Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THẾ HẢI MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ VÀ VÀNH LIÊN QUAN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 62460104 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HUẾ - NĂM 2016 Công trình hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế Người hướng dẫn khoa học: GS TS Lê Văn Thuyết TS Bành Đức Dũng Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Huế họp tại: Vào hồi ngày tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận án tại: Trung tâm học liệu-Đại học Huế Thư viện trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế MỞ ĐẦU Lý thuyết vành nói chung lý thuyết vành kết hợp nói riêng xuất khoảng 120 năm nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu Để nghiên cứu cấu trúc vành, theo hai hướng Hướng thứ nghiên cứu cấu trúc vành thông qua điều kiện bên (tức nghiên cứu iđêan phía) hướng thứ hai đặc trưng vành điều kiện bên (tức nghiên cứu môđun chúng) Trong luận án này, nghiên cứu cấu trúc vành theo hướng thứ hai Trong lý thuyết môđun, khái niệm môđun nội xạ Baer đề xuất vào năm 1940 Theo đó, môđun M gọi N -nội xạ với môđun A N đồng cấu f : A → M mở rộng đến đồng cấu g : N → M Môđun M gọi nội xạ M N -nội xạ với môđun N Không đưa khái niệm môđun nội xạ, Baer đưa tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra R-môđun M nội xạ Tiêu chuẩn mang tên "Tiêu chuẩn Baer" phát biểu sau: Môđun MR nội xạ với iđêan phải I R, đồng cấu f : IR → MR mở rộng đến đồng cấu g : RR → MR Từ có tiêu chuẩn Baer đời, hai hướng nghiên cứu mở rộng môđun nội xạ đề cập Đó nghiên cứu mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc từ Tiêu chuẩn Baer Vì mục đích luận án này, đề cập đến mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc mà Johnson Wong đề xuất vào năm 1961, môđun tựa nội xạ Môđun M gọi tựa nội xạ M M -nội xạ Môđun tựa nội xạ mở rộng thực môđun nội xạ Vào năm 1967, Singh Jain nghiên cứu trường hợp tổng quát môđun tựa nội xạ, môđun giả nội xạ Theo đó, môđun M gọi N -giả nội xạ với môđun A N đơn cấu từ A vào M mở rộng đến đồng cấu từ N vào M Môđun M gọi giả nội xạ M M -giả nội xạ Có thể nói môđun giả nội xạ khái niệm nhận nhiều quan tâm đặc biệt nhà nghiên cứu Tổng quan chung nội dung tác giả nghiên cứu môđun giả nội xạ bao gồm: Nghiên cứu tính chất môđun giả nội xạ mà tương tự tính chất môđun tựa nội xạ; xét xem môđun giả nội xạ môđun tựa nội xạ; đưa ví dụ để chứng tỏ tồn môđun giả nội xạ mà không tựa nội xạ; nghiên cứu thêm tính chất riêng môđun giả nội xạ để từ đặc trưng số vành quan trọng vành Artin nửa đơn, vành QF, vành PF, vành Artin vành Noether, vv Như tất yếu trình phát triển toán học, môđun giả nội xạ đời với nhiều tính chất có ý nghĩa việc nghiên cứu lý thuyết vành tạo nên động lực lớn thúc đẩy nhà nghiên cứu tiếp tục quan tâm đến mở rộng môđun Một số mở rộng đáng kể lớp môđun giả nội xạ lớp môđun giả nội xạ cốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu, môđun C2, vv Sự nghiên cứu luận án tiếp tục nghiên cứu số mở rộng lớp môđun giả nội xạ để từ đặc trưng vành quen thuộc Vì vậy, chọn tên đề tài để nghiên cứu luận án "Một số mở rộng lớp môđun giả nội xạ vành liên quan" Cấu trúc luận án chia thành chương Chương dành để trình bày khái niệm số kết biết nhằm sử dụng cho chương sau Trong Chương 2, nghiên cứu tính chất môđun giả nội xạ cốt yếu Vào năm 2005, tác giả Alahmadi, Er Jain nghiên cứu trường hợp tổng quát môđun giả nội xạ, môđun giả nội xạ cốt yếu Theo đó, môđun M gọi N -giả nội xạ cốt yếu với môđun A cốt yếu N đơn cấu f : A → M mở rộng đến đồng cấu g : N → M Môđun M gọi môđun giả nội xạ cốt yếu M M -giả nội xạ cốt yếu Những kết mà thu chương đặc trưng môđun N -giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 Định lý 2.2.7) Chúng ta biết, môđun giả nội xạ thỏa mãn điều kiện C2 Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chứng minh rằng, môđun giả nội xạ cốt yếu thỏa mãn điều kiện C3 (Định lý 2.2.11) Khi nghiên cứu mối quan hệ môđun giả nội xạ tựa nội xạ, H Q Dinh đặt câu hỏi: Một môđun không suy biến, giả nội xạ CS có phải môđun tựa nội xạ hay không? Bằng việc nghiên cứu tính chất môđun giả nội xạ cốt yếu, chứng minh rằng: Một môđun M tựa nội xạ M môđun giả nội xạ CS Ngoài tính chất môđun giả nội xạ cốt yếu đưa trên, việc nghiên cứu mối quan hệ môđun giả nội xạ cốt yếu vành tự đồng cấu đề cập Định lý 2.2.14, là: Khi M môđun tự sinh M giả nội xạ cốt yếu vành EndR (M ) giả nội xạ cốt yếu phải Cho R vành Ω lớp R-môđun đó, Ω gọi đế mịn với M, N ∈ Ω, có Soc(M ) Soc(N ) M N Một môđun M gọi giả nội xạ cốt yếu mạnh M N -giả nội xạ cốt yếu với R-môđun phải N Chúng ký hiệu SE lớp R-môđun phải giả nội xạ cốt yếu mạnh PR lớp R-môđun phải xạ ảnh Khi chứng minh rằng, R vành QF lớp PR ∪ SE đế mịn (Định lý 2.2.15) Trong trường hợp R vành Artin nửa đơn thu kết quả: R Artin nửa đơn lớp tất R-môđun giả nội xạ cốt yếu đế mịn lớp SE đế mịn (Định lý 2.2.16) Ngoài tính chất liên quan đến vành Artin nửa đơn nói trên, việc nghiên cứu tính chất môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan đến vành Noether, vành đối nửa đơn mở rộng vành đề cập Định lý 2.2.17 Định lý 2.2.18 Trong Chương 3, nghiên cứu trường hợp mở rộng môđun ADS, là: Môđun ADS tổng quát Vào năm 2012, Alahmadi, Jain Leroy quan tâm nghiên cứu môđun ADS Theo đó, R-môđun phải M gọi ADS với phân tích M = S ⊕T với phần bù giao T S M = S ⊕ T Trong công trình mình, tác giả rằng, khái niệm môđun ADS mở rộng thực môđun tựa liên tục Có tính chất môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan mật thiết đến định nghĩa môđun ADS mà quan tâm, là: Nếu M N môđun X = N ⊕ M N M -giả nội xạ cốt yếu với phần bù giao K N X mà K ∩ M = X = N ⊕ K Từ mối liên quan này, đề xuất mở rộng môđun ADS, môđun ADS tổng quát Một môđun M gọi ADS tổng quát với phân tích M = S ⊕ T M phần bù giao T S mà T ∩ T = M = S ⊕ T Lớp môđun ADS tổng quát mở rộng thực lớp môđun ADS (Ví dụ 3.1.2) Đối với môđun ADS, người ta chứng minh rằng, M môđun ADS với phân tích M = A ⊕ B , ta có A B nội xạ tương hỗ Đối với môđun ADS tổng quát, rằng, môđun M ADS tổng quát với phân tích M = A ⊕ B , ta có A B giả