Một số tính chất của CS môđun và môđun giả nội xạ luận văn thạc sĩ

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LẠI TRƯỜNG DUY MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS – MÔĐUN VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 12. 2011 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LẠI TRƯỜNG DUY MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS – MÔĐUN VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An – 12.2011 3 MỤC LỤC Tran g Các ký hiệu dùng trong luận văn 2 Lời nói đầu 3 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tổng và tích trực tiếp các môđun .5 1.2 Môđun con cốt yếu 5 1.3 Định nghĩa .8 1.4 Môđun đều, chiều đều 9 1.5 Môđun nội xạ .9 CHƯƠNG 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS – MÔĐUN VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ 2.1 Các điều kiện (C i ) .17 2.2 Một số tính chất của CS – môđun .17 2.3 Một số tính chất của môđun giả nội xạ .20 Kết luận .33 Tài liệu tham khảo 34 4 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN A M ≤ : A là môđun con của môđun M. e A M≤ : A là môđun con cốt yếu của môđun M. A M⊆ : A là tập hợp con của tập M. ( ) ,Hom N M : tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M. ⊕ : tổng trực tiếp của các môđun. :f N M→ : phép tương ứng từ N đến M. M N : môđun thương của M trên N. : phép nhúng. A φ : thu hẹp của φ trên A. N M≅ : môđun N đẳng cấu với M. I M α α ∈ ∏ : tích Descartes của họ ( ) I M α α ∈ . □ : kết thúc một chứng minh. 5 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh. Để nghiên cứu cấu trúc môđun và đặc trưng vành, người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun. Các lớp môđun như: CS – môđun, môđun giả nội xạ, môđun tựa nội xạ đã được nghiên cứu bởi Chatters và Hajarnavis (1977), Bharadwaj và Tiwary (1982), S.K.Jain and S.Singh (1975), M.L.Teply (1975), Tiwary và Pandeya (1978), Wakamatsu (1979) . và đã đưa ra được nhiều kết quả hữu ích trong việc phát triển lý thuyết môđun. Cho M và N là các R – môđun phải, ta nói N là M – giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của M, với mọi đơn cấu :f A N→ đều mở rộng thành đồng cấu :g M N→ . Môđun N được gọi là giả nội xạ nếu N là N – giả nội xạ. Hai môđun M và N được gọi là (giả) nội xạ lẫn nhau nếu M là N – (giả) nội xạ và N là M – (giả) nội xạ. Mục đích của luận văn là dựa vào tài liệu [3] ” A note on pseudo–injective modules” của H. Q. Dinh để tìm hiểu và hệ thống một số tính chất của CS – môđun và môđun giả nội xạ . Cấu trúc của luận văn được chia thành 2 chương: Chương 1. Kiến thức cơ bản . Các khái niệm được đề cập chủ yếu trong chương này là tổng và tích trực tiếp các môđun, môđun con cốt yếu, môđun nội xạ, môđun giả nội xạ… Chương 2. Một số tính chất của CS – môđun và môđun giả nội xạ. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Thầy, PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy. A M N i f g 6 Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong bộ môn Toán, khoa Sau đại học của trường Đại học Vinh và ĐH Sài Gòn, Ban Giám Hiệu, Thầy Cô trường THCS Bình Trị Đông và các bạn học viên cao học Toán khoá 17 đã hỗ trợ, giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Do điều kiện hạn chế nên dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được các góp ý của quý Thầy Cô giáo, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 12 năm 2011. Tác giả ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . I I I I I x y x y a x ax α α α α α α α α α α α ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ + = + = 7 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong luận văn này, ta xét vành R là vành kết hợp có phần tử đơn vị, kí hiệu là 1, và tất cả các môđun xét trên vành R đều là R – môđun trái Unita. 1.1. Tích và tổng trực tiếp các môđun Cho I là một tập khác rỗng. Giả sử ( ) I M α α ∈ là một họ các A – môđun chỉ số hóa bởi I. Ký hiệu M = I M α α ∈ ∏ là tích Descartes của họ ( ) I M α α ∈ . Khi đó có thể xây dựng phép cộng trong M và phép nhân ngoài các phần tử của A với các phần tử của M như sau: Với mọi a A∈ và mọi ( ) ( ) , I I x y M α α α α ∈ ∈ ∈ . Hai phép toán vừa xác định làm cho M trở thành một A – môđun. A – môđun M như trên được gọi là tích trực tiếp của họ các A – môđun ( ) I M α α ∈ . Nếu M N α = với mọi I α ∈ thì ta ký hiệu I M α α ∈ ∏ bởi N I . Trong M = I M α α ∈ ∏ ta lấy ra tập con I M α α ∈ ⊕ bao gồm tất cả các phần tử của M với các phần tử bằng 0 hầu hết, chỉ trừ một số hữu hạn thành phần có thể khác 0. Khi đó I M α α ∈ ⊕ là một A – môđun con của M. A – môđun I M α α ∈ ⊕ được gọi là tổng trực tiếp của họ các A – môđun ( ) I M α α ∈ . Nếu M N α = với mọi I α ∈ thì ta ký hiệu I M α α ∈ ⊕ bởi N (I) . Nếu họ các A – môđun ( ) I M α α ∈ chỉ gồm một số hữu hạn các môđun thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp của nó là trùng nhau. 1.2. Môđun con cốt yếu 1.2.1 Định nghĩa. Cho M là R – môđun trái, môđun con A của M được gọi là môđun con cốt yếu, kí hiệu e A M≤ , nếu với mọi môđun con X thỏa mãn 8 0A X∩ = thì X = 0. Ví dụ: Môđun nZ e ≤ Z, ∀ n 0≠ . 1.2.2. Tính chất. (1) MA e ≤ khi và chỉ khi 0,,0 ≠∈∀≠∩ xMxxRA . (2) Cho MNA ≤≤ thì MA e ≤ khi và chỉ khi NA e ≤ và MN e ≤ . (3) Cho MA e ≤ và MK ≤ thì KKA e ≤∩ . (4) Cho MNA ≤≤ . Nếu AMAN e ≤ thì MN e ≤ . Chứng minh. (1) Hiển nhiên. (2) Giả sử A cốt yếu trong M, lấy môđun con X bất kỳ của N mà 0A X∩ = . Do X N≤ nên X M≤ và e A M≤ nên X = 0. Vậy e A N≤ . Tương tự, lấy môđun con Y bất kỳ của M mà 0N Y∩ = . Do A N≤ nên 0A Y∩ = và e A M≤ . Suy ra Y = 0. Vậy, e N M≤ . Ngược lại, nếu e A N≤ và e N M≤ thì với môđun con X bất kì của M mà 0A X∩ = . Đặt B N X= ∩ , ta có 0A B A N X A X∩ = ∩ ∩ = ∩ = , do e A N≤ nên B = 0 0N X⇒ ∩ = và do e N M≤ 0X⇒ = . Vậy e A M≤ . (3) Lấy X là môđun con bất kì của K sao cho 0A K X∩ ∩ = hay 0A X∩ = , do e A M≤ 0X⇒ = . Vậy A K ∩ cốt yếu trong K. (4) Lấy X M≤ sao cho 0N X∩ = . Khi đó, ( ) XN A A∩ ⊕ = , từ đây ta suy ra ( ) X A 0N A A∩ ⊕ = . Do e N A M A≤ nên ( ) A 0X A⊕ = hay A X A⊕ = . Vậy X = 0 hay e N M≤ . □ 1.2.3. Bổ đề. Cho : N M φ → là đẳng cấu môđun trên R. Khi đó môđun con L của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi ϕ (L) cốt yếu trong M. Chứng minh. ( ) ⇒ Cho e L N≤ , thì X M∀ ≤ sao cho ( ) 0L X φ ∩ = . Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0L X L X φ φ φ φ − − − ∩ = ∩ = = . Do e L N≤ nên ( ) 1 0X φ − = 0X⇒ = ( ϕ là đẳng cấu). Vậy ( ) e L M φ ≤ . ( ) ⇐ Cho ( ) e L M φ ≤ , thì Y N∀ ≤ sao cho 0L Y∩ = . 9 Do ϕ đẳng cấu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0L Y L Y L Y φ φ φ φ φ φ φ − − − ⇒ ∩ = ∩ = ∩ = ( ) ( ) 0L Y φ φ ⇒ ∩ = . Do ( ) e L M φ ≤ nên ( ) 0Y φ = 0Y⇒ = . Vậy e L N≤ . □ 1.2.4. Mệnh đề. Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con T của M sao cho e A T M⊕ ≤ . Chứng minh. Đặt { } : 0S X M X A= ≤ ∩ = , vì 0 S∈ nên S ≠ ∅ . Ta sắp thứ tự S theo quan hệ bao hàm. Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho: 1 2 . . n X X X≤ ≤ ≤ ≤ . Khi đó 1 i i B X ∞ = = ∪ là môđun con của M và dễ thấy B là cận trên của dãy đã cho. Lấy x A B∈ ∩ , suy ra có một số k nào đó sao cho k x X∈ . Từ đây ta có k x A X∈ ∩ . Vậy x = 0 hay 0B A∩ = . Do đó, theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại là T. Ta chứng minh e A T M⊕ ≤ . Thật vậy, Y M∀ ≤ thỏa mãn ( ) 0A T Y⊕ ∩ = . Ta có 0A Y∩ = và 0T Y∩ = . Nếu có a A∈ và ,t T y Y∈ ∈ sao cho a t y= + thì y a t A T= − ∈ ⊕ , ta suy ra 0y = và 0a t= = . Như vậy ( ) 0A T Y∩ ⊕ = , ta suy ra ( ) T Y S⊕ ∈ . Do tính tối đại của T nên 0Y = . Vậy e A T M⊕ ≤ . □ 1.2.5. Mệnh đề. Cho B là môđun con của M, K là phần bù của B trong M thì: (1) K đóng trong M. (2) K B⊕ là môđun con cốt yếu của M. Chứng minh. (1) Giả sử có một môđun con N của M sao cho e K N≤ , thế thì, nếu N K≠ , do 0K B∩ = , K tối đại nên 0N B∩ ≠ . Ta có ( ) ( ) 0K N B K N B K B∩ ∩ = ∩ ∩ = ∩ = , vì e K N≤ , suy ra 0N B∩ = . Điều này vô lý. Vậy, K đóng trong M . □ (2) Suy ra từ Mệnh đề 1.2.4. 10 1.2.6. Mệnh đề. Giả sử môđun i i I M M ∈ = ⊕ là tổng trực tiếp các môđun i M . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (1) M là tựa nội xạ. (2) i M là tựa nội xạ và ( ) M I i− là i M – nội xạ với mọi i I∈ . Chứng minh. xem [7, Mệnh đề 1.18]. 1.3. Định nghĩa 1.3.1. Định nghĩa. Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B trong M nếu K là môđun con tối đại trong số những môđun con của M có giao với B bằng không, và K được gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của môđun con nào đó của M. 1.3.2. Định nghĩa. Môđun N được gọi là bao đóng của môđun M nếu N là mở rộng cốt yếu tối đại của M. Cho môđun M và N ≤ M. Môđun N được gọi là đóng trong M nếu N không có một mở rộng thực sự trong M. Nói khác đi, N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K ≠ 0 của M mà N e ≤ K thì K=N. Ví dụ. A và B là hai môđun con của M thỏa mãn M = A ⊕ B thì môđun B là đóng trong M. 1.3.3. Định nghĩa. Môđun U được gọi là đều nếu bất kỳ môđun con A và B khác 0 của U thì A ∩ B ≠ 0, hay mọi môđun con khác không của U là môđun cốt yếu trong U. 1.3.4. Định nghĩa. Cho môđun M và N,H ≤ M. Môđun H được gọi là một phần bù giao của N trong M nếu H là môđun tối đại trong các môđun con của M thỏa mãn H ∩ N = 0. 1.3.5. Định nghĩa. Một A – môđun M được gọi là môđun Noether nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau: