mô hình xạ ảnh của không gian ơclid

Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên nghành dành cho sinh viên nghành toán tại các trường đại học sư phạm trong cả nước.Mục đích của môn học này là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về hình học và mối quan hệ giữa chúng.Đồng thời hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận,phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán ở trường trung học phổ thông. việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán về hình học ơclit là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích, yêu cầu quan trọng cho sinh viên khi học môn học hình học xạ ảnh

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên nghành dành cho sinh viênnghành toán tại các trường đại học sư phạm trong cả nước.Mục đích của môn họcnày là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về hình học và mối quan hệ giữachúng.Đồng thời hình học xạ ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suyluận,phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán ở trường trung học phổ thông việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán về hình học ơclit

là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích, yêu cầu quan trọng chosinh viên khi học môn học hình học xạ ảnh

Nhằm tìm tìm hiểu rõ hơn về hình học xạ ảnh đồng thời ứng dụng nó vào việc

giải các bài toán về hình học ơclit tôi đã chọn đề tài "Mô hình xạ ảnh của không gian ơclit"

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu mô hình xạ ảnh của không gian ơclit

3 Đối tượng nghiên cứu.

- Mô hình xạ ảnh của không gian En

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

5.Nội dung nghiên cứu.

-Tìm hiểu cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian ơclit

- Một số khái niệm cơ bản hình học ơclit thể hiện trên mô hình

- Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng ơclit

- Một số bài toán áp dụng

CHƯƠNG I MỘT SỐ YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC AFIN VÀ HÌNH

HỌC ƠCLIT 1.1 Định nghĩa

Cho V là không gian Vectơ trên trường K và tập A không rỗng mà mỗiphần tử của nó gọi là một điểm Giả sử có một ánh xạ

ϕ : A × A → V (Ta ký hiệu ϕ (MN ) = MNuuuur với M, N ∈ A) thoả mãn hai tiền

đề :

i Với mỗi điểm M∈A và mỗi vectơ Uur ∈ V có duy nhất một điểm N∈ A

sao cho MNuuuur =Uur

ii Với bất kỳ ba điểm M,N, P∈ A thì MNuuuur

+ NPuuur =MPuuur

Khi đó ta gọi bộ

ba (A, ϕ ,V) là không gian afin A liên kết với không gian vectơ V Ký hiệu là A

- Nếu K = R ta gọi A là không gian Afin thực.

- Nếu K = C ta gọi A là không gian Afin phức.

Ở đây ta chỉ xét trong không gian Afin thực

1.2 Hệ điểm độc lập

Một hệ m + 1 điểm A0,A1, ,Am (m ≥ 1 ) của không gian Afin A được gọi là độclập nếu và chỉ nếu m vectơ uuuur uuuuurA A A A0 1, 0 2, , uuuuurA A0 m

độc lập tuyến tính

Hệ không độc lập gọi là hệ phụ thuộc

1.3 Định nghĩa mục tiêu afin

Cho không gian afin n – chiều A liên kết với không gian vectơ A Gọi

R sao cho OXuuur = X1 1e ur + X e2 2uur+ X e n nuur

Bộ n phần tử ( X X1 , 2 , ,X n) đó được gọi là toạ độ của điểm X đối với mục tiêu

đã chọn ký hiệu là X ( X X1, 2, ,X n) hay X = ( X X1, 2, ,X n) .

Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ urA

Gọi I là một điểm của

A và αur là một không gian vectơ con của ur A

Khi đó tập hợp α ={M ∈A IM\uuur ur∈α}

được gọi là cái phẳng (Gọi tắt là "phẳng") qua I có phương làαur

Nếu αur có số chiều bằng m thì α là phẳng m- chiều hay còn gọi là m-phẳng

1.5.2 Vị trí tương đối của các phẳng

Định nghĩa:Trong không gian afin An cho p - phẳng α và q- phẳng (p < q) lần lượt

có phương là αur,βur

a) Cái phẳng α và β gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung

b) Cái phẳng α gọi là song song với β nếu αurlà không gian con của βur.c) Cái phẳng α và β gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau vàcũng không song song với nhau

d) Giao α ⊂ β hiểu theo nghĩa thông thường của lý thuyết tập hợp gọi làgiao của hai cái phẳng α và β

e) Tổng (α +β ) của hai cái phẳng α và β là giao của tất cả các phẳngchứa α vàβ.