nội xạ cốt yếu tương hỗ (Định lý 3.2.1) Nhiều kết thu môđun ADS tổng quát tương tự với kết môđun ADS Tuy nhiên, có số kết môđun ADS không môđun ADS tổng quát Chẳng hạn, để hạng tử trực tiếp môđun ADS tổng quát ADS tổng quát cần thêm số điều kiện môđun M phải môđun phân phối hạng tử trực tiếp môđun M phải thỏa mãn điều kiện CS (Mệnh đề 3.2.6) Một số tính chất môđun ADS phạm trù σ[M ] là: M nửa đơn môđun σ[M ] ADS môđun hữu hạn sinh σ[M ] ADS môđun 2-sinh σ[M ] ADS Đối với môđun ADS tổng quát chứng minh rằng, M nửa đơn môđun σ[M ] ADS tổng quát môđun hữu hạn sinh σ[M ] ADS tổng quát môđun 3-sinh σ[M ] ADS tổng quát (Định lý 3.2.10) Do đó, vành R Artin nửa đơn R-môđun phải ADS tổng quát R-môđun phải hữu hạn sinh ADS tổng quát R-môđun phải 3-sinh ADS tổng quát (Hệ 3.2.11) Mối quan hệ môđun ADS tổng quát với môđun tựa nội xạ quan tâm Định lý 3.2.14 Trong phần cuối chương này, giống môđun giả nội xạ cốt yếu, kết liên quan đến mở rộng vành ADS tổng quát nghiên cứu Định lý 3.2.15 Trong Chương 4, nghiên cứu trường hợp mở rộng môđun C2, là: Môđun thỏa mãn điều kiện (C) Việc nghiên cứu lớp môđun thỏa mãn điều kiện (C) cho thu số kết để từ đặc trưng số lớp vành quen thuộc Như biết, vành QF (hay gọi tựa Frobenius) Nakayama giới thiệu vào năm 1939, vành Artin hai phía tự nội xạ hai phía Một kết đẹp đẽ mối quan hệ môđun xạ ảnh môđun nội xạ liên quan đến vành QF định lý Faith-Walker Định lý phát biểu rằng: Vành R QF R-môđun phải (trái) nội xạ xạ ảnh, R-môđun phải (trái) xạ ảnh nội xạ Nhiều đặc trưng khác cho vành QF nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Vào năm 1967, Faith-Walker chứng minh rằng, vành R QF R-môđun phải (trái) nhúng vào môđun tự Như vậy, R-môđun phải nhúng vào môđun tự R vành QF Một câu hỏi đưa là: Nếu R-môđun phải hữu hạn sinh nhúng vào môđun tự R có phải vành QF hay không? Vành R mà R-môđun phải hữu hạn sinh nhúng vào môđun tự gọi vành FGF Do đó, câu hỏi mà vừa đề cập viết ngắn gọn lại là: Vành FGF có phải vành QF hay không? Câu hỏi giả thuyết FGF tiếng mà đến chưa có câu trả lời Đến nay, người ta chứng minh rằng, R vành FGF C2 R vành QF Như vậy, việc nghiên cứu môđun C2 mở rộng hy vọng góp phần làm sáng tỏ giả thuyết FGF nói Cho M môđun S = EndR (M ) Trong Bổ đề 4.1.1, chứng minh rằng, môđun M môđun C2 với s ∈ S , mà Ker(s) hạng tử trực tiếp M Im(s) hạng tử trực tiếp M Từ kết này, đề xuất mở rộng môđun C2, môđun thỏa mãn điều kiện (C) Một môđun M gọi thỏa mãn điều kiện (C) với s ∈ S s = 0, tồn n ∈ N cho sn = Ker(sn ) hạng tử trực tiếp M Im(sn ) hạng tử trực tiếp M Một vành R gọi thỏa mãn điều kiện (C) phải RR môđun thỏa mãn điều kiện (C) Một số mệnh đề tương đương với môđun thỏa mãn điều kiện (C) đưa Định lý 4.1.10 Từ định nghĩa môđun thỏa mãn điều kiện (C), có môđun C2 thỏa mãn điều kiện (C) Khi môđun M có vành tự đồng cấu S = EndR (M ) vành địa phương chứng minh lớp môđun trùng (Mệnh đề 4.1.7) Đối với môđun C2 hạng tử trực tiếp môđun C2 môđun C2 Trong Định lý 4.1.12, chứng minh rằng, hạng tử trực tiếp môđun thỏa mãn điều kiện (C) môđun thỏa mãn điều kiện (C) Về mối quan hệ môđun thỏa mãn điều kiện (C) vành tự đồng cấu S = EndR (M ) nó, chứng minh rằng, M môđun tự sinh M thỏa mãn điều kiện (C) S vành thỏa mãn điều kiện (C) phải (Định lý 4.1.17) Đối với môđun Rickart d-Rickart, tác giả Lee, Rizvi Roman chứng minh rằng: S vành quy M môđun Rickart thỏa mãn điều kiện C2 M môđun d-Rickart thỏa mãn điều kiện D2 Đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C), chứng minh rằng, S vành quy M môđun Rickart thỏa mãn điều kiện (C) M môđun d-Rickart s(M ) M -nửa xạ ảnh với s ∈ S (Định lý 4.1.21) Việc nghiên cứu môđun thỏa mãn điều kiện (C) để đặc trưng vành quan tâm phần cuối luận án Khi R vành quy (theo nghĩa von Neumann), số tính chất R-môđun thỏa mãn điều kiện (C) đưa Định lý 4.2.2 Khi R vành di truyền, kết quan trọng biết là, vành R di truyền môđun thương R-môđun phải nội xạ nội xạ Trong Định lý 4.2.4, chứng minh R vành di truyền phải môđun thương R-môđun phải nội xạ môđun thỏa mãn điều kiện (C) Chúng thu số kết việc đặc trưng vành Noether môđun thỏa mãn điều kiện (C) Định lý 4.2.5 Cuối cùng, đặc trưng liên quan đến vành nửa Artin nghiên cứu Định lý 4.2.6 CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị Trong luận án này, không nói thêm, vành R cho giả thiết vành kết hợp, có đơn vị = R-môđun xét môđun unita phải trái 1.1 Một số kí hiệu khái niệm Với vành R cho, ta viết MR (R M ) để M R-môđun phải (t.ư., trái) Trong ngữ cảnh cụ thể luận án, không sợ nhầm lẫn phía môđun, để đơn giản ta viết môđun M thay MR Chúng dùng ký hiệu A ≤ M (A < M ) để A môđun (t.ư., thực sự) môđun M Nếu A hạng tử trực tiếp môđun M ta viết A ≤⊕ M Ký hiệu Mn (R) để vành ma trận vuông cấp n lấy hệ tử vành R Nếu I tập với card(I) = α M môđun, ta kí hiệu tổng trực tiếp α M M (I) M (α) , tích trực tiếp α M M I M α Ta ký hiệu Mod-R (R-Mod) phạm trù R-môđun phải (t.ư., trái) Cho M N R-môđun phải, đồng cấu từ M đến N hiểu đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđun phải N Cho M R-môđun phải tập ∅ = X ⊂ M Linh hóa tử phải X R ký hiệu rR (X) xác định sau: rR (X) = {r ∈ R | xr = ∀x ∈ X} Khi không sợ nhầm lẫn vành sở R viết gọn r(X) thay rR (X) Khi X = {x1 , x2 , , xn } viết r(x1 , x2 , , xn ) thay r({x1 , x2 , , xn }) Ta có rR (X) iđêan phải vành R Hơn nữa, X môđun M rR (X) iđêan (phải trái) R Linh hóa tử trái X R ký hiệu lR (X) định nghĩa tương tự Môđun MR gọi trung thành rR (M ) = Điều tương đương với việc tồn đơn cấu ι : RR → M (X) với X tập số Cho N môđun M , môđun K M gọi phần bù giao N M K môđun cực đại thỏa mãn điều kiện K ∩ N = Môđun A môđun M gọi cốt yếu lớn M với môđun khác không B M ta có A ∩ B = Khi đó, gọi M mở rộng cốt yếu A ký hiệu A ≤e M Một đơn cấu f : M → N gọi đơn cấu cốt yếu (hoặc nhúng cốt yếu) Im(f ) ≤e N Đối ngẫu với khái niệm cốt yếu, môđun A môđun M gọi đối cốt yếu bé M , ký hiệu A M , với môđun B = M M có A + B = M Một toàn cấu g : M → N gọi toàn cấu đối cốt yếu (hoặc toàn cấu bé ) Ker(g) M Phần tử x vành R gọi phần tử lũy đẳng x2 = x Các cặp phần tử lũy đẳng e1 , e2 vành R gọi trực giao e1 e2 = e2 e1 = Cho M N R-môđun Khi đó, môđun N gọi sinh M (M -sinh) hay M sinh N tồn toàn cấu f : M (Λ) → N , với tập số Λ Môđun M gọi tự sinh sinh môđun nó, có nghĩa với môđun N M tồn toàn cấu f : M (Λ) → N với tập số Λ Ta nói R-môđun phải N sinh M M vật sinh N N đẳng cấu với môđun môđun M -sinh Ta ký hiệu σ[M ] phạm trù phạm trù Mod-R mà vật R-môđun phải sinh M cấu xạ đồng cấu môđun Rõ ràng, σ[M ] phạm trù đầy đủ phạm trù Mod-R Đế phải môđun MR kí hiệu Soc(MR ), tổng môđun đơn MR , giao tất môđun cốt yếu MR Nếu MR không chứa môđun đơn Soc(MR ) = Căn môđun MR kí hiệu Rad(MR ), giao tất môđun tối đại MR , tổng tất môđun bé MR Nếu MR không chứa môđun tối đại ta định nghĩa Rad(MR ) = MR Đặc biệt, biết Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R) Do không sợ nhầm lẫn, ta kí hiệu J(R) để Jacobson vành R RR Cho R-môđun M L lớp môđun M Ta nói L thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng, viết ACC, dãy tăng A1 ≤ A2 ≤ ≤ An ≤ môđun thuộc L dừng, tức tồn n ∈ N cho An = An+i với i ∈ N Ta nói L thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm, viết DCC, dãy giảm D1 ≥ D2 ≥ ≥ Dn ≥ môđun thuộc L dừng, tức tồn n ∈ N cho Dn = Dn+i với i ∈ N Một R-môđun phải M gọi Noether tập tất môđun M thỏa mãn ACC M gọi môđun Artin tập tất môđun M thỏa mãn DCC 1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh số mở rộng môđun nội xạ Cho M , N môđun, A môđun M đồng cấu f : A → N , ¯ f : M → N Khi người ta gọi f¯ mở rộng đồng cấu f f mở rộng đến đồng cấu f¯ (hoặc f mở rộng đến M ) f¯(x) = f (x) với x ∈ A Sau đây, giới thiệu lớp môđun quan trọng có nhiều ứng dụng lý thuyết vành kết hợp, môđun nội xạ môđun xạ ảnh Một môđun M gọi N -nội xạ với môđun A N đồng cấu f : A → M mở rộng đến đồng cấu g : N → M Nếu môđun M M -nội xạ M gọi tựa nội xạ tự nội xạ Nếu M N -nội xạ với N ∈ Mod-R M gọi nội xạ Các môđun M1 , , Mn gọi nội xạ tương hỗ Mi Mj -nội xạ với i = j, ≤ i, j ≤ n Bao nội xạ môđun M môđun nội xạ N với đơn cấu cốt yếu ι : M → N Lúc này, người ta thường gọi N bao nội xạ M ký hiệu N = E(M ) Hơn nữa, môđun nhúng cốt yếu vào môđun nội xạ nên môđun có bao nội xạ Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun P gọi N -xạ ảnh với toàn cấu g : N → M đồng cấu f : P → M tồn đồng cấu h : P → N cho f = gh Môđun P gọi xạ ảnh P N -xạ ảnh với môđun N thuộc Mod-R Phủ xạ ảnh môđun M môđun xạ ảnh P với toàn cấu đối cốt yếu p : P → M Khi đó, ta thường gọi P phủ xạ ảnh M Theo định nghĩa, để kiểm tra tính nội xạ R-môđun M , ta phải kiểm tra xem M có N -nội xạ với R-môđun N hay không Tuy nhiên, thực tế, ta cần kiểm tra M có R-nội xạ hay không đủ nhờ tiêu chuẩn Baer sau Tiêu chuẩn Baer: Một R-môđun M nội xạ với iđêan phải I R, đồng cấu f : IR → MR mở rộng đến đồng cấu f¯ : RR → MR Có hai hướng mở rộng môđun nội xạ, là: Mở rộng từ định nghĩa gốc mở rộng từ tiêu chuẩn Baer Các mở rộng môđun nội xạ theo hướng từ định nghĩa gốc môđun C-nội xạ, đế nội xạ mạnh, giả nội xạ, FP-nội xạ, vv Các mở rộng môđun nội xạ theo tiêu chuẩn Baer môđun F-nội xạ, P-nội xạ, GP-nội xạ, nội xạ cực tiểu, nội xạ bé, vv Vì mục đích riêng luận án, quan tâm đến mở rộng môđun nội xạ, môđun giả nội xạ Cho R vành M , N R-môđun phải Khi đó, môđun M gọi N -giả nội xạ với môđun A N đơn cấu f : A → M mở rộng đến đồng cấu g : N → M Môđun M gọi giả nội xạ M M -giả nội xạ Hai môđun M N gọi giả nội xạ tương hỗ M N -giả nội xạ N M -giả nội xạ Một vành R gọi giả nội xạ phải RR môđun giả nội xạ Môđun M gọi N -giả nội xạ cốt yếu với môđun cốt yếu A N đơn cấu f : A → M mở rộng đến đồng cấu g : N → M Môđun M gọi giả nội xạ cốt yếu M M -giả nội xạ cốt yếu Hai môđun M N gọi giả nội xạ cốt yếu tương hỗ M N -giả nội xạ cốt yếu N M -giả nội xạ cốt yếu Một vành R gọi giả nội xạ cốt yếu phải RR môđun giả nội xạ cốt yếu Vào năm 1961, công trình mình, Utumi định nghĩa vành thỏa mãn điều kiện C1, C2 C3 Sau đó, việc mở rộng từ vành C1, C2 C3 sang môđun thuộc Jeremy, Takeuchi, Mohammed Bouhy Để giới thiệu khái niệm môđun C1, C2, C3 mở rộng nó, trước tiên, nhắc lại số điều kiện sau môđun: Điều kiện C1 (hoặc điều kiện CS): Với môđun A M , tồn hạng tử trực tiếp B M thỏa mãn A ≤e B Điều kiện C2 : Nếu môđun A M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M Điều kiện C3 : Nếu A B hai hạng tử trực tiếp M thỏa mãn A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp M Định nghĩa 1.2.7 Cho M môđun Khi đó: (1) Môđun M gọi C1 M thỏa mãn điều kiện C1 Môđun C1 gọi môđun CS môđun mở rộng (2) Môđun M gọi C2 M thỏa mãn điều kiện C2 Môđun C2 gọi môđun nội xạ trực tiếp (3) Môđun M gọi C3 M thỏa mãn điều kiện C3 (4) Môđun M gọi liên tục M thỏa mãn điều kiện C1 C2 (5) Môđun M gọi tựa liên tục M thỏa mãn điều kiện C1 C3 Môđun tựa liên tục gọi môđun π -nội xạ Cuối cùng, khái niệm liên quan đến luận án mà Alahmadi, Jain Leroy đề xuất vào năm 2012, môđun ADS Theo đó, R-môđun phải M gọi ADS với phân tích M = S ⊕ T với phần bù giao T S , có M = S ⊕ T 1.3 Vành Artin, Noether số lớp vành quan trọng khác Định nghĩa 1.3.1 Vành R gọi Artin phải, Noether phải RR môđun Artin, Noether (tương ứng) Định nghĩa 1.3.3 Một vành R gọi địa phương R có iđêan phải (hoặc trái) cực đại Định nghĩa 1.3.5 Vành R gọi vành quy (theo nghĩa von Neumann) với a ∈ R tồn b ∈ R cho a = aba Thể, vành nửa đơn vành ma trận Mn (K) với K trường vành quy Định nghĩa 1.3.9 Vành R gọi di truyền phải (nửa di truyền phải) iđêan phải (hữu hạn sinh) xạ ảnh Lý thuyết vành tựa Frobenius (hay gọi vành QF) có nguồn gốc từ lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn Nakayama giới thiệu vào năm 1939 Cho đến nay, có nhiều đặc trưng lớp vành Lớp vành tựa Frobenius có vai trò quan trọng lý thuyết vành kết hợp không giao hoán, nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Vành QF định nghĩa sau: 10 Chapter Essentially pseudo-injective modules In this chapter, we study the properties of essentially pseudo-injective modules except for the properties that have been studied by Alahmadi, Er and Jain We also give some properties of semisimple Artinian rings, QF rings, Noetherian rings and cosemisimple rings The main results of this chapter are Theorem 2.2.11, Theorem 2.2.12, Theorem 2.2.15, Theorem 2.2.16 and Theorem 2.2.17 2.1 Definitions