Một số tính chất của tập lồi trong không gian minkowski luận văn thạc sỹ toán học

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh trần anh tuấn một số tính chất của tập lồi trong không gian MINKOWSKI Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: pgs. ts. phạm ngọcbội Vinh - 2011 MỤC LỤC Trang L I M UỜ Ở ĐẦ 3 CH NG I. METRIC MINKOWSKIƯƠ 6 1.1. Không gian đ nh chu nị ẩ 6 1.2. H các t p l i trong không gianọ ậ ồ Minkowski .13 1.3. Bao l i trong không gian Minkowskiồ 18 CH NG II. S X P X C C TH L I TRONG Ln ƯƠ Ự Ấ Ỉ Á Ể Ồ B I C C NÓN A DI N L IỞ Á Đ Ệ Ồ .29 2.1. Nón t aự .29 2.2. i m c c biênĐ ể ự .31 2.3. a di n l iĐ ệ ồ 32 2.4. S x p x c a th l iự ấ ỉ ủ ể ồ 34 2.5. V n đ th tích c c trấ ề ể ự ị 38 2.6. Chi u r ng v b r ng.ề ộ à ề ộ 44 K T LU NẾ Ậ .49 T I LI U THAM KH OÀ Ệ Ả .50 LỜI MỞ ĐẦU 1. Tập lồi là khái niệm toán học có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích và nhiều ngành khoa học khác. Các kết quả tổng quan về tập lồi đã được các nhà toán học như Frederick A. Valentine, L. Klee, C.Caratheodory, H. Minkowski trình bày. Các cấu trúc trên các tập lồi, các quan hệ giữa chúng, giao của các tập lồi, các điều kiện để một tập hợp trở thành tập lồi và tính hội tụ của dãy tập lồi đã được nhiều tài liệu và giáo trình cơ sở đề cập đến. Tuy vậy, hầu hết các tập lồi và tính chất của nó được nghiên cứu kỹ hơn trong không gian Euclide, bởi vì trong không gian này các tập lồi có nhiều tính chất thú vị. Tập lồi được xét trong không gian tổng quát nhất là không gian tuyến tính tuy nhiên trong không gian này các tính chất của tập lồi nghèo nàn hơn trong các loại không gian tôpô tuyến tính, không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, không gian Minkowski . Không gian Minkowski là một loại không gian tuyến tính, tổng quát hơn không gian Euclide; vì vậy nghiên cứu các tập lồi trong không gian Minkowski chính là sự tổng quát hóa các tính chất của tập lồi trong không gian Euclide, mặt khác các tính chất của tập lồi trong không gian Minkowski phong phú hơn các tính chất của chúng trong không gian Euclide. Hiện nay các tài liệu, đặc biệt là các tài liệu tiếng Việt về các tập lồi trong không gian Minkowski rất ít, vì vậy luận văn này nhằm mục đích tập hợp một số kết quả nghiên cứu về chủ đề trên. 2. Luận văn trình bày một số các tính chất cơ bản của tập lồi trong không gian Minkowski và các ứng dụng của chúng. Mục đích của luận văn là nghiên cứu tập lồi trong không gian Minkowski, tuy nhiên có một số tính chất của tập lồi không những đúng trong không gian Minkowski mà còn đúng trong các không gian tổng quát hơn không gian Minkowski (như không gian tuyến tính, không gian tôpô tuyến tính,…), khi đó luận văn trình bày các tính chất này trong không gian tổng quát đó. 3 3. Nội dung luận văn được trình bày theo 2 chương Chương 1. Trình bày các khái niệm cơ bản nhằm sử dụng vào chương 2. Nội dung chính của chương 1, phần thứ nhất, trình bày các khái niện, một số tính chất cơ bản của không gian định chuẩn. Phần thứ hai, trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của họ các tập lồi trong không gian Minkowski. Phần thứ ba, trình bày các tính chất của bao lồi trong không gian Minkowski. Chương 2. Trình bày sự xấp xỉ của một thể lồi trong L n bởi các nón đa diện lồi Phần thứ nhất, trình bày các tính chất nón tựa. Phần thứ hai, trình bày tính chất, định nghĩa, định lý của điểm cực biên. Phần thứ ba, trình bày các khái niệm, định nghĩa, định lý, nhận xét về đa diện lồi. Phần thứ tư, trình bày các khái niệm, định nghĩa, định lý, nhận xét về sự xấp xỉ của một thể lồi compact bởi các đa diện lồi. Phần thứ năm, trình bày một số kết quả về tính cực trị của thể tích trong lớp các tập lồi tương đương. Phần thứ sáu, trình bày các khái niệm, định nghĩa, định lý, nhận xét về chiều rộng và bề rộng. Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học, tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS. TS. Phạm Ngọc Bội. Nhân dịp hoàn thành luận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh, các bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 4 Tác giả 5 CHƯƠNG I. METRIC MINKOWSKI 1.1. Không gian định chuẩn 1.1.1. Định nghĩa. Kí hiệu L là không gian tôpô tuyến tính (còn gọi là không gian vectơ) trên R. • Nếu x ∈ L , y ∈ L thì đoạn thẳng xy nối x và y là tập hợp tất cảc các điểm có dạng αx +βy, α +β = 1, 0, 0 α β ≥ ≥ . • Tập S ∈ L gọi là tập lồi, nếu mỗi cặp điểm ,x S y S∈ ∈ thì xy S∈ . Một tập S được gọi là sao đối với điểm x∈ L , nếu với mỗi y S∈ thì xy S∈ . • Các tập { } S \ , ,int( )lin y x S x y xy S= ∃ ∈ ≠ ⊂ . • Điểm x S ∈ là điểm lõi của S nếu mỗi điểm y ∈ L, y ≠ x, tồn tại một điểm int( )z xy∈ sao cho xz ⊂ S. Tập tất cảc các điểm lõi của S kí hiệu là coreS. • Trong không gian tuyến tính L, bao lồi của tập S là giao của tất cả các tập lồi chứa S và được kí hiệu coS. • Bao lồi ∆ của tập xác định bởi n + 1 điểm x 1 , x 2 ,…,x n+1 trong không gian tuyến tính L, được gọi là một đơn hình n – chiều, nếu phẳng có chiều nhỏ nhất là n chứa ∆ , các điểm x i , 1, 1i n= + được gọi là các đỉnh của đơn hình ∆ . • Vectơ x ∈ L được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x 1 ,x 2 ,….,x n+1 ∈ L nếu 0 i λ ∃ ≥ (i = 1,2,…n), 1 n i i λ = ∑ sao cho 1 n i i i x x λ = = ∑ . • Ta ký hiệu φ là gốc (vectơ không) trong L. 6 1.1.2. Định nghĩa. Tập S ⊂ L, sao đối với gốc φ được gọi là bị chặn tuyến tính nếu với mỗi đường thẳng qua φ cắt S theo một đoạn thẳng. Giả sử S là tập mở trong L, sao đối với φ mà là bị chặn tuyến tính. Hàm khoảng cách Minkowski p là một hàm giá trị thực được định nghĩa như sau: ( ) 0p x λ = ≥ , với 0 0 ,x x x bd S λ = ∈ (biên của S ) và 0 intx S α ∈ , 0 1 α ≤ < . Nếu x S∈ thì ( ) 1p x ≤ . Hàm khoảng cách Minkowski có thể mở rộng trên R ∪∞ với quy ước α + ∞ = ∞ với mọi α từ đó ta có ( ) α ∞ = ∞ với 0 α > và vì vậy ( ) 0 0∞ = . 1.1.3. Định nghĩa. Giả sử S là tập của không gian tuyến tính L sao với φ . Hàm khoảng cách Minkowski p là hàm số thực p ( theo nghĩa mở rộng ) định nghĩa L như sau: ( ) inf : 0, x p x r r S r   = > ∈     . Nếu coreS φ ∈ , thì ( ) p x < ∞ . 1.1.4. Định lý. Giả sử S ⊂ L là sao đối với φ và mỗi đường thẳng đi qua φ cắt S trong một tập đóng tương đối. Thì S là lồi khi và chỉ khi hàm khoảng cách Minkowski tổng quát p tương ứng với S, là dưới cộng tính và thuần nhất; có nghĩa là (i) ( ) ( ) ( ) p x y p x p y+ ≤ + với mọi x∈ L, y∈ L, (ii) ( ) ( ) p x p x λ λ = với mọi 0,x λ ≥ ∈ L . Chứng minh. (ii) là đúng, do Định nghĩa hàm khoảng cách Minkowski tổng quát. Ta có: ( ) inf : 0, inf : 0, ( ), 0 x x p x r r S r r S p x r r λ λ λ λ λ λ λ λ     = > ∈ = > ∈ = ≥         . Giả sử S là tập lồi và lấy x∈ L, y∈ L . 7 Nếu ( ) p x = ∞ hoặc ( ) p y = ∞ thì (i) đúng. Nếu ( ) p x < ∞ hoặc ( )p y < ∞ thì tồn tại các số 0, 0 α β > > sao cho ( ) , ( )p x p y α β < < . Từ tính thuần nhất của p suy ra 1 x p α   <  ÷   và 1 x p β   <  ÷   , vậy , x y S S α β ∈ ∈ . Vì S là tập lồi, nên ta có: . . 