Một số nón đặc biệt trong không gian banach luận văn thạc sỹ toán học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ XUÂN TRƯỜNG MỘT SỐ NÓN ĐẶC BIỆT TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh – 2011 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ XUÂN TRƯỜNG MỘT SỐ NÓN ĐẶC BIỆT TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC – TÔPÔ Mà SỐ: 60.46.10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. PHẠM NGỌC BỘI Vinh – 2011 MụC LụC Trang Mở đầu . 2 Chơng 1. Nón trong không gian Banach 6 1.1. Nón . 6 1.2. Thứ tự trong không gian Banach . 9 1.3. Nón chuẩn tắc . 10 1.4. Nón làm trội đợc . 13 1.5. Nón cân và nón hoàn toàn cân 19 1.6. Mối quan hệ giữa các nón trong không gian Banach 21 Chơng 2. Nón trong không gian n 30 2.1. Các khái niệm và tính chất . . 30 2.2. Nón đa diện . 37 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo . 46 3 Më ®Çu I. Lí do chọn đề tài Khái niệm về nón và các tính chất của nó đóng vai trò rất quan trọng trong toán học nói chung và hình học nói riêng. Nón có vai trò cốt lõi trong việc nghiên cứu lý thuyết toán tử, phương trình vi phân, bài toán về điểm bất động, các bài toán về cực trị, lý thuyết động lực, lý thuyết điều khiển… Nón trong không gian Banach liên quan chặt chẽ với một quan hệ thứ tự, vì vậy các loại nón khác nhau như tương ứng với các cấu trúc thứ tự khác nhau. Trong luận văn này, trước hết chúng tôi quan tâm nghiên cứu các loại nón cổ điển trong không gian Banach nói chung, sau đó chúng tôi quan tâm nghiên cứu các loại nón trong không gian n ¡ và các tính chất của chúng mà nón nói chung trong không gian Banach không có. Luận văn nhằm cụ thể hóa, chi tiết hóa các khái niệm và chỉ ra mối quan hệ giữa các loại nón, các dấu hiệu nhận biết các loại nón… Với lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Một số nón đặc biệt trong không gian Banach”. II. Nội dung nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là: 1, Trình bày khái niệm về các loại nón, các tính chất của nón trong không gian Banach. Trình bày chứng minh đầy đủ các dấu hiệu nhận biết nón, các định lý về nón. 2, Trình bày mối quan hệ giữa các loại nón trong không gian Banach. 3, Trình bày một số loại nón trong không gian n ¡ và tính chất của nó. 4, Trình bày chứng minh một số ví dụ minh họa cho khái niệm nón và các tính chất của chúng. III. Phương pháp nghiên cứu 1, Phương pháp suy luận trực tiếp. 2, Phương pháp suy luận gián tiếp. 3, Phương pháp loại suy. 4 IV. D kin cu trỳc ca lun vn Trờn c s nhim v nghiờn cu ó nờu, ngoi phn m u v ti liu tham kho, lun vn c trỡnh by thnh 2 chng. Chng 1. Nún trong khụng gian Banach Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim v nún, nón khối, nón bản sao, nón chuẩn tắc, nón làm trội, nón cân, nón hoàn toàn cân và một số dấu hiệu nhận biết chúng. Luận văn trình bày tính chất của một số loại nón và chứng minh các mối liên hệ giữa các loại nón trong không gian Banach. Trình bày một số ví dụ minh họa cho khái niệm nón trong không gian Banach. 1.1. Nún Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by khỏi nim v mt s loi nún, (nún, nún tỏi to (hay cũn gi l bn sao), nún khi, nún K(F).) v trỡnh by chng minh mt s vớ d minh ha v nún, nún khi, nún bn sao, nún K(F). 