and examples Definition 2.1.1 Let M and N be R-modules Then: (1) M is called essentially pseudo N -injective if, for any essential submodule A of N , any monomorphism f : A → M can be extended to some g ∈ Hom(N, M ) (2) M is called essentially pseudo-injective if M is essentially pseudo M -injective (3) Two modules M, N are called mutually essentially pseudo-injective if M is essentially pseudo N -injective and N is essentially pseudo M -injective (4) A ring R is called right essentially pseudo-injective if RR is an essentially pseudo- injective module Example 2.1.2 Let Z-modules Zp2 , Zp3 and Zn where p is a prime number and ≤ n ∈ N Then: (1) Zn is an essentially pseudo-injective module (2) Zp3 is essentially pseudo Zp2 -injective (3) Zp2 is not essentially pseudo Zp3 -injective 2.2 Some results related to essentially pseudo-injective modules A submodule N of M is said to be a fully invariant if f (N ) is contained in N for every f ∈ EndR (MR ) 11 The authors Alahmadi, Er and Jain proved that M is an essentially pseudoinjective if and only if it is invariant under monomorphism in EndR (E(M )) In the following theorem, we show that a module M is essentially pseudo N -injective if and only if α(N ) ≤ M for every monomorphism α : E(N ) → E(M ) Theorem 2.2.2 The following are equivalent for modules M and N : (1) M is essentially pseudo N -injective (2) α(N ) ≤ M for every monomorphism α : E(N ) → E(M ) Well-known in the literature of mathematics are basic properties of pseudoinjective modules We list here several properties of essentially pseudo-injective modules that are similar to pseudo-injective modules Proposition 2.2.6 Let M and N be R-modules (1) M is essentially pseudo N -injective if and only if M is essentially pseudo K injective for all essential submodules K of N (2) If M is essentially pseudo N -injective and K K -injective N , then M is essentially pseudo (3) If M is essentially pseudo N -injective and K N -injective M , then K is essentially pseudo (4) Assume that M and N are essentially pseudo-injective modules If there exists isomorphism between submodules A and B such that A ≤e N and B ≤e M , then M N (5) Assume that A and B be are mutually essentially pseudo-injective modules If E(A) E(B), then every isomorphism E(A) → E(B) reduces an isomorphism A → B , in particular A B Consequently, A and B are essentially pseudo- injective We have N is a semisimple module if and only if M is N -injective for all module M For essentially pseudo-injective modules, we obtained some following results: Theorem 2.2.7 Let M and N be R-modules Then: (1) N is a semisimple module if and only if M is essentially pseudo N -injective for all module M (2) Assume that N = A ⊕ B and M = C ⊕ D such that B is embedded in D If M is essentially pseudo N -injective, then C is essentially pseudo A-injective Next is the other properties of essentially pseudo-injective modules Theorem 2.2.9 The followings are equivalent for module M : (1) Every submodule of M is essentially pseudo-injective 12 (2) M is essentially pseudo-injective and every essential submodule of M is fully invariant under monomorphism of M (3) Every essential submodule of M is essentially pseudo-injective We have every direct summand of an essentially pseudo-injective module is essentially pseudo-injective However, we need to add some conditions for a direct summand of two essentially pseudo-injective modules, which are essentially pseudoinjective modules Theorem 2.2.10 Let M = M1 ⊕ M2 and E(M1 ), E(M2 ) be invariant submodules under any monomorphism of E(M ) Then M is essentially pseudo-injective if and only if M1 , M2 are essentially pseudo-injective It is well known that every pseudo-injective module satisfies the C2-condition For essentially pseudo-injective modules, we also obtained the following result Theorem 2.2.11 Every essentially pseudo-injective module satisfies the C3-condition H Q Dinh studied the relationship between pseudo-injectivity and quasi-injectivity of module and he had a question as to whether every (nonsingular) pseudo-injective CS module is necessarily quasi-injective? In the following theorem, we proved that M is quasi-injective if and only if M is essentially pseudo-injective and CS From this result, we obtained the answer to H Q Dinh’s question Theorem 2.2.12 M is quasi-injective if and only if M is essentially pseudo-injective and CS Corollary 2.2.13 M is quasi-injective if and only if M is pseudo-injective and CS The relationship between an essentially pseudo-injective module and its endomorphism ring is the following result: Theorem 2.2.14 Let M be a self-generator R-module If EndR (M ) is right essentially pseudo-injective, then M is essentially pseudo-injective Let R be a ring and Ω a class of R-modules, Ω is called socle fine whenever for any M, N ∈ Ω, we have Soc(M ) Soc(N ) if and only if M N A module M is said to be strongly essentially pseudo-injective if, M is essentially pseudo N -injective for all right R-module N We denote by SE the class of strongly essentially pseudo-injective right R-modules and PR the class of projective right R-modules A known result is: R is QF ring iff the class of projective R-modules or injective R-modules are socle fine For strongly essentially pseudo-injective modules, we also obtained the same results as follows: Theorem 2.2.15 The following conditions are equivalent for ring R 13 (1) R is quasi Frobenius (2) The class PR ∪ SE is socle fine The relationship between semisimple Artinian rings and injective modules has been shown to be: R is semisimple Artinian if and only if the class R-injective modules are socle fine For essentially pseudo-injective modules, the following theorem is obtained: Theorem 2.2.16 The following conditions are equivalent for ring R (1) R is semisimple Artinian (2) The class of all essentially pseudo-injective modules is socle fine (3) The class SE is socle fine M is called a cosemisimple if, for every proper submodule of M is an intersection of maximal submodules R is called a cosemisimple ring if the right module RR is a