Một số mở rộng của bất đẳng thức bellman và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN KHẢI HOÀN MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BELLMAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN KHẢI HOÀN MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BELLMAN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn: TS LÊ QUANG THUẬN BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình Bình Định, ngày tháng năm 2020 Tác giả Nguyễn Khải Hoàn LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Quang Thuận người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Phòng sau Đại học Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm ý kiến đóng góp Thầy Xin trân trọng cảm ơn Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bất đẳng thức Hăolder 1.2 Bất đẳng thức Minkowski 1.3 Bất đẳng thức Aczél Bất đẳng thức Bellman 10 2.1 Bất đẳng thức Bellman 10 2.2 Làm mịn bất đẳng thức Bellman 14 Một số mở rộng bất đẳng thức Bellman ứng dụng 16 3.1 Dạng mở rộng thứ 16 3.2 Dạng mở rộng thứ hai 19 3.3 Dạng mở rộng thứ ba 25 3.4 Bất đẳng thức Bellman dạng tích phân 29 3.5 Sự tổng quát dạng hàm bất đẳng thức Bellman 32 Bất đẳng thức Bellman đảo 38 i ii 4.1 Bất đẳng thức Bellman đảo 38 4.2 Làm mịn bất đẳng thức Bellman đảo 40 4.3 Bất đẳng thức Bellman đảo dạng tích phân 41 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Bất đẳng thức vấn đề khó, hấp dẫn thu hút quan tâm đông đảo người giảng dạy tốn từ bậc phổ thơng đến đại học nhà nghiên cứu toán Hiện nay, lý thuyết bất đẳng thức lý thuyết toán học đồ sộ, phát triển rộng sâu Các bất đẳng thức công cụ quan để phát triển nhiều lĩnh vực tốn học khác Ở tốn phổ thơng, chủ đề bất đẳng thức gặp thường xuyên bất đẳng thức hay xuất kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi Olympic để đánh giá tư học sinh Trong bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức Bellman phát biểu với số thực dương , bi (i = 1, 2, , n) p > cho ap1 − n p i=2 > bp1 − p n ap1 − api i=2 n p i=2 bi p n + bp1 − > 0, ta có p n (a1 + b1 )p − bpi i=2 (ai + bi )p (1) i=2 dấu đẳng thức xảy = µbi với µ số Bất đẳng thức nhà Toán học người Mỹ Richard Ernest Bellman (1920 - 1984) phát biểu chứng minh năm 1956 Bất đẳng thức Bellman ứng dụng nhiều lĩnh vực Toán học, đặc biệt lý thuyết hình học phi-Euclidean Tuy nhiên, bất đẳng thức Bellman cịn chưa ứng dụng phổ biến vào tốn Trung học phổ thơng tài liệu tiếng Việt cịn hạn chế Trong thập niên gần đây, bất đẳng thức Bellman tổng quát hóa, làm mịn ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Tìm hiểu kết bổ ích cho cơng việc giảng dạy nghiên cứu Tốn học sơ cấp bậc Trung học phổ thông Với mong muốn tìm hiểu bất đẳng thức Bellman số dạng mở rộng, làm mịn nó, học viên chọn đề tài "Một số mở rộng bất đẳng thức Bellman ứng dụng" để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Hy vọng luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh, sinh viên giáo viên trình học tập giảng dạy Trong năm gần đây, bất đẳng thức Bellman (1) nhà toán học phát triển theo nhiều hướng: • Shanhe Wu ([9]) mở rộng bất đẳng thức Bellman với m số mở rộng số mũ • Trong