Một số tính chất của CS môđun và CESS môđun luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HUỲNH THANH TƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MÔĐUN VÀ CESS-MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2012 3 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HUỲNH THANH TƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MÔĐUN VÀ CESS-MÔĐUN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN, 2012 4 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG LỜI NÓI ĐẦU .3 Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Hạng tử trực tiếp .5 1.2. Môđun suy biến .5 1.3. Môđun con cốt yếu, môđun đều, chiều đều 5 1.4. Môđun con tối đại, môđun con đóng, bao đóng của một môđun, bù giao 8 1.5. Môđun đơn, môđun nửa đơn .11 1.7. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh 12 Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MÔĐUN VÀ CESS-MÔĐUN 2.1. CS-môđun: .13 2.2. CESS-môđun: 27 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 5 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết môđun đã góp phần không nhỏ đến sự phát triển của chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số. Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh. Trên cơ sở tương tự dựa trên yếu tố nội xạ, người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun. Các lớp môđun như: môđun tựa nội xạ, môđun giả nội xạ đã được nghiên cứu bởi S. K. Jain and S. Sigh (1967), M. L. Teply (1975), H. Q. Dinh (2005),…; Các lớp CS-môđun, môđun liên tục cũng được Đinh Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, M. Okado, S. H. Mohamed and P. J. Muler,… phát triển, xây dựng mối quan hệ giữa các lớp môđun mở rộng với nhau và đã đưa ra nhiều kết quả hữu ích trong việc phát triển lý thuyết môđun. Luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo “CESS-MODUNLES Tr.J.of Mathematics 22 (1998), 69-75, của C. Celik” (xem [2]), nhằm tìm hiểu sự tổng quát hóa của CS-môđun cụ thể CESS-môđun, CS-môđun yếu, môđun thỏa mãn điều kiện (P) và tìm hiểu một số tính chất cũng như mối liên hệ giữa các lớp môđun đó. Ngoài phần mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1. Trình bày các định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản có liên quan đến chương sau của luận văn như: tổng trực tiếp, môđun con tối đại, môđun con cốt yếu, môđun con đóng, môđun đơn, môđun nửa đơn, môđun đều, bao đóng của một môđun, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh… 6 Chương 2. Trình bày có hệ thống và chứng minh chi tiết một số tính chất của CS- môđun và CESS- môđun. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán học và Phòng Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp cao học 18 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 10 năm 2012 Tác giả 7 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này chúng tôi trình bày (không chứng minh) một số kiến thức cơ sở của Đại số liên quan đến việc trình bày của Chương 2, chủ yếu dựa trên tài liệu [1] và [6]. Trong suốt toàn bộ luận văn, vành R luôn được giả thiết là vành có đơn vị ký hiệu là 1 và môđun là môđun phải unita. 