Bat dang thuc vecto va ung dung.doc

Các phép toán véctơ biểu thị qua tọa độ.. ứng dụng của bất đẳng thức véctơ.. ứng dụng để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình.. 1.1.Phơng pháp: Ta biến đổi phơng trình đã ch

Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2

I Cơ sở lý thuyết.

1 Độ dài véctơ.

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, véctơ x( ; )x y1 1 có độ dài là

2 2

1 1

| |x  x  y

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, véctơ x( ; ; )x y z1 1 1 có độ dài

2 2 2

1 1 1

| |x  x  y z

2 Các phép toán véctơ biểu thị qua tọa độ.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hai véctơ u( ; );x y v1 1 ( ; )x y2 2

Khi đó ta có

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

1 2 1 2

( ; ) ( ) | | | | cos( , )

u v x x y y



 

 





 

Chú ý: Trong không gian các phép toán giữa các véctơ tơng tự nh trong mặt phẳng.

3 Bất đẳng thức véctơ.

Cho hai véctơ a b , (Trong mặt phẳng hoặc không gian) Khi đó ta có

|a b | | | | | (1)a  b

Dấu “=” xảy ra  a  b  k *:a kb  hoặc một trong hai véctơ bằng 0

| n i| n | | (i )

  

|a b  | | | | | (2)a  b



Dấu “=” xảy ra  a  b  k * :a kb  hoặc một trong hai véctơ bằng 0

| | | |u v u v u | |.| | (3)v

     Dấu “=” thứ nhất xảy ra  a  b  k * :a kb  hoặc một trong hai véctơ bằng 0 Dấu “=” thứ hai xảy ra  a  b  k *:a kb  hoặc một trong hai véctơ bằng 0

II ứng dụng của bất đẳng thức véctơ.

1 ứng dụng để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình.

1.1.Phơng pháp: Ta biến đổi phơng trình đã cho sau đó xét các véctơ có tọa độ thích

hợp rồi áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trờng hợp dấu bằng xảy ra để đa

ra nghiệm của phơng trình đã cho

1.2 Ví dụ.

Ví dụ 1: Giải phơng trình sau

2

x x   x  x  

Giải

Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2

ĐK:   1 x 3

Khi đó ta có (1.1) x x 1 3 x 2 x2 1

xét hai véctơ u( ;1);x v( x1; 3 x)

Ta có u v x x    1 3 x; | | | | 2u v x2 1

Mà theo BĐT (3 ) ta có u v   | | | |u v x x 1 3 x 2 x2 1

Vì cả ha véctơ đều khác véctơ 0 nên dấu “=” xảy ra

2

0

0 1

0

x

x

x

x











 







 

Cả hai nghiệm trên đều thoả mãn phơng trình đã cho Vậy phơng trình (1.1) có hai nghiệm phân biệt x 1; 1 2.

Ví dụ 2: Giải phơng trình sau

x  x  x  x 

Giải

Phơng trình đã cho xác định với mọi x

Ta có (1.2) (x 1)2 4 (x1)2 9  29

xét hai véctơ u(x 1;2);v ( x 1;3)

Khi đó u v   ( 2;5);| |u  x2  2x5;| |v  x2 2x10;|u v  | 29

Mà theo BĐT (1 ) ta có |u v  | | | | |u  v x2 2x 5 x22x10  29

Vì hai véctơ ta xét đều khác véctơ 0 nên dấu “=” xảy ra

x

x



 

 

Ta thấy 1

5

x  thoả mãn phơng trình đã cho Vậy phơng trình (1.2) có một nghiệm duy

nhât 1

5

x 

Ví dụ 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

x   x m

Giải

ĐK: 2 x 4

Xét hai véctơ u( x 2; 4 x v);(1;1)

Ta có | |u  2;| |v 2; u v  x 2 4 x

Mà theo BĐT (3) ta có u v u  | | | | v x 2 4 x 2 từ đây và phơng trình đã cho ta suy ra phơng trình (1.3) có nghiệm  0 x 2

Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2

Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình sau 2 2 2

3 3 3

3

3 (1.4) 3

x y z









Giải

Ta xét hai véctơ u( ; ; );x y z v(1;1;1)

