Bất đẳng thức Jensen và ứng dụng trong phân tích sự ổn định của hệ điều khiển

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trần Ngọc Quang BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trần Ngọc Quang BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS Nguyễn Trung Dũng Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cảm ơn Trước hết cho bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng hết lòng giúp đỡ, động viên suốt trình nghiên cứu đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa bạn sinh viên đóng góp cho lời khuyên bổ ích Trong trình nghiên cứu không tránh khỏi sai sót Vì mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc để viết hoàn thiện Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Trần Ngọc Quang i Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp "Bất đẳng thức Jensen ứng dụng phân tích ổn định hệ điều khiển " hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ tận tình thầy Nguyễn Trung Dũng Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Trần Ngọc Quang ii Footer Page of 161 Header Page of 161 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, vấn đề nghiên cứu định tính hệ điều khiển nhận ý quan tâm nhiều nhà khoa học nước giới Việc nghiên cứu có nhiều ứng dụng kỹ thuật mô máy tính, thí nghiệm, tính toán Chính thế, nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển đóng vai trò vô quan trọng trình nghiên cứu lý thuyết hệ động lực Mặt khác mô hình ứng dụng thường xuất trễ thời gian Người ta diện trễ ảnh hưởng đến ổn định hệ thống Vì vậy, việc nghiên cứu ổn định cho hệ có trễ toán có ý nghĩa thực tiễn Một phương pháp phổ biến nghiên cứu ổn định hệ điều khiển có trễ phương pháp hàm LyapunovKrasovskii Để giảm bớt tính bảo thủ(conservatism) tiêu chuẩn đưa ra, người ta sử dụng kĩ thuật đánh giá kết hợp với số bất đẳng thức Cauchy, Jensen, Dựa định hướng Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, chọn đề tài: Bất đẳng thức Jensen ứng dụng phân tích ổn định hệ điều khiển làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu khái niệm ổn định, bất đẳng thức Jensen - Ứng dụng bất đẳng thức Jensen phân tích ổn định hệ điều khiển Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày kiến thức hệ tuyến tính rời rạc với trễ thời gian hệ DMJLS; bất đẳng thức Jensen - Trình bày số tiêu chuẩn ổn định hệ DMJLS Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức hệ DMJLS, bất đẳng thức