cosemisimple module Theorem 2.2.17 Let R be a ring (1) Every direct sum of two essentially pseudo-injective module is essentially pseudo- injective if and only if every essentially pseudo-injective is injective (2) Essential extensions of semi-simple right R-modules are essentially pseudo-injective if and only if R is right cosemisimple ring and right Noetherian We finish this section with the following two results Theorem 2.2.18 Let M be a S -R-bimodule Assume that T = S M R is right essentially pseudo-injective Then: (1) R is right essentially pseudo-injective (2) If S M is faithful then MR is essentially pseudo-injective CONCLUSION OF CHAPTER In this chapter, we have obtained some of the following results: In the first part of the chapter, we obtained some properties of the essentially pseudo N -injective modules (Theorem 2.2.2, Proposition 2.2.6 and Theorem 2.2.7) In addition, we also obtained some properties of essentially pseudo-injective modules (Theorem 2.2.9 and Theorem 2.2.10) In particular, we proved that every essentially pseudo-injective module satisfies the C3-condition (Theorem 2.2.11) and module M is quasi-injective if and only if M is essentially pseudo-injective and CS (Theorem 2.2.12) Also in Part of this chapter, we obtained some characteristics of semisimple Artinian rings, QF rings, Noetherian rings and cosemisimple rings (Theorem 2.2.15, Theorem 2.2.16 and Theorem 2.2.17) Finally, the results related to extension of rings are given in Theorem 2.2.18 14 Chapter Generalized ADS modules In this chapter, we consider generalizations of ADS modules, named generalized ADS modules As we mentioned in the first part of Chapter 2, the concept of essentially pseudo-injective modules is introduced by Alahmadi, Er and Jain The results that we are interested in their works are: If M and N are modules and X = N ⊕ M then N is essentially pseudo M -injective if and only if for any complement K in N of X which K ∩ M = 0, X = N ⊕ K On the other hand, a right module M over a ring R is said to be ADS if, for any decomposition M = S ⊕ T and every complement T of S , we have M = S ⊕ T With a combination of the above problems, we consider generalizations of ADS modules, named generalized ADS modules Some properties of generalized ADS modules were proved and their applications to characterize rings were also mentioned The main results of this chapter are Theorem 3.2.1, Theorem 3.2.10 and Theorem 3.2.14 3.1 Definitions and examples First of all, we introduce the definition of generalized ADS modules Definition 3.1.1 A module M is called generalized ADS if, for every decomposition M = S ⊕ T of M and every complement T of S with T ∩ T = 0, M = S ⊕ T A ring R is called right generalized ADS if, RR is a generalized ADS module From the definition of ADS modules and generalized ADS modules, we have the implication ADS modules =⇒ generalized ADS modules However, the converse is not true in general The following example shows that a generalized ADS module is not an ADS module:   F F F Example 3.1.2 Let R =  F  where F is a field which has elements Call 0 F N = e11 R We have N be an automorphism-invariant R-module, indecomposable, not quasi-injective with EndR (N ) local Consider M = N ⊕ N Then, M is a generalized ADS module but M is not an ADS module 15 3.2 Some results related to generalized ADS modules It is well-known that M is ADS if, for any decomposition M = A ⊕ B , then A and B are relatively injective For generalized ADS modules, we obtained the following results: Theorem 3.2.1 The following statements are equivalent for a module M : (1) M is generalized ADS (2) If M = A ⊕ B then A and B are relatively essentially pseudo-injective (3) For any decomposition M = A⊕B , then projection πB : M → B is an isomorphism when it is restricted to any complement C of A in M such that C ∩ B = We continue to obtain equivalent conditions for a module to be generalized ADS Theorem 3.2.5 The following conditions are equivalent for a module M : (1) M is generalized ADS (2) For every decomposition M = A⊕B and for any monomorphism f ∈ Hom(E(B), E(A)), then M = A ⊕ X , where X = {b + f (b) | b ∈ B, f (b) ∈ A} We know that, every direct summand of an ADS module is an ADS module However, direct summand of generalized ADS modules is under weak conditions A module M is called distributive if A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C) for all submodules A, B and C of M Proposition 3.2.6 Let M be a generalized ADS module Then: (1) Every CS direct summand of M is generalized ADS (2) If M is a distributive module then every direct summand of M is generalized ADS In the next section, we study the properties related to a generalized ADS module M when it is semisimple in the category σ[M ] Theorem 3.2.10 The following conditions are equivalent for a module M : (1) M is semisimple (2) Every module in σ[M ] is generalized ADS (3) Every finitely generated module in σ[M ] is generalized ADS (4) Every 3-generated module in σ[M ] is generalized ADS Corollary 3.2.11 The following conditions are equivalent for a ring R: 16 (1) R is semisimple Artinian (2) Every R-module is generalized ADS (3) Every finitely generated R-module is generalized ADS (4) Every 3-generated R-module is generalized ADS Next is the relationship between generalized ADS modules and quasi-injective modules n Theorem 3.2.14 Let M = Mi be a direct sum modules The following conditions i=1 are equivalent: (1) M is quasi-injective (2) Mi is quasi-injective for all i = 1, , n and M is generalized ADS (3) M k is generalized ADS for any positive integer k ≥ In the last section of this chapter, we introduce a result related to extension of rings Theorem 3.2.15 Let M be a S -R-bimodule If T = S M R is right generalized ADS ring then R is right generalized ADS ring CONCLUSION OF CHAPTER In this chapter, we have obtained some of the following results: For generalized ADS modules, we provided some equivalent conditions to generalized ADS modules (Theorem 3.2.1 and Theorem 3.2.5) We also studied some properties of generalized ADS modules in