Bất đẳng thức Jensen và ứng dụng trong phân tích sự ổn định của hệ điều khiển

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Trần Ngọc Quang BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Ngọc Quang

BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Trần Ngọc Quang

BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

ThS Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội – Năm 2016

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Trần Ngọc Quang

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp "Bất đẳng thức Jensen và ứng dụng trongphân tích sự ổn định của hệ điều khiển " được hoàn thành do sự cốgắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tậntình của thầy Nguyễn Trung Dũng

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quảcủa các tác giả khác

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Trần Ngọc Quang

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, vấn đề nghiên cứu định tính của hệ điềukhiển đã nhận được sự chú ý và quan tâm của nhiều nhà khoa học ởtrong nước và trên thế giới Việc nghiên cứu này có nhiều ứng dụngtrong kỹ thuật như mô phỏng máy tính, thí nghiệm, tính toán Chính

vì thế, nghiên cứu tính ổn định của hệ điều khiển đóng vai trò vô cùngquan trọng đối với quá trình nghiên cứu lý thuyết các hệ động lực.Mặt khác trong các mô hình ứng dụng thường xuất hiện trễ thời gian.Người ta đã chỉ ra rằng sự hiện diện của trễ ảnh hưởng đến sự ổn địnhcủa hệ thống Vì vậy, việc nghiên cứu sự ổn định cho hệ có trễ là bài toán

có ý nghĩa thực tiễn Một trong những phương pháp phổ biến nghiêncứu sự ổn định của hệ điều khiển có trễ là phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii Để giảm bớt tính bảo thủ(conservatism) của các tiêu chuẩnđưa ra, người ta sử dụng các kĩ thuật đánh giá kết hợp với một số bấtđẳng thức Cauchy, Jensen,

Dựa trên sự định hướng của Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, tôi chọn

đề tài: Bất đẳng thức Jensen và ứng dụng trong phân tích sự ổnđịnh của hệ điều khiển làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu các khái niệm ổn định, bất đẳng thức Jensen

- Ứng dụng bất đẳng thức Jensen trong phân tích sự ổn định của hệ điềukhiển

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày kiến thức về hệ tuyến tính rời rạc với trễ thời gian và hệDMJLS; bất đẳng thức Jensen

- Trình bày một số tiêu chuẩn ổn định của hệ DMJLS

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về hệ DMJLS, bất đẳng thức Jensen

- Phạm vi nghiên cứu: Tiêu chuẩn ổn định của hệ, ứng dụng bất đẳngthức Jensen trong phân tích sự ổn định của hệ điều khiển

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khóaluận bao gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức và kết quả bổ trợ

Chương 2: Ứng dụng của bất đẳng thức Jensen

Mục lục

1.1 Xích Markov 2

1.1.1 Định nghĩa và ví dụ 2

1.1.2 Ma trận xác suất chuyển 4

1.1.3 Phân phối ban đầu 5

1.2 Hệ DMJLS với trễ thời gian 6

1.2.1 Dạng của hệ 6

1.2.2 Một số khái niệm ổn định 7

1.3 Một số bất đẳng thức 8

2 Ứng dụng của bất đẳng thức Jensen 16 2.1 Phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii 16

2.2 Tiêu chuẩn ổn định cho hệ DMJLS 18

Tập hợp E được gọi là không gian trạng thái, các phần tử của E được

kí hiệu là i, j, k, (có chỉ số hoặc không)

Ví dụ 1.1.1 Cho r0, r1, , rn, là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độclập Ek là tập hợp các giá trị của rk, Ek hữu hạn hay đếm được (k =

0, 1, , n, ).Đặt E = ∪∞k=0Ek, rõ ràng E là tập hợp không quá đếm

được Khi đó, ta có

P {rn+1 = j|r0 = i0, , rn−1 = in−1, rn = i}

= P {rn+1 = j} = P {rn+1 = j|rn = i},

với i0 ∈ E0, i1 ∈ E1, , in−1 ∈ En−1, i ∈ En, j ∈ En+1

Như vậy, {rn; n = 0, 1, 2, } là một xích Markov

Ví dụ 1.1.2 Cho r0, η1, , ηn, là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độclập, nhận các giá trị là những số nguyên

Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG

1.1.2 Ma trận xác suất chuyển

Cho {rn, n ∈ Z+} là một xích Markov thuần nhất với không gian trạngthái E Đặt pij = P (rn+1 = j|rn = i), i, j ∈ E Khi đó, pij được gọi làxác suất chuyển trạng thái của hệ từ trạng thái i ở thời điểm n(hiện tại)sang trạng thái j ở thời điểm n + 1(tương lai) Nếu đặt các biến cố

chuyển sang trạng thái j Ta có, p(1)ij = pij Chúng ta quy ước

0, nếu trái lại

và đặt P(n) = (p(n)ij ) Ma trận P(n) được gọi là ma trận xác suấtchuyển sau n bước Từ công thức xác suất đầy đủ và từ tính Markov

1.1.3 Phân phối ban đầu

Định nghĩa 1.2 Phân phối của xích tại thời điểm n được cho bởi côngthức sau:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG

• (rn) là dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc

• Π là phân phối ban đầu của xích

(1.1)

trong đó x(k) ∈ Rn là véctơ trạng thái, τ (k) là trễ thời gian thỏa mãn

τ1 ≤ τ (k) ≤ τ2, τm, τ2 ∈ Z+, và ϕ(s), s ∈ [−τ2, 0] là điều kiện ban đầu với

chuẩn kϕk = max

s∈[−τ2,0]kϕ(s)k

{rk, k ∈ Z+} là một xích Markov nhận giá trị trong tập hữu hạn

M = {1, 2, , q} với xác suất chuyển

k→+∞kx(k, ϕ, r0)k = 0



= 1

Định nghĩa 1.4 [2] (Ổn định bình phương trung bình mũ)

Hệ (1.1) được gọi là ổn định bình phương trung bình mũ nếu vớiđiều kiện ban đầu tùy ý ϕ và phân phối ban đầu p, tồn tại các hằng số

α, β > 0 độc lập với ϕ và p sao cho

E

hkx(k, ϕ, r0)k2|ϕ, r0i ≤ αEhkϕk2ie−βk, ∀k ≥ 0

Định nghĩa 1.5 [2] (Ổn định ngẫu nhiên)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG

Hệ (1.1) được gọi là ổn định ngẫu nhiên nếu với điều kiện ban đầutùy ý ϕ và phân phối ban đầu p

Vậy bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 1.2 [5](Bổ đề phần bù Schur không chặt) Cho ma trận tùy

Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG

Vậy bổ đề được chứng minh

Bổ đề 1.3 [3](Bất đẳng thức Jensen rời rạc) Cho R là ma trậnđối xứng xác định dương và các hằng số p, q ∈ Z+, p < q Khi đó, với bất

Bằng phương pháp hiệu chỉnh tương tự như chứng minh Bổ đề 4 trong[4], chúng tôi chứng minh được kết quả sau.

Bổ đề 1.4 Cho R là ma trận đối xứng xác định dương và các hằng số

p, q ∈ Z+, p < q Khi đó, với bất kì dãy véctơ uk ∈ Rn

Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG

RgR(mk, ξ) =



1 l

Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG

Bổ đề được chứng minh

Bổ đề 1.5 [5] Cho R là ma trận xác định dương đối xứng và p, q ∈

Z+, p ≤ q Khi đó, với mọi α ∈ (0, 1) và dãy véctơ uk ∈ Rn

trong đó xk = {x (k + s) : s ∈ Z [−τ2, 0]} Khi đó, hệ (1.1) là ổn địnhngẫu nhiên.

