Đặc trưng của không gian với phủ đếm được theo điểm

Header Page of 149 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN VỚI PHỦ ĐẾM ĐƯỢC THEO ĐIỂM MÃ SỐ: Đ2013-03-57-BS Chủ nhiệm đề tài: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 11/2014 Footer Page of 149 Header Page of 149 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN VỚI PHỦ ĐẾM ĐƯỢC THEO ĐIỂM MÃ SỐ: Đ2013-03-57-BS Xác nhận quan chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 11/2014 Footer Page of 149 Header Page of 149 DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Thành viên tham gia nghiên cứu đề tài ThS Nguyễn Hoàng Thành Đơn vị phối hợp Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng ii Footer Page of 149 Header Page of 149 ĐẶT VẤN ĐỀ Trong năm 60 kỷ trước, số tác giả phát đặc trưng mạng có tính chất phủ ảnh không gian mêtric qua ánh xạ thích hợp Đây phương pháp hiệu để phân loại lớp không gian phân loại tính chất phủ không gian mêtric suy rộng Năm 1973, E Michael K Nagami đưa toán mở: Nếu X s-ảnh thương không gian mêtric, có s-ảnh thương phủ-compắc không gian mêtric hay không? Bài toán thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm đến chưa có lời giải Qua đó, nhà toán học giới đưa nhiều kết liên quan đến: (1) Đặc trưng ảnh không gian mêtric qua ánh xạ thích hợp; (2) Mối quan hệ phủ Lý thuyết không gian mêtric suy rộng; (3) Mối quan hệ ánh xạ có tính chất phủ; (4) Sự bảo tồn không gian, mạng qua ánh xạ Nhờ đó, tác giả thu nhiều kết tính khả mêtric không gian tôpô Hơn nữa, tác giả đặt nhiều toán mở liên quan đến vấn đề Đặc biệt, năm gần mạng đếm theo điểm ánh xạ có tính chất phủ nhiều nhà nghiên cứu tôpô đại cương quan tâm như: J Nagata, G Gruenhage, Y Tanaka, C Liu, S Lin, Y Ge, X Ge , tác giả đưa nhiều kết góp phần to lớn cho lĩnh vực tôpô đại cương Footer Page of 149 Header Page of 149 CHƯƠNG HỆ L-PONOMAREV VÀ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN MÊTRIC KHẢ LI ĐỊA PHƯƠNG Năm 1994, S Lin đưa khái niệm msss-ánh xạ (mssc-ánh xạ) để đặc trưng không gian với mạng σ -đếm địa phương (tương ứng, σ -hữu hạn địa phương) thông qua msss-ảnh (tương ứng, mssc-ảnh) không gian mêtric Sau đó, nhiều tác giả thu số đặc trưng msss-ảnh (tương ứng, mssc-ảnh) không gian mêtric (hoặc không gian nửa-mêtric) Hơn nữa, N V Velichko chứng minh không gian X s-ảnh giả-mở không gian mêtric khả li địa phương X không gian khả li địa phương s-ảnh giả-mở không gian mêtric Gần đây, N V Dung thu số đặc trưng msss-ảnh (msscảnh) không gian mêtric khả li địa phương lớp T1 -không gian quy 1.1 Một số câu hỏi 1.1.1 Câu hỏi Tìm tính chất Φ cho không gian X s-ảnh thương của không gian mêtric có tính chất Φ X không gian có tính chất Φ X s-ảnh thương không gian mêtric 1.1.2 Câu hỏi Hãy đặc trưng msss-ảnh thương-dãy (giả-phủ-dãy, phủ-compắc ) Footer Page of 149 Header Page of 149 không gian mêtric khả li địa phương thông qua mạng σ -đếm địa phương? 