Một số tính chất hình học đặc trưng của không gian bânch luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ DANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẶC TRƯNG CỦA KHƠNG GIAN BANACH CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC - TƠPƠ MÃ SỐ: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM NGỌC BỘI VINH - 2011 MỤC LỤC Trang Mục lục .1 Lời nói đầu .2 §1 Khơng gian Banach lồi §2 Khơng gian Banach trơn 20 §3 Sự trực giao không gian Banach .26 §4 Đạo hàm Gateaux chuẩn 32 §5 Đạo hàm Frechet chuẩn 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 LỜI NÓI ĐẦU Các tính chất hình học tập hợp không gian Banach phụ thuộc vào cấu trúc không gian Banach Các tính chất hình học tập hợp như: tính lồi, tính trơn, tính trực giao tính khả vi phụ thuộc vào tính chất chuẩn trang bị cho khơng gian Banach Mục đích luận văn nghiên cứu, trình bày số tính chất hình học đặc trưng khơng gian Banach Với mục đích luận văn trình bày thành năm mục §1 Khơng gian Banach lồi Trong mục trình bày định nghĩa, tính chất, ví dụ minh hoạ tính lồi đều, lồi chặt, lồi địa phương yếu khái niệm để sử dụng cho mục sau §2 Khơng gian Banach trơn Trong mục trình bày định nghĩa tính chất không gian Banach trơn, không gian Banach trơn Công thức đối ngẫu Lindestrauss, Định lý Smulian (1941) §3 Sự trực giao khơng gian Banach Trong mục trình bày định nghĩa, tính chất ví dụ tính trực giao, tính trực giao trái, tính trực giao phải Mối liên hệ tính trơn, tính lồi tính trực giao §4 Đạo hàm Gateaux chuẩn Trong mục trình bày định nghĩa, tính chất đạo hàm Gateaux chuẩn Mối liên hệ tính trơn khả vi Gateaux §5 Đạo hàm Frechet chuẩn Trong mục trình bày định nghĩa tính chất đạo hàm Frechet chuẩn Mối liên hệ tính trơn đều, tính lồi khả vi Frechet Các kết trình bày luận văn khơng mới, chúng trình bày rải rác tài liệu tham khảo Trong luận văn này, trình bày vấn đề theo hệ thống Ngồi việc trình bày lại khái niệm, tính chất có, chúng tơi chứng minh chi tiết kết tài liệu tham khảo đưa ví dụ, phản ví dụ, nhận xét kết Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội Trong q trình nghiên cứu chúng tơi nhận quan tâm, giúp đỡ thầy cô giáo, bạn bè người thân Qua xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, tới thầy tổ Hình học-Tơpơ, tới thầy khoa Toán, khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh tất bạn bè gia đình giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng song khơng thể tránh khỏi sai sót Rất mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện tốt Trân trọng cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả TRẦN THỊ DANH §1 KHƠNG GIAN BANACH LỒI Trong mục này, chúng tơi trình bày số định nghĩa tính chất không gian Banach lồi để sử dụng cho phần sau 1.1 Định nghĩa Tập X khác rỗng gọi không gian vectơ thực (hoặc  -không gian vectơ) cho phép tốn cộng nhân vô hướng cho thoả mãn điều kiện: 1) x + y = y + x, với x, y  X; 2) (x + y) + z = x + (y + z), với x, y, z  X; 3) Tồn phần tử  X cho x + = + x = x, với x  X; 4) Với x  X, tồn phần tử đối –x  X cho x + (-x) = (-x) + x = 0; 5) (x) = (x) = ()x, với x  X, với ,   ℝ; 6) (x + y) = x + y, với x, y  X, với   ℝ; 7) ( + )x = x + x, với x  X, với ,   ℝ; 8) 1.x = x, với x  X Trong suốt luận văn ta xét  -không gian vectơ, gọn ta gọi chúng không gian vectơ 1.2 Định nghĩa Giả sử X không gian vectơ Hàm p: E  ℝ thỏa mãn điều kiện: (N1) p  x   0,  x  X p  x    x  ; (N2) p   x    p  x  ,  x  X ,    ; (N3) p  x  y   p  x   p  y  ,  x, y  X ; gọi chuẩn không gian vectơ X Số p  x  gọi chuẩn vectơ x  X Ta thường kí hiệu chuẩn x x Không gian vectơ X với chuẩn xác định gọi khơng gian định chuẩn 1.3 Ví dụ Xét không gian vectơ 2 Với x  x1 , x2  đặt: x  x12  x22 , (1.1) x max  x1 , x2  , (1.2) x   xi (1.3) 1 i Các công thức (1.1), (1.2), (1.3) cho ta ba chuẩn khác 2 Chuẩn (1.1) gọi chuẩn Euclide 1.4 