Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng trong hình học

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 2 Nếu A=0hoặcB=0hoặcC=0thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đĩ cả hai vế của bất đẳng thức đều bằng 0.. • Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiac

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 1 

1

n n

x x

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 2 

Nếu A=0hoặcB=0hoặcC=0thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đĩ cả hai vế của bất đẳng thức đều bằng 0

• Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng cho rộng cho mdãy số thực khơng âm:

Cho mdãy số thực khơng âm:

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 3 

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 4 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 5 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 6 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 7 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 8 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 9 

ab bc ca A

1

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 10 

Bài 14 : Cho các số thực dương x y z t; ; ; thoả mãn xyzt= Chứng minh: 1

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 11 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 12 

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c= =

Bài 18 : Cho ; ;x y z∈ +thoả xy yz zt tx+ + + = Chứng minh: 1

www.MATHVN.com

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 13 

13

4

4

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 14 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 15 

k

n k

k i

n x

k

n k

k i

n x

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 16 

Bài 2: Choa b c d; ; ; > Chứng minh:0 1 1 4 16 64

Bài 4: Choa2 +b2 +c2 = Chứng minh:1 a b c ab ac bc+ + + + + ≤ +1 3

Bài 5: Choa b c là các số dương.Chứng minh:; ;

+ + − − + Dấu “=” xảy ra khi nào?

Bài 16: Choa a1; ; ;2 a là các số thực thoả mãn n 2 2 2

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 17 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 18 

dấu “=” xảy ra khi

Dấu “=” xảy ra khi ΔABC đều

Bài 3 : Cho a, b, c, là số đo 3 cạnh Δ chứng minh rằng

a c b

a T

−+

=

2

−+

+

−

c b

a c b

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho 6 số:

a c b a

c b

a c

b a

c

b

−+

−+

22

2

Sau đĩ dùng biến đổi tương đương chứng minh:

(a + b+ c)2 ≥ 4ab +4bc +4ca –a2 –b2 - c2

Từ đĩ suy ra đpcm

www.MATHVN.com

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 19 

Bài 4 : Cho ΔABC và đường trịn nội tiếp Δ , các tiếp tuyến của đường trịn song song với 3 cạnh của Δ nhỏ

và cĩ diện tích S1; S2; S3 Gọi S là diện tích ΔABC Chứng minh:

3

3 2 1

S S S

r ha

r pr aha= ⇒ 2 =

S S S

Áp dụng BĐT Bun ta cĩ:

3 2

S +S +S ≥ (đpcm) Dấu “=” xảy ra khiΔABC đều

Bài 5 : Cho ΔABC và 1 điểm Q nào đĩ ở trong Δ Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt

BC ở N Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F; cắt BC ở E Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở P, cắt AB ở R Kí hiệu S1= dt(QMP); S2 = dt(QEN); S3 = dt(QFR) và S =

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 20 

Dấu “=” xảy ra khiS1=S2 = ⇔ Q là trọng tâmS3 ΔABC

Bài 6 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh:

Từ (1) (2) (3) (4)⇒ đpcm Dấu “=” xảy ra khi a b c= =

Bài 7 : Cho ∆ABC Chứng minh : a 2 b(a – b) +b 2 c(b – a) + c 2 a(c – a) ≥ 0

( Trích đề thi vơ địch tốn quốc tế 1983 )

Hướng dẫn giải

Gọi A’; B’; C’ là các tiếp điểm:

www.MATHVN.com

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 21 

Bài 8 : Với a; b; c là độ dài 3 cạnh của ∆ CMR : 4a 9b 16 26

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 22 

=> 2P ≥ 81 - 29

=> 2P ≥ 52 => P ≥ 26

Chọn a = 7; b = 6; c = 5 thì dấu đẳng thức xảy ra

Bài 9 : Cho elip (E):

Vậy với M(2 7;0; (0; 21)N thì MN đạt GTNN và GTNN của Mn là 7

C2: Pt tiếp tuyến tại điểm (x0; y0) thuộc (E) là 0 0

90;

N y

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 23 

(Vì theo cơng thức Hêrơng: s= p p a p b p c( − )( − )( − ) = xyz x y z( + + )

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 24 

q r+r p+ p q≥

Dấu “=” xảy ra khi p = q = r > 0

+ Nếu nhân 2 vế của (3) cho p + q + r > 0 ta được

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

• Bổ đề 2: Nếu O; G theo thứ tự là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm của tứ diện ABCD thì

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 25 

Từ (1)(2) suy ra điều phải chứng minh

Trở lại việc giải bài tốn trên

Bài 2 : Cho ΔABCnội tiếp đường trịn bán kính R;BC=a CA b AB c; = ; = Gọi x;y;z lần lượt là khoảng cách từ

M thuộc miền trong của ΔABCđến các cạnh BC;CA;AB.Chứng minh:

Bài 4 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác và

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 26 

Bài 5 : Điểm M nằm trong ΔABC.Hạ MA , MB , MC lần lượt vuơng gĩc với BC;CA;AB.Xác định vị trí của M

n

n n

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 27 

Hay 1 2

n n

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 28 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 29 

Vậy GTNN của biểu thức P là 1

Bài 6 : Cho a b c là các số thực dương sao cho , , a2+b2+c2 = 1

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 30 

Thay a2+b2+c2 = vào BĐT trên ta nhận được BĐT cần chứng minh 1

Bài 7 : Cho , , ,a b c d là các số thực dương Chứng minh:

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 31 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 32 

Bài 9 : Cho a b c là các số thực dương Chứng minh : , , 25a 16b c 8

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 33 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 34 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 35 

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 36 

Khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể giả sử a b c≥ ≥ >0 Theo giả thiết ta cĩ:

ii) Nếu r<0 thì z r ≥y r nên x r +z r >z r ≥y r

Do đĩ trong cả hai trường hợp ta đều cĩ: f x( )+ ( )z ≥ f y( )

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 37 

Bài 4: Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện , , a b c+ + =1 Tìm GTNN của biểu thức