1.1.3 Câu hỏi Tìm tính chất Φ cho không gian X msss-ảnh (mssc-ảnh ) không gian mêtric có tính chất Φ X không gian có tính chất Φ X msss-ảnh (tương ứng, mssc-ảnh ) không gian mêtric Trong chương này, đưa khái niệm hệ L-Ponomarev (f, M, X, Pn∗ ) mà suy rộng hệ Ponomarev (f, M, X, P) chứng minh số tính chất liên quan đến hệ Từ đó, thu đặc trưng msss-ảnh (mssc-ảnh) thương không gian mêtric khả li địa phương, đưa câu trả lời khẳng định cho Câu hỏi 1.1.2 Câu hỏi 1.1.3 1.2 Một số định nghĩa 1.2.1 Định nghĩa Giả sử P tập X {xn } dãy hội tụ đến x X Khi đó, (1) Dãy {xn } gọi từ lúc nằm P (eventually in P ), tồn m ∈ N cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P (2) Dãy {xn } gọi thường xuyên gặp P (frequently in P ), tồn dãy {xnk } {xn } từ lúc nằm P (3) P gọi lân cận dãy x (sequential neighborhood of x), với dãy L hội tụ đến x X , L từ lúc nằm P (4) P gọi mở theo dãy (sequentially open), P lân cận dãy x với x ∈ P 1.2.2 Định nghĩa Giả sử P họ gồm tập X Khi đó, Footer Page of 149 Header Page of 149 (1) P gọi họ đếm theo điểm (point-countable), (P)x đếm với x ∈ X (2) P gọi họ hữu hạn theo điểm (point-finite), (P)x hữu hạn với x ∈ X (3) P gọi họ đếm địa phương (locally countable), với x ∈ X , tồn lân cận V x cho (P)V đếm (4) P gọi họ hữu hạn địa phương (locally finite), với x ∈ X , tồn lân cận V x cho (P)V hữu hạn (5) P gọi họ sao-đếm (star-countable), (P)P đếm với P ∈ P (6) P gọi họ rời rạc (discrete), với x ∈ X , tồn lân cận V x cho (P)V có nhiều phần tử (7) Ta nói X xác định P (X is determined by P ), với F ⊂ X , F tập đóng (tương ứng, tập mở) X F ∩ P tập đóng (tương ứng, tập mở) P với P ∈ P 1.2.3 Định nghĩa Giả sử P phủ không gian X (P ) tính chất phủ Ta nói P phủ có tính chất σ -(P ) (σ -(P ) property), biểu diễn dạng P = {Pn : n ∈ N}, Pn phủ có tính chất (P ) Pn ⊂ Pn+1 với n ∈ N 1.2.4 Định nghĩa Giả sử P họ gồm tập X Khi đó, (1) P gọi mạng x (network at x) X , x ∈ P với P ∈ P với lân cận U x, tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U (2) P gọi mạng (network) X , (P)x mạng x với x ∈ X Footer Page of 149 Header Page of 149 (3) P gọi k-mạng (k-network) X , với tập compắc K ⊂ U với U mở X , tồn họ hữu hạn Q ⊂ P cho K⊂ Q ⊂ U (4) P gọi cs∗ -mạng (cs∗ -network) X , với dãy L hội tụ đến x ∈ U với U mở X , tồn P ∈ P cho L thường xuyên gặp P ⊂ U (5) P gọi cs-mạng (cs-network) X , với dãy L hội tụ đến x ∈ U với U mở X , tồn P ∈ P cho L từ lúc nằm P ⊂ U (6) P gọi phủ Lindel¨ of (tương ứng, compact), phần tử P tập Lindel¨of (tương ứng, compắc) 1.2.5 Định nghĩa Cho không gian X Khi đó, (1) X gọi k-không gian (k-space), xác định phủ gồm tất tập compắc (2) X gọi không gian dãy (sequential), xác định phủ gồm tất tập compắc khả mêtric (3) X gọi không gian Fréchet-Urysohn, với F ⊂ X với x ∈ cl(F ), tồn dãy {xn } F hội tụ đến x 1.2.6 Định nghĩa Giả sử P = {Px : x ∈ X} phủ không gian X thỏa mãn tính chất sau với x ∈ X (a) Px mạng x (b) Nếu P1 , P2 ∈ Px , tồn P ∈ Px cho P ⊂ P1 ∩ P2 (1) P gọi sở yếu X , với G ⊂ X , G tập hợp mở X với x ∈ G, tồn P ∈ Px cho P ⊂ G Footer Page of 149 Header Page of 149 (2) P gọi sn-mạng (tương ứng, so-mạng) X , phần tử Px lân cận dãy x với x ∈ X (tương ứng, mở theo dãy X ) 1.2.7 Định nghĩa Cho không gian X Khi đó, (1) X gọi không gian gf -đếm (gf -countable), có sở yếu {Px : x ∈ X} cho Px đếm với x ∈ X (2) X gọi không gian snf -đếm (snf -countable), có sn-mạng {Px : x ∈ X} cho Px đếm với x ∈ X (3) X gọi không gian gs-đếm (gs-countable), có sở yếu đếm (4) X gọi không gian sns-đếm (sns-countable), có sn-mạng đếm (5) X gọi không gian sos-đếm (sos-countable), có so-mạng đếm (6) X gọi không gian cosmic (cosmic space), không gian quy có mạng đếm (7) X gọi ℵ0 -không gian (ℵ0 -space), không gian quy có cs∗ -mạng đếm (8) X gọi H -ℵ0 -không gian (H -ℵ0 -space), X không gian với cs∗ -mạng đếm (9) X gọi ℵ-không gian (ℵ-space), không gian quy có k-mạng σ -hữu hạn địa phương (10) X gọi không gian sn-khả mêtric (sn-metrizable), không gian quy có sn-mạng σ -hữu hạn địa phương Footer Page of 149 Header Page 10 of 149 (11) X gọi không gian g -khả mêtric (g -metrizable), không gian quy có sở yếu σ -hữu hạn địa phương 1.2.8 Định nghĩa Cho ánh xạ f : X −→ Y Khi đó, (1) f gọi s-ánh xạ (s-map), f −1 (y) tập khả li X với y ∈ Y (2) f gọi ánh xạ compắc (compact map), f −1 (y) tập compắc X với y ∈ Y (3) f gọi π -ánh xạ (π -map), X không gian mêtric với mêtric d với y ∈ Y , d f −1 (y), X − f −1 (U ) > với lân cận U y (4) f gọi ánh xạ thương (quotient), f −1 (U ) tập mở X , U mở Y (5) f gọi ánh xạ giả-mở (pseudo-open), với y ∈ Y với lân cận U f −1 (y) X , y ∈ Intf (U ) 1.2.9 Định nghĩa Cho ánh xạ f : X −→ Y Khi đó, (1) f gọi ánh xạ mở-yếu (weak-open), Y tồn cở sở yếu {By : y ∈ Y } với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) thỏa mãn điều kiện: Với lân cận U x, tồn B ∈ By cho B ⊂ f (U ) (2) f gọi ánh xạ 1-phủ-dãy (1-sequence-covering), với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) cho dãy hội tụ đến y Y ảnh dãy hội tụ đến x X (3) f gọi ánh xạ 2-phủ-dãy (2-sequence-covering), với y ∈ Y , xy ∈ f −1 (y) {yn } dãy hội tụ đến y Y , tồn dãy {xn } hội tụ đến xy X cho xn ∈ f −1 (yn ) Footer Page 10 of 149 Header Page 13 of 149 10 (2) Nếu (f, M, X, Pn∗ ) hệ L-Ponomarev, f s-ánh xạ 1.3.3 Bổ đề Nếu P cs-mạng có tính chất σ -(P ), P cf p-mạng 1.3.4 Bổ đề Nếu X có cs∗ -mạng Lindel¨ of có tính chất σ -(P ), X có cs- mạng Lindel¨of có tính chất σ -(P ) 1.3.5 Bổ đề Giả sử f : M −→ X α(P )-ánh xạ M không gian mêtric khả li địa phương Khi đó, (1) X có cs∗ -mạng Lindel¨of với tính chất σ -(P ), f ánh xạ thươngdãy (2) X có sn-mạng Lindel¨of với tính chất σ -(P ), f ánh xạ 1-phủdãy (3) X có so-mạng Lindel¨of với tính chất σ -(P ), f ánh xạ 2-phủdãy 1.3.6 Bổ đề Giả sử P = {Pn : n ∈ N} mạng Lindel¨ of có tính chất σ -(P ) (f, M, X, Pn∗ ) hệ L-Ponomarev Khi đó, khẳng định sau (1) f α(P )-ánh xạ (2) M không gian khả li địa phương (3) f ánh xạ phủ-dãy phủ-compắc, P cs-mạng (4) f ánh xạ 1-phủ-dãy phủ-compắc, P sn-mạng (5) f ánh xạ 2-phủ-dãy phủ-compắc, P so-mạng 1.3.7 Định lí Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương (1) X có cs∗ -mạng Lindel¨of với tính chất σ -(P ); (2) X có cf p-mạng Lindel¨of với tính chất σ -(P ); Footer Page 13 of 149 Header Page 14 of 149 11 (3) X có cs-mạng Lindel¨of với tính chất σ -(P ); (4) X α(P )-ảnh phủ-dãy phủ-compact không gian mêtric khả li địa phương; (5) X α(P )-ảnh thương-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (6) X α(P )-ảnh thương-dãy