Jensen - Phạm vi nghiên cứu: Tiêu chuẩn ổn định hệ, ứng dụng bất đẳng thức Jensen phân tích ổn định hệ điều khiển Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức kết bổ trợ Chương 2: Ứng dụng bất đẳng thức Jensen iv Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục MỞ ĐẦU Một số kiến thức kết bổ trợ 1.1 Xích Markov 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Ma trận xác suất chuyển 1.1.3 Phân phối ban đầu 1.2 Hệ DMJLS với trễ thời gian 1.2.1 Dạng hệ 1.2.2 Một số khái niệm ổn định 1.3 Một số bất đẳng thức iii 2 6 Ứng dụng bất đẳng thức Jensen 2.1 Phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii 2.2 Tiêu chuẩn ổn định cho hệ DMJLS 16 16 18 Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Một số kiến thức kết bổ trợ 1.1 1.1.1 Xích Markov Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1 Cho {rk , k ∈ Z+ } dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, A, P ) nhận giá trị tập đếm E Ta nói {rk , k ∈ Z+ }là xích Markov rời rạc P {rn+1 = j|rn = i, rn−1 = in−1 , , r1 = i1 , r0 = i0 } = P {rn+1 = j|rn = i}, ∀n ∈ Z+ ∀ i0 , i1 , , in−1 , i, j ∈ E Tập hợp E gọi không gian trạng thái, phần tử E kí hiệu i, j, k, (có số không) Ví dụ 1.1.1 Cho r0 , r1 , , rn , dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập Ek tập hợp giá trị rk , Ek hữu hạn hay đếm (k = 0, 1, , n, ).Đặt E = ∪∞ k=0 Ek , rõ ràng E tập hợp không đếm Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG Khi đó, ta có P {rn+1 = j|r0 = i0 , , rn−1 = in−1 , rn = i} = P {rn+1 = j} = P {rn+1 = j|rn = i}, với i0 ∈ E0 , i1 ∈ E1 , , in−1 ∈ En−1 , i ∈ En , j ∈ En+1 Như vậy, {rn ; n = 0, 1, 2, } xích Markov Ví dụ 1.1.2 Cho r0 , η1 , , ηn , dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, nhận giá trị số nguyên Đặt Xn = r0 + η1 + η2 + + ηn (n = 1, 2, ) Ta có P {Xn+1 = j|r0 = i0 , X1 = i1 , , Xn−1 = in−1 , Xn = i} = P {Xn + ηn+1 = j|ξ0 = i0 , η1 = i1 − i0 , , ηn = i − in−1 } = P {ηn+1 = i − j|ξ0 = i0 , η1 = i1 − i0 , , ηn = i − in−1 } = P {ηn+1 = i − j}, P {Xn+1 = j|Xn = i} = P {Xn + ηn+1 = j|Xn = ξ0 + η1 + η2 + + ηn−1 + ηn = i} = P {ηn+1 = j − i|Xn = ξ0 + η1 + η2 + + ηn−1 + ηn = i} = P {ηn+1 = i − j} Vậy {Xn , n ∈ Z+ } xích Markov Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1.2 TRẦN NGỌC QUANG Ma trận xác suất chuyển Cho {rn , n ∈ Z+ } xích Markov với không gian trạng thái E Đặt pij = P (rn+1 = j|rn = i), i, j ∈ E Khi đó, pij gọi xác suất chuyển trạng thái hệ từ trạng thái i thời điểm n(hiện tại) sang trạng thái j thời điểm n + 1(tương lai) Nếu đặt biến cố A = (rn+1 = j), B = (rn = i), C = (r0 = i0 , , rn−1 = in−1 ) tính Markov có nghĩa P (A|B) = P (A|BC) Theo công thức xác suất có điều kiện ta có P (ABC) P (BC) × P (A|BC) = P (B) P (B) P (B) × P (C|B) × P (A|B) = P (B) P (AC|B) = = P (C|B) × P (A|B) Từ đẳng thức trên, ta thấy khứ tương lai độc lập với cho trước Kí hiệu ma trận P = (pij ) Ma trận P gọi ma trận xác suất chuyển sau bước Chú ý từ công thức xác suất đầy đủ ta có ma trận P = (pij ) có tính chất: • pij 1, ∀i, j ∈ E • pij = 1, ∀i ∈ E j∈E Xác suất chuyển sau n bước định nghĩa theo công thức: (n) pij = P (rn+m = j|rm = i) = P (rn = j|r0 = i) Đây xác suất để hệ thời điểm ban đầu trạng thái i, sau n bước Footer Page 10 of 161 Header Page 18 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG Từ ta có  q uTk Ruk LHS(1.2) = k=p  −  l q T   q k=p = k=p m2 k ξ T Rξ k=p  q   q 2 mk  ξ T R  uk  l k=p k=p T   mk uk ) −  uTk Ruk q uk  + k=p k=p q  q uk  R  q k=p   uk  + 2ξ T R( uk  R  k=p +  l T q −  l q q k=p q mk uk ) − k=p 2 l m2 k ξ T Rξ uk  + k=p  +2ξ T R( q uk  R  k=p  q   q mk  ξ T R  uk  k=p k=p (1.5) Thế (1.3) (1.4) vào hai vế (1.2) ta có JR g (uk , l) ≥ RR g (mk , ξ), (1.6) JRg (uk , l) = q vk T Rvk − k=p  RgR (mk , ξ) =  1l l mk k=p q R  vk k=p q T q q vk k=p m2 k  ξ T Rξ + − k=p q −2ξ T R mk uk k=p Chọn mk = Footer Page 18 of 161 1+k−p ,k l ∈ Z[p,q] định nghĩa 12 , l q q mk k=p ξT R mk k=p Header Page 19 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG uˆk =    0, k = p, k−1   us , k > p s=p Khi đó, ta có uk = uˆk+1 − uˆk , mp = , mq = 1, uk = ∆ˆ l q k=p l+1 mk = , q uk = uˆq+1 , k=p (1.7)  1 l q 2 q mk  − k=p m k=p k − l2 = , 12l q k=p l+1 mk uk = uq+1 − l l q uˆk+1 k=p (1.8) Từ (1.6) (1.7) l+1 T − l2 T ξ Rξ − ξ R(uq+1 − = 12l l l+1 RgR (mk , ξ) = q uk+1 ) k=p l+1 T − l2 T ξ Rξ − ξ Rη 12l l Ta xác định véctơ ξ dạng ξ = −λη, λ ∈ R, RgR (mk , ξ) = ( − l2 l + λ + λ)η T Rη 12l l l+1 Hàm f (λ) = 1−l 12l λ + l λ, λ ∈ R đạt cực đại 6 λ = l−1 ξ = − l−1 η, từ (1.5) (1.8) ta có RgR (uk , l) ≥ Footer Page 19 of 161 3(l+1) l(l−1) λ = 3(l + 1) T η Rη ≥ η T Rη l(l − 1) l 13 (1.9) l−1 Chọn (1.10) Header Page 20 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG Bổ đề chứng minh Bổ đề 1.5 [5] Cho R ma trận xác định dương đối xứng p, q ∈ Z+ , p ≤ q Khi đó, với α ∈ (0, 1) dãy véctơ uk ∈ Rn , k ∈ Z+ , ta có bất đẳng