Ánh xạ phủ compact, ánh xạ phủ dãy và các phủ đếm được theo điểm

Mục lục Trang Mục lục 1 Lời mở đầu 2 Chơng I ánh xạ phủ compact 4 1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản. 4 1.2. ánh xạ phủ compact và các phủ đếm đợc theo điểm 9 Chơng II ánh xạ phủ dãy 25 2.1. Định nghĩa và các ví dụ. 25 2.2. Các tính chất ánh xạ phủ dãy và các phủ đếm đợc theo điểm. 25 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 1 Lời mở đầu Trong không gian tôpô, khái niệm về các phủ đã đợc nhiều nhà toán học nh: Ikeda, Tanaka, Michael . quan tâm từ những năm 70 của thế kỷ XX. Đặc biệt trong những năm gần đây các vấn đề về các lới nh: k-lới, p-k-lới, cs- lới, cs*-lới , tính chất của các phủ đếm đợc theo điểm, các đặc trng của mỗi loại phủ và các loại ánh xạ nh: s-ánh xạ, ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ giả mở, ánh xạ phủ compact, ánh xạ phủ dãy . đã đợc nhiều nhà toán học trong và ngoài nớc nghiên cứu sâu hơn. Sau một quá trình nghiên cứu các bài báo và các tài liệu tham khảo, dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng, chúng tôi lựa chọn đề tài ánh xạ phủ compact, ánh xạ phủ dãy và các phủ đếm đợc theo điểm . Mục đích của luận văn là tập trung nghiên cứu ánh xạ phủ compact, ánh xạ phủ dãy, sự bảo tồn các phủ, đặc biệt là các phủ đếm đợc theo điểm qua hai hoại ánh xạ này và một số vấn đề liên quan. Với mục đích trên, luận văn trình bày theo hai chơng nh sau: Trong Chơng I, trớc hết chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản của tôpô để làm cơ sở cho các phần và chơng sau. Phần tiếp theo, chúng tôi đa ra các ví dụ và phản ví dụ nói lên mối liên quan giữa ánh xạ liên tục và ánh xạ phủ compact. Tiếp theo chúng tôi đa ra và chứng minh một số mệnh đề về sự bảo tồn các phủ đếm đợc theo điểm qua ánh xạ phủ compact và một số tính chất của ánh xạ này, đó là các Mệnh đề 1.2.4, 1.2.6, Định lý 1.2.5,1.2.8, 1.2.10, Hệ quả 1.2.9, Ví dụ 1.2.1, Nhận xét 1.2.3. 2 Trong Chơng II, đầu tiên chúng tôi đa ra các ví dụ, phản ví dụ nói lên mối quan hệ giữa các ánh xạ liên tục, ánh xạ phủ compact và ánh xạ phủ dãy. Sau đó chúng tôi đa ra và chứng minh các kết quả về sự tồn tại các loại lới và tính bảo tồn các lới qua ánh xạ phủ dãy đó là các Mệnh đề 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.5, Nhận xét 2.2.4, 2.2.6, Ví dụ 2.1.2. Để mô tả đầy đủ hơn các mối quan hệ giữa các loại ánh xạ và các phủ đếm đợc theo điểm, ngoài các Mệnh đề trên chúng tôi cũng trình bày thêm môt số kết quả đã có trong tài liệu tham khảo,đó là các Mệnh đề 1.2.11, 1.2.12, 2.2.7, 2.2.8. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo, PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy, xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ Giải tích, Khoa Toán, Khoa sau đại học Trờng Đại học Vinh cùng tất cả các bạn bè đã động viên giúp đỡ tác giả trong thời gian qua. Tuy nhiên, do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc quý thầy cô và bạn bè đóng góp ý kiến. Vinh, tháng 11 năm 2005 Tác giả 3 Chơng I ánh xạ phủ compact 1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản đã biết cần dùng trong Luận văn. 1.1.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là T 1 -không gian nếu với mọi cặp điểm phân biệt x, y X tồn tại lân cận U của x sao cho y U. 1.1.2. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Hausdorff hay T 2 -không gian nếu với mỗi cặp điểm phân biệt x, y X tồn tại các tập mở U, V sao cho x U, y V và U V = ỉ. 1.1.3. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là chính quy nếu mỗi điểm x X và tập đóng A trong X không chứa x tồn tại các tập mở U, V sao cho x U, A V và U V = ỉ. 1.1.4. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là chuẩn tắc nếu với mỗi tập A và B đóng rời nhau trong X tồn tại các tập mở U, V trong X sao cho A U, B V và U V = ỉ. 1.1.5. Định nghĩa. ánh xạ f: X Y đợc gọi là liên tục nếu nghịch ảnh của tập con mở bất kỳ trong Y là mở trong X. 1.1.6. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là thỏa mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất nếu X có cơ sở lân cận đếm đợc tại mỗi điểm x X. 1.1.7. Định nghĩa. Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ của tập con A trong X nếu A {P: P P }. Sau này, ta viết P' thay cho {P: P P' } với P' P. 4 1.1.8. Định nghĩa. Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ của không gian X nếu X P . 1.1.9. Định nghĩa. Không tôpô X đợc gọi là compact nếu với mỗi phủ mở của nó có một phủ con hữu hạn. Tập A X đợc gọi là tập compact nếu không gian A với tôpô cảm sinh trên X là một không gian compact. 1.1.10. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian dãy nếu nó thỏa mãn mỗi tập con A của X là đóng khi và chỉ khi không có dãy {x n } trong A hội tụ tới điểm x không thuộc A (hay nói cách khác là A chứa tất cả các điểm giới hạn của A). 1.1.11. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là compact theo dãy nếu mọi dãy của nó chứa một dãy con hội tụ. 1.1.12. Định nghĩa. ánh xạ f: X Y đợc gọi là đóng nếu ảnh của một tập con đóng bất kỳ trong X là đóng trong Y. 1.1.13. Định nghĩa. Tập con A của không gian tôpô X đợc gọi là một G - tập nếu A là giao của đếm đợc tập mở chứa A, nghĩa là A có thể biểu diễn đợc dới dạng A = Nn U n trong đó U n mở trong X với mọi n N. 1.1.14. Định nghĩa. Không gian tôpô đợc gọi là paracompact nếu mọi phủ mở của X đều có các mịn mở hữu hạn địa phơng. 1.1.15. Định nghĩa. Tập con P của không gian tôpô X đợc gọi là một lân cận dãy của x trong X nếu với mọi dãy {x n } hội tụ tới x thì luôn tồn tại n o N sao cho x n P với n n o . 1.1.16. Định nghĩa. ánh xạ f: X Y đợc gọi là s-ánh xạ nếu f -1 (y) là tập khả li với mỗi yY. 5 1.1.17. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, P là một phủ của X. Kí hiệu P < là họ tất cả các tập con hữu hạn của P. Khi đó (i) P đợc gọi là lới của không gian tôpô X nếu mỗi x U với U mở trong X, thì tồn tại P P sao cho x P U. (ii) P đợc gọi là cs-lới của không gian tôpô X nếu mỗi dãy {x n } hội tụ tới điểm x X và U là lân cận của điểm x thì tồn tại P P và m N sao cho {x} {x n : n m} P U (iii) P đợc gọi là cs * -lới của không gian tôpô X nếu mỗi dãy {x n } hội tụ tới điểm x X và U là lân cận của điểm x thì tồn tại P P sao cho {x} {xn i : i N} P U với {xn i } là một dãy con nào đó của {x n }. (iv) P