không gian mêtric, có so-phủ gồm H -ℵ0 -không gian 1.3.8 Nhận xét Sử dụng Định lí 1.3.7, trường hợp (P ) tính chất đếm địa phương, ta thu câu trả lời khẳng định cho Câu hỏi 1.1.2 Theo Định lí 1.3.7, ta có hệ sau 1.3.9 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X k-không gian với cs∗ -mạng Lindel¨ of có tính chất σ -(P ); (2) X k-không gian với cf p-mạng Lindel¨ of có tính chất σ -(P ); (3) X k-không gian với cs-mạng Lindel¨ of có tính chất σ -(P ); (4) X α(P )-ảnh thương, phủ-dãy phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (5) X α(P )-ảnh thương không gian mêtric khả li địa phương; (6) X H -ℵ0 -không gian địa phương α(P )-ảnh thương không gian mêtric 1.3.10 Nhận xét Nhờ Hệ 1.3.9, ta thu câu trả lời khẳng định cho Câu hỏi 1.1.3 1.3.11 Nhận xét Giả sử P mạng có tính chất σ -(P ) không gian quy X Khi đó, Footer Page 14 of 149 Header Page 15 of 149 12 (1) Nếu P cs∗ -mạng (cf p-mạng; cs-mạng ), P Lindel¨ of phần tử P không gian cosmic, phần tử P ℵ0 -không gian (2) Nếu P sn-mạng, P Lindel¨of phần tử P không gian cosmic, phần tử P không gian sns-đếm (3) Nếu P so-mạng, P Lindel¨ of phần tử P không gian cosmic, phần tử P không gian sos-đếm Sử dụng Định lí 1.3.7 Nhận xét 1.3.11, nhận lại kết N V Dung trường hợp X không gian quy 1.3.12 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X có cs-mạng σ -đếm địa phương gồm ℵ0 -không gian con; (2) X có cs-mạng σ -đếm địa phương gồm không gian cosmic; (3) X msss-ảnh phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương 1.3.13 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X có cs-mạng σ -hữu hạn địa phương gồm ℵ0 -không gian con; (2) X có cs-mạng σ -hữu hạn địa phương gồm không gian cosmic; (3) X mssc-ảnh phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương 1.3.14 Định lí Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X có sn-mạng Lindel¨of với tính chất σ -(P ); (2) X α(P )-ảnh 1-phủ-dãy phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; Footer Page 15 of 149 Header Page 16 of 149 13 (3) X α(P )-ảnh 1-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (4) X α(P )-ảnh 1-phủ-dãy không gian mêtric, có so-phủ gồm H -ℵ0 -không gian 1.3.15 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X có sở yếu Lindel¨of với tính chất σ -(P ); (2) X α(P )-ảnh mở-yếu phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (3) X α(P )-ảnh mở-yếu không gian mêtric khả li địa phương; (4) X H -ℵ0 -không gian địa phương α(P )-ảnh mở-yếu không gian mêtric Nhờ Định lí 1.3.14 Nhận xét 1.3.11, thu kết N V Dung trường hợp X không gian quy 1.3.16 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian quy X (1) X có sn-mạng σ -đếm địa phương gồm không gian snsđếm được; (2) X có sn-mạng σ -đếm địa phương gồm không gian cosmic; (3) X msss-ảnh không gian mêtric khả li địa phương 1.3.17 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian quy X (1) X có sn-mạng σ -hữu hạn địa phương gồm không gian sns-đếm được; Footer Page 16 of 149 Header Page 17 of 149 14 (2) X có sn-mạng σ -hữu hạn địa phương gồm không gian cosmic; (3) X mssc-ảnh 1-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương 1.3.18 Nhận xét Nhờ Định lí 1.3.14, ta thêm tiền tố “phủ-compắc” sau tiền tố “1-phủ-dãy” Hệ 1.3.16(3) Hệ 1.3.17(3) 1.3.19 Định lí Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X có so-mạng Lindel¨of với tính chất σ -(P ); (2) X α(P )-ảnh 2-phủ-dãy phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (3) X α(P )-ảnh 2-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (4) X α(P )-ảnh 2-phủ-dãy không gian mêtric, có so-phủ gồm H -ℵ0 -không gian 1.3.20 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X có sở Lindel¨of với tính chất σ -(P ); (2) X α(P )-ảnh mở phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (3) X α(P )-ảnh mở không gian mêtric khả li địa phương; (4) X H -ℵ0 -không gian địa phương α(P )-ảnh mở không gian mêtric Nhờ Định lí 1.3.19 Nhận xét 1.3.11, thu kết N V Dung trường hợp X không gian quy 1.3.21 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X có so-mạng σ -đếm địa phương gồm không gian sosđếm được; Footer Page 17 of 149 Header Page 18 of 149 15 (2) X có so-mạng σ -đếm địa phương gồm không gian cosmic; (3) X msss-ảnh 2-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương 1.3.22 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian quy X (1) X có so-mạng σ -hữu hạn địa phương gồm không gian sos-đếm được; (2) X có so-mạng σ -hữu hạn địa phương gồm không gian cosmic; (3) X msss-ảnh 2-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương 1.3.23 Nhận xét Theo Định lí 1.3.19, ta thêm tiền tố “phủ-compắc” sau tiền tố “2-phủ-dãy” Hệ 1.3.21(3) Hệ 1.3.22(3) 1.4 Một số ví dụ 1.4.1 Ví dụ s-ảnh thương không gian mêtric khả li địa phương không không gian khả li địa phương (xem Ví dụ 9.8 [G Gruenhage, E Michael, Y Tanaka, Spaces determined by point-countable covers, Pacific J Math., 113 (1984), 303-332] Ví dụ 2.9.27 [S Lin, Generalized Metric Spaces and Mappings, Chinese Science Press, Beijing, 1995]) Do vậy, Câu hỏi 1.1.1 không trường hợp tính chất Φ ℵ0 không gian (hoặc khả li địa phương) 1.4.2 Ví dụ Tồn không gian X với k -mạng compắc σ -hữu hạn địa phương (do đó, theo Định lí 1.3.7 ta suy X có cs-mạng Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương), X không không gian Lindel¨of địa phương (do đó, X mạng đếm địa phương) (xem Ví dụ 4.1(2) [Y Ykeda, Y Tanaka, Space having star-countable k-networks, Topology Proc., 18 (1993), 107-132]) Như vậy, Footer Page 18 of 149 Header Page 19 of 149 16 (1) Không gian X có cs-mạng Lindel¨of với tính chất σ -(P ) X có cs- mạng đếm địa phương (2) Trong Định lí 1.3.7(6), X ℵ0 -không gian địa phương 1.4.3 Ví dụ Sω không gian Fréchet-Urysohn ℵ0 -không gian, không không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Do đó, có cs-mạng Lindel¨ of σ -hữu hạn địa phương Mặt khác, Sω không không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên sn-mạng (hoặc sở yếu) σ -đếm địa phương Như vậy, (1) Không gian X có cs-mạng Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương (do đó, σ -đếm địa phương) X có sn-mạng Lindel¨ of σ -hữu hạn địa phương (hoặc σ -đếm địa phương) (2) k-không gian X với cs-mạng Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương (do đó, σ -đếm địa phương) X có sở yếu Lindel¨ of σ -hữu hạn địa phương (hoặc σ -đếm địa phương) 1.4.4 Ví dụ Tồn không gian gs-đếm X , không không gian Fréchet-Urysohn (xem, Ví dụ 2.1 [F Siwiec, On defining a space by a weak base, Pacific J Math., 52 (1) (1974), 233-245]) Do đó, X có sở yếu Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương Bởi X không gian dãy, không không gian Fréchet-Urysohn nên X so-mạng (hoặc sở yếu) σ -đếm địa phương Như vậy, (1) Không gian X có sn-mạng Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương (do đó, σ -đếm địa phương) X có so-mạng σ -hữu hạn địa phương (hoặc σ -đếm địa phương) (2) Không gian X có sở yếu Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương (do đó, σ -đếm địa phương) σ -đếm địa phương) Footer Page 19 of 149 X có sở σ -hữu hạn địa phương (hoặc Header Page 20 of 149 17 1.4.5 Ví dụ Tồn không gian X có sn-mạng đếm địa phương X không ℵ-không gian (xem Ví dụ 2.19 [X Ge, Spaces with a locally countable sn-network, Lobachevskii J Math., 26 (2007), 33-49]) Do đó, X có sn-mạng Lindel¨of σ -đếm địa phương Bởi thế, (1) Không gian X có sn-mạng đếm địa phương X có cs-mạng Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương (2) Không gian X có sn-mạng Lindel¨of σ -đếm địa phương X có sn-mạng (hoặc cs-mạng) Lindel¨ of σ -hữu hạn địa phương (3) Không gian X có cs-mạng Lindel¨of σ -đếm địa phương X có cs-mạng Lindel¨ of σ -hữu hạn địa phương 1.4.6 Ví dụ Sử dụng Ví dụ 3.1 [Y Ge, J S Gu, On π -images of separable metric spaces, Math Sci., 10 (2004), 65-71] ta thấy X không gian Hausdorff, không quy có sở đếm được, không π -ảnh thương-dãy không gian mêtric Do đó, X không ℵ0 không gian Nhờ Định lí 1.3.19, X mssc-ảnh 2-phủ-dãy (và mở) không gian mêtric khả li địa phương (1) Tồn H -ℵ0 -không gian, không ℵ0 -không gian (2) Không gian X có cs-mạng (hoặc sn-mạng, so-mạng) Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương X π , mssc-ảnh (hoặc msss-ảnh) thương- dãy không gian mêtric Footer Page 20 of 149 Header Page 21 of 149 18 CHƯƠNG ẢNH COMPẮC CỦA KHÔNG GIAN MÊTRIC KHẢ LI ĐỊA PHƯƠNG Trong chương này, chứng minh không gian X có sn-mạng Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương (σ -đếm địa phương) X mssc-ảnh (tương ứng, msss-ảnh) compắc phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương, X π , mssc-ảnh (tương ứng, msssảnh) thương-dãy không gian mêtric khả li địa phương, tiền tố “phủ-compắc” (hoặc “thương-dãy”) thay tiền tố “phủ-dãy” Từ đó, thu đặc trưng không gian với sở yếu đếm địa phương Các kết chương trình bày [2,3] Hơn nữa, không gian chương giả thiết thêm chúng không gian quy Footer Page 21 of 149 Header Page 22 of 149 19 2.1 Ảnh compắc thương-dãy không gian mêtric khả li địa phương 2.1.1 Bổ đề Giả sử f : M −→ X mssc-ánh xạ, M không gian mêtric khả li địa phương Khi đó, X có cs-mạng Lindel¨ of σ -hữu hạn địa phương 2.1.2 Định nghĩa Giả sử {Pi } dãy gồm phủ không gian X Ta nói {Pi } mạng sao-điểm, {St(x, Pi ) : i ∈ N} mạng x với x ∈ X 2.1.3 Định lí Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương (1) X không gian sn-khả mêtric X có so-phủ gồm ℵ0 -không gian