thức  q T q αk uTk Ruk ≥ αp,q  k=p αp,q =   q uk  R  k=p uk  , k=p (1−α)αq 1−αq−p+1 Chứng minh Từ Bổ đề 1.2, ta có   αk uTk Ruk uTk uk α−k R−1   ≥ 0, k ∈ Z Lấy tổng hai vế bất đẳng thức theo k từ p → q ta có  q    k=p q αk uTk Ruk  uTk k=p q uk k=p 1−αq−p+1 −1 (1−α)αq R   ≥  Theo Bổ đề 1.2, ta có q q αk uTk Ruk ≥ αp,q ( k=p q T uk ) R( k=p uk ) k=p Bổ đề chứng minh + Bổ đề 1.6 [4] Cho ma trận R1 ∈ S+ n , R2 ∈ Sm , ma trận Footer Page 20 of 161 14 Header Page 21 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học  X ∈ Rn×m thỏa mãn  TRẦN NGỌC QUANG R1 X X  T R µ  R2   ≥ 0, bất đẳng thức 1−µ R2  ≥ với µ ∈ (0, 1) Footer Page 21 of 161  15 R1 X X T R2  , (1.11) Header Page 22 of 161 Chương Ứng dụng bất đẳng thức Jensen 2.1 Phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii Định lý 2.1 [4] Giả sử tồn hàm V (xk , rk ), số λ1 > 0, λ2 > α ∈ (0, 1) cho (i) λ1 x(k) ≤ V (xk , rk ) ≤ λ2 xk , k ≥ 0, (ii) E [V (xk+1 , rk+1 )|xk , rk ] − αV (xk , rk ) ≤ 0, k ≥ 0, xk = {x (k + s) : s ∈ Z [−τ2 , 0]} Khi đó, hệ (1.1) ổn định ngẫu nhiên Chứng minh Để đơn giản, ta kí hiệu V (k) = V (xk , rk ) Từ (ii) ta có E [V (k + 1) |xk , rk ] ≤ αV (k) , k ≥ (2.1) Lấy kì vọng E [.|ϕ, r0 ] hai vế (2.1) sử dụng tính chất kì vọng có điều kiện, ta có Footer Page 22 of 161 16 Header Page 23 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG E[V (k + 1)|ϕ, r0 ] ≤ αE[V (k)|ϕ, r0 ] = αE [E[V (k)|xk−1 , rk−1 ]|ϕ, r0 ] ≤ α2 E[V (k − 1)|ϕ, r0 ] Bằng quy nạp ta có E [V (k) |ϕ, r0 ] ≤ αk E (ϕ, r0 ) , ∀k ≥ Từ bất đẳng thức phần (i) dẫn đến E x (k; ϕ, r0 ) |ϕ, r0 ≤ λ2 ϕ αk , k ≥ λ1 (2.2) Vì ∞ x (k; ϕ, r0 ) |ϕ, r0 E k=0 λ2 ≤ ϕ λ1 ∞ αk = k=0 λ2 ϕ λ1 (1 − α) < ∞ Từ đó, định lý chứng minh Chú ý 2.1 Điều kiện (i) (ii) Định lý 2.1 đảm bảo ổn định hầu chắn hệ (1.1) Thật vậy, từ Định lý 2.1 ta có bất đẳng thức ∞ x (k; ϕ, r0 ) |ϕ, r0 ≤ E k=n λ2 αn ϕ 2, λ1 (1 − α) (2.3) với n ∈ Z+ Ta kí hiệu biến ngẫu nhiên ξ = lim sup x (k; ϕ, r0 ) Theo bất đẳng k→∞ Footer Page 23 of 161 17 Header Page 24 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG thức Markov, c > ta có ∞ Pr{ξ ≥ c|ϕ, r0 } = Pr {∩∞ n=1 ∪k=n [ x(k; ϕ, r0 ) ≥ c]|ϕ, r0 } ≤ Pr {∪∞ k=n [ x(k; ϕ, r0 ) ≥ c]|ϕ, r0 } ∞ Pr{[ x(k; ϕ, r0 ) ≥ c]|ϕ, r0 } ≤ k=n ≤ c ∞ E[ x(k; ϕ, r0 ) |ϕ, r0 ] ≤ k=n λ2 ϕ αn , ∀n ∈ Z+ λ1 (1 − α)c (2.4) Với > từ (2.4) ta có: ∞ Pr{ξ > 0|ϕ, r0 } = Pr {∪∞ n=1 [ξ ≥ 1/n ]|ϕ, r0 } ≤ Pr{ξ ≥ 1/n |ϕ, r0 } n=1 ∞ ≤ Chú ý √ n λ2 ϕ λ1 (1 − α) n2 