Định nghĩa Một không gian định chuẩn không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh chuẩn gọi khơng gian Banach Trên tập hợp, trang bị chuẩn khác ta có khơng gian Banach khác Chẳng hạn lấy  với chuẩn nói Ví dụ 1.3 ta có 2 khơng gian Banach   , x  ,   , x ,  , x  2 1.5 Ví dụ Ta trình bày số khơng gian Banach thường dùng (xem [1]) -   c0   xn  : xn  ,lim xn 0 , n  c0, ta xác định chuẩn || x || c max | x n |, với x  xn   c0 n p    l  x : x   , x     - p  n  , lp, ta xác định chuẩn  n n n 1     p || x || p   xn  , với x  xn   l p , p 1  n 1  -   l   xn  : xn  ,sup xn   , l, ta xác định chuẩn n || x ||  sup | x n |, với x  x   l n  n 1.6 Định nghĩa Cho không gian vectơ X -Đoạn thẳng  a, b  tập hợp  a, b  ={  a      b  X | ≤  ≤ 1} - Đoạn thẳng không tầm thường  a, b  mà a b Đoạn thẳng tầm thường  a, b  mà a b - Tập A khơng gian vectơ X gọi lồi có tính chất: hai vectơ a, b A đoạn thẳng  a, b  nằm trọn A Cho X không gian định chuẩn, suốt luận văn sử dụng ký hiệu sau   - S(X) mặt cầu tâm 0, bán kính X, S(X) = x  X x 1 - B(X) hình cầu đóng tâm 0, bán kính X, B(X) =  x  X x 1 1.7 Định nghĩa Không gian Banach X gọi lồi ngặt (hay lồi chặt) với cặp điểm khác x, y S(X) thỏa mãn x y 1 (1.4) 1.8 Định lý Không gian Banach X lồi ngặt với x, y  X không cộng tuyến ta có x  y  x  y (1.5) Chứng minh a) Giả sử (1.5) thoả mãn với x, y  X không cộng tuyến, ta chứng minh X lồi ngặt Thật vậy, giả sử X không lồi ngặt, tồn cặp điểm khác x, yS(X) cho x y 1 Do điều kiện N3 định nghĩa nên x y 1 Vậy x  y 2 (1.6) Nhưng theo (1.5) x  y   2 (1.7) Từ (1.6), (1.7) ta có mâu thuẫn Vậy X lồi ngặt b) Giả sử X lồi ngặt ta chứng minh x  y  x  y với x, y  X Vì ta ln có x  y  x  y , cần chứng minh không xảy đẳng thức x  y  x  y Giả sử ngược lại x  y  x  y Chúng ta giả thiết y 1, x 1 Đặt, 1  t   tx  y , 2  t  t x  y với t   Bằng việc tính trực tiếp ta thấy 1 lồi 1  t  2  t  với t 0 Ta có 1   2   , 1  1 2  1 Từ 2 hàm tuyến tính, 1  t  2  t  với t 0 Từ x  y 2 mâu thuẫn Suy điều phải chứng minh x 1.9 Chú ý Không gian Banach X lồi ngặt đường thẳng có khơng hai điểm có chuẩn Nói cách khác đường thẳng cắt mặt cầu không hai điểm Thật vậy, giả sử X có hai điểm x, y có chuẩn Khơng tính tổng qt ta giả sử x, y  S(X) Lấy z thuộc [x, y], khác x y; z = x + (1-)y, <  x  (1   ) y  z Vậy đoạn thẳng [x, y] hai điểm x y, tất điểm khác có chuẩn nhỏ Suy điều cần chứng minh 1.10 Ví dụ a) Không gian c0 l1 không gian lồi ngặt Thật vậy, gọi e1 = (1,0, 0, ), e2 = (0,1,0, ) Trong trường hợp c0, lấy x e1  e2 , y e1  e2 x  y 1 , x  y 1; x  y 2 Trong trường hợp l1 lấy x e1 , y e2 x  y 2 Áp dụng Định lý 1.8 ta thấy không gian c l1 không gian lồi ngặt b) Lấy X= 2 - Với chuẩn Euclide X lồi ngặt Thật vậy, với x, y  S  X  , x  y 1 x y trung điểm đoạn thẳng đường tròn S(X) suy  x, y  Do x y nằm x y 1 - Với chuẩn (nói Ví dụ 1.3) X không lồi ngặt Thật vậy, với x, y  S  X  , x  1,  , y  1,1 , x  y 1 ,  x y  1  1,    2 x y 1 1.11 Định nghĩa Không gian Banach X gọi lồi với > tồn  =     cho với x, y  S ( X ) mà x  y  ta có 1 x y  (1.8) Ta gọi môđun lồi không gian Banach X hàm số X: [0; 2]  ℝ,  X() = inf 1   x y  : x, y  S ( X ),|| x  y ||   (1.9) Ta gọi đặc trưng lồi không gian Banach X số xác định   X  sup   0, 2 :  X    0  (1.10) ... không gian lồi không gian lồi Chứng minh - Rõ ràng không gian không gian lồi không gian lồi - Bây ta chứng minh không gian thương không gian lồi khơng gian lơì Cho F khơng gian thương không gian. .. như: tính lồi, tính trơn, tính trực giao tính khả vi phụ thuộc vào tính chất chuẩn trang bị cho khơng gian Banach Mục đích luận văn nghiên cứu, trình bày số tính chất hình học đặc trưng khơng gian. ..    0  (1.10) 1.12 Ví dụ Khơng gian Hilbert có số chiều không không gian lồi Mọi không gian Hilbert có số chiều lớn không gian lồi Thật vậy, không gian Hilbert X có dimX = Trên S(X) có