Định lý Giao của hai cái phẳng α và β hoặc là tập rỗng hoặc là một cái phẳng cóphương α ⊂ β

1.6 Siêu mặt bậc hai

1.6.1 Định nghĩa Trong không gian afin An trên trường số thực chọn mục tiêu Afin

1, , , 2

{O,e eur uur euurn}

cho phương trình bậc hai:

Tập tất cả những điểm X thuộc An sao cho toạ độ ( x x1, 2, ,x n) của nó thoả mãn

phương trình (1) gọi là một siêu mặt bậc hai xác định bởi phương trình đó

1.6.2 Định nghĩa Tâm của siêu mặt bậc hai (S) là điểm mà khi ta chọn làm gốc

mục tiêu thì phương trình của (S) có dạng

0 , 1

Vectơ Cur = (c1, c2, , cn ) gọi là phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai (S)

có phương trình: x Ax t 2+ a x t + a0 = 0 nếu C 0ur ≠ và

, 1

0

n t

1.6.4 Định nghĩa tiếp tuyến

Đường thẳng d được gọi là một tiếp tuyến của siêu mặt bậc hai (S') nếu

Hoặc phương của d không phải là phương tiệm cận của (S) và d cắt (S) tại đúng mộtđiểm (điểm này gọi là tiếp điểm hay ta còn gọi là điểm tiếp xúc với (S)

Hoặc d nằm trên (S)

Nếu siêu mặt bậc hai (S) có phương trình xtAx + 2atx+ a0 = 0 và cho

B(b b1, 2, , bn) nằm trên (S ) thì đường thẳng d đi qua B có phương C = (c1, c2 cn) sẽ là

tiếp tuyến khi và chỉ khi b AC t 2 + a C t + =a0 0.

1.7 Tích vô hướng và không gian vectơ Ơclit

1.7.1 Định nghĩa Cho V là một không gian Vectơ thực, một tích vô hướng trên V

, ' , , ' , ,

, ', , '

))(

,(

1.7.2 Định nghĩa Một không gian véctơ thực cùng với một tích vô hướng trên nó

gọi là không gian vectơ Ơclit Ký hiệu: uur En

1.8 Định nghĩa Hai vectơ khác θ trong một không gian vectơ ơclit En được gọi làtrực giao với nhau nếu góc giữa chúng bằng

2

π

Nếu x,y trực giao với nhau x ⊥ y

Nhận xét: x ⊥ y ⇔ x.y = 0

1.11 Không gian Ơclit

Định nghĩa Không gian Ơclit là không gian Afin liên kết với không gian vectơ

Ơclit hữu hạn chiều

Không gian Ơclit sẽ gọi là n- chiều nếu không gian vectơ Ơclít liên kết với nó cóchiều bằng n

Ký hiệu không gian Ơclit n- chiều là: En

1.12 Định nghĩa.

Mục tiêu afin {O,e eu r1, , , uur2 euurn}

của không gian Ơclit n- chiều En gọi là mục tiêu trựcchuẩn nếu cơ sở ε ={e eur1, , ,uur2 euurn}của En là một cơ sở trực chuẩn

Toạ độ của điểm đối với mục tiêu trực chuẩn gọi là toạ độ trực chuẩn

1.13 Định nghĩa Hai phẳng α α β β( ), ( )ur ur của En gọi là vuông góc với nhau nếu phươngcủa chúng vuông góc với nhau tức là u vr r 0( = ∀ ∈ ∀ ∈ur ur r urα, v β) Ký hiệu: α β⊥

1.14 Siêu mặt bậc hai trong E n

1.14.1 Dạng chính tắc cuả siêu mặt bậc hai trong E n

Giả sử {O,e eur1, , ,uur2 euurn}

là mục tiêu trực chuẩn trong En Cho (S) là siêu mặt bậchai trong En có phương trình

0

x Ax + a x + a = (1)Trong đó A là ma trận đối xứng , 0 , t

nn

A≠ A= A , nên có ma trận C trực giaocấp n để C AC có dạng chéo t

Ta luôn tìm được một mục tiêu trực chuẩn sao cho phương trình của (S) đối vớimục tiêu đó có một trong 3 dạng dưới đây:

2 1 2 1 2 1 1

i i i r

i i i i

λλλ

Các dạng (I), (II), (III) gọi là dạng chính tắc của phương trình siêu mặt bậc hai (S)

1.14.2 Phương chính của siêu mặt bậc hai

Định nghĩa Trong En với mục tiêu trực chuẩn {0, euri}

cho siêu mặt bậc hai cóphương trình: x Ax t 2+ a x t + a0 = 0

Siêu phẳng kính liên hợp với phương chính gọi là siêu phẳng kính chính

1.14.4 Định lý Trong En với mục tiêu trực chuẩn {0, euri}

(i = 1,2, , n ) là mục tiêu trực chuẩn trong En

I(a1, a2, an ) thì phương trình của siêu cầu S (I,r) là:

2

2 1

Vậy siêu cầu thực là một siêu mặt bậc hai.

1.15.2 Siêu cầu tổng quát

Định nghĩa: Trong En với mục tiêu trực chuẩn, cho siêu mặt bậc hai (S) có phươngtrình

0 1

a Đối với siêu cầu tổng quát mọi vectơ Cur r≠0 đều không phải là phương tiện cận

và luôn luôn là phương chính Mọi siêu phẳng qua tâm đều là siêu phẳng kínhchính

b Siêu tiếp diện của siêu cầu S (I,r) tại điểm M0 ∈S I r ,( ) là siêu phẳng đi qua M0

và trực giao với đường thẳng IM

CHƯƠNG II:MỘT SỐ YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC XẠ ẢNH

2.1 Định nghĩa.

Cho Vn( n≥1 )không gian vectơ trên trường K (K là trường số phức hoặc thực)

Ta ký hiệu [Vn] là tập tất cả các không gian con một chiều của Vn

Lấy một tập P không rỗng Nếu có một song ánh p : [Vn+1] → P thì bộ ba

( P p V, , n+1) gọi là không gian xạ ảnh n – chiều liên kết với không gian Vn+1 Kýhiệu là Pn

Mỗi phần tử A⊂Pn được gọi là một điểm của không gian xạ ảnh

Nếu V1 ⊂Vn+1 , P (V1) = A, cùng véc tơ uur rX ≠ 0sao cho <uurX >=V1 thì vectơ uurX

được gọi là véc tơ đại diện của điểm A

Lưu ý Hai vectơ cùng đại diện cho một điểm thì cộng tuyến với nhau

2.2 Các phẳng trong không gian xạ ảnh

2.2.1 Định nghĩa.

Cho không gian xạ ảnh ( P p V, , n+1) Vm+1 là không gian con của Vn+1 Tập hợp

p ( [ Vm+1 ]) ⊂P gọi là một m – phẳng m, chiều của P, ký hiệu Pm ,

2.5 Toạ độ xạ ảnh

Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu { Ai ; E } và ε = { }euri ,i=1,nlà cơ sở

đại diện cho mục tiêu Với M ∈ Pn và x là vectơ đại diện của điểm M Khi đó toạ độcủa điểm M đối với mục tiêu { Ai; E } là toạ độ của x đối với cơ sở ε = { }euri

2.6 Phương trình tổng quát của m – phẳng

Phương trình tổng quát của m – phẳng trong Pn có dạng :

1

0;(i 1, 2, , n m)

n

ij i j

Trong Pn cho 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường thẳng sao cho A khác B; C

và D không trùng với A hoặc B Giả sử với mục tiêu cho trước trong Pn cho cácđiểm A,B,C, D có ma trận toạ độ cột là [A], [B] , [C], [D]