the category σ[M ] when M is semisimple (Theorem 3.2.10) From this, we characterized semisimple Artinian rings (Corollary 3.2.11) The relationship between generalized ADS modules and quasi-injective modules is mentioned in Theorem 3.2.14 Finally, a result related to extension of rings was given in Theorem 3.2.15 17 Chapter Modules satisfy condition (C) When researching on pseudo-injective modules, H Q Dinh has proved that any pseudo-injective modules satisfy the C2-condition In addition, the author has given examples to show that the C2-modules class is a proper extension of the pseudoinjective modules class Concerning C2-modules, we would like to mention a famous conjecture which has not yet to solve It was named FGF conjecture: FGF rings are QF rings or not? Now, it has been proven that if R is FGF and C2-ring, R is QF ring Thus, the study of the C2-modules and its extension is hoped to solve the above conjecture In this chapter, we study an extension of the C2-module, named modules satisfy condition (C) The regular rings, hereditary rings, Noetherian rings and semiartinian rings were characterized via modules satisfy condition (C) 4.1 Modules satisfy condition (C) The first part of the chapter, we gave some the properties of modules satisfy condition (C) The relationship between modules satisfy condition (C) and C2-modules was also mentioned The application of some properties of modules satisfy condition (C) to characterize semiartinian rings and regular rings was also studied The main results of this section are Proposition 4.1.7, Theorem 4.1.10 and Theorem 4.1.21 We start this section by a simple property of the C2-modules as follows: Lemma 4.1.1 Let M be a right R-module and S = EndR (M ) The following conditions are equivalent: (1) M is a C2-module (2) For any s ∈ S , Im(s) is a direct summand of M if Ker(s) is a direct summand of M In view of Lemma 4.1.1, we introduce the following definition: Definition 4.1.2 Module M over a ring R is called to satisfy condition (C) if, for every s ∈ S and s = 0, there exists n ∈ N such that sn = and if Ker(sn ) is a direct summand of M , then Im(sn ) is a direct summand of M 18 A ring R is called satisfy right condition (C) if RR is a module satisfies condition (C) From the above definition of modules satisfy condition (C), we obtain the following proposition: Proposition 4.1.3 Every C2-module satisfies condition (C) When S = EndR (M ) is local ring, we obtained that the C2-modules coincide the modules satisfy condition (C): Proposition 4.1.7 Let M be a right R-module with local endomorphism ring S = End(M ) Then the following statements are equivalent (1) M is C2 (2) M satisfies condition (C) Next, we consider some equivalent statements as to when a module satisfies condition (C) Theorem 4.1.10 Let M be a right R-module with S = End(M ) Then the following statements are equivalent (1) M satisfies condition (C) (2) For every s ∈ S and s = 0, there exists n ∈ N such that sn = 0, and if Ker(sn ) = Ker(e) with e2 = e ∈ S implies e ∈ Ssn (3) For every = s ∈ S , there exists n ∈ N such that sn = 0, and if Ker(sn ) = Ker(e) with e2 = e ∈ S , implies Se = Ssn (4) For every = s ∈ S , there exists n ∈ N such that sn = 0, and if Ker(sn ) = Ker(e) with e2 = e ∈ S , implies sn e(M ) is a direct summand of M (5) For every = s ∈ S , there exists n ∈ N such that sn = 0, and if Ssn ≤ Se ≤ lS (Ker(sn )) with e2 = e ∈ S , implies Se = Ssn (6) For every = s ∈ S , there exists n ∈ N such that sn = 0, and if Ker(sn ) = Ker(e) with e2 = e ∈ S , implies lS (Ker(sn )) = Ssn Next, we prove that every direct summand of a module that satisfies condition (C) also satisfies condition (C) Theorem 4.1.12 The class of module satisfy condition (C) is closed under taking direct summands We are going to see under what conditions the ring S = End(M ) of all endomorphisms of a module satisfies condition (C) Theorem 4.1.17 Let M be a right R-module with S = End(M ) Then: 19 (1) If S is a ring satisfies condition right (C), then M is a module satisfies condition (C) (2) If M is a module satisfies condition (C) which is self-generator, then S is a ring satisfies condition right (C) According to Lee, Rizvi and Roman, a module M is called Rickart if, ∀ϕ ∈ S = EndR (M ), rM (ϕ) = Ker(ϕ) = e(M ) for some e2 = e ∈ S It is well-known S is regular if and only if Ker(f ) and Im(f ) are direct summands of M for every f ∈ S We call that a right R-module A is called semi M -projective if, for any submodule B of M , every epimorphism π : M → B and every R-homomorphism α : A → B , there exists an R-homomorphism β : A → M such that πα = β Following Wisbauer, M is semi-projective if M is semi M -projective In the following proposition, we will give the relationship between Rickart module M and semi M -projective modules Proposition 4.1.20 Let M be a right R-module and S = EndR (M ) The following conditions are equivalent: (1) M is a Rickart module (2) s(M ) is semi M -projective for every s ∈ EndR (M ) Also according to Lee, Rizvi and Roman, a module M is called dual Rickart or d-Rickart if, ∀ϕ ∈ S = EndR (M ), ϕ(M ) = Im(ϕ) = e(M ) for some e2 = e ∈ S The following characterizes von Neumann regular rings via Rickart modules, dual Rickart modules and modules satisfy condition (C) Theorem 4.1.21 Let M be a right R-module and S = EndR (M ) The following conditions are equivalent: (1) S is a von Neumann regular ring (2) M is a Rickart module and satisfies condition (C) (3) M is a dual Rickart module and s(M ) is semi M -projective for every s ∈ EndR (M ) 4.2 Some characteristics of rings via modules satisfy condition (C) In this section, we characterized rings via modules satisfy condition (C) The characteristics that we obtained include regular rings, hereditary rings, Noetherian rings and semiartinian rings The main results of this section are Theorem 4.2.2, Theorem 4.2.4, Theorem 4.2.5 and Theorem 4.2.6 4.2.1 Regular rings The relationship between regular rings and modules satisfy condition (C) that we obtained is: 20 Theorem 4.2.2 The following statements are equivalent for a