αn n=1 √ n n2 αn = α n2 → α < n tiến đến ∞ ∞ n2 α n < n=1 ∞ theo tiêu chuẩn Cauchy Cho → ta có Pr{ξ > 0|ϕ, r0 } = 0, Pr{ξ > 0} = Điều cho thấy Pr{ξ = 0} = hệ (1.1) ổn định hầu chắn 2.2 Tiêu chuẩn ổn định cho hệ DMJLS Trước đưa tiêu chuẩn ổn định cho hệ (1.1) sử dụng kí hiệu sau: ei = [0n×(i−1)n In 0n×(7−i)n ],i = 1, , 7, Ai = Ai e1 + Adi e3 , Di = Footer Page 24 of 161 18 Header Page 25 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG (Ai − In )e1 + Adi e3 ,        x(k)     a      (k) x       x(k − τ1 )   a    ζ0 (k) = col  x2 (k) , ,        x(k − τ )       a   x (k)     x(k − τ ) xa1 (k) = σ(τ1 ) k x(s), s=k−τ1 xa2 (k) = σ(τ − τ1 ) k−τ1 x(s), xa3 (k) s=k−τ = σ(τ2 − τ ) k−τ x(s), s=k−τ2 F1 = col {e1 − e2 , e1 + e2 − 2e5 )} , F2 = col{e2 − e3 , e2 + e3 − 2e6 }, F3 = col{e3 − e4 , e3 + e4 − 2e7 }, Π0i = ATi P˜i Ai − αeT1 Pi e1 , q P˜i = pij Pj , j=1 Π1i = DiT (τ1 R1 + τ12 R2 )Di , Π2 = eT1 Q1 e1 − ατ1 eT2 Q1 e2 + ατ1 eT2 Q2 e2 − ατ2 eT4 Q2 e4 , ατ1 T F diag {R1 , 3R1 } F1 , τ1  T    ˜ τ2 α F2   R2 X  F2  , Π4 = τ12 F T ˜ X R F Π3 = ˜ = diag{R2 , 3R2 }, R Φi = Π0i + Π1i + Π2 − Π3 − Π4 , đó, để đơn giản trễ τ (k) kí hiệu τ σ(.) kí hiệu σ(t) = t + 1, t ∈ Z0 Chúng ta có kết sau Định lý 2.2 Giả sử tồn số α ∈ (0, 1), ρi > 0, ma trận + đối xứng xác định dương Pi ∈ S+ n , i ∈ M, Qj , Rj ∈ Sn , j = 1, 2, ma Footer Page 25 of 161 19 Header Page 26 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG  trận X ∈ R2n×2n cho Ψ =  ˜2 X R X T ˜2 R   ≥ bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau với i ∈ M Φi = Π0i + Π1i + Π2 − Π3 − Π4 < (2.5) Khi hệ (1.1) ổn định ngẫu nhiên với trễ τ (k) ∈ [τ1 , τ2 ] Chứng minh Xét hàm Lyapunov-Krasovskii sau V (xk , rk ) = V1 (xk , rk ) + V2 (xk , rk ) + V3 (xk , rk ), (2.6) V1 (xk , rk ) = xT (k)P (rk )x(k), k−τ1 −1 k−1 V2 (xk , rk ) = α k−s−1 T s=k−τ1 −1 αk−s−1 xT (s)Q2 x(s), x (s)Q1 x(s) + s=k−τ2 −τ1 −1 k−1 k−1 V3 (xk , rk ) = α k−i−1 T αk−i−1 z T (i)R2 z(i) z (i)R1 z(i) + s=−τ1 i=k+s s=−τ2 i=k+s z(i) = ∆x(i) = x(i + 1) − x(i) Từ (2.6) ta có λ1 x(k) ≤ V (xk , rk ) ≤ λ2 xk , k ∈ Z+ (2.7) đó, λ1 = mini∈M λmin (Pi ) λ2 = max λmax (Pi ) + τ1 λmax (Q1 ) + (τ2 − τ1 )λmax (Q2 ) i∈M + τ1 (τ1 + 1)/2λmax (R1 ) + (τ2 − τ1 )(τ2 + τ1 + 1)/2λmax (R2 ), Footer Page 26 of 161 20 Header Page 27 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG λmin , λmax giá trị riêng nhỏ lớn ma trận Giả thiết thời điểm k, rk = i ∈ M Hệ nhảy đến nút j ∈ M