Định nghĩa 2.7.1 Nếu tỷ số kép [A,B,C,D] = -1 thì ta nói rằng cặp điểm C,D

chia điều hoà cặp điểm A,B, hay nói cách khác cặp A,B và cặp điểm C,D liên hợp điềuhoà hay còn nói hàng điểm [A,B,C,D] là một hàng điểm điều hoà

Định nghĩa 2.7.2.Trong không gian xạ ảnh Pn tập các siêu phẳng cùng đi qua

n-2 phẳng được gọi là chùm siêu phẳng với giá là n-n-2 phẳng đó

Định nghĩa 2.7.3 Bốn siêu phẳng U,V,W, Z của một chùm được gọi là chùm bốn

siêu phẳng điều hoà, nếu tỷ số kép của 4 siêu phẳng bằng –1 Khi đó ta nói cặp siêuphẳng U,V chia điều hoà cặp siêu phẳng W,Z và ký hiệu là [U,V,W,Z ] = - 1

Định lý 2.7.1 Cho bốn siêu phẳng [ U,V,W,Z ] thuộc một chùm, trong đó U,V,

W,Z đôi một phân biệt Nếu đường thẳng d cắt bốn siêu phẳng đó lần lượt tại cácđiểm A,B,C,D ( không cắt giá của chùm) thì tỷ số kép của 4 điểm đó không phụthuộc vào vị trí của đường thẳng d và bằng tỷ số kép của chùm 4 siêu phẳng tươngứng

Định lý về hình bốn đỉnh toàn phần

Trong một hình bốn đỉnh toàn phần hai điểm chéo nằm trên một đường chéochia điều hoà cặp giao điểm của đường chéo đó với cặp cạnh đi qua điểm chéo thứba

Định lý về hình bốn cạnh toàn phần

Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đường chéo đi qua một điểm chéo nào đóchia điều hoà đường thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh nằm trên đường chéothứ ba

Định lý Giả sử hai điểm phân biệt Y và Z liên hợp với nhau đối với siêu mặt

bậc hai (S) trong không gian xạ ảnh Pn khi đó

Nếu đường thẳng (Y,Z) cắt (S) tại hai điểm phân biệt M,N thì [Y,Z,M,N] = -1

Nếu đường thẳng (Y,Z) cắt (S) tại một điểm duy nhất thì điểm đó chính là Y hoặc Z

2.8 Siêu phẳng liên hợp đối với siêu mặt bậc hai không suy biến

2.8.1.Định nghĩa.Hai siêu phẳng U và V gọi là liên hợp với nhau đối với siêu mặt

bậc hai không suy biến (S) khi hai điểm đối cực của chúng liên hợp với nhau đối với(S)

2.8.2 Tính chất

Tính chất 1 Hai siêu phẳng liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai không suy biến

khi và chỉ khi siêu phẳng này đi qua điểm đối cực của siêu phẳng kia

Tính chất 2 Siêu phẳng U liên hợp với chính nó đối với siêu mặt bậc hai ( S)

khi và chỉ khi U tiếp xúc với (S) (tại điểm U* là điểm đối cực của U)

Tính chất 3 Cho hai siêu phẳng phân biệt U,V liên hợp với nhau đối với siêu

mặt bậc hai không suy biến (S) Nếu qua giao U∩V có hai siêu phẳng phân biệt P

và Q cùng tiếp xúc với (S) thì [U,V,P,Q] = -1

2.16 Định nghĩa

Trong P2 cho hai chùm đường thẳng phân biệt {S}, {S'} và một đường thẳng pkhông thuộc chúng (có nghĩa là p không đi qua S và không đi qua S') Ánh xạ f :{S} → {S'} biến mỗi đường thẳng m ∈ {S} thành đường thẳng m' đi qua S' và m

∩p được gọi là phép chiếu xuyên trục, p gọi là trục của phép chiếu f

2.17 Định lý Stâyne (Steiner)

Xét trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R)

a/ Cho hai điểm cố định S1 và S2 nằm trên một đường Ovan và một điểm M thayđổi trên Ovan đó Khi đó ánh xạ f : {S1} → {S2} biến đường thẳng S1M thànhđường thẳng S2M là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục (Chú ý rằng, khi M trùng với S 1 , ta xem S 1 M là tiếp tuyến của OVan tại S 1 , đối với S 2

cũng thế).