1.2. Th t trong khụng gian Banach Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by nh ngha v th t, khụng gian cú th t, chỳng tụi trỡnh by mt s nhn xột v tớnh cht v th t. 1.3. Nún chun tc Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by nh ngha v nún chun tc, nh ngha v na n iu, mi quan h gia nún chun tc v th t, gia nún chun tc v chun na n iu. Chỳng tụi trỡnh by chng minh y mt s tớnh cht v trỡnh by chng minh mt s vớ d minh ha cho cỏc nún trờn. 1.4. Nún lm tri c Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by nh ngha phim hm tuyn tớnh n iu, phim hm tuyn tớnh dng, phim hm tuyn tớnh dng u, nh ngha siờu phng, siờu phng tỏch, nh ngha nún lm tri c, nún compact a phng. Mi quan h gia nún lm tri c vi phim hm tuyn tớnh dng u, gia tp compact v nún lm tri c. 5 1.5. Nón cân và nón hoàn toàn cân Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa về nón cân và nón hoàn toàn cân. Trình bày chứng minh đầy đủ một số định lý về nón trên. 1.6. Mối quan hệ giữa các nón trong không gian Banach Trong mục này, chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa các loại nón trong không gian Banach và trình bày một số ví dụ minh họa cho các mối quan hệ đó. Chương 2. Nón trong không gian ℝ n Chương này, chúng tôi trình bày một số loại nón trong không gian n ¡ . Chúng tôi trình bày chứng minh đầy đủ một số tính chất và mệnh đề về nón. 2.1. Các khái niệm và tính chất Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về nón trong không gian n ¡ . Trình bày khái niệm về tập đối cực. Chúng tôi trình bày chứng minh đầy đủ một số tính chất và mệnh đề về nón trong không gian n ¡ . Đồng thời chúng tôi trình bày một số ví dụ minh họa cho các tính chất đó. 2.2. Nón đa diện Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa về vectơ cực trị, tia cực trị, nón đa diện, nón đơn hình, chúng tôi trình bày chứng minh một số định lý về vectơ cực trị, tia cực trị và trình bày một số ví dụ minh họa cho các định lý đó. Cuối cùng là kết luận và tài liệu tham khảo. 6 Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình chu đáo của PGS.TS. Phạm Ngọc Bội. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu của tôi. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn, các thầy cô trong Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh, các thầy cô trong Phòng Quản lý khoa học và Đào tạo Trường Đại học Hải phòng, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã giúp đỡ động viên tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm việc, song do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi được những thiếu sót. Nhiều chỗ có thể không phản ánh được hết dụng ý sư phạm của tác giả. Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả 7 Chơng 1. nón trong không gian banach Trong toàn bộ luận văn này chúng tôi luôn kí hiệu E là một không gian Banach thực. Kí hiệu || . || là chuẩn trên E, khi đó E là không gian Mêtric với mêtric d(x, y) = || y x ||. 1.1. Nón 1.1.1. Định nghĩa a) Tập K E đợc gọi là nún (nói đầy đủ là nún cú nh l ) nếu nó thoả mãn điều kiện sau đây: Nếu u, v K thì u + v K, với mọi , 0. b) Nón K đợc gọi là nún nhn K nếu nó thỏa mãn thêm các điều kiện: K ( K) = {} (điều kiện này gọi là điều kiện nhọn). Nón K đợc gọi là nún nhn úng nếu K là nón nhọn và K là tập đóng. c) Nón K đợc gọi là nún khi nếu nó chứa điểm trong, tức là intK . 