ring R (1) R is a regular ring (2) Every principal right ideal of M2 (R) satisfies condition (C) (3) Every principal right ideal of M2 (R), generated by a diagonal matrix, satisfies condition (C) (4) Every finitely generated submodule of a projective right R-module satisfies condition (C) (5) Every 2-generated submodule of a projective right R-module satisfies condition (C) 4.2.2 Hereditary rings One result that was known about hereditary rings is: R is right hereditary if and only if every factor module of an injective right R-module is injective For modules satisfy condition (C), we also obtained the same results as follows: Theorem 4.2.4 Let R be a ring R is right hereditary if and only if every factor module of an injective right R-module satisfies condition (C) 4.2.3 Noetherian rings A module M is called: (countably) Σ-(quasi-)injective if every (countable) direct sum of copies of M is (quasi-)injective; satisfies condition (countably) Σ-(C) if every (countable) direct sum of copies of M satisfies condition (C) A result of Faith and Walker asserts that: A ring R is right noetherian if and only if every injective right R-module is Σinjective, equivalently, as shown by Fuller, if every quasi-injective right R-module is Σ-quasi-injective Theorem 4.2.5 The following conditions are equivalent for a ring R (1) R is right noetherian (2) Every direct sum of injective right R-modules satisfies condition (C) (3) Every countable direct sum of injective right R-modules satisfies condition (C) (4) Every injective right R-module satisfies condition countably Σ-(C) (5) Every quasi-injective right R-module satisfies condition countably Σ-(C) 21 4.2.4 Semiartinian rings M is called socle-N -injective (soc-N -injective) if any R-homomorphism f : Soc(N ) → M extends to N The module M is called strongly soc-injective, if M is soc-N -injective for all right R-modules N One well-known result about semiartinian rings is: R is right semiartinian if and only if every strongly soc-injective right R-module is injective Similar results for modules satisfy condition (C) are given in the following theorem: Theorem 4.2.6 The following conditions are equivalent for a ring R (1) R is right semiartinian (2) Every strongly soc-injective right R-module satisfies condition (C) CONCLUSION OF CHAPTER In this chapter, we have obtained some of the following results: ∗ In the first part of the chapter, we studied a generalized case of C2-module, namely: Modules satisfy condition (C) and gave the relationship between the C2modules and modules satisfy condition (C) in Proposition 4.1.3 and Proposition 4.1.7 The properties of modules satisfy conditions (C) were studied in Theorem 4.1.10 and Theorem 4.1.12 The relationship between modules satisfy condition (C) and its endomorphism ring S = EndR (M ) was presented in Theorem 4.1.17 In addition, we characterized regular rings via Rickart modules, dual Rickart modules and modules satisfy condition (C) were given in Theorem 4.1.21 ∗ In the second part of the chapter, we characterized rings via modules satisfy condition (C) The characteristics that we obtained include: Regular rings, heredi- tary rings, Noetherian rings and semiartinian rings (Theorem 4.2.2, Theorem 4.2.4, Theorem 4.2.5 and Theorem 4.2.6) 22 CONCLUSION AND MOTIONS CONCLUSION In this thesis, we obtained some main results as follows: 1.1 From studying essentially pseudo-injective modules, we gave some characteristics of the essentially pseudo N -injective modules (Theorem 2.2.2, Proposition 2.2.6 and Theorem 2.2.7) In addition, we also obtained some properties of essentially pseudo-injective modules (Theorem 2.2.9 and Theorem 2.2.10) In particular, we proved that every essentially pseudo-injective modules satisfies the C3condition (Theorem 2.2.11) and M is quasi-injective if and only if M is essentially pseudo-injective and CS (Theorem 2.2.12) This result confirms questions raised by H Q Dinh “Is every (nonsingular) pseudo-injective CS module necessarily quasiinjective?” In addition, we obtained some characteristics of semisimple Artinian rings, QF rings, Noetherian rings and cosemisimple rings via essentially pseudo-injective modules (Theorem 2.2.15, Theorem 2.2.16 and Theorem 2.2.17) Finally, the results related to extension of rings are given in Theorem 2.2.18 1.2 From the combination of ADS modules and essentially pseudo-injective modules, we consider generalizations of ADS modules, named generalized ADS modules We provided some conditions equivalent to a generalized ADS module (Theorem 3.2.1 and Theorem 3.2.5) We also studied some properties of generalized ADS modules in the category σ[M ] when M is semisimple (Theorem 3.2.10) From this, we characterized semisimple Artinian rings (Corollary 3.2.11) The relationship between generalized ADS module and quasi-injective modules is mentioned in Theorem 3.2.14 Finally, a result related to extension of rings was given in Theorem 3.2.15 1.3 From a simple property of the C2-modules that we obtained, which is M is a C2-module if and only if for any s ∈ S = EndR (M ), Im(s) is a direct summand of M if Ker(s) is a direct summand of M , we consider modules satisfy condition (C) The relationship between the C2-module and modules satisfy condition (C) was studied in Proposition 4.1.3 and Proposition 4.1.7 The properties of modules satisfy conditions (C) were studied in Theorem 4.1.10 and Theorem 4.1.12 The relationship between modules satisfy condition (C) and its endomorphism ring S = EndR (M ) was presented in Theorem 4.1.17 In addition, we characterized regular rings via Rickart modules, dual Rickart modules and modules satisfy condition (C) were given in Theorem 4.1.21 In the last chapter, we characterized modules satisfy condition (C) The characteristics that we obtained include: Regular rings, hereditary rings, Noetherian rings and semiartinian rings (Theorem 4.2.2, Theorem 4.2.4, Theorem 23 4.2.5 and Theorem 4.2.6) 1.4 From the results of Theorem 2.2.11, the concept of generalized ADS modules and modules satisfy condition (C), we obtain a diagram of the relationship between the modules which have been mentioned in this thesis as follows: Generalized ADS Essentially pseudo-injective ⇒ ⇑ Pseudo-injective Injective ⇒ C3 ⇐ ⇐ ⇑ ⇑ ⇒ C2 ⇑ ⇒ (C) ⇑ ⇑ Quasi-injective ⇒ Continuous ⇒ ADS ⇑ ⇒ Quasi-continuous ⇑ ⇓ Semisimple C1 ⇑ Simple MOTIONS In the future, we will be interested in some the following problems: 2.1 We will study to answer two questions about ADS modules, which are: +) Is every direct summand of a generalized ADS module generalized ADS? n +) Let M = Mi be a direct sum of generalized ADS modules Mi and Mi be i=1 essentially pseudo Mj -injective for all j = i Is M a generalized ADS module? 