Ảnh của không gian mêtric

Trờng đại học vinh Khoa toán ---------------------------- ảnh của không gian metric khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Giáo viên hớng dẫn: PGS.TS trần văn ân Sinh viên thực hiện : Nguyễn thị thu Lớp : 41E 1 - Toán Vinh 2005 1 LờI Mở ĐầU Trong những năm gần đây rất nhiều nhà toán học trên thế giới tập trung nghiên cứu về các không gian khả metric. Tất nhiên mỗi ngời có một hớng nghiên cứu khác nhau, nhng hớng tập trung nổi bật vẫn là: Làm thế nào để xây dựng đợc các điều kiện cần, các điều kiện đủ và các điều kiện tơng đơng để một không gian tôpô trở thành một không gian khả metric. Chính vì lẽ đó mà đã có rất nhiều những định lý kinh điển về phép metric hoá ra đời, chẳng hạn ta có định lý của Nagata-Smirnovs nói rằng một không gian chính quy là khả metric nếu và chỉ nếu nó có một cơ sở mở -hữu hạn địa phơng hay các định lý về phép metric hoá trên các không gian Moore, các M-không gian. Ngoài ra ngời ta cũng quan tâm nhiều đến ảnh của các không gian metric. Các không gian Lasnev và các không gian thơng của các không gian metric có thể đợc đặc trng bởi phơng pháp của các k- lới. Đối với một họ f các tập đóng của X, một hàm số nhận giá trị thực, không âm : Xìf R là một linh hoá tử đối với f nếu (x, F)=0 khi và chỉ khi xF. Các không gian phân tầng đợc, các không gian k-metric hoá đợc và các không gian -metric hoá đợc có thể đợc đặc trng bởi các phơng pháp của các linh hoá tử. Xuất phát từ hớng nghiên cứu này và dựa trên t liệu chính là các bài báo của Yoshio Tanaka cùng với sự huớng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Trần Văn Ân, tác giả đã nghiên cứu đợc một số vấn đề nh : Khi nào thì một không gian X có một k- lới điểm đếm đơc, các không gian compact đếm đợc thoả mãn điều kiện gì thì khả metric hay cho f: XY là một s-ảnh thơng với X là không gian metric và Y là không gian Frechet mạnh, với điều kiện nào thì Y là khả metric? Cụ thể ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn có bố cục nh sau: Chơng I. Một số kiến thức chuẩn bị. Chơng này là cơ sở cho các chơng sau. Ngoài ra tác giả còn đa ra một số kết quả có chứng minh nh Bổ đề 1.1.7. 2 Chơng II. Không gian với phủ điểm đếm đuợc. Chơng này tác giả xét phép metric hoá của các Mkhông gian với phủ điểm đếm đựơc (không cần mở hoặc đóng). Chơng III. S-ảnh thơng của các không gian metric khả ly địa phơng. Chơng này đa ra các điều kiện để một không gian là khả metric. Chơng IV. Các không gian k-metric hoá đuợc và các không gian -metric hoá đợc. Các -không gian và các tính chất của chúng. Trong luận văn này các không gian đều là các T 2 không gian và các ánh xạ đều đợc giả thiết là liên tục. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Trần Văn Ân, ngời trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành khoá lụân. Đồng thời cho tôi gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa toán và bạn bè đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Mặc dù đã cố gắng nhiều nhng do điều kiện về mặt thời gian và hạn chế về mặt trình độ, luận văn chắc không tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong các thầy cô giáo và bạn đọc góp ý để luận văn hoàn chỉnh hơn. Vinh, tháng 4 năm 2005 Tác giả Chơng I 3 Một số kiến thức chuẩn bị Đ1. Các khái niệm cơ bản về Tôpô 1.1.1. Định nghĩa. Cho không gian tôpô (X, ) và B , B đợc gọi là cơ sở của tôpô nếu mọi V và với mọi xV tồn tại UB sao cho xUV. 1.1.2. Định nghĩa. a) Cho không gian tôpô (X, ), xX. Tập U X đợc gọi là lân cận của điểm x nếu tồn tại điểm V sao cho x U V. b) Gọi U(x) là họ tất cả các lân cận của x. Khi đó họ conB(x) của U(x) đợc gọi là cơ sở lân cận tại điểm x nếu với mọi VU(x) tồn tại UB (x) sao cho xUV. 1.1.3. Định nghĩa. a) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ của tập con A X nếu A {P: PP }. Ta viết P thay cho {P: PP}. b) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ củaX nếu X=P . 