con; (2) X có sn-mạng Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương; (3) X mssc-ảnh compắc phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (4) X mssc-ảnh compắc giả-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (5) X mssc-ảnh compắc phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (6) X π , mssc-ảnh thương-dãy không gian mêtric khả li địa phương Theo Định lí 2.1.3, ta có 2.1.4 Hệ Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương (1) X có sở yếu đếm địa phương; Footer Page 22 of 149 Header Page 23 of 149 20 (2) X ℵ0 -không gian địa phương không gian g -khả mêtric; (3) X có sở yếu Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương; (4) X mssc-ảnh compắc thương, phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (5) X mssc-ảnh compắc thương, giả-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (6) X mssc-ảnh compắc thương, phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (7) X π mssc-ảnh thương không gian mêtric khả li địa phương Chứng minh tương tự Định lí 2.1.3 ta thu định lí sau 2.1.5 Định lí Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương (1) X không gian có sn-mạng σ -đếm địa phương có so-phủ gồm ℵ0 -không gian con; (2) X có sn-mạng Lindel¨of σ -đếm địa phương; (3) X msss-ảnh compắc phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (4) X msss-ảnh compắc giả-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (5) X msss-ảnh compắc phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (6) X π , msss-ảnh thương-dãy không gian mêtric khả li địa phương Nhờ Định lí 2.1.5, ta có 2.1.6 Hệ Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương Footer Page 23 of 149 Header Page 24 of 149 21 (1) X ℵ0 -không gian địa phương có sở yếu σ -đếm địa phương; (2) X có sở yếu Lindel¨of σ -đếm địa phương; (3) X msss-ảnh compắc thương, phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (4) X msss-ảnh compắc thương, giả-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (5) X msss-ảnh compắc thương, phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (6) X π msss-ảnh thương không gian mêtric khả li địa phương 2.2 Một số ví dụ 2.2.1 Ví dụ Giả sử Cn dãy hội tụ chứa điểm giới hạn pn với n ∈ N, Cm ∩ Cn = ∅ m = n Giả sử Q = {qn : n ∈ N} tập tất số hữu tỷ R Đặt M= {Cn : n ∈ N} ⊕ R giả sử X không gian thương thu từ M cách đồng pn Cn với qn R Khi đó, theo chứng minh Ví dụ 3.1 [Y Ge, S Lin, g -metrizable spaces and the images of semi-metric spaces, Czech Math J., 57 (132) (2007), 1141-1149], X có sở yếu đếm X không π -ảnh thương phủ-dãy không gian mêtric Do đó, (1) Không gian X với sn-mạng Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương (σ -đếm địa phương) X π , mssc-ảnh (tương ứng, msss-ảnh) phủ- dãy không gian mêtric khả li địa phương Footer Page 24 of 149 Header Page 25 of 149 22 (2) Không gian X với sở yếu Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương (σ -đếm địa phương) X π , mssc-ảnh (tương ứng, msss-ảnh) thương phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương 2.2.2 Ví dụ Sử dụng Ví dụ 3.1 [Y Ge, J S Gu, On π -images of separable metric spaces, Math Sci., 