do [PQIJ] = - ⇒ đpcm P Q I T M J 30 ∆ A B F Giờ ta xét toán mô hình E2 = P2\∆ (∆ đường thẳng vô tận) * OVan (C) thể ý nghĩa Ơclit connic (S) * Tiếp tuyến (C) kể từ I J tiếp xúc với (C) A, B cắt F E2 : F tiêu điểm (S) AB đường chuẩn ứng với conic (S) * [PQIJ] = - có nghĩa Ơclit FM FT vuông góc với hay F nhìn MT góc vuông Bài toán Ơclit tương ứng Chứng minh từ điểm M đường chuẩn d ứng với tiêu điểm F đường conic (S) ta dựng tiếp tuyến MT (S) với T tiếp điểm F nhìn đoạn MT góc vuông ∆ cắt (C) hai điểm thực conic (S) Hypecbol ∆ tiếp xúc với (C) cônic (S) Parabol ∆ điểm chung với (C) (S) Elíp TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 [1] Văn Như Cương - Tạ Mân, hình học afin hình học Ơclit, nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Văn Như Cương, hình học xạ ảnh nhà xuất giáo dục 1999 [3] Nguyễn Duy Bình - Phạm Ngọc Bội - Trường Đức Hinh - Nguyễn Hữu Quang, Bài tập hình học apin hình học Ơclit nhà xuất giáo dục 1999 [4] Phạm Bình Độ, tập hình học xạ ảnh nhà xuất Đại học sư phạm [5] Nguyễn Cảnh Toàn, hình học cao cấp nhà xuất giáo dục 1999 [6] Khu Quốc Anh - Phạm Bình Độ - Tạ Mân, tập hình học cao cấp tập hai nhà xuất giáo dục MUC LUC 32 33 [...]... phẳng của Pn Như ở 3.1 ta đã xây dựng tập hợp An = Pn/W thành một mô hình xạ ảnh của không gian Afin thực n chiều liên kết với không gian vectơ thực Vn Để xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit ta sẽ làm cho A n trở thành một không gian Ơclit n chiều En, nói đúng hơn trở thành một mô hình xạ ảnh của không gian Ơclít n chiều bằng cách định nghĩa một tính vô hướng cho hai vectơ trong nền của An... thực A, B, C và hai điểm xyclic I, J trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Khi đó luôn luôn có một đường Ovan day nhất đi qua chúng 11 CHƯƠNG III: MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFIN VÀ KHÔNG GIAN ƠCLIT 1.1 Xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Afin Giả sử Pn ( n ≥ 1 ) là không gian xạ ảnh liên kết với không gian vectơ thực V n+1 và W là một siêu phẳng của Pn Ta đặt An = Pn / W , trong Pn ta chọn... ) + ϕ (Y , Z ) Vậy An là không gian afin n- chiều liên kết với không gian vectơ V n bởi ánh xạ liên kết ϕ Ta gọi An là mô hình xạ ảnh của không gian Afin Ký hiệu: An Siêu phẳng W gọi là cái tuyệt đối hay siêu phẳng vô tận đối với (hay của) mô hình n A Mỗi điểm của W gọi là một điểm vô tận đối với (hay của) An 3.2.Một số khái niệm cơ bản của hình học afin thể hiện trên mô hình 3.2.1 Mục tiêu và toạ... Ký hiệu K0 là nhóm tất cả các phép biến đổi xạ ảnh của không gian xạ ảnh P n Khi đó hình học xạ ảnh là hình học của nhóm K0 Gọi W là siêu phẳng vô tận trong P n thì tập hợp các phép biến đối xạ ảnh giữ nguyên W làm thành một nhóm con của K 0 Nhóm này đẳng cấu với nhóm A n của tất cả các phép Afin của không gian Afin An = Pn\ Pn-1 Xét tập hợp các phép xạ ảnh giữ nguyên W và giữ nguyên tuyệt đối (T)... toán xạ ảnh tương ứng và chứng minh nó trong không gian xạ ảnh, kết quả được chứng minh trong không gian xạ ảnh cũng chính là kết quả trong không gian Ơclit A.1 Bài toán Ơclit 1 Chứng minh rằng ba đường cao của một tam giác đồng quy Đối với bài toán này ta dễ dàng chứng minh bằng kiến thức của hình học sơ cấp Giờ ta phân tích bài toán Ơclit 1 để chuyển sang bài toán xạ ảnh trong không gian xạ ảnh và... xạ ảnh thực P2 và A2= P2\W là mặt phẳng Afin thực Nếu (S) là đường Ovan trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 thì trong mặt phẳng afin A2= P2\W, tập S\W sẽ là: - Đường Elip, nếu (S) không cắt W - Đường Hybebol, nếu (S) cắt W tại hai điểm thực phân biệt - Đường Parabol, nếu (S) tiếp với W 3.3 Xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit Giả sử Pn ( n ≥ 1 ) là không gian xạ ảnh thực n chiều liên kết với không gian. .. trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Trong mô hình E2 = p2\W, với W là đường thẳng vô tận đi qua I, J không có điểm chung thực với (C), thì đường Ovan (C) sẽ sinh ra đường tròn (C'), trong E2 đi qua ba điểm thực A, B, C Vậy qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C luôn có một đường tròn duy nhất đi qua chúng CHƯƠNG 4: Ứng dụng mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit 23 A - Dùng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng... c1e0 ) = −1 c1e2 ) B Dùng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit để giải các bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh Trong mục này chúng tôi trình bày các bài toán xạ ảnh là bài toán gốc rồi bằng cách bớt đi một đường thẳng vô tận nào đó, ta có bài toán Ơclit tương ứng Kết quả 29 được chứng minh trong không gian xạ ảnh cũng là kết qủa được chứng minh trong không gian Ơclit B-1 Bài toán xạ ảnh 1: Cho đường thẳng ∆... được chứng minh 3.15.2 Tiêu điểm của đương conic trong E2 Xét mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit E 2 = P2\W như trên Giả sử (C') là một đường conic của E2 sinh ra bởi đường Ovan (C) của P 2 Điểm F của E2 gọi là tiêu điểm của conic (C') nếu trong không gian mở rộng (phức) của P 2 hai đường thẳng FI, FJ là hai tiếp tuyến của Ovan (C) Đường thẳng d của E 2 gọi là đường chuẩn của conic (C') ứng với tiêu điểm... không thuần nhất của một điểm X thuộc A n đối với mục tiêu xạ ảnh {Ai,E} chính là tọa độ afin của điểm X đó đối với mục tiêu afin {An+1,Ei} (i = 1,2, ,n).còn mục tiêu afin gọi là được sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh {Ai,E} cho trước 3.2.2 Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi Afin Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu {Ai,E} Gọi W là siêu phẳng có phương trình x0 = 0 Xét phép biến đổi xạ ảnh f: Pn → Pn