Chứng minh Để đơn giản, ta kí hiệu V (k) = V (xk, rk) Từ (ii) ta có

E [V (k + 1) |xk, rk] ≤ αV (k) , k ≥ 0 (2.1)

Lấy kì vọng E [.|ϕ, r0] cả hai vế của (2.1) và sử dụng tính chất của kìvọng có điều kiện, ta có

E[V (k + 1)|ϕ, r0] ≤ αE[V (k)|ϕ, r0] = αE [E[V (k)|xk−1, rk−1]|ϕ, r0]

Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG

2.2 Tiêu chuẩn ổn định cho hệ DMJLS

Trước khi đưa ra tiêu chuẩn ổn định cho hệ (1.1) chúng ta sử dụng các

kí hiệu như sau:

ei = [0n×(i−1)n In 0n×(7−i)n],i = 1, , 7, Ai = Aie1 + Adie3, Di =

n, i ∈ M, Qj, Rj ∈ S+

n, j = 1, 2, và ma

Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG

Φi = Π0i+ Π1i+ Π2 − Π3 − Π4 < 0 (2.5)

Khi đó hệ (1.1) là ổn định ngẫu nhiên với bất kì trễ τ (k) ∈ [τ1, τ2]

Chứng minh Xét hàm Lyapunov-Krasovskii như sau

αk−i−1zT(i)R2z(i)

và z(i) = ∆x(i) = x(i + 1) − x(i)

λmin, λmax là giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của ma trận.

Giả thiết ở thời điểm k, rk = i ∈ M Hệ có thể nhảy đến nút bất

kì j ∈ M tại thời điểm k + 1 với xác suất pij Tương tự [5], ta tính

Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG

Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG

KẾT LUẬN

Trên đây là nội dung của khóa luận "Bất đẳng thức Jensen vàứng dụng trong phân tích sự ổn định của hệ điều khiển " Khóaluận này đã trình bày được những nội dung chính sau đây:

• Chương 1 Ở chương này, tôi đã trình bày một số khái niệm về xíchMarkov, hệ DMJLSs với trễ thời gian, các khái niệm về ổn định.Chứng minh một cải tiến cho bất đẳng thức Jensen

• Chương 2 Chương này, trình bày phương pháp hàm Krasovskii áp dụng cho lớp hệ DMJLS, đưa ra tiêu chuẩn ổn địnhcho lớp hệ DMJLS

Lyapunov-Song song với việc làm khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Bất đẳngthức Jensen và ứng dụng trong phân tích sự ổn định của hệđiều khiển ", tôi còn tìm hiểu về phần mềm soạn thảo Latex Khóaluận trên đây được soạn thảo bằng Latex Tuy nhiên, do thời gian thựchiện khóa luận không nhiều còn có những sai sót, tôi rất mong nhậnđược sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc Tôi xin chân thành cám ơn!

Tài liệu tham khảo

[1] M Wu, Y He, J H She, Stability Analysis and Robust Control ofTime-Delay Systems , Springer, 2010

[2] E K Boukas, Deterministic and Stochastic Time Delay Systems,Boston: Birkhauser, 2002

[3] X L Zhu and G.H.Yang, Jensen Inequality Approach to StabilityAnalysis of Discrete-Time Systems with Time-Varying Delay, Amer-ican Control Conference , DOI: 10.1109/ACC.2008.4586727

[4] L.V Hien, N.T Dzung, H Trinh, Stochastic stability of ear discrete-time Markovian jump systems with time-varying delayand partially unknown transition rates , Neurocomputing 175 (2016)450–458

nonlin-[5] L V Hien, N T Dzung, H B Minh, A novel approach tostate bounding for discrete-time Markovian jump systems withinterval time-varying delay, IMA Math Control Inf (2014),DOI:10.1093/imamci/dnu043

[6] K.Gu, S I Niculescu, Survey on Recent Results in the Stability andControl of Time-Delay Systems, ASME J Dyn Syst., Meas., Con-trol, 125, 2, 158-165