10 (2004), 65-71], ta thấy X không gian Hausdorff, không quy X có sở đếm được, không π -ảnh thương-dãy không gian mêtric Điều chứng tỏ tính chất quy X bỏ Định lí 2.1.3, Hệ 2.1.4 Định lí 2.1.5 Hệ 2.1.6 2.2.3 Ví dụ Sω không gian Fréchet-Urysohn ℵ0 -không gian, không không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Do đó, Sω có cs-mạng Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương Nhờ Định lí 2.1 [N V Dung, On sequence-covering mssc-images of locally separable metric spaces, Publications de L’institut Mathématique, Nouvelle série, 87 (101) (2010), 143-153] ta suy X mssc-ảnh không gian mêtric khả li địa phương Hơn nữa, Sω không không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên sn-mạng đếm theo điểm Bởi vậy, (1) Không gian X với cs-mạng Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương (σ đếm địa phương) X π , mssc-ảnh (tương ứng, msss-ảnh) thương-dãy không gian mêtric khả li địa phương (2) X mssc-ảnh (msss-ảnh) thương phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương X có sn-mạng Lindel¨ of σ -hữu hạn địa phương (tương ứng, σ -đếm địa phương) 2.2.4 Ví dụ Sử dụng Ví dụ 2.7 [Z Li, On π -s-images of metric spaces, Int J Math Sci., (2005), 1101-1107], ta thấy X ảnh compắc thương, phủ-compắc không gian mêtric compắc địa phương, cs-mạng đếm theo điểm Do đó, ảnh compắc thương phủ- Footer Page 25 of 149 Header Page 26 of 149 23 compắc không gian mêtric khả li địa phương X có sn-mạng Lindel¨ of σ -hữu hạn địa phương (σ -đếm địa phương) 2.2.5 Ví dụ Tồn không gian X có sn-mạng đếm địa phương mà X không ℵ0 -không gian (xem Ví dụ 2.19 [X Ge, Spaces with a locally countable sn-network, Lobachevskii J Math., 26 (2007), 33-49]) Do đó, X có sn-mạng Lindel¨of σ -đếm địa phương Như vậy, (1) Không gian với sn-mạng đếm địa phương X có sn-mạng Lindel¨of σ -hữu hạn địa phương (2) Không gian với sn-mạng Lindel¨of σ -đếm địa phương sn-mạng Lindel¨ of σ -hữu hạn địa phương Footer Page 26 of 149 X có Header Page 27 of 149 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI [1] T V An and L Q Tuyen, L-Ponomarev’s system and images of locally separable metric spaces , Publ Inst Math 93(107) (2013), 133-144 [2] L Q Tuyen, Spaces with σ -locally finite Lindel¨ of sn-networks, Publ Inst Math., 93(107) (2013), 145-152 [3] L Q Tuyen, Spaces with σ -locally countable Lindel¨of sn-networks, Novi Sad J Math., 43 (2013), 201-209 [4] L Q Tuyen, Notes on pseudo-sequence-covering maps, Novi Sad J Math., (2014) to appear Footer Page 27 of 149 ... -không gian (H - 0 -space), X không gian với cs∗ -mạng đếm (9) X gọi ℵ -không gian (ℵ-space), không gian quy có k-mạng σ -hữu hạn địa phương (10) X gọi không gian sn-khả mêtric (sn-metrizable), không. .. có sn-mạng {Px : x ∈ X} cho Px đếm với x ∈ X (3) X gọi không gian gs - ếm (gs-countable), có sở yếu đếm (4) X gọi không gian sns - ếm (sns-countable), có sn-mạng đếm (5) X gọi không gian sos - ếm. .. (1) f α(P )- nh xạ (2) M không gian khả li địa phương (3) f ánh xạ ph - dãy ph - compắc, P cs-mạng (4) f ánh xạ 1 -ph - dãy ph - compắc, P sn-mạng (5) f ánh xạ 2 -ph - dãy ph - compắc, P so-mạng 1.3.7