1.1. Hạng tử trực tiếp Định nghĩa. Môđun con A của M gọi là hạng tử trực tiếp (direct summand) của M, ký hiệu A M ⊕ ≤ nếu và chỉ nếu tồn tại môđun con B của M sao cho 0A B ∩ = và .A B M + = Khi đó, ta viết .M A B = ⊕ Môđun 0A ≠ được gọi là không phân tích được nếu 0 và A là những hạng tử trực tiếp duy nhất trong A. 1.2. Môđun suy biến Định nghĩa. Cho M là R- môđun. Đặt Z(M)={m ∈ M\mI =0, với I là iđêan phải cốt yếu nào đó của R} i) Ta có Z(M) là một môđun con của M và gọi là môđun con suy biến của M. ii) Các phần tử của Z(M) gọi là các phần tử suy biến. iii) M được gọi là môđun suy biến nếu M=Z(M). M được gọi là môđun không suy biến nếu Z(M)=0 . 1.3. Môđun con cốt yếu, môđun đều, chiều đều 1.3.1. Định nghĩa. Môđun con N được gọi là cốt yếu (essential) trong R-môđun M nếu với mọi môđun con K khác không của M ta đều có 0.N K∩ ≠ (Một cách tương đương, nếu 0N K∩ = thì K=0). Nếu N là 8 môđun con cốt yếu trong M thì ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N và kí hiệu . e N M≤ Sau đây là một số ví dụ cụ thể về môđun cốt yếu. 1.3.2. Ví dụ. a) Đối với mỗi môđun M ta đều có e M M≤ . b). Xem vành số nguyên ¢ như là ¢ -môđun trên chính nó. Khi đó, mỗi môđun con khác không trong ¢ đều cốt yếu. Thật vậy, giả sử N là môđun con khác không của ,¢ lấy K là môđun con khác không bất kì của .¢ Khi đó, N có dạng a¢ , K có dạng b¢ với ,a b là các số nguyên khác 0 và do đó 0 ab a b≠ ∈ ∩¢ ¢ hay 0.N K∩ ≠ Vậy N là môđun con cốt yếu trong .¢ Từ định nghĩa của môđun con cốt yếu, ta có một số tính chất sau: 1.3.3. Mệnh đề. a) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con và e A B C A C≤ ≤ ≤ thì B e C≤ . b) Nếu , 1,2,3, ., i e A M i n≤ = thì 1 n i e i A M = ≤ I . c) Nếu :M N ϕ → là đồng cấu môđun và B e N≤ thì 1 ( ) e B M ϕ − ≤ . d) Cho M là R- môđun và A là môđun con của M. Khi đó e A M≤ khi và chỉ khi mỗi phần tử m khác không của M tồn tại r R∈ sao cho 0 .mr A≠ ∈ e) Nếu e A B≤ thì B A là suy biến. Chứng minh. a) Giả sử E là môđun con khác 0 của C và M có dãy các môđun con A B C≤ ≤ trong đó A e C≤ , ta cần chứng minh e B C≤ hay ta cần chứng minh 0.E B∩ ≠ Thật vậy, vì E là môđun con khác 0 của C và e A C≤ nên 0E A∩ ≠ , do đó 0.E B ∩ ≠ Điều này chứng tỏ e B C≤ . W b) Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp theo n. Với 1n = , ta có e M M≤ mệnh đề đúng theo giả thiết. Giả sử mệnh đề đúng với n-1, 9 tức là 1 1 . n i e i A A M − = = ≤ I Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n. Thật vậy, giả sử E 0≠ là một môđun con của M. Do A n cốt yếu trong M nên 0 n A E∩ ≠ . Vì A cốt yếu trong M nên ( ) 0, n A A E∩ ∩ ≠ suy ra ( ) 0, n A A E ∩ ∩ ≠ do đó . n e A A M∩ ≤ W c) Giả sử E là một môđun con của M và 1 ( ) 0E B ϕ − ∩ = , ta cần chứng minh 1 ( ) e B M ϕ − ≤ hay E=0. Thật vậy, vì 1 ( ) 0E B ϕ − ∩ = nên ( ) 0B E ϕ ∩ = và vì vậy ( ) 0 (do ). e E B N ϕ = ≤ Từ đó, ta có 1 ( )E Ker B ϕ ϕ − ⊆ ∩ suy ra 1 ( ) 0.E E B ϕ − = ∩ = Điều này chứng tỏ 1 ( ) e B M ϕ − ≤ . W d) ( ⇒ ). Nếu m ≠ 0 thì mR ≠ 0 và do e A M≤ nên 0.A mR∩ ≠ Từ đó suy ra sự tồn tại của r ∈ R mà 0 mr A≠ ∈ . ( ⇐ ). Giả sử B là môđun con khác 0 của M. Khi đó, lấy 0 m B≠ ∈ theo giả thiết điều kiện cần ta tìm được r ∈ R sao cho 0 mr A≠ ∈ . Vì mr ∈ B nên 0.B A∩ ≠ Điều này chứng tỏ e A M≤ . W e) Giả sử e A B≤ ta cần chứng minh B A là suy biến. Thật vậy, đặt /B B A= . Xét phần tử bất kì: { } \ 0b B∈ . Ta phải chứng tỏ rằng: { } ( ) : e R ann b x R bx A R= ∈ ∈ ≤ (*) Giả sử \ ( )y R ann b∈ . Khi đó, do by ∉ A nên từ e A B≤ ta suy ra có một phần tử z ∈ R sao cho { } \ 0 .byzA Do đó 0 ( )yz ann b≠ ∈ . Ta suy ra rằng (*) thỏa mãn, theo (d). Ta có điều phải chứng minh. W 10 1.3.4. Định nghĩa. Môđun U gọi là môđun đều (uniform) nếu bất kì môđun con A và B khác không của U thì 0A B∩ ≠ , hay mọi môđun con khác không của U là môđun cốt yếu trong U. 1.3.5. Ví dụ. a) ¢ -môđun ¢ là đều. Thật vậy, cho 0 ,A B≠ ≤ ¢ ta có A=n ,¢ B=m ,¢ với . * ,n m∈¥ Khi đó [ , ] 0,A B n m∩ = ≠¢ suy ra e A M≤ . Vậy ¢ là ¢ -môđun đều. W b) Xét ¢ –môđun .¤ Khi đó, ¤ là môđun đều. Thật vậy, lấy 0 , .A B ≠ ≤ ¤ Tồn tại 0 a A b ≠ ∈ và 0 n B k ≠ ∈ , với . * , , ,a b n k ∈ ¥ Khi đó, ta có . a an nb b = , suy ra an A ∈ ; . n an ak k = , do đó an B ∈ , nghĩa là 0 an A B≠ ∈ ∩ hay 0A B∩ ≠ . Vậy ¤ là ¢ -môđun đều. W 1.3.6. Định nghĩa. Số tự nhiên n được gọi là chiều đều (uniform dimension) của môđun M, nếu tồn tại hữu hạn n môđun con đều U i của M sao cho 1 n i i U = ⊕ là cốt yếu trong một môđun con của M, ký hiệu là udim(M)=n. Khi 0M = ta quy ước udim(M)=0. 1.4. Môđun con tối đại, môđun con đóng, bao đóng của một môđun, phần bù giao 1.4.1. Định nghĩa. Môđun con A của M được gọi là tối đại (maximal) nếu A ≠ M và nó không chứa trong một môđun con thực sự nào của M. Tức là nếu A B M ≤ ≤ và A M ≠ thì B A = hoặc .B M= 1.4.2. Định nghĩa. Cho R-môđun M và N ≤ M được gọi là đóng (closed) trong M nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M. Nói khác đi N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K khác không của M mà e N K≤ thì N=K. 11 1.4.3. Ví dụ. A và B là hai môđun con của M thỏa mãn M A B= ⊕ thì môđun B là đóng trong M. 1.4.4. Định nghĩa. Môđun con K được gọi là bao đóng (closure) của môđun con N trong M, ký hiệu E(K) nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K. 1.4.5. Định nghĩa. Cho R-môđun M và A, B là hai môđun con của M. Môđun B được gọi là bù giao (complement) của A trong M nếu B là môđun con tối đại của M thỏa mãn 0A B∩ = . Môđun con B được gọi là bù giao trong M, ký hiệu c B M≤ nếu tồn tại môđun con A của M sao cho B bù giao của A trong M. 1.4.6. Bổ đề Zorn. Cho A là tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thứ tự toàn phần trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại. 1.4.7. Mệnh đề. Khái niệm đóng và bù giao là tương đương (tức là nếu K là môđun con đóng thì K là bù giao trong M và ngược lại). Chứng minh. ( ⇒ ) Giả sử K đóng trong M. Ta chứng minh K bù giao trong M. Xét { } 0 .X M X K ϕ = ≤ ∩ = Do 0 Suy ra . ϕ ϕ ∈ ≠ ∅ Khi đó, ta kiểm tra được sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm trong ϕ thỏa mãn Bổ đề Zorn, suy ra ϕ có phần tử tối đại ký hiệu là A. Từ đó, ta chứng minh được K là bù giao của A trong M. ( ⇐ ) Giả sử K là bù giao trong M. Ta chứng minh K đóng trong M. Thật vậy, giả sử . e K X M≤ ≤ Ta chứng minh .X K= Thật vậy, do K là bù giao trong M nên tồn tại môđun con A của M sao cho K tối đại trong M và 0.K A ∩ = Khi đó: 12 . ĐẠI HỌC VINH HUỲNH THANH TƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MÔĐUN VÀ CESS-MÔĐUN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC. DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HUỲNH THANH TƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS-MÔĐUN VÀ CESS-MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2012 3 BỘ GIÁO DỤC VÀ