Khi đó ta có | |u  x2 y2 z2  3;| |v  3; u v x y z    3

u v u  v u  v     x y z   Kết hợp với hệ đã cho ta có nghiệm duy nhất của hệ (1.4) là x =y =z=1

Ví dụ 5: Giải bất phơng trình sau

2

x  x  x  x

Giải

ĐK: x 1

Xét hai véctơ u(x 3; x 1);v(1;1)

Khi đó ta có | |u  (x 3)2 x 1;| |v 2; u v  x 1 x 3

Từ trên và bất phơng trình (1.5) ta thấy u v u  | | | | (*) v

Mà theo BĐT (3) ta có u v u  | | | | (2*) v

Từ (*) và (2*) suy ra

2 7 10 0

3

x





 

(Vì hai véctơ ta xét đều khác véctơ 0)

Vậy x =5 là nghiệm duy nhất của bất phơng trình (1.5)

1.3 Bài tập tự luyện.

Bài 1 Giải phơng trình sau

2 2 2 4 2 12 25 9 2 12 29

x  x  x  x  x  x

Bài 2 Giải phơng trình sau

cosx 2 cos x cosx 2 cos x 3

Bài 3 Giải phơng trình sau

Bài 4 Giải phơng trình sau

Bài 5 Giải bất phơng trình sau

x  x   x 

Bài 6 Giải bất phơng trình sau

5 4 x  5 4 x 4

Bài 7 Giải hệ phơng trình sau

Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2

2

2

2 1

x y

x y











Bài 8 Chứng minh rằng hệ phơng trình sau vô nghiệm

4 4 4

1







Bài 9 Giải hệ phơng trình sau

2 2 2

2009 2009 2009

3 3

3

x y z









Bài 10 Giải hệ phơng trình sau

2009

2008 2007

2008











2 ứng dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức.

2.1 Phơng pháp: Ta biến đổi BĐT đã cho sau đó xét các véctơ có tọa độ thích hợp rồi

áp dụng một trong ba BĐT véctơ trên và xét trờng hợp dấu bằng xảy ra để chứng minh BĐT đã cho

2.2 Ví dụ.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng x y,   ta có

4cos xcos ysin (x y )  4sin xsin ysin (x y ) 2 (2.1)

Giải

Xét hai véctơ u(2cos cos ;sin(x y x y u ));(2sin sin ;sin(x y x y ))

Khi đó ta có | |u  4cos2 xcos2 ysin (2 x y v );| | 4sin2xsin2 ysin (2 x y )

(2cos( );2sin( ));| | 2

u v   x y x y u v  

Mà theo BĐT (1) ta có

| | || |u   u v | 4cos xcos ysin (x y )  4sin xsin ysin (x y ) 2

Vậy BĐT (2.1) đợc chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng x y z, ,   ta có

x xy y  x xz z  y  yz z

Giải

Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2

ux y y v   x z z

Khi đó ta có | | u  x2 xy y 2;| | v  x2 xz z 2

u v  y z y  z u v  y  yz z

Mà theo BĐT (1) ta có

| | | | |u  v u v | x xy y  x xz z  y  yz z

Vậy BĐT (2.2) đợc chứng minh

Ví dụ 3: Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc

Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

Giải

Ta có

Khi đó ta có

| |u a b ;| |v b c ;| |w c a

2

1

ab bc ca abc

a b c

Mà theo BĐT (1) ta có

2 2 2 2 2 2 2 2 2

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

      

Vì ba véctơ ta xét đều khác véctơ 0 nên dấu “=” xảy ra



    mà ab + bc + ca =abc suy ra a = b = c =3.

Vậy BĐT (2.3) đợc chứng minh và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =3

2.3 Bài tập tự luyện.

Bài 1 Chứng minh rằng x y z, ,   ta có *

x xy y  x xz z  y yz z  x y z 

Bài 2 Chứng minh rằng a b c d, , ,   ta có

(a c ) (b d )  a b  c d

Bài 3 Chứng minh rằng x y,   ta có

Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2



Bài 4 Chứng minh rằng a b c x y z, , , , ,   ta có

a) |ax by cz  | a2 b2 c2 x2 y2 z2

b) a2 b2 c2  x2  y2 z2  (a x )2(b y )2 (c z )2

c) a2  a 1 a2  3a 1 2

Bài 5 Chứng minh rằng x y z, , 0, x y z   ta có1

82

(Đề thi ĐH năm 2003)

Bài 6 Cho ba số thực x y z, , đôi một khác nhau Chứng minh rằng

Bài 7 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có

a) a2 b2  2a 2b37 a2 b26a 6b18 5

b) a2 4 a2  2a b 2  1 b2  6b10 5

Bài 8 Chứng minh rằng a b c, ,   ta có

Bài 9 Chứng minh rằng a b c, , ,abc1 ta có

3 2

a b a c b c b a c a c b     

(Đề thi ĐH NNI_2000)

Bài 10 Cho x y u v, , , :u2 v2 x2 y2 1 Chứng minh rằng

| (u x y )v x y(  ) | 2

Bài 11 Chứng minh rằng x y,   ta có

a) cos4xcos4 y sin2xsin2 y 2

b) | sinx 2 sin 2x sinx 2 sin 2 x| 3

Bài 12 Chứng minh rằng a b c,  0 ta có

c a c  c b c  ab

Bài 13 Chứng minh rằng a b c, ,   ta có

a) a2 b2 c2 abc a b c(   )

b) a2 b2 c2 ab bc ca 

Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2

Bài 14 Chứng minh rằng

3

16

x xy y

x y z

y yz z





 ta có xy yz zx  8

Bài 15 Cho 2 n ; , , , , , , ,a a1 2 a b b n 1 2 b n Chứng minh rằng

2 2

Bài 16 * Chứng minh rằng  x 0;1 ta có

x   x  x   x  

Bài 17 * Chứng minh rằng a b c, ,   ta có

Bài 18 * Cho n số thực a a1, , ,2 a Chứng minh rằng n

(1 a)  1 (a  a )  1  (a n  a n)  1 (n 2 a n)  1 (n1) 2

3 ứng dụng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3.1 Phơng pháp: Phơng pháp chủ yếu là ta xét các véctơ có tọa độ thích hởpoif sử

dụng một trong ba BĐT véctơ trên để tìm giá trị lớn nhất, giái trị nhỏ nhất của hàm số

đã cho

3.2 Ví dụ.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đây

f x  x  x  x  x

Giải

TXĐ: 

Ta có

2

( )

f x   x     x   

u  x v x

Khi đó ta có | |u  x2  x1;| |v x2  x 1;u v  (1; 3);|u v  | 2

Mà theo BĐT (1) ta có | | | | |u  v u v | f x( ) 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho là 2 đạt đợc tại x = 0

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải

Xét hai véctơ u (1 cos ;2);x v(2 cos ;2) x

Khi đó ta có| |u  cos2x 2cosx5;| |v cos2x4cosx8;u v  (3;4);|u v  | 5

Mà theo BĐT (1) ta có | | | | |u  v u v | f x( ) 5

Dấu “=” xảy khi và chỉ khi 2

3

x  k  k  hoặc 2

2 (l ) 3

x  l   

Giáp văn tớc Trờng THPT lục ngạn số 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho là 5 đạt đợc tại 2

3

x  k  k 

2 (l ) 3

x  l   

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất trên khoảng 2000 ;2002  của hàm số 

Giải

Xét hai véctơ u(3 cos ;1); x v(cosx1;1)

Khi đó ta có | |u  cos2x 6cosx10;| |v cos2x2cosx2;|u v  | 20

Mà theo BĐT (1) ta có | | | | |u  v u v | f x( ) 20

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x k 2 ( k )

Xét trên đoạn 2000 ;2002  ta có k = 1000; 1001 tơng ứng với  x2000 ;2002  Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) đã cho trên đoạn 2000 ;2002  là  20 đạt đợc tại x2000 ;2002 

3.3.Bài tập tự luyện.

Bài 1 Cho hàm số f x( )Asinx B cos (x A2 B2 0)

a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

b) Dùng câu a chứng minh rằng

2

,

x a x

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Af x y  x  y  x y  x  y  x y

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

y  x  px p  x  qx q p q

Bài 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

2 2 2 ( )2

y  a x  a  c x