1.1.4. Định nghĩa. Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là phủ điểm đếm đợc (point-countable) (hữu hạn) nếu với mọi xX tồn tại không quá đếm đợc (hữu hạn) các phần tử PP chứa điểm x. 1.1.5. Định nghĩa. Giả sử A là một tập con của không gian tôpô X. Điểm x đợc gọi là điểm tụ của tập hợp A nếu xA\{x}. Tập tất cả 4 các điểm tụ của A kí hiệu là A d . 1.1.6. Nhận xét. x là điểm tụ của A khi và chỉ khi mỗi lân cận U bất kỳ của x đều chứa ít nhất một điểm y của A khác x. 1.1.7. Bổ đề. Giả sử P là một phủ điểm đếm đợc của một không gian X. Nếu X xác định bởi tập { F : F P là hữu hạn} thì mọi tập compact đếm đợc K X đợc phủ bởi một họ hữu hạn F P . Chứng minh. Giả sử ngợc lại với mỗi x X, đặt {PP : xP}={P n (x): nN}. Ta có thể lựa chọn một dãy A={x n : nN}K sao cho x n P j (x i ) với i, j <n. Vì K là tập compact đếm đợc, A có một điểm tụ x, vì A\{x} không đóng trong X nên tồn tại một họ hữu hạn F P sao cho A( F ) là hữu hạn. Khi đó sẽ tồn tại một tập F nào đó mà FF và F chứa vô hạn các x n . Từ đó suy ra F = P j (x i ) với một chỉ số i, j nào đó và tồn tại một chỉ số n>i, j sao cho x n P j (x i ). Điều này mâu thuẫn với giả thiết x n P j (x i ). Suy ra điều phải chứng minh. 1.1.8. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Frechet nếu với mọi tập A X và mọi x thì tồn tại dãy {x n : nN}A sao cho {x n } hội tụ về x. 1.1.9. Định nghĩa. Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là hữu hạn địa phơng nếu với mỗi x X tồn tại lân cận U của x sao cho U chỉ giao với hữu hạn các phần tử của họP. 5 1.1.10. Định nghĩa. Họ A đợc gọi là -hữu hạn địa phơng (tơng ứng là - rời rạc) nếu A là hợp đếm đợc của các họ hữu hạn địa phơng (tơng ứng rời rạc). 1.1.11. Định nghĩa. Phủ B đợc gọi là cái mịn của phủ P nếu với mọi B B tồn tại P P sao cho B P. 1.1.12. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian paracompact nếu X là chính quy và trong mọi phủ mở của X đều có cái mịn mở, hữu hạn địa phơng. 1.1.13. Định nghĩa([3]). Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Lindelof nếu mọi phủ mở của X đều chứa một phủ con đếm đợc. 1.1.14. Định nghĩa([4]). Cho không gian tôpô (X, ). Trên X đa vào một quan hệ tơng đơng R. Khi đó ta thu đợc tập thơng X/R gồm {[x]: x X}. Xét ánh xạ : X X/R cho bởi (x) =[x] với mọi xX. Đặt R ={V: -1 (V) mở trong X}. Khi đó R là một tôpô trên X/R. Ta gọi R là tôpô thơng và (X/R, R ) là không gian thơng. Kí hiệu S 1 là không gian thơng thu đợc từ tổng tôpô của 1 dãy hội tụ không tầm thờng bằng cách đồng nhất tất cả các điểm giới hạn của 1 dãy đó. 1.1.15. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là k-không gian nếu A X là đóng trong X khi và chỉ khi AK là tập đóng trong K với mọi tập compact K X. 6 1.1.16. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là c-không gian (hay gọi là không gian xác định bởi các tập con đếm đợc) khi và chỉ khi tập A X là đóng trong X nếu với mọi tập đếm đợc C A, thì ta có C A. 1.1.17. Định nghiã. Không gian tôpô (X, ) đợc gọi là không gian khả metric (hay không gian metric hoá đợc) nếu tồn tại một metric d: XìXR sao cho tôpô sinh bởi d trùng với tôpô . 1.1.18. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là thoả mãn tiên đề đếm đ- ợc thứ nhất nếu tại mỗi điểm của nó có một cơ sở đếm đợc. 1.1.19. Chú ý. Không gian khả metric là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất. 1.1.20. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian và C là một phủ (không cần đóng hoặc mở ) của X. X đợc gọi là đợc làm trội bởi C nếu A X là đóng trong X khi mà AC là đóng một cách tơng đối trong C với mọi CC. 1.1.21. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian, với mỗi xX, đặt T x là họ nhận hữu hạn các tập con của X chứa x. Khi đó tập hợp {T x : xX} đợc gọi là một cơ sở yếu của X nếu F X đóng trong X khi và chỉ khi với mỗi xF tồn tại Q(x) T x sao cho Q(x)F=. Đ2. Các khái niệm về ánh xạ 7 1.2.1. Định nghĩa. ánh xạ f: XY đợc gọi là ánh xạ đóng nếu với mọi tập đóng A X thì ảnh f(A) là tập đóng trong Y. 1.2.2. Định nghĩa. Giả sử X là T 2 -không gian và Y là một không gian tôpô. ánh xạ liên tục f: XY đợc gọi là ánh xạ hoàn chỉnh (tơng ứng, ánh xạ tựa hoàn chỉnh) nếu f là ánh xạ đóng và f -1 (y) là tập compact (tơng ứng, tập compact đếm đ- ợc) trong X với mọi yY. 1.2.3. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là M-không gian paracompact (tơng ứng M-không gian) nếu tồn tại một ánh xạ hoàn chỉnh (tơng ứng, tựa hoàn chỉnh) f: XM từ X vào một không gian khả metric M. 1.2.4. Định nghĩa. Một ánh xạ f: XY là một s-ánh xạ nếu mọi f -1 (y) là khả ly với mọi yY. 1.2.5. Định nghĩa([1]). Một ánh xạ f: XY là compact nếu mọi f -1 (y) là tập compact. 1.2.6. Định nghĩa. Giả sử L 0 ={a n : nN}{} là dãy vô hạn với điểm giới hạn . Kí hiệu N là tập các số tự nhiên. Với mỗi nN, ký hiệu L n là một dãy vô hạn hội tụ chứa các điểm giới hạn a n . . Gọi L là tổng tôpô {L n : nN}. Khi đó ta có: i) S là tổng không gian thơng thu đợc từ L bằng cách đồng nhất tất cả các điểm giới hạn a n trong L với ; ii) S 2 là không gian thơng thu đợc từ tổng tôpô L 0 và L bằng cách đồng nhất mỗi a n L 0 với điểm giới hạn a n L. 8 1.2.7. Định nghĩa. Cho X là một không gian tôpô. a) Nếu với mọi tập đóng F X và với mọi xF tồn tại các tập mở U, V sao cho F U, xV và UV=, thì X đợc gọi là không gian chính quy. b) Nếu với bất kỳ hai tập đóng rời nhau F 1 , F 2 đều tồn tại các tập mở rời nhau U 1 , U 2 sao cho F 1 U 1 và F 2 U 2 thì X đợc gọi là không gian chuẩn tắc. 9 CHƯƠNG II KHÔNGGIAN VớI PHủ ĐIểM ĐếM ĐƯợC (Chơng này chúng ta xét phép metric hoá của các M-không gian với phủ điểm đếm đợc đã biết (không cần đóng hoặc mở)) 2.1. Định nghĩa. Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là k-l- ới nếu với mọi tập compact K và mọi tập mở U của X sao cho KU đều tồn tại họ hữu hạn P * của P sao cho K P *U. 2.2. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Lesnev nếu nó là ảnh đóng của một không gian metric qua ánh xạ liên tục. 2.3. Bổ đề(Định lý 3.6[4]). Không gian X là không gian Lasnev nếu và chỉ nếu X là một không gian Frechet có một k-lới -bảo toàn bao đóng di truyền. 2.4. Mệnh đề. Mỗi tiên đề sau đây nói rằng X có một k-lới điểm đếm đợc (point-countable k-network): (1) X là một không gian Lasnev. (2) X là s-ảnh thơng của một không gian metric. (3) X đợc làm trội bởi các tập con metric. Chứng minh. (1) Theo Bổ đề 2.3, X có một k-lới -bảo toàn bao đóng di truyền là {F n : nN}. Đặt D n ={xX:F n không hữu hạn địa phơng tại x với mọi n}. Khi đó mỗi D n là tập con đóng rời rạc của X. Thật vậy, lấy{x m : mN}D n . Vì F n không hữu hạn địa phơng tại mỗi x n với mọi nN nên tồn tại một F m F n \ {F k : k <m} sao cho x m F m . 10