Một số tính chất của biến ngẫu nhiên

Trờng đại học vinh khoa toán ---------- o0o ---------- Một số tính chất của biến ngẫu nhiên khoa luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán *********************** Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Ngời thực hiện: Sinh viên Phan Huy Hoàng Lớp 41E 1 - Toán 1 Vinh-2005 ***** lời nói đầu Mục đích của khóa luận là trình bày tính chất của biến ngẫu nhiên và sự độc lập của nó. Trên cơ sở các khái niệm, các định nghĩa và các tính chất cơ bản ta mở rộng một số tính chất khác. Khóa luận đợc chia làm ba phần: Phần I: Các kiến thức chuẩn bị Phần này tóm tắt một số khái niệm, định nghĩa và các tính chất cơ bản nhằm phục vụ cho phần sau. Phần II: Một số tính chất của biến ngẫu nhiên 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản Giới thiệu các khái niệm, các định nghĩa và các tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên. 2. Các tính chất khác Phần này chứng minh một số tính chất liên quan đến biến ngẫu nhiên, tìm một số hàm mật độ đơn giản và chứng minh các tính chất liên quan đến hàm phân phối. Phần III: Các biến ngẫu nhiên độc lập 1. Tính độc lập Phần này giới thiệu các khái niệm, định nghĩa và các tính của biến ngẫu nhiên độc lập. 2. Một số tính chất khác của biến ngẫu nhiên độc lập 2 Trong phần này sử dụng tính độc lập của biến ngẫu nhiên để chứng minh một số tính chất liên quan, tìm một số hàm phân phối và đồng thời chứng minh một số tính chất khác. Khóa luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin trân trọng đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy-ngời đã dành cho em sự hớng dẫn nhiệt tình, chu đáo trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu và bổ ích của các thầy cô trong Khoa Toán, Tổ Xác Suất Thống Kê và Toán ứng Dụng đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trờng. Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho bản thân trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn này. Do hạn chế về thời gian cũng nh tài liệu tham khảo nên luận văn này sẻ không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận đ ợc sự góp ý chân thành của quý thầy cô và các bạn. Vinh tháng 4 năm 2005 Tác giả 3 phần I các kiến thức chuẩn bị 1.1. Đại số: Giả sử là một tập tùy ý khác ứ. Ký hiệu p( ) là tập hợp gồm tất cả các tập con của . Định nghĩa: Lớp A p( ) đợc gọi là một đại số nếu: 1) A 2) A A = \ A A 3) A, B A BA A; BA A 1.2. -đại số: Lớp F p( ), đợc gọi là -đại số nếu nó là đại số và ngoài ra thõa mãn: 4) Từ A n F , n =1,2, ,n suy ra = 1n A n F ; = 1n A n F . Nhận xét: ở đây cũng nh 3, chỉ cần đòi hỏi một trong hai hệ thức. Hệ thức kia tự động đợc thỏa mãn. Chẳng hạn từ (A n ) F suy ra = 1n A n F thì cũng có = 1n A n = n A F . 1.3. không gian đo: 4 Cặp ( , F ), trong đó bất kỳ còn F là một -đại số các tập con của đợc gọi là một không gian đo. 1.4. Độ đo xác suất cộng tính hữu hạn: Giả sử A p ( ) là một đại số nào đó. Hàm tập hợp P (.) xác định trên A đợc gọi là độ đo xác suất hữu hạn cộng tính ( hay cộng tính hữu hạn ) nếu: 1) P(A) 0, A A, 2) p ( ) = 1, 3) )()()( BPAPBAP += nếu A , B A và = BA . 1.5. Độ đo xác suất: Hàm tập hợp P xác định trên đại số A đợc gọi là độ đo xác suất - cộng tính nếu: 1) P(A) 0 , A A, 2) p ( ) = 1, 3) Nếu A i A , i = 1, 2, ., A i B i = ứ , i j, = 1i A i A thì P ( = 1i i A ) = = 1 )( i i AP . 1.6. Định lý: Giả sử P là một độ đo xác suất hữu hạn cộng tính trên đại số A . Khi đó bốn điều kiện sau là tơng đơng: 1) P là cộng tính đếm đợc ( - cộng tính); 5 2) P liªn tôc trªn, tøc lµ nÕu A n ∈ A , n =1,2, lµ d·y kh«ng gi¶m (A n ⊂ A n+1 ) vµ lim ∞→ n A n =  ∞ = 1n A n ∈ A th× P (  ∞ = 1n A n ) = lim ∞→ n P(A n ). 3) P liªn tôc díi, tøc lµ nÕu A n ∈ A , n=1,2, .lµ d·y gi¶m (A n ⊂ A n -1 ) vµ lim ∞→ n A n =  ∞ = 1n A n ∈ A th× P(  ∞ = 1n A n ) = lim ∞→ n P(A n ). 4) P liªn tôc t¹i kh«ng, tøc lµ nÕu A n ∈ A , A n ⊃ A n+1 , n = 1,2 . vµ  ∞ = 1n A n =  th× lim ∞→ n P(A n ) = 0. 1.7. C¸c tÝnh chÊt cña x¸c suÊt: 1) P( ) = 0. 2) P(Ā) =1-P(A), A ∈ F . 