tài liệu khác, Shanhe Wu Debnath ([8]) mở rộng bất đẳng thức Bellman dựa kết bất đẳng thức Chebyshev bất đẳng thức Aczél • Ch-J Zhao and W-S Cheung ([1]) mở rộng bất đẳng thức Bellman cách bổ sung thêm số Xi , Yi • Shanhe Wu ([9]) mở rộng bất đẳng thức Bellman cho dạng tích phân • X.Zhou ([10]) tổng quát bất đẳng thức Bellman dạng hàm • Ti-an ([4]) mở rộng bất đẳng thức Bellman trường hợp < p < Bằng phương pháp sưu tầm, đọc tài liệu bất đẳng thức Bellman bất đẳng thức liên quan, luận văn này, chúng tơi trình bày cách hệ thống sở lý thuyết bất đẳng thức Bellman trình bày số mở rộng bất đẳng thức Bellman Nội dung hình thành chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [3],[4], [7], [8], [9], [10] Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành bốn chương với nội dung sau: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị v bt ng thc, gm bt ng thc Hăolder, Minkowski, Aczél bất đẳng thức liên quan Chương trình bày bất đẳng thức Bellman, làm mịn bất đẳng thức Bellman Chương trình bày số mở rộng bất đẳng thức Bellman Chương trình bày bất đẳng thức Bellman đảo dạng làm mịn, mở rộng Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài Nguyễn Khải Hoàn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn, chúng tơi xin trình bày mở đầu số bt ng thc ni ting l bt ng thc Hăolder, bất đẳng thức Minkowski bất đẳng thức Aczél Đây kiến thức tảng để chứng minh, làm rõ bất đẳng thức Bellman mở rộng bất đẳng thức Bellman Nội dung chương chủ yếu hình thành từ tài liệu [2],[5], [6], [8] 1.1 Bất đẳng thc Hă older nh lý 1.1 ([2]) Cho 0, bi 0, i = 1, 2, , n p + q = với p > Khi p n q n api n bqi i=1 Đẳng thức xảy i=1 αapi = bi (1.1) i=1 βbqi với i = 1, 2, , n, α β số thực thỏa mãn α2 + β > Chứng minh Nếu n p i=1 = thức Giả sử n p i=1 > n q i=1 bi > n q i=1 bi = (1.1) xảy đẳng 32 Chứng minh hoàn thành 3.5 Sự tổng quát dạng hàm bất đẳng thức Bellman Lấy cảm hứng từ tổng quát dạng hàm bất đẳng thức Cauchy- Schwarz bất đẳng thức Holder, X.Zhou ([10]) tổng quát dạng hàm bất đẳng thức Bellman Để xây dựng bất đẳng thức Bellman dạng hàm, cần bổ đề sau Bổ đề 3.18 Cho xi (i = 1, 2, , n) số thực dương thỏa mãn x1 − x2 − · · · − xn > p Khi n xp1 − x1 − i=2 Chứng minh Từ giả thiết: p − p n x1 − xi i=2 n xi = 0, x1 > x2 + · · · + xn ta có x1 − i=2 (3.36) i=2 xi x1 − i=2 n xi i=2 n xi x1p−1 + x1 − i=2 p−1 n n xpi + p n xpi n xi xp−1 i + i=2 xi x1p−1 i=2 = xp1 Chứng minh hồn thành Bổ đề 3.18 tổng q hóa mệnh đề sau Mệnh đề 3.19 ([10]) Cho n số nguyên dương xi (i = 1, 2, , n) số dương cho x1 − n i=2 xi > Nếu f : R+ → R hàm số thỏa 33 mãn f (x)/x tăng R+ n n x1 − f f (x1 ) − xi i=2 f (xi ) (3.37) i=2 Bất đẳng thức đổi chiều f (x)/x giảm R+ Bất đẳng thức nghiêm ngặt f (x)/x tăng nghiêm ngặt giảm nghiêm ngặt R+ Sau định lý bất đẳng thức Bellman tổng quát dạng hàm Định lý 3.20 ([10]) Cho m, n số nguyên dương, p 1, xij (i = n i=2 xij 1, 2, , n, j = 1, 2, , m) số dương cho x1j − >0 với j = 1, 2, , m Nếu fj : R+ → R+ hàm số thỏa fj (x)/x hàm tăng R+ x1j − fj (fj (x1j ))p − xij (fj (xij ))p i=2 j=1 i=2 j=1 p n m n m p m fj (x1j ) − j=1 p p m n fj (xij ) j=1 i=2 (3.38) Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 3.19 cho hàm số fj (j = 1, 2, , m) ta có m n fj m xij − j=1 n fj (x1j ) − xij i=2 j=1 fj (xij ) (3.39) i=2 Áp dụng Bổ đề 3.18 ta có m n fj (x1j ) − j=1 (fj (x1j ))p − fj (xij ) i=2 j=1 p n m (fj (xij ))p i=2 (3.40) 34 Từ (3.39) (3.40) suy m n m x1j − fj (fj (x1j ))p − xij j=1 p n i=2 j=1 (fj (xij ))p i=2 Bất đẳng thức thứ (3.38) chứng minh Dễ thấy bất đẳng thức hai (3.38) p = Tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức thứ hai p > Từ Mệnh đề 3.19 ta có n n fj (x1j ) − x1j − fj (xij ) > fj i=2 xij > 0, i=2 với j = 1, 2, , m Áp dụng bất đẳng thức trên, bất đẳng thức trung bình lũy thừa ( Bổ đề 3.5) bất đẳng thức Minkowski (1.14) ta p  p m n m p m n p p fj (x1j ) (fj (xij ))  j=1 fj (xij )  i=2 i=2 j=1 j=1 Tiếp tục trình, áp dụng bất đẳng thức Aczél ta p n (fl (x1l ))p − p m (fl (xil ))p n − fj (x1j ) j=1 i=2 fl (x1l ) fj (xij ) i=2 p−1 m fj (x1j ) n − j=1 p 1− p1 m j=1 p−1 m fl (xil ) i=2 fj (xij ) , j=1 với l = 1, 2, , m Điều dẫn đến   m n p p p  (fl (x1l ) − (fl (xil )) i=2 p l=1 m × n j=1 fj (xij ) i=2 m fl (x1l ) = fj (x1j ) j=1 j=1 p−1 n m − fj (xij ) i=2 j=1 l=1 p p−1 m fl (xil ) i=2 n m − fj (x1j ) j=1 p l=1 m p 1− p1 m − fj (x1j ) m  fj (xij ) j=1 35 Chứng minh hoàn thành Đặc biệt, với fj (x) = x, ∀j = 1, 2, , m ta có hệ sau: Hệ 3.21 ([10]) Cho m, n số nguyên dương, p 1, xij (i = n i=2 xij 1, 2, , n, j = 1, 2, , m) số dương cho x1j − >0 với j = 1, 2, , m Khi ta có m n m x1j − xp1j − xij j=1 p n i=2 xpij j=1 i=2 p m n − x1j j=1 p m xij i=2 p j=1 Tiếp theo, sử dụng tách tổng n l x1j − n xij = x1j − i=2 xij − i=2 xij , (3.41) i=l+1 ta làm mịn bất đẳng thức (3.38) sau Định lý 3.22 ([10]) Cho m, n, l số nguyên dương < l < n, p > 1, xij (i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m) số dương cho x1j − n i=2 xij > với j = 1, 2, , m Nếu fj : R+ → R+ hàm số thỏa mãn fj (x)/x hàm tăng R+ m n fj x1j − j=1 xij i=2 m p l fj x1j − j=1 xij i=2 m j=1 (fj (xij ))p − i=l+1 p n (fj (x1j ))p − (fj (xij ))p i=2 p n 36  m p l (fj (x1j ))p −  j=1 (fj (xij ))p p n  − i=2 p m fj (x1j ) m fj (xij ) i=2  p1  j=1 p p − j=1 fj (xij ) i=l+1 n p m j=1 (3.42) Chứng minh Sử dụng (3.41) bất đẳng thức thứ (3.38) ta có m m n fj x1j − xij = n x1j − fj i=2 j=1 l j=1 − xij i=2 i=l+1 p l m fj x1j − xij (fj (xij ))p − xij i=2 j=1 p n i=l+1 Sử dụng lại bất đẳng thức thứ (3.38), l m (fj (x1j ))p − (fj (xij ))p − i=2 j=1 p i=l+1 (fj (xij ))p (fj (x1j )) − = (fj (xij ))p p n m p n i=2 j=1 Bất đẳng thức thứ thứ hai (3.42) chứng minh xong Tiếp tục q trình, ta có m p n (fj (x1j ))p − (fj (xij ))p j=1 i=2 m l (fj (x1j ))p − = j=1  (fj (xij ))p − i=2 m j=1 (fj (xij ))p i=l+1 p l (fj (x1j ))p −  p n (fj (xij ))p i=2 p n p m  − fj (xij ) i=l+1  p1  j=1 theo bất đẳng thức thứ hai (3.38) Sử dụng bất đẳng thức thứ hai 37 (3.38) lần p m l − fj (x1j ) j=1 = i=2 fj (x1j ) fj (xij ) j=1 i=l+1 fj (xij ) i=2 p p p m − p m − j=1 n j=1 n fj (xij ) p m p m j=1 Chứng minh hoàn thành Chọn fj (x) = x Định lí 3.22 ta có hệ sau: Hệ 3.23 ([10]) Cho m, n, l số nguyên dương < l < n, p > 1, xij (i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m) số dương cho x1j − n i=2 xij m > với j = 1, 2, , m Khi ta có n x1j − j=1 m x1j − xij i=2 p l j=1 i=2 i=l+1 p n m xp1j xpij − xij p n xpij − i=2 j=1  m xp1j −  xpij p p m x1j n xij p m xij p m i=l+1 − i=2 n  − i=2 j=1 j=1 p l  p1  j=1 p j=1 (3.43) Bất đẳng thức thứ ba bất đẳng thức thứ tư chứng minh Chương Chương Bất đẳng thức Bellman đảo Trong chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Bellman với trường hợp < p < số dạng mở rộng, làm mịn Nội dung chủ yếu hình thành từ tài liệu [4] 4.1 Bất đẳng thức Bellman đảo Trong phần này, phát biểu chứng minh bất đẳng thức Bellman đảo dạng tổng quát với m số n p i=2 aij Định lý 4.1 ([4]) Cho aij > 0, ap1j − 1, 2, , m < p < Khi  p n m ap1j  j=1 − p m p apij j=1 p m n − a1j  i=2 > 0, i = 1, 2, , n, j = aij i=2 (4.1) j=1 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Minkowski < p < ta n p m p m apij aij i=2 p n j=1 j=1 i=2 hay n p m aij i=2  m apij j=1 38 p n  j=1 (4.2) i=2 p  (4.3) 39 Như vậy, ta có  m p n ap1j −  j=1  apij p n  + aij i=2 m i=2 p n ap1j −  j=1 apij p m p  j=1 m p n apij  + j=1 i=2 (4.4) p  i=2 Tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức Minkowski tổng quát với 1/p  p  p 1 m n ap1j  − j=1 m p apij n  + i=2 j=1 p m p apij 1, ta có p ap1j  i=2 j=1 (4.5) Kết hợp (4.4) (4.5), ta p  m n ap1j −  apij j=1 i=2 m n n p p m  + aij i=2 p m a1j j=1 j=1 hay  ap1j  p apij − p a1j  i=2 j=1 p m − aij i=2 j=1 p m n j=1 Chứng minh hoàn thành Với m = ta kết sau Hệ 4.2 ([4]) Cho số thực dương , bi (i = 1, 2, , n) < p < cho ap1 − p n ap1 − api i=2 n p i=2 > bp1 − bp1 − bpi i=2 > Ta có p n + n p i=2 bi p n (a1 + b1 )p − (ai + bi )p i=2 (4.6) Đẳng thức xảy = µbi (i = 1, 2, , n), µ số 40 4.2 Làm mịn bất đẳng thức Bellman đảo n p i=2 aij Định lý 4.3 ([4]) Cho aij > 0, ap1j − 1, 2, , m, < p < Khi  p  m n ap1j −  j=1 m p apij  p k ap1j −  i=2 > 0, i = 1, 2, , n, j = j=1 n apij p  i=2 p m − (4.7) aij j=1 i=k+1 m p n p m − a1j j=1 aij i=2 j=1 Chứng minh Xét vế trái (4.7) ta có p n m ap1j − apij ap1j − = i=2 j=1 k m apij − j=1 i=2 m n Apj − = j=1 p n apij i=k+1 (4.8) p apij , i=k+1 p k Aj = ap1j − apij , j = 1, 2, , m (4.9) i=2 Từ giả thiết ta suy n Apj apij (4.10) i=k+1 Áp dụng bất đẳng thức (4.1) ta m Apj j=1 p n m apij − i=k+1 n m Aj − j=1 aij i=k+1 j=1 (4.11) 41 Mặt khác, sử dụng tiếp bất đẳng thức (4.1) ta m m ap1j Aj = j=1 p k − j=1 m k apij m a1j − i=2 j=1 aij (4.12) i=2 j=1 Kết hợp (4.8), (4.11) (4.12) ta có điều phải chứng minh 4.3 Bất đẳng thức Bellman đảo dạng tích phân Trong phần này, ta chứng minh kết hợp bất đẳng Bellman đảo dạng tích phân làm mịn Định lý 4.4 ([4]) Cho Bj > (j = 1, 2, , m), < p < fj (x) (j = 1, 2, , m) hàm số dương, khả tích [a, b] cho Bjp b − fjp (x)dx > Khi đó, với c ∈ [a, b), ta có a m b Bjp − p p p p fjp (x)dx a j=1 m Bjp c − fjp (x)dx b − a j=1 m Bj j=1 fj (x) c p b p m − fj (x) a p m dx (4.13) j=1 dx j=1 Chứng minh Ta cần chứng minh bất đẳng thức thứ (4.13) Bất đẳng thức thứ hai chứng minh tương tự Với số nguyên dương n l, ta chọn phân hoạch [a, c] [c, b] tương ứng sau c−a c−a c−a < ··· < a + k < ··· < a + (n − 1) < c, n n n b−c b−c b−c c 0, với j = (1, 2, m) Do