b/ Ngược lại: Cho ánh xạ xạ ảnh f: {S1} → {S2} giữa hai chùm phân biệt {S1}

và {S2} Nếu f không phải là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp giao điểm củacác đường thẳng tương ứng là một đường OVan

Xét trong không gian mở rộng (phức) của P2 thay S1, S2 bởi hai điểm xyclic I, Jthì định lý Stâyne vẫn còn đúng Từ đó ta có:

- Cách xác định một đường ô van trong P 2

Định lý: Cho 3 điểm thực A, B, C và hai điểm xyclic I, J trong đó không có 3 điểm nào

thẳng hàng Khi đó luôn luôn có một đường Ovan day nhất đi qua chúng

CHƯƠNG III: MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN AFIN VÀ KHÔNG

GIAN ƠCLIT

1.1 Xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Afin

Giả sử Pn ( n≥ 1 )là không gian xạ ảnh liên kết với không gian vectơ thực Vn+1

và W là một siêu phẳng của Pn

Ta đặt An = Pn / W , trong Pn ta chọn mục tiêu { A0,A1, , An; E }

sao cho : A1,A2 , ,An thuộc W , khi đó W có phương trình x0 = 0

Nếu điểm X ∈ An có toạ độ ( x0,x1 , xn ) thì x0 ≠ 0

Ta ký hiệu i i

o

x X x

= i=1,n ; Xi ∈R

Khi đó bộ số (X1 , X2 , , Xn ) gọi là toạ độ không thuần nhất của điểm X đối với mục tiêu

xạ ảnh đã cho và viết là X = (X1 , X2 , Xn) hay X ( X1 X2, Xn ) gọi Vn là không gianvectơ n – chiều trền trường số thực R và xét ánh xạ

Siêu phẳng W gọi là cái tuyệt đối hay siêu phẳng vô tận đối với (hay của) mô hình

An Mỗi điểm của W gọi là một điểm vô tận đối với (hay của) An

3.2.Một số khái niệm cơ bản của hình học afin thể hiện trên mô hình.

3.2.1 Mục tiêu và toạ độ Afin trong A n

Xét mục tiêu xạ ảnh Pn như trên gọi Ei là giao điểm của đường thẳng AiA0 vớisiêu phẳng Pi đi qua tất cả các đỉnh của mục tiêu trừ cái điểm Ai và A0 (i=1,2, ,n) Khi đó toạ độ không thuần nhất của các điểm Ei và A0 là:

Nếu ∀x∈ An ; X= (X1, X2, ,Xn) thì uuuAXr = X1 1e ur + X e2 2uur+ X e n nuur

Khi đó ta nói (X1, X2, ,Xn) là toạ độ afin của X đối với mục tiêu Afin {A0, E1,

E2, ,En} sinh bởi mục xã ảnh {Ai,E} (i = 1,2, ,n).vậy

Kết luận:Tọa độ xạ ảnh không thuần nhất của một điểm X thuộc An đối với mụctiêu xạ ảnh {Ai,E} chính là tọa độ afin của điểm X đó đối với mục tiêu afin{An+1,Ei} (i = 1,2, ,n).còn mục tiêu afin gọi là được sinh ra bởi mục tiêu xạ ảnh{Ai,E} cho trước

3.2.2 Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi Afin

Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu {Ai,E} Gọi W là siêu phẳng có phươngtrình x0 = 0 Xét phép biến đổi xạ ảnh f: Pn → Pn sao cho f(W) = W

Giả sử đối với mục tiêu trên, f có biểu thức toạ độ

1

,

xi n ij i

j x a

=

=∑ , 1, 2, , ,i = n k ≠0

Vì f (W) = W nên nếu x0 = 0 thì x0' = 0 tức là: a01x1 + a02x2 + +a0nxn = 0 vớimọi giá trị của x1, x2, ,xn ta có thể chọn x0'= x0' Khi đó phương trình của phép biếnđổi xạ ảnh f có dạng;