1 x y x y x y S p α β α β α β α α β β α β   + + = + ∈ ⇒ ≤  ÷ + + + +   . Suy ra ( ) ( ) ( )p x y p x p y α β + ≤ + ≤ + . Vậy ( ) ( ) ( ) p x y p x p y+ ≤ + . Ngược lại, giả sử hàm khoảng cách Minkowski tổng quát p thỏa mãn (i) và (ii). Cho R là tia, có θ như là điểm cuối. Vì giả thiết R S∩ là đóng và ( ) 1p z ≤ nếu z R S∈ ∩ . Do đó ( ) { } : 1S x L p x= ∈ ≤ . Cho ,x S y S∈ ∈ , xét , 1, 0, 0x y α β α β α β + + = ≥ ≥ . Lúc đó, vì ( ) ( ) 1, 1p x p y≤ ≤ nên ( ) ( ) ( ) 1p x y p x p y α β α β α β + ≤ + ≤ + = . Vậy x y S α β + ∈ . Do đó S là tập lồi. 1.1.5. Định nghĩa. Tập con U của không gian tôpô X được gọi là lân cận của điểm x ∈ X khi và chỉ khi tồn tại một tập mở V, sao cho x V U∈ ⊂ . • Điểm x được gọi là điểm trong của tập A ⊂ X, nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho U ⊂ A. Tập hợp gồm tất cả các điểm trong của tập A là tập mở được chứa trong A và gọi là phần trong của A, kí hiệu là intA. • Tập con B của X gọi là đóng nếu X\B là mở. 8 • Điểm x được gọi là điểm dính của điểm A, nếu mọi lân cận U của x thì: U A∩ ≠ ∅ . Tập hợp tất cả các điểm dính của A là một tập đóng chứa A và được gọi là bao đóng của A, kí hiệu là A . • Điểm x được gọi là điểm biên của tập A khi và chỉ khi mỗi lân cận U của x thì U A ∩ ≠ ∅ và \X A ≠ ∅ . Rõ ràng biên của tập A và tập X\A trùng nhau, nó được kí hiệu bdA. Một tập là đóng khi và chỉ khi biên của nó thuộc nó, một tập là mở khi và chỉ khi nó không có điểm chung với biên. • Tập A X ⊂ được gọi là một thể nếu int A ≠ ∅ . • Không gian tôpô X được gọi là Hausdorff nếu mỗi x ∈ X, y ∈ X, x ≠ y, thì tồn tại các lân cận U của x và V, sao cho U V ∩ = ∅ . 1.1.6. Định nghĩa. Nếu X là không gian tuyến tính trên trường K và một tôpô ξ trên X. ξ được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X trên các phép toán đại số trong X, nếu phép cộng vectơ là phép nhân vectơ với một lượng vô hướng là liên tục. Một không gian tuyến tính trên K cùng với một tôpô tương thích, được gọi là một không gian tôpô tuyến tính (còn gọi là không gian vectơ tôpô) . Một không gian tôpô tuyến tính L được gọi là lồi địa phương, nếu mỗi lân cận U ở gốc φ của không gian, tồn tại một lân cận lồi V của φ sao cho V ⊂ U. 1.1.7. Định nghĩa. Một tập S trong không gian tôpô tuyến tính L được gọi là bị chặn nếu với mỗi lân cận N của φ tồn tại số dương α sao cho S N α ⊂ . 1.1.8. Định nghĩa. Một không gian tôpô tuyến tính L được gọi là định chuẩn nếu nó lồi địa phương và chứa tập mở bị chặn khác rỗng. Dễ thấy rằng không gian tôpô tuyến tính định chuẩn chứa một lân cận của φ mở, lồi, bị chặn, tâm đối xứng là φ . 9 1.1.9. Định nghĩa. Trong không gian định chuẩn L, đặt ( ) x p x≡ , ở đây p là hàm khoảng cách Minkowski xác định bởi N . Hàm . gọi là chuẩn của L 1.1.10. Định lý. Nếu L n là không gian tôpô tuyến tính n-chiều thì L n đồng phôi tuyến tính với không gian Euclide n-chiều E n , tức là tồn tại ánh xạ tuyến tính 1- 1 liên tục hai chiều từ L n lên E n . Chứng minh. Giả sử (u 1 ,u 2, …,u n ) là một cơ sở của E n và (v 1 ,v 2 ,…,v n ) là một cơ sở của của L n . Mỗi n x E∈ , tồn tại các số thực ( 1,2, ., ) i c i n= , sao cho 1 n i i i x c u = = ∑ . Thiết lập ánh xạ F: E n → L n , 1 ( ) n i i i F x c u = = ∑ . Ta chứng minh các khẳng định sau. 1) F là song ánh. Giả sử 1 ( ) n i i i F x c u = = ∑ thì ( 1,2, ., ) i i c d i n= = vì i u là cơ sở. suy ra x y= . Ngược lại ( ) ( )x y F x F y= ⇒ = . 2) F tuyến tính: 1 1 1 ( ) n n n i i i i i i i i i i c d u c u d u α β α β = = = + = + ∑ ∑ ∑ . Tương tự 1 F − tuyến tính. 3) F liên tục vì nó là tổ hợp afin tích của các hàm liên tục. 4) F -1 liên tục. Ta chỉ cần chứng minh F -1 liên tục tại φ vì F -1 tuyến tính. Với 0 ε > , giả sử E là hình cầu mở đồng vị trong E n với bất kỳ ε tồn tại (0,0, .,0) φ = . Gọi B = bd E thì B compact tương đối trong E n nên tập ( )F B 10