đó, tồn số nguyên dương N cho n Bjp fjp − k=1 k(c − a) a+ n c−a + n l fjp c + i=1 i(b − c) l b−c > 0, l với n, l > N j = 1, 2, , m Áp dụng Định lý 4.1, với n, l > N , ta có m n Bjp fjp a + − j=1 k=1 i(b − c) c+ l fjp i=1 m n Bjp − j=1 l fjp a + k=1 m − fj i=1 c−a n 1/p l + k(c − a) n j=1 b−c l k(c − a) n i(b − c) c+ l c−a n (4.14) 1/p b−c l 1/p Vì fj (x) (j = 1, 2, , m) khả tích Riemann [a, b] nên m j=1 fj (x) fjp (x) khả tích Riemann [a, b] Cho n, l → ∞ hai vế (4.14) ta (4.13), chứng minh hoàn thành 43 Hệ 4.5 ([4]) Cho < p < 1, a1 , b1 > 0, f, g dương, khả tích b p a f (x)dx [a, b] cho ap1 − > bq1 − b q a g (x)dx > Khi đó, với t ∈ [a, b), ta có p b ap1 − f p (x)dx p b + bp1 − g p (x)dx a a p t ap1 − f p (x)dx a + bp1 − g p (x)dx a (f (x) + g(x))p dx t b p (f (x) + g(x))p dx (a1 + b1 ) − a p t b − p p Kết luận Nội dung chủ yếu luận văn nhằm nghiên cứu bất đẳng thức Bellman Luận văn đạt số kết sau Giới thiệu bất đẳng thức Bellman làm rõ bất đẳng thức Bellman Trình bày số dạng mở rộng bất đẳng thức Bellman ứng dụng chúng Bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận phản hồi quý Thầy Cô bạn để luận văn hoàn thiện 44 Tài liệu tham khảo [1] Ch-J Zhao and W-S Cheung, Generalizations of Popoviciu’s and Bellman’s Inequalities, Bulletin Brazilian Mathematical Society, 11 pages, 2019 [2] D.S Mitrinovíc, P.M Vasíc, Analytic Inequalities, Springer-Verlag, New York, 1970 [3] Farid, G.Pecaric, J.Ur Rehman, On refinements of Aczel’s, Popoviciu, Bellman’s inequalities and related results, J Inequal Appl 2010, 579567 (2010) [4] J-F Tian and S-Y Wang, Refinements of Generalized Aczél’s inequality and Bellman’s inequality and their applications, Journal of Applied Mathematics, 2013, pages, 2013 [5] P M Vasic and J E Pecaric, "On the Holder and some related inequalities", Mathematica, vol 25, no 1, pp 95–103, 1982 [6] P M Vasic and J E Pecaric, “On the Jensen inequality for monotone functions”, Analele Universitatii din Timis,oara, vol.17, no 1, pp 95–104, 1979 [7] R.Bellman, On an inequality concerning an indefinite form, Amer, math, monthly 63, 108-109 (1956) 45 46 [8] S Wu, L Debnath, Generalizations of Aczel’s inequality and Popoviciu’s inequality, Indian J Pure Appl Math 36 (2) (2005) 49–62 [9] Wu, S: A unified generalization of Aczél, Popoviciu and Bellman’s inequalities Taiwanese J Math 14(4):1635–1646 (2010) [10] X Zhou, Some generalizations of Aczél, Bellman’s inequalities and related power sums, Journal of Inequalities and Applications, 2012:130, 2012 ... nhằm nghiên cứu bất đẳng thức Bellman Luận văn đạt số kết sau Giới thiệu bất đẳng thức Bellman làm rõ bất đẳng thức Bellman Trình bày số dạng mở rộng bất đẳng thức Bellman ứng dụng chúng Bên cạnh... Chương trình bày bất đẳng thức Bellman, làm mịn bất đẳng thức Bellman Chương trình bày số mở rộng bất đẳng thức Bellman Chương trình bày bất đẳng thức Bellman đảo dạng làm mịn, mở rộng Bình Định,... phải chứng minh (ai + bi )p i=k+1 (2.10) Chương Một số mở rộng bất đẳng thức Bellman ứng dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày số dạng mở rộng bất đẳng thức Bellman với dạng làm mịn mở rộng