1.1.2. Nhận xét a) Dễ dàng suy ra mỗi nón là một tập lồi. b) Định nghĩa nón còn đợc phát biểu các cách khác nh sau: i) Tập K là nón khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn: +) Nếu u K thì u K với mọi 0, +) Nếu u, v K thì u + v K. ii) K là nón khi và chỉ khi K = K G , với K G = {Tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn với hệ số không âm các phần tử trong K} = { 1 x 1 + 2 x 2 + + k x k , x i K, i 0, i 1,k= }. Trong toàn bộ chơng 1 này chúng tôi chỉ xét nón nhọn đóng, vì vậy để cho gọn chúng tôi chỉ viết nón thay cho nón nhọn đóng. 1.1.3. Ví dụ. Trong khụng gian 3 Ă cho các vectơ a 1 = (1; 0; 0), a 2 = (1; 1; 1), a 3 = (1; 0; 1), Q = {a 1 , a 2 , a 3 }, S = {a 1 , a 2 }. Khi đó Q G là nón khối, S G là nón nhng S G không phải là nón khối. 8 1.1.4. Ví dụ. Kí hiệu [ ] C a; b là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn [ ] a; b , khi đó C K + gồm các hàm không âm trong [ ] C a; b là nón khối. Thật vậy: a) Với u, v C K + thì (u + v)(t) = u(t) + v(t) 0, với , 0. Vậy C K + là nón. b) C K + đóng. Giả sử {x n } C K + và n x x 0 . Khi đó [ ] n t a;b sup x (t) x(t) 0 nên x n hội tụ đều về x từ đó suy ra x liên tục, không âm. Vậy x C K + , do đó C K + đóng. c) C K + nhọn. Nếu u C K + thì u(t) 0, vậy u(t) < 0 nên u(t) C K + . C K + là khối vì xét x 0 : [ ] a; b Ă t 0 x (t) 1=a [ ] t a; b thì x 0 chính là điểm trong của nón C K + . 1.1.5. Định nghĩa. Nón K đợc gọi là nún bn sao (hay cũn gi l nún tỏi to) nếu mỗi x E đều có thể biểu diễn đợc dới dạng x = u v (với u, v K). 1.1.6. Ví dụ. Tập p L K + gồm các hàm không âm trong L p là nón bản sao. Tơng tự chứng minh cho C K + trong Ví dụ 1.1.4 là nón, ta cũng dễ dàng kiểm tra p L K + là nón trong không gian L p . Và p L K + là nón bản sao vì mỗi hàm x(t) L p đều có thể biểu diễn dới dạng: x(t) = x + (t) x - (t), trong đó: x(t) nếu x(t) 0 0 nếu x(t) 0 x + (t) = và x - (t) = 0 nếu x(t) < 0 x(t) nếu x(t) < 0 9 Rõ ràng x + (t) và x - (t) là các hàm không âm và thuộc L p . 1.1.7. Nhận xét. Trong Định nghĩa 1.1.5 các phần tử u, v xác định không duy nhất. 1.1.8. Ví dụ. Bây giờ chúng tôi sẽ lấy ví dụ về một loại nón quan trọng trong không gian Banach, đó là nón sinh bi tp F. Giả sử F là tập bị chặn, đóng và lồi, không chứa phần tử của không gian E. Kí hiệu K(F) = {x E | x = t z, t 0, z F}. Khi đó K(F) là nón, đóng, nhọn. a) Giả sử u, v K(F) ta chứng minh u + v K(F). Giả sử u = t 1 z 1 , v = t 2 z 2 , với t 1 , t 2 0 và z 1 , z 2 F. Ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 t t u v ( t t ) z z t t t t + = + + + + . Do F lồi nên biểu thức trong ngoặc vuông thuộc F. Vì vậy u + v K(F). b) Ta chứng minh K(F) đóng. Giả sử u n K(F) và n u v 0,v . Khi đó u n = t n z n với t n 0, z n F. Từ F bị chặn nên tồn tại các hằng số dơng m, M sao cho: n m z M do đó t n bị chặn nên trong t n tồn tại dãy con hội tụ i n 0 0 t t (t 0) > . Ta có: i i i i i i i n 0 n 0 n n n n n 0 0 0 v 1 1 z t z v t z t z t z v t t t = = + i i i 0 n n n 0 0 1 1 t t z u v t t + (vì i i i n n n u t z ) = . Vì vậy i n 0 v z 0 t nên i n 0 v z t . Mặt khác F đóng suy ra 0 1 v F t do đó v K(F) suy ra K(F) đóng. 10 . TRƯỜNG MỘT SỐ NÓN ĐẶC BIỆT TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC – TÔPÔ Mà SỐ: 60.46.10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẠI HỌC VINH NGÔ XUÂN TRƯỜNG MỘT SỐ NÓN ĐẶC BIỆT TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh – 2011 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC