Một số tính chất của cs môđun và môđun giả nội xạ

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LẠI TRƯỜNG DUY MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS – MÔĐUN VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 12 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LẠI TRƯỜNG DUY MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS – MƠĐUN VÀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGƠ SỸ TÙNG Nghệ An – 12.2011 MỤC LỤC Trang Các ký hiệu dùng luận văn Lời nói đầu CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tổng tích trực tiếp mơđun 1.2 Môđun cốt yếu 1.3 Định nghĩa 1.4 Môđun đều, chiều 1.5 Môđun nội xạ CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CS – MƠĐUN VÀ MƠĐUN GIẢ NỘI XẠ 2.1 Các điều kiện (Ci) 17 2.2 Một số tính chất CS – mơđun .17 2.3 Một số tính chất môđun giả nội xạ .20 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN A  M : A môđun môđun M A e M : A môđun cốt yếu môđun M A  M : A tập hợp tập M Hom  N , M  : tập tất đồng cấu môđun từ N đến M  : tổng trực tiếp môđun f : N  M : phép tương ứng từ N đến M M N : môđun thương M N : phép nhúng  A : thu hẹp  A N  M : môđun N đẳng cấu với M  I M  : tích Descartes họ  M  I □ : kết thúc chứng minh LỜI NĨI ĐẦU Trong lý thuyết mơđun, hai lớp mơđun nhà tốn học quan tâm nghiên cứu lớp môđun nội xạ lớp môđun xạ ảnh Để nghiên cứu cấu trúc môđun đặc trưng vành, người ta mở rộng nhiều lớp môđun Các lớp môđun như: CS – môđun, môđun giả nội xạ, môđun tựa nội xạ nghiên cứu Chatters Hajarnavis (1977), Bharadwaj Tiwary (1982), S.K.Jain and S.Singh (1975), M.L.Teply (1975), Tiwary Pandeya (1978), Wakamatsu (1979) đưa nhiều kết hữu ích việc phát triển lý thuyết môđun Cho M N R – mơđun phải, ta nói N M – giả nội xạ với môđun A M, với đơn cấu f : A  N mở rộng thành đồng cấu g : M  N Môđun N gọi giả nội xạ N N – giả nội xạ Hai môđun M N gọi (giả) nội xạ lẫn A M N – (giả) nội xạ N M – (giả) nội xạ Mục đích luận văn dựa vào tài liệu [3] ” A note on pseudo–injective modules” H Q Dinh để tìm hiểu hệ M i g f N thống số tính chất CS – môđun môđun giả nội xạ Cấu trúc luận văn chia thành chương: Chương Kiến thức Các khái niệm đề cập chủ yếu chương tổng tích trực tiếp môđun, môđun cốt yếu, môđun nội xạ, mơđun giả nội xạ… Chương Một số tính chất CS – môđun môđun giả nội xạ Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình Thầy, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn q Thầy Cơ mơn Tốn, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh ĐH Sài Gịn, Ban Giám Hiệu, Thầy Cơ trường THCS Bình Trị Đơng bạn học viên cao học Tốn khố 17 hỗ trợ, giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Do điều kiện hạn chế nên dù có nhiều cố gắng luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý q Thầy Cơ giáo, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong luận văn này, ta xét vành R vành kết hợp có phần tử đơn vị, kí hiệu 1, tất môđun xét vành R R – mơđun trái Unita 1.1 Tích tổng trực tiếp môđun Cho I tập khác rỗng Giả sử  M  I họ A – mơđun số hóa I Ký hiệu M =  I M  tích Descartes họ  M  I Khi xây dựng phép cộng M phép nhân phần tử A với phần tử M sau:  x I   y I   x  y I , a  x I   ax I Với a  A  x I ,  y I  M Hai phép toán vừa xác định làm cho M trở thành A – môđun A – môđun M gọi tích trực tiếp họ A – môđun  M  I Nếu M   N với   I ta ký hiệu Trong M =  I  I M  NI M  ta lấy tập I M  bao gồm tất phần tử M với phần tử hầu hết, trừ số hữu hạn thành phần khác Khi I M  A – môđun M A – môđun I M  gọi tổng trực tiếp họ A – môđun  M  I Nếu M   N với   I ta ký hiệu I M  N(I) Nếu họ A – môđun  M  I gồm số hữu hạn mơđun tích trực tiếp tổng trực tiếp trùng 1.2 Môđun cốt yếu 1.2.1 Định nghĩa Cho M R – môđun trái, môđun A M gọi mơđun cốt yếu, kí hiệu A e M , với môđun X thỏa mãn A  X  X = Ví dụ: Mơđun nZ  e Z,  n  1.2.2 Tính chất (1) A  e M A  R x  , x  M , x  (2) Cho A  N  M A  e M A  e N N  e M (3) Cho A  e M K  M A  K e K (4) Cho A  N  M Nếu N A  e M A N  e M Chứng minh (1) Hiển nhiên (2) Giả sử A cốt yếu M, lấy môđun X N mà A  X  Do X  N nên X  M A e M nên X = Vậy A e N Tương tự, lấy môđun Y M mà N  Y  Do A  N nên A  Y  A e M Suy Y = Vậy, N e M Ngược lại, A e N N e M với mơđun X M mà A  X  Đặt B  N  X , ta có A  B  A  N  X  A  X  , A e N nên B =  N  X  N e M  X  Vậy A e M (3) Lấy X môđun K cho A  K  X  hay A  X  , A e M  X  Vậy A  K cốt yếu K (4) Lấy X  M cho N  X  Khi đó, N   A  X   A , từ ta suy N A   A  X  A  Do N A e M A nên A  X  A  hay A  X  A Vậy X = hay N e M □ 1.2.3 Bổ đề Cho  : N  M đẳng cấu mơđun R Khi mơđun L N cốt yếu N (L) cốt yếu M Chứng minh    Cho L e N , X  M cho   L   X  Suy ra: L   1  X    1   L   X    1    Do L e N nên  1  X    X  ( đẳng cấu) Vậy   L  e M   Cho   L  e M , Y  N cho L Y  Do  đẳng cấu   1   L    Y     1   L     1  Y    L  Y     L    Y   Do   L  e M nên  Y    Y  Vậy L e N □ 1.2.4 Mệnh đề Với môđun A môđun M tồn môđun T M cho A  T e M Chứng minh Đặt S   X  M : X  A  0 ,  S nên S   Ta thứ tự S theo quan hệ bao hàm Lấy tập thứ tự tuyến tính S cho:  X1  X   X n  Khi B   X i mơđun M dễ thấy B i 1 cận dãy cho Lấy x  A  B , suy có số k cho x  X k Từ ta có x  A  X k Vậy x = hay B  A  Do đó, theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại T Ta chứng minh A  T e M Thật vậy, Y  M thỏa mãn  A  T   Y  Ta có A  Y  T  Y  Nếu có a  A t T , y Y cho a  t  y y  a  t  A  T , ta suy y  a  t  Như A  T  Y   , ta suy T  Y   S Do tính tối đại T nên Y  Vậy A  T e M □ 1.2.5 Mệnh đề Cho B môđun M, K phần bù B M thì: (1) K đóng M (2) K  B môđun cốt yếu M Chứng minh (1) Giả sử có mơđun N M cho K e N , thì, N  K, K  B  0, K tối đại nên N  B  Ta có K   N  B    K  N   B  K  B  , K e N , suy N  B  Điều vô lý Vậy, K đóng M □ (2) Suy từ Mệnh đề 1.2.4 1.2.6 Mệnh đề Giả sử môđun M   M i tổng trực tiếp môđun M i iI Khi phát biểu sau tương đương: 10 (1) M tựa nội xạ (2) M i tựa nội xạ M  I  i  M i – nội xạ với i  I Chứng minh xem [7, Mệnh đề 1.18] 1.3 Định nghĩa 1.3.1 Định nghĩa Môđun K M gọi phần bù môđun B M K môđun tối đại số mơđun M có giao với B không, K gọi phần bù M K phần bù môđun M 1.3.2 Định nghĩa Mơđun N gọi bao đóng mơđun M N mở rộng cốt yếu tối đại M Cho môđun M N  M Môđun N gọi đóng M N khơng có mở rộng thực M Nói khác đi, N gọi đóng M với mơđun K  M mà N  e K K=N Ví dụ A B hai mơđun M thỏa mãn M = A  B mơđun B đóng M 1.3.3 Định nghĩa Môđun U gọi môđun A B khác U A  B  0, hay môđun khác không U môđun cốt yếu U 1.3.4 Định nghĩa Cho môđun M N,H  M Môđun H gọi phần bù giao N M H môđun tối đại môđun M thỏa mãn H  N = 1.3.5 Định nghĩa Một A – môđun M gọi mơđun Noether thỏa mãn điều kiện tương đương sau: (i) Mọi tập hợp khác rỗng mơđun M có phần tử cực đại (ii) Mọi dãy tăng môđun M: M1  M   M n  22 2.2.6 Hệ Cho môđun M Nếu M CS – mơđun M (1–C1)–mơđun Chứng minh Giả sử M CS – môđun theo định nghĩa CS – môđun, môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Do vậy, môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp M, từ dẫn đến M (1–C1)–mơđun □ 2.3 Một số tính chất môđun giả nội xạ 2.3.1 Định nghĩa Môđun N M – giả nội xạ với môđun A M, với đơn cấu f : A  N mở rộng thành đồng cấu g : M  N Môđun N gọi giả nội xạ N N – giả nội xạ Hai môđun M N gọi (giả) nội xạ lẫn M N – (giả) nội xạ N M – (giả) nội xạ Một dãy đồng cấu R – môđun: fn f n 1   An1   An    An1   gọi khớp An Im f n  ker f n1 Ta nói dãy khớp khớp An với n f g Một dãy khớp dạng   M   N   K   gọi dãy khớp ngắn f đơn cấu, g toàn cấu Imf = Kerg f Một toàn cấu R – môđun M   N   gọi chẻ tồn đồng cấu g : N  M cho fg  1N f  M   N gọi chẻ Một đơn cấu R – môđun  tồn đồng cấu g : N  M cho gf  1M f g  M   N   K   gọi chẻ Dãy khớp ngắn  Im f (hoặc ker g ) hạng tử trực tiếp N 2.3.2 Mệnh đề (1) Nếu N N –giả nội xạ đơn cấu f : N  M chẻ (2) N nội xạ N M – giả nội xạ, với M (3) Nếu N M – giả nội xạ N A – giả nội xạ, với môđun A M 23 (4) Mỗi hạng tử trực tiếp môđun M – giả nội xạ môđun M – giả nội xạ (5)Nếu N M – giả nội xạ  (M )  N với đơn cấu  : E(M )  E( N ) Đặc biệt, N giả nội xạ  ( P)  P với đơn cấu   End ( E ( P)) (6) Cho A B giả nội xạ lẫn Nếu E ( A)  E ( B) đẳng cấu E ( A)  E ( B) sinh đẳng cấu A  B , đặc biệt A  B Khi đó, A B giả nội xạ Chứng minh (1) Xét biểu đồ: Im f  f ( N )  N i M Ta có f : N  M đơn cấu tồn ánh xạ ngược f f 1 : f ( N )  N f-1  f’  f(N)  A  Đơn cấu f 1 : f ( N )  N  Do N M – giả nội xạ nên tồn đồng cấu f ' : M  N mở rộng N f 1 (tức f ' i= f 1 ).Đặt u = f ' f n  N , ta có u(n) = ( f ' f )(n)= f ' i.f(n)= f 1 f (n)= n Vậy u = 1N nên đơn cấu f chẻ □ (2) () Ta có N nội xạ N M – nội iX X M xạ với M Từ ta suy N M – giả nội xạ, với M () Nếu N M – giả nội xạ với M đơn cấu f : N  M chẻ (do mệnh đề (1)) Do đó, N nội xạ □ (3) Xét biểu đồ: g f A A g* N 24 Lấy X môđun A f : X  N đơn cấu Khi đó, X mơđun M ( Do A môđun M) i X f* f iA A M g Đặt iA : A  M N Do N M – nội xạ nên tồn g : M  N mở rộng f tức g iA i = f Đặt f* = g A = g iA.: A  N Ta có: f*.i = g iA i =f nên f* mở rộng f Vậy N A – giả nội xạ, với môđun A M □ (4) Giả sử N M – giả nội xạ A hạng tử trực tiếp N, tức N  A  A' , với A’ môđun N Ta chứng minh A M – giả nội xạ Lấy X môđun M f : X  A đơn cấu Đặt g : X  N  A  A' xác định g(x) = (f(x),0).Khi đó, g đơn cấu Vì N M – giả nội xạ nên g mở rộng thành đồng cấu g * : M  N , tức g*.iX =g Đặt  A : N  A  A'  A phép chiếu tự nhiên Khi đó,  A g * : M  A đồng cấu mở rộng f  A.g *.iX   A.g  f Vậy A M – giả nội xạ □ (5) Ta có : N M – giả nội xạ đơn cấu  : E (M )  E( N ) Đặt X ={ m  M :  (m)  N }.Do N M – giả nội xạ nên  X mở rộng thành  : M  N Với n  N , m  M thỏa (   )(m)  n Ta có:  (m)   (m)  n  N Với m  X : (   )(m)  n   (m)   (m)   (m)   (m)  ( Do m  X nên  (m)   (m) ) 25 Ta suy N  (   )(M )  Do N e E ( N ) nên (   )(M )  Vì  (M )   (M )  N Nếu N giả nội xạ  ( P)  P với đơn cấu   End ( E ( P)) W (6) Do (5) f : E ( A)  E ( B) đẳng cấu nên f ( A)  B f 1 ( B)  A Ta có B  ( ff 1 )( B)  f ( f 1 ( B))  f ( A) f ( A)  B nên f ( A)  B Khi đó, f A : A  B đẳng cấu A  B Nếu B  A A B – giả nội xạ A A – giả nội xạ, nghĩa A giả nội xạ Tương tự, B giả nội xạ □ 2.3.3 Mệnh đề Cho M, N môđun X  M  N Các điều kiện sau tương đương: (1) M N – giả nội xạ (2) Với môđun A X thỏa mãn A  M  A  N  , tồn môđun T X chứa A cho M  T  X Chứng minh 1    Giả sử có (1) A mơđun thỏa mãn giả thiết (2) Gọi  M : M  N  M ,  N : M  N  N phép chiếu Ta xác định đồng cấu  :  N  A   M  A sau: Với a  A,   N  a     M  a  Do A  N  , nên  đơn cấu Theo giả thiết,  T   n  g  n : n  N mở Từ rộng đây, thành ta đồng thấy cấu g:N M M T  X Đặt a  A , a  m  n  n    n   n  g  n  , với n  N , m  M , A  T , thỏa mãn (2)  2  1 Giả sử có (2) Gọi B môđun N f : B  M đơn cấu Đặt A  b  f  b  : b  B , A  M  A  N  Theo giả thiết, 26 tồn môđun T X chứa A cho M  T  X Lấy  : M  T  M phép chiếu Khi đó, b  B, b  f  b   b  f  b  , ta có:  Vậy,  N N b    N  f b   b  f b   f b  mở rộng f cần tìm □ 2.3.4 Mệnh đề Nếu M N – giả nội xạ M  P P N – giả nội xạ  f : X  M đơn cấu, M N – giả nội xạ nên  f mở rộng thành đồng cấu  : N  M cho N g f Chứng minh Lấy X  N f : X  P đơn cấu Do M  P nên tồn đẳng cấu  : P  M Khi iX X  P -1  M  iX   f , iX : X  N phép bao hàm Đặt g   1 : N  P , ta có g iX   1  iX   1 f  f Vậy, g mở rộng f cần tìm hay P N – giả nội xạ □ 2.3.5 Định lí Mọi mơđun giả nội xạ thỏa mãn tính chất (C2) Chứng minh Giả sử M môđun giả nội xạ B môđun M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp A M Ta chứng minh B hạng tử trực tiếp M Thật vậy, lấy f : A  B đẳng cấu Khi đó, f đơn cấu từ A vào M Vì M M – giả nội xạ, theo Mệnh đề 2.3.2(4) A M – giả nội xạ Theo Mệnh đề 2.3.2(1), đơn cấu f chẻ Vậy B hạng tử trực tiếp M hay M có tính chất (C2) □ 2.3.6 Định lí Hạng tử trực tiếp môđun giả nội xạ môđun giả nội xạ Chứng minh Giả sử M môđun giả nội xạ A hạng tử trực tiếp M, tức M  A  B , với B  M Ta chứng minh A môđun giả nội xạ Lấy X  A f : X  A đơn cấu Khi iA f : X  M đơn cấu, iA : A  M phép nhúng Do M giả nội xạ, nên iA f mở rộng 27 iX X A f g A   iA M  iA M thành đồng cấu  : M  M Đặt    A  : M  A  B  A phép chiếu Lấy g   : A  A , ta có giX   iX   iA f  f , iX : X  A phép nhúng Vậy g mở rộng f cần tìm hay A mơđun giả nội xạ □ 2.3.7 Bổ đề (Jain and Singh) Nếu M mơđun giả nội xạ mơđun M đẳng cấu với phần bù M phần bù M Chứng minh Cho K phần bù M A môđun M cho A  K Lấy f : A  K đẳng cấu mơđun Theo giả thiết, f mở rộng thành đồng cấu g : M  M Theo Bổ đề Zorn, tồn phần bù A’ M cho A e A ' Hiển nhiên g A đơn cấu Vậy K  g  A e g  A ' Vì K môđun bù nên K = g(A’) Do đó, A = A’ □ Nhận xét: Theo Định lí 2.3.5 Định nghĩa 2.1, ta thấy môđun giả nội xạ, CS – môđun môđun liên tục Trong [7] trình bày số định nghĩa sau: mơđun M gọi có tính biến đổi (hữu hạn) với tập I (hữu hạn)  cho M  N   Ai với N Ai mơđun M  N  M   Bi iI iI  với Bi  Ai Môđun M gọi có tính triệt tiêu M  X  M  Y X  Y M gọi có tính triệt tiêu M  A1  B1  A2  B2 mà A1  A2 B1  B2 Mơđun M gọi hữu hạn trực tiếp M không đẳng cấu với hạng tử trực tiếp thực M Đồng thời [7] chứng minh số kết quả: Mơđun nội xạ M có tính triệt tiêu M 28 hữu hạn trực tiếp [Định lý 1.29] Hạng tử trực tiếp môđun liên tục môđun liên tục [Mệnh đề 2.7] mơđun liên tục có tính biến đổi [Định lý 3.24] Từ kết trên, ta chứng minh số định lí sau: 2.3.8 Định lí M tựa nội xạ M giả nội xạ M2 CS – môđun Chứng minh Giả sử M giả nội xạ M2 CS – môđun Lấy M i  M (i  1,2) X  M1  M Theo nhận xét trên, M mơđun liên tục Gọi A phần bù X cho A  M1  A  M e A Do M2 CS – môđun nên tồn môđun V V’ M2 cho V  V '  M A  M e V Mặt khác, M CS – mơđun nên ta có A  A '  X , với A '  X Do V hạng tử trực tiếp môđun liên tục nên V mơđun liên tục hay V có tính biến đổi Vì V  A e A , ta có V  A '  Vậy, V  A '  X Do A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp V M2 Gọi C môđun X cho C  M1  Theo Bổ đề Zorn, tồn phần bù K X M1 chứa C Cũng theo Bổ đề Zorn, tồn phần bù K1 K K  M phần bù K2 K K1 chứa K  M Ta thấy K  M e K2 theo Bổ đề 2.2.2 K1 K2 phần bù X Theo Mệnh đề 2.3.3, tồn môđun T X chứa K1 thỏa mãn M1  T  X Thế T  M K1 phần bù T Từ đây, suy K1 đẳng cấu với phần bù M2 Theo chứng minh trên, ta có K2 đẳng cấu với phần bù M2 Lấy  : M1  M  M phép chiếu thông thường Ta có M1   K1  K2   M1    K1     K2   ,   Ki   Ki Do tính liên tục M2 điều kiện trên, nên   K1     K2  hạng tử trực tiếp M2 Vì K phần bù M1, M1  K  M1    K  e X nên   K  e M Theo cách chọn K1, K2 K1  K2 e K ,   K1     K2  e   K  29 Do đó,   K1     K2  e M Từ suy M    K1     K2     K  Vậy, M1  K  X Theo Bổ đề 1.5.11, M1 M2 – nội xạ □ 2.3.9 Mệnh đề Nếu M  N giả nội xạ M N nội xạ lẫn Chứng minh Giả sử M  N giả nội xạ, ta chứng minh M N – nội xạ, N M – nội xạ chứng minh tương tự Thật vậy, đặt X  M  N A  X cho A  M  Gọi K phần bù M X chứa A,  : M  N  N phép chiếu Ta có M  K  M    K  e X , từ ta suy   K  e N , K    K  Gọi f :   K   K đẳng cấu Vì X giả nội xạ nên theo Mệnh đề 2.3.2(3), X N – giả nội xạ Do f mở rộng thành đồng cấu g : N  X Ta có K  g   K   e g  N  , K môđun bù X nên K  g  N    K   N Vậy M  K  X Theo Bổ đề 1.5.11, M N – nội xạ □ 2.3.10 Hệ Nếu iI M i giả nội xạ M j M k – giả nội xạ với j,k I Chứng minh Theo Mệnh đề 2.3.9 2.3.11 Hệ Với n  2, Mn giả nội xạ M tựa nội xạ Chứng minh Nếu Mn giả nội xạ, theo Hệ 2.3.10, M M – nội xạ, nghĩa M tựa nội xạ Ngược lại, M tựa nội xạ Mn tựa nội xạ giả nội xạ □ 2.3.12 Hệ CS – môđun giả nội xạ liên tục Chứng minh Suy từ Định lý 2.3.5 2.3.13 Bổ đề (1) Nếu môđun M giả nội xạ M tựa nội xạ (2) Cho M  iI M i tổng trực tiếp môđun Mi M tựa nội xạ M giả nội xạ 30 Chứng minh (1) Lấy A môđun M f : A  M đồng cấu Nếu Kerf = 0, theo giả thiết, f mở rộng thành đồng cấu g : M  M Nếu ker f  , đặt   iA  f , iA : A  M phép bao hàm Lấy x  ker f  ker  , ta có f  x   x  f  x   hay x  Vậy, ker f  ker   Vì M đều, ker f  , nên ker f e M Từ đây, ta suy ker   Do M giả nội xạ nên  mở rộng thành đồng cấu g : M  M Hiển nhiên, – g mở rộng f (2) Cho M giả nội xạ, theo Định lý 2.3.6, M(I – i) Mi – nội xạ, với i  I Theo (1) hạng tử trực tiếp môđun giả nội xạ môđun giả nội xạ, nên Mi tựa nội xạ Theo Mệnh đề 1.2.6, M tựa nội xạ □ 2.3.14 Định lí Mơđun M có chiều hữu hạn tựa nội xạ M giả nội xạ CS – môđun Chứng minh.Cho M giả nội xạ, CS – môđun Theo Mệnh đề 2.2.5, M tổng trực tiếp môđun Theo Bổ đề 2.3.13, ta suy điều phải chứng minh □ 2.3.15 Định lí Cho R vành Khi đó: (a) Mỗi R môđun phải giả nội xạ không suy biến tựa nội xạ (b) Nếu R vành Noether R mơđun phải giả nội xạ không suy biến M chứa môđun tựa nội xạ cực đại, nghĩa E cốt yếu M Trong trường hợp môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M M = E, nghĩa M tựa nội xạ Chứng minh (a) Cho V môđun R – môđun U, với U môđun giả nội xạ không suy biến, đặt f : V  U đồng cấu Do U không suy biến nên ker(f) = ker(f) = V Nếu ker(f) = V f mở rộng thành tự đồng cấu U  U Nếu ker(f) = 0, f đơn cấu , f mở rộng thành tự đồng cấu U  U U giả nội xạ U tựa nội xạ 31 (b) Giả sử R vành Noether phải MR môđun giả nội xạ khơng suy biến Khi đó, M chứa mơđun