2.2 We will consider whether the modules satisfy condition (C) are proper extensions of the C2-modules or not 2.3 Because the D2-modules are dual with the C2-modules, we will consider an extension of the D2-modules, named modules satisfy condition (C ∗ ) From this, we hope to obtain some results which are related to the D2-modules as well as to characterize rings 24 LIST OF THE AUTHOR’S ARTICLES RELATED TO THE THESIS Phan The Hai, Weakly C2 rings and modules, Journal of Science, Hue University, (accepted) Phan The Hai and Truong Cong Quynh, Essentially pseudo injective modules, Journal of Science and Education, University of Education-The University of Danang, No.3(02) (2012), 13-18 Hai, P T., On generalizations of ADS modules and rings, Lobachevskii Journal of Mathematics, 37 (3), (2016), 323-332 Hai, P T., On modules and rings satisfy condition(C), Asian-European Journal of Mathematics, Vol 9, No (2016) 1650045 (14 pages) Quynh, T C., Hai, P T and Thuyet, L V., Mutually essentially pseudo injective modules, The Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 39 (2), (2016), 795-803 Quynh, T C., Ko¸san, M T and Hai, P T., A note on regular morphisms, Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp 41, (2013), 249-260 [...]... là một số kết quả về môđun giả nội xạ cốt yếu tương tự như các kết quả của môđun giả nội xạ Mệnh đề 2.2.6 Cho M và N là các môđun Khi đó: (1) M là N -giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu M là K -giả nội xạ cốt yếu với mọi K là môđun con cốt yếu của N (2) Nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và K N , thì M là K -giả nội xạ cốt yếu (3) Nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và K M thì K là N -giả nội xạ cốt yếu (4) Giả. .. với môđun M : 12 (1) Mỗi môđun con của M là giả nội xạ cốt yếu (2) M là giả nội xạ cốt yếu và mỗi môđun con cốt yếu của M là bất biến đầy đủ dưới các đơn cấu của EndR (M ) (3) Mỗi môđun con cốt yếu của M là giả nội xạ cốt yếu Chúng ta đã biết, mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun giả nội xạ cốt yếu là giả nội xạ cốt yếu Tuy nhiên, để tổng trực tiếp của hai môđun giả nội xạ cốt yếu là môđun giả nội xạ. .. tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và CS Hệ quả 2.2.13 Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và CS Kết quả sau đây nói về mối quan hệ giữa một môđun giả nội xạ cốt yếu và vành các tự đồng cấu của nó Định lý 2.2.14 Cho M là một môđun tự sinh Nếu EndR (M ) là giả nội xạ cốt yếu phải thì M là giả nội xạ cốt yếu Cho R là một vành và Ω là lớp các R -môđun nào đó, Ω được gọi là... mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3 (Định lý 2.2.11) và môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và CS (Định lý 2.2.12) Hơn nữa, chúng tôi cũng thu được một số đặc trưng của vành Artin nửa đơn, vành QF, vành Noether và vành đối nửa đơn thông qua môđun giả nội xạ cốt yếu (Định lý 2.2.15, Định lý 2.2.16 và Định lý 2.2.17) Cuối cùng, một kết quả liên quan đến mở rộng. .. Soc(M ) Soc(N ) khi và chỉ khi M N Một môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu với mọi R -môđun phải N Chúng tôi ký hiệu SE là lớp các R -môđun phải giả nội xạ cốt yếu mạnh và PR là lớp các R -môđun phải xạ ảnh Một kết quả đã biết là: R là vành QF khi và chỉ khi hoặc lớp các R -môđun xạ ảnh hoặc lớp các R -môđun nội xạ là đế mịn Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu mạnh, chúng... có, nếu M là N -giả nội xạ thì M là N -giả nội xạ cốt yếu Sau đây là ví dụ về môđun giả nội xạ cốt yếu Ví dụ 2.1.2 Xét các Z -môđun Zp2 , Zp3 và Zn trong đó p là một số nguyên tố và 2 ≤ n ∈ N Khi đó: (1) Zn là môđun giả nội xạ cốt yếu (2) Zp3 là Zp2 -giả nội xạ cốt yếu (3) Zp2 không là Zp3 -giả nội xạ cốt yếu 11 2.2 Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu Một môđun con N của M được gọi là... cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M (2) M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là M -giả nội xạ cốt yếu (3) Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là N -giả nội xạ cốt yếu và N là M -giả nội xạ cốt yếu (4) Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một môđun giả nội xạ cốt yếu Từ Định nghĩa... mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3 (Định lý 2.2.11) và môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốt yếu và CS (Định lý 2.2.12) Kết quả này đã trả lời khẳng định câu hỏi của H Q Dinh nêu ra là: Một môđun không suy biến, giả nội xạ và môđun CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Ngoài ra, chúng tôi cũng thu được một số đặc trưng của vành Artin nửa đơn, vành QF, vành. .. chỉ khi mỗi môđun giả nội xạ cốt yếu là nội xạ (2) Mở rộng cốt yếu của một R -môđun phải nửa đơn là giả nội xạ cốt yếu khi và chỉ khi R là vành đối nửa đơn phải và Noether phải Trong phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu một kết quả liên quan đến mở rộng vành Định lý 2.2.18 Cho M là S -R-song môđun Giả sử T = S M 0 R là giả nội xạ cốt yếu phải Khi đó: (1) R là giả nội xạ cốt yếu phải (2) Nếu... quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ, H Q Dinh đã đặt ra câu hỏi: Một môđun không suy biến, giả nội xạ và CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Trong định lý dưới đây, chúng tôi chứng minh được rằng, một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ cốt yếu và CS Từ đó chúng tôi đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của H Q Dinh Định lý 2.2.12 Môđun M là tựa nội xạ khi và