đợc gọi là wcs * -lới của không gian tôpô X nếu với mỗi dãy {x n } hội tụ tới x trong X và mọi lân cận U của x thì tồn tại P P sao cho có một dãy con của {xn i : i N} của {x n } mà {xn i : i N} P U. (v) P đợc gọi là p-wcs * -lới của không gian tôpô X nếu với mỗi dãy {x n } hội tụ về x trong X và mọi điểm y x tồn tại P P sao cho có một dãy con {xn i : i N} của {x n } mà {xn i : i N} P X \ {y}. (vi) P đợc gọi là k-lới của không gian tôpô X nếu mỗi tập K U với U mở và K compact trong X, luôn tồn tại P < sao cho K U (vii) P đợc gọi là p-k-lới của không gian tôpô X nếu với mỗi tập compact K và mọi phần tử y K thì luôn tồn tại P < sao cho K X \ {y}. 6 1.1.19. Định nghĩa. Giả sử A là một tập con của không gian tôpô X. Khi đó, một họ các tập con của X đợc gọi là phủ đầy của A nếu hữu hạn và mỗi F có một tập đóng C(F) trong X với C(F) F sao cho A {C(F) : F }. Mỗi phủ P đợc gọi là k-lới mạnh của X nếu mỗi K U với K compact và U mở trong X thì tồn tại một phủ đầy P của K với U. 1.1.20. Định nghĩa. Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là phủ đếm đ- ợc theo điểm nếu mỗi điểm x X, tồn tại không quá đếm đợc các phần tử của P. 1.1.21. Định nghĩa. Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là sao - đếm đợc nếu mỗi P P giao khác rỗng với không quá đếm đợc các phần tử thuộc P chứa x. 1.1.22. Định nghĩa. Kí hiệu Int s (V) = {x X: V là lân cận của x}. Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là phủ có tính chất (A) nếu với mỗi x X và mọi lân cận U của X luôn tồn tại P < sao cho x Int s ( ) U. Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là phủ có tính chất (B) nếu với mỗi x X và mọi lân cận U của x luôn tồn tại P < sao cho i) x Int s ( ) U. ii) x . 1.2. Các tính chất cơ sở 1.2.1. Mệnh đề. [0;1] trong R là tập compact. 1.2.2. Mệnh đề. Đối với ánh xạ f: X Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y các khẳng định sau tơng đơng 7 i) ánh xạ liên tục; ii) Nghịch ảnh của tập đóng là tập đóng; iii) Với mọi A X ta có f(A) f(A); iv) Với mọi B X ta có f -1 (B) f -1 (B); v) Với mọi U V ta có f -1 (U) f -1 (V); vi) Với mỗi điểm x X và lân cận V bất kỳ của f(x) trong Y tồn tại lân cận U của x trong X sao cho f(U) V; vii) Với mỗi điểm bất kỳ x X, nghịch ảnh của một lân cận tùy ý của điểm f(x) là lân cận của điểm x; viii) Với mỗi dãy suy rộng bất kỳ {x n } trong X hội tụ tới điểm x X thì dãy suy rộng {f(x n )} hội tụ tới f(x) Y. 1.2.3. Mệnh đề. Mọi T 1 -không gian chính quy đếm đợc là chuẩn tắc. 1.2.4. Mệnh đề. Đối với không gian tôpô các khẳng định sau tơng đơng i) Không gian metric hóa đợc; ii) T 1 -không gian, chính quy và có một cơ sở -địa phơng hữu hạn; iii) T 1 -không gian, chính quy và có cơ sở -rời rạc. 1.2.5. Mệnh đề. Tập compact trong không gian dãy là tập compact theo dãy. 1.2.6. Mệnh đề. ánh xạ phủ compact là ánh xạ toàn ánh. Chúng ta dễ dàng kiểm tra mệnh đề này. 1.2.7. Nhận xét. Giả sử P là họ các tập con của không gian tôpô X. Khi đó i) P là cs * -lới thì P là wcs * -lới. ii) P là wcs * -lới của T 1 -không gian thì P là p-wcs * -lới. 8 iii) P là k-lới của T 1 -không gian thì P là p-k-lới. 1.2.8. Mệnh đề ([6]). Giả sử P là một