3) A ⊂ B ; A, B ∈ F ⇒ P ( A ) ≤ P ( B ) 4) P ( A ) ≤ 1 5) A, B ∈ F ⇒ P (A ∪ B ) = P (A) + P (B) - P (AB) (AB = A ∩ B) 6) P ( A ∪ B ) ≤ P ( A ) + P ( B ) ( A, B ∈ F ) 7) P (  n k 1 = A k ) = ∑ = n k 1 (-1) k-1 ∑ ≤<<<≤ niii k .1 21 P(A i 1 , . A i k ) 8) P (  ∞ = 1n A n ) ≤ ∑ ∞ = 1n P(A n ), (A n ) ⊂ F 9) P (  ∞ = 1n A n ) - P (  ∞ = 1n B n ) ≤ ∑ ∞ = 1n [P(A n ) - P(B n )] 6 nếu (A n ), (B n ) F và A n B n ; n =1,2 . 1.8. Hệ tiên đề Kolmogorov: Giả sử: là tập hợp tùy ý gồm các phần tử ; F là - đại số các tập con của ; P là độ đo xác suất - cộng tính hay nói gọn là xác suất trên F . Khi đó bộ ba ( , F , P ) đợc gọi là không gian xác suất. đợc gọi là không gian các biến cố sơ cấp. Mỗi A F đợc gọi là biến cố, P(A) là xác suất của biến cố A. P đợc gọi là xác suất trên F . 1.9. Định lý Carethéodory: Giả sử là một tập hợp nào đó, A là đại số các tập con của . Giả sử 0 à là một độ đo xác định trên A (nghĩa là 0 à là một hàm tập hợp, không âm, -cộng tính trên A ) và -hữu hạn (nghĩa là tồn tại dãy (A n ) A sao cho = 1n A n = và .).2,1,)( 0 =< nA à Khi đó tồn tại duy nhất một độ đo à xác định trên )( sao cho ),()( 0 AA àà = 1.10. Xác suất trên(R,B(R)): Giả sử P là độ đo xác suất xác định trên B(R). Khi đó hàm số ),,()( xPxF = Rx có các tính chất sau: 1) F không giảm: x < y F(x) F(y), 7 2) F liên tục trái tại mọi điểm, 3) ,0)(lim)( == xFF x 1)(lim)( ==+ + xFF x Hàm F có 3 tính chất đó gọi là hàm phân phối trên R. 1.11. Định lý: Giả sử F(x) là một hàm số tùy ý xác định trên R thỏa mãn ba điều kiện 1), 2), 3) ở trên. Khi đó tồn tại duy nhất một xác suất P xác định trên B(R) Sao cho: P[a,b) = F(b) - F(a), a < b. 1.12. Xác suất trên tích vô hạn: Cho tập T tùy ý, ký hiệu U là họ các tập hữu hạn của T. Với mỗi tập con S T ta xét tích đề các { } RSfR s = : Đặt = R T .Với mỗi u U ( tơng ứng u,v U, u v ) ta kí hiệu u (tơng ứng vu, ) là phép chiếu chính tắc từ R T lên R u (tơng ứng R v lên R u ). Chúng thỏa mãn các điều kiện : uvuv o = ( u, v V , u v ) uwvwuv o = ( u, v, w U , u v w ) ký hiệu B S là - đại số nhỏ nhất trên R S sao cho các ánh xạ chiếu s , s S là đo đợc. Đó cũng là -đại số sinh bởi các tập S S B , trong đó B S B(R) và B S = R với tất cả các S chỉ trừ một số hữu hạn. Bây giờ giả sử cho họ ( ) Uu u P các độ đo xác suất trên {(R n , B u ), u U } tơng ứng. Họ (P u ) đợc gọi là tơng thích (hay nhất quán) nếu 8 , )( uvuv PP = (1.1) Đối với mỗi cặp u,v U và u v, trong đó )( vuv P là độ đo xác suất của P v qua uv đợc xác định bởi ))(())(( 1 uuvuuvuv APAP = với mỗi A u B u . Nh trên ta thấy, nếu tồn tại một độ xác suất P trên ( R T , B T ) thì đơng nhiên ,)( 1 0 == nuu PPP u U (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.1). Ngợc lại, nếu chỉ cho họ các xác suất {P u , u U } thỏa mãn (1.1) thì thử hỏi có tồn tại độ đo xác suất P trên (R T , B T ) thỏa mãn (1.2) hay không ? 1.13. Định lí tồn tại : Giả sử T là tập chỉ số tùy ý, U là tập hợp gồm tất cả các tập con hữu hạn của T . Giả thiết với mỗi u U tồn tại độ đo xác suất P u trên B S sao cho họ ( ) Uu u P thỏa mãn điều (1.1). Khi đó, tồn tại một độ đo xác suất duy nhất P trên ( R T , B T ) thỏa mãn (1.2). 9 phần ii một số tính chất của biến ngẫu nhiên 1. các khái niệm và tính chất cơ bản Giả sử ( , F ) là không gian đo đã cho. 1.1. Định nghĩa : Biến ngẫu nhiên là ánh xạ X: R sao cho: { } = xXXX )(/)( F ; Rx 1.2. Định lý: Giả sử X: R . khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng : 1) X là biến ngẫu nhiên 2) { } < xX )(: F với mỗi x R 3) { } xX )(: F với mỗi x R 4) { } bXa )(: F với a < b bất kỳ 1.3. Hàm Borel: Hàm : ( R n , B(R n )) ( R, B(R) )đợc gọi là hàm Borel, nếu nó B(R n )-đo đợc, nghĩa là: 1 (B) B ( R n ) với mỗi B B ( R ) ( ở đây B ( R ) là -đại số các tập Borel của trục thực R ). 1.4. Nhận xét: Từ định nghĩa suy ra, nếu : R n R là hàm liên tục thì cũng là hàm Borel. Đặc biệt các hàm: 10 . ngẫu nhiên độc lập. 2. Một số tính chất khác của biến ngẫu nhiên độc lập 2 Trong phần này sử dụng tính độc lập của biến ngẫu nhiên để chứng minh một số. II: Một số tính chất của biến ngẫu nhiên 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản Giới thiệu các khái niệm, các định nghĩa và các tính chất cơ bản của biến ngẫu