khi và chỉ khi X là s- ánh phủ dãy của một không gian metric.
Chứng minh. Giả sử P là cs - lới đếm đợc theo điểm của không gian X, P
gồm các tập đóng. Khi đó đặt P = {Pα: α∊ A}. Cho Ai lập thành tập A với tôpô rời rạc của mỗi i ∊ N. Đặt
M = {β=(αi) ∊ ∏
∈N
thì M là một không gian metric và f: M → X từ không gian metric M vào không
gian tôpô X đợc xác định bởi f (β) = x(β) là một hàm. Cho dãy {xn} của X hội tụ về điểm x0 trong X, giả sử xn khác nhau. Lấy K = {xn: m ∊ ω}, và K ⊂ U với U
mở trong X, một tập con ℱ của P đợc gọi là có tính chất F (K, U) nếu ℱ thoả mãn
(1) ℱ hữu hạn.
(2) ỉ≠ P K ⊂ P ⊂ U với mỗi P∊ℱ.
(3) với mỗi x ∊ K tồn tại duy nhất Px∊ℱ với x ∊ Px
(4) nếu xo∊ P ∊ℱ thì K\ P là hữu hạn. Đặt
{ℱ⊂ P : ℱ có tính chất F (K,U)} = {ℱi: i ∊ N},
với mỗi i ∊ N và mỗi m ∊ ω ắt tồn tại αim∊ Ai sao cho αim∊ P∝im∊ ℱi . Có thể thấy rằng {Pαim: i ∊ N} là một lới của xm. Đặt βm= (αim) với mỗi m ∊ ω , thì
βm ∊ M và f(βm) = xm. Với mỗi i ∊ N , tồn tại n(i) ∊ N sao cho αin = αio nếu n > n(i), vì thế {αin} hội tụ về αio trong Ai, và {βn} hội tụ về βo trong M. Điều này chứng tỏ f là ánh xạ phủ dãy.
Ngợc lại, giả sử f: M → X là s-ánh xạ phủ dãy, trong đó M là không gian
metric. Vì M là không gian metric nên có cơ sở σ -địa phơng hữu hạn
ℬ = n∞=1Bn, khi đó P = {f(B): B ∊ β} là cs - lới đếm đợc theo điểm của không gian tôpô X Υ
Gọi P là một họ các tập con của X và K ⊂ X, kí hiệu
(P lK)0 - = {clK(IntK(P K)): P ∊ P }. Gọi P và Q là các họ tập con của X, kí hiệu
P ∧ Q = {P Q: P ∊ P và Q ∊ Q },
P < Q nếu với mỗi P ∊ P thì tồn tại Q ∊ Q sao cho P ⊂ Q.