cs-lới đếm đợc theo điểm của không gian X. Khi đó, nếu x K W với W mở và K compact, thỏa mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất thì x Int K (P K) P W với mỗi P P. 1.2.9. Mệnh đề ([5]). Giả sử f: X Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y là một ánh xạ đóng và mỗi điểm X là G - tập. Khi đó i) Nếu X là một k-lới đếm đợc theo điểm thì Y cũng là một k-lới đếm đợc theo điểm. ii) Nếu dãy {x n } trong X thỏa mãn {f(x n )} hội tụ trong Y và các f(x n ) khác nhau thì {x n } có một dãy con hội tụ trong X. 1.3. ánh xạ phủ compact và các phủ đếm đợc theo điểm 1.3.1. Định nghĩa và các ví dụ. Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm ánh xạ phủ compact và đa ra các ví dụ nói lên mối quan hệ giữa ánh xạ phủ compact và ánh xạ liên tục. Từ đây về sau, các không gian đợc nói tới nếu không giải thích gì thêm thì luôn hiểu là T 1 và chính quy. 1.3.1.1. Định nghĩa. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô. ánh xạ f: X Y đợc gọi là ánh xạ phủ compact nếu với mỗi tập compact K trong Y đều tồn tại một tập compact C trong X sao cho f(K) = C. 1.3.1.2. Ví dụ. 1) Nếu f: X Y là song ánh và f -1 liên tục thì f là ánh xạ phủ compact. Thật vậy, giả sử C là tập compact trong Y. Khi đó vì f -1 : Y X là liên tục nên f -1 (C) là tập compact trong X. Ta có f((f -1 (C)) = C. Vậy f là ánh xạ phủ compact. 9 2) Giả sử X là tập bất kỳ không rỗng. Đặt T = {ỉ, A X: X \ A hữu hạn} và quy ớc rỗng là tập hữu hạn. Ta chứng minh đợc T là một tôpô trên X. Giả sử K là một tập con bất kỳ của X và là một phủ mở của K. Lấy x K. Khi đó vì phủ K nên tồn tại G sao cho x G. Vì G mở nên X \ G - hữu hạn. Do đó K \ G - hữu hạn. Đặt K \ G = {a 1 ,a 2 , ., a n }. Khi đó tồn tại G j sao cho a j G j với j =1,2, .,n. Ta có ' = {G 1 , G 2 , .,G n } phủ K và ' . Do đó K là tập compact. Nh vậy mọi tập con của X đều là tập compact. Xét ánh xạ đồng nhất i: (R, T ) R với T là tôpô vừa xây dựng ở trên, trên miền giá trị R ta dùng tôpô thông thờng. Khi đó i là ánh xạ phủ compact nhng không liên tục. Thật vậy, giả sử C là tập compact trong R. Khi đó C là tập compact trong (R, T ) và i(C) = C. Lấy V =(0;1) là tập mở trong R. Ta có i -1 (V) = (0;1), nhng (0;1) T vì R \ (0;1) là tập vô hạn. Do đó, i không liên tục. 1.3.1.3. Nhận xét. Trong ví dụ 1.4.2.2), ta đã chỉ ra tồn tại ánh xạ phủ compact nhng không liên tục. Bây giờ ra sẽ đa ra ví dụ về một ánh xạ liên tục nhng không compact. Giả sử T ' là tôpô rời rạc trên R và i: (R, T ') R là ánh xạ đồng nhất từ không gian R với tôpô rời rạc vào không gian tôpô R với thông thờng. Khi đó i là ánh xạ liên tục nhng không phải là ánh xạ phủ compact. Thật vậy, ta có tập một điểm {a} với aR là một phần tử thuộc T '. Xét phủ mở P = {{x}: x [0;1]} gồm tập các điểm của [0;1]. Phủ này không thể trích ra đợc phủ con hữu hạn 10 . Chơng I ánh xạ phủ compact 4 1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản. 4 1.2. ánh xạ phủ compact và các phủ đếm đợc theo điểm 9 Chơng II ánh xạ phủ dãy 25. dãy và các phủ đếm đợc theo điểm . Mục đích của luận văn là tập trung nghiên cứu ánh xạ phủ compact, ánh xạ phủ dãy, sự bảo tồn các phủ, đặc biệt là các phủ