,

, 1

1, 2, , , 0,

Bằng cách chuyển từ toạ độ xạ ảnh của một điểm trong An thành toạ độ Afin của

nó (Đối với mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh như trên) ta có biểu thức toạ độcủa f':

1

0 , n a ,i 1,2, ,

Kết luận

Mỗi phép biến đổi xạ ảnh f: Pn → Pn sinh ra một phép biến đổi Afin

' : n n

f A → A nếu f (W) = WNgược lại

Mọi phép biến đổi Afin đều được sinh ra bởi một phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f mà

f (W) = W (Ta nói rằng f biến điểm vô tận thành điểm vô tận)

1, 2, , , 0,

γ = là một r- phẳng trong không gian An

Mệnh đề 2.Nếu (α ∩W) ⊂(β ∩W)thì m phẳng Afin α α, = \ Wsong song vớir- phẳng β, =β \ W

Mệnh đề 3 Nếu α β∩ là một k- phẳng γ (k < m) không nằm trên W thì cácphẳng α, và β,sẽ cắt nhau theo một k- phẳng γ,

Tóm lại

0 ,

a

=

Nếu hai phẳng phân biệt cắt nhau trong Pn

A không nằm trên W thì sau khi bỏ đinhững điểm thuộc W ta sẽ thu được các phẳng Afin tương ứng song song hoặc chéonhau, hoặc cắt nhau

Vậy trong An ta có thể xem tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B, C,D là tỷ

số của hai tỷ số đơn (A,B,C) và (A,B,D)

3.2.5 Siêu mặt bậc hai trong A n

Giả sử (S) là siêu mặt bậc hai trong Pn có phương trình đối với mục tiêu xạ ảnh

Định lý.

Một siêu phẳng kính của (S') liên hợp với phương Cur

(khác phương tiệm cận)được sinh ra bởi siêu phẳng đối cực của điểm C thuộc W\S

Mệnh đề 6.

Điểm I của An là tâm của (S') khi và chỉ khi nó liên hợp với mọi điểm của Wđối với (S) Đặc biệt, nếu (S) không suy biến và không tiếp xúc với W thì (S') cótâm duy nhất Đó là điểm đối cực của W đối với (S)

3.2.6 Các thể hiện Afin của các đường conic trong A 2.

Gọi W là một đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2 và A2= P2\W

là mặt phẳng Afin thực

Nếu (S) là đường Ovan trong mặt phẳng xạ ảnh P2 thì trong mặt phẳng afin A2=

P2\W, tập S\W sẽ là:

- Đường Elip, nếu (S) không cắt W

- Đường Hybebol, nếu (S) cắt W tại hai điểm thực phân biệt

- Đường Parabol, nếu (S) tiếp với W

3.3 Xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit

Giả sử Pn (n≥1 ) là không gian xạ ảnh thực n chiều liên kết với không gianvectơ thực Vn+1 và W là một siêu phẳng của Pn Như ở 3.1 ta đã xây dựng tập hợp

An = Pn/W thành một mô hình xạ ảnh của không gian Afin thực n chiều liên kết vớikhông gian vectơ thực Vn

Để xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit ta sẽ làm cho An trở thànhmột không gian Ơclit n chiều En, nói đúng hơn trở thành một mô hình xạ ảnh củakhông gian Ơclít n chiều bằng cách định nghĩa một tính vô hướng cho hai vectơtrong nền của An

Xét mục tiêu Afin {A0,e eur1, , ,uur2 euurn}

sinh bởi mục tiêu xạ ảnh

{Ao, A1, , An; E}, trong đó euri = uuuurA E o i và Ei là giao điểm của A0Ai với siêu phẳng

Pi đi qua E, Aj mà j = 1, , n, j ≠ i, sao cho

ij

0 neu i j

1 neu i=j; i,j=1,

Khi đó mục tiêu Afin {A0, euri}

, i 1, 2, , n= trở thành mục tiêu trực chuẩn trongkhông gian Ơclit En với E là điểm của En có toạ độ đối với mục tiêu trực chuẩn là(1, 1, ,1) tức là:

1

n o i