cốt yếu E  iI Ei với Ei Ta giả sử Ei mở rộng cốt yếu M Do M khơng suy biến, Ei xác định mở rộng cốt yếu môđun khác Đặt fi : Ai  Ei đồng cấu Ai  Ei Nếu fi  f i đơn cấu Do đó, f i mở rộng thành đồng cấu fi* : M  M fi* Ei đồng cấu, fi* ( Ei ) với E j  f i ( Ei )  , M / E j không suy biến Nghĩa fi* ( Ei )  E j f i Ei : Ei  E j mở rộng f i Do Ej Ei– giả nội xạ với i, j  I Theo [6, Mệnh đề 1.18], môđun E  iI Ei tựa nội xạ Về tính cực đại E, giả sử tồn X  M môđun tựa nội xạ chứa E Lấy F  I đặt T =  iF Ei Ta chứng minh với n = F T hạng tử trực tiếp X Với n = 1, Ei1 đóng M nên đóng X Do đó, Ei1 hạng tử trực tiếp X Ta giả sử T hạng tử trực tiếp với phần tử I nhỏ n Khi đó, X = ( Ei1   Ein1 )  Y Ta có Ei1   Ein1  Ein  Ei1   Ein1  Z với Z  ( Ei1   Ein1  Ein )  Y Rõ ràng Z  Ein Đặt Z * mở rộng cốt yếu cực đại Z X u : Z  Ein đẳng cấu Khi đó, u mở rộng đến đồng cấu u* : X  X U * Z* đơn cấu, u* ( Z * ) mơđun chứa Ein Do Ein đóng M, ta có u* ( Z * ) = Ein Điều cho ta Z  Z * , tức Z hạng tử trực tiếp Y Nói cách khác, {Ei }iI hạng tử trực tiếp địa phương X hay E hạng tử trực tiếp X Nhưng E cốt yếu X nên X = E 32 Trong trường hợp môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M {Ei }iI hạng tử trực tiếp địa phương M Do R vành Noether E cốt yếu M nên M = E Chú ý: Một R – môđun phải gọi chia Ax = A với x R Theo Bổ đề Zorn, ta thấy R – môđun phải chứa môđun cực đại chia Từ điều (Goodearl Warfield, 1989, Định lý 6.12), môđun phải không suy biến vành Goldie nửa nguyên tố chứa môđun nội xạ cực đại 2.3.16 Hệ Trên vành Goldie phải nguyên tố R, R – môđun giả nội xạ phải M nội xạ Chứng minh Bởi ý Định lý 2.3.15, M chứa môđun nội xạ cực đại K Nếu K không cốt yếu M tồn U  M U  cho U  K  Do R môđun Goldie phải không suy biến, ta giả sử U đóng M Do phần đầu chứng minh Định lý 2.3.15(b) U tựa nội xạ Khi đó, Un tựa nội xạ với n N Hơn nữa, U chứa iđêan phải R Đặt m chiều RR Từ R vành Goldie nguyên tố phải nên Um chứa iđêan phải cốt yếu H R, H chứa phần tử c R RR  cR Do đó, Um chứa RR Um nội xạ, K  U nội xạ ( mâu thuẫn với K cực đại M) Do K cốt yếu M K = M □ 2.3.17 Hệ Trên PCI–miền nguyên phải D, R – môđun giả nội xạ phải nội xạ Chứng minh Cho M D – môđun giả nội xạ phải Do D – môđun phải đơn nội xạ nên M = Z (M )  M ' với Z(M) môđun đơn M’ môđun không suy biến M Nếu M’= chứng minh Nếu M’≠ 0, theo Hệ 2.3.15, M’ nội xạ Do đó, M nội xạ □ 33 2.3.18 Định lý Cho M môđun không suy biến M  iI M i với Mi Khi đó, M tựa nội xạ M giả nội xạ Chứng minh Giả sử M giả nội xạ Theo Định lý 2.3.15(a), Mi tựa nội xạ theo Định lý 2.3.10 Mi Mj – nội xạ với i, j I Cho C  M mơđun đóng Theo bổ đề Zorn, tồn H  I cực đại với điều kiện C  S ( H )  S(H)= iH M i Do đó, M *  C  S ( H ) cốt yếu M Nếu M  M * tồn i  I  H cho M i C Do tính cực đại H nên M i  C  Vì M khơng suy biến, ta có M i