thời điểm k + với xác suất pij Tương tự [5], ta tính ∆V (xk , rk ) sau ∆V1 (xk , rk ) = E[V1 (xk+1 , rk+1 )|xk , rk = i] − V1 (xk , rk ) = E[xT (k + 1)P (rk+1 )x(k + 1)|xk , rk = i] − xT (k)P (rk )x(k) q Pr{rk+1 = j|rk = i}xT (k + 1)Pj x(k + 1) − xT (k)Pi x(k) = j=1 q T pij Pj x(k + 1) − xT (k)Pi x(k) = x (k + 1) j=1 Từ (1.1) ta có x(k + 1) = (Ai e1 + Adi e3 )ζ0 (k) Do ∆V1 (xk , rk ) + (1 − α)V1 (xk , rk ) ≤ ζ0T (k)(ATi P˜i Ai − αeT1 Pi e1 )ζ0 (k) (2.8) Tiếp theo, từ Footer Page 27 of 161 q j=1 pij = với i ∈ M, ta có ∆V2 (xk , rk ) 21 Header Page 28 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG tính sau ∆V2 (xk , rk ) = E[V2 (xk+1 , rk+1 )|xk , rk = i] − V2 (xk , rk ) k−1 k α = k−s T αk−s xT (s)Q1 x(s) x (s)Q1 x(s) − s=k−τ1 s=k−τ1 +1 k−τ1 −1 k−τ1 α + k−s T αk−s xT (s)Q2 x(s) x (s)Q2 x(s) − s=k−τ2 s=k−τ2 +1 − (1 − α)V2 (xk , rk ) = xT (k)Q1 x(k) − ατ1 xT (k − τ1 )Q1 x(k − τ1 ) + ατ1 xT (k − τ1 )Q2 x(k − τ1 ) − ατ2 xT (k − τ2 )Q2 x(k − τ2 ) − (1 − α)V2 (xk , rk ) Suy ∆V2 (xk , rk ) + (1 − α)V2 (xk , rk ) = ζ0T (k)Π2 ζ0 (k) (2.9) Bằng cách tương tự, ∆V3 (xk , rk ) tính sau ∆V3 (xk , rk ) = E[V3 (xk+1 , rk+1 )|xk , rk = i] − V3 (xk , rk ) −1 k = k−1 α k−i T αk−i z T (i)R1 z(i) z (i)R1 z(i) − s=−τ1 i=k+1+s −τ1 −1 k i=k+s k−1 αk−i z T (i)R2 z(i) − + s=−τ2 i=k+1+s αk−i z T (i)R2 z(i) i=k+s − (1 − α)V3 (xk , rk ) k−1 T αk−s z T (s)R1 z(s) = z (k)(τ1 R1 + τ12 R2 )z(k) − s=k−τ1 k−τ1 −1 αk−s z T (s)R2 z(s) − (1 − α)V3 (xk , rk ) − i=k−τ2 Footer Page 28 of 161 22 Header Page 29 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG Vì ∆V3 (xk , rk ) + (1 − α)V (xk , rk ) = ζ0T (k)Π1i ζ0 (k) k−τ1 −1 k−1 − α k−s T z (s)R1 z(s) − s=k−τ1 α (2.10) k−s T z (s)R2 z(s) s=k−τ2 Ta có k−1 k−1 − α k−s T z (s)R1 z(s) ≤ −α z T (s)R1 z(s) τ1 s=k−τ1 s=k−τ1 Áp dụng Bổ đề 1.4, ta có k−1 αk−s z T (s)R1 z(s) ≤ −ζ0T (k)Π3 ζ0 (k) − (2.11) s=k−τ1 Số hạng cuối (2.10) đánh giá Bổ đề 1.4 Bổ đề 1.6 sau k−τ1 −1 − k−τ1 −1 α k−s T z (s)R2 z(s) = − s=k−τ2 k−τ −1 α k−s T s=k−τ s=k−τ2 k−τ1 −1 ≤ −α τ2 αk−s z T (s)R2 z(s) z (s)R2 z(s) − k−τ −1 T z T (s)R2 z(s) z (s)R2 z(s) + i=k−τ s=k−τ2 ˜ F2 + F3T R ˜ F3 ζ0 (k) F2T R τ − τ1 τ2 − τ  T    ˜ τ2 F2 R2 X F α   2 ≤ − ζ0T (k)    τ12 ˜2 F3 XT R F3 ≤ −ατ2 ζ0T (k) Chú ý bất đẳng thức τ = τ1 τ = τ2 Do đó, Footer Page 29 of 161 23 Header Page 30 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ta có TRẦN NGỌC QUANG k−τ1 −1 αk−s z T (s)R2 z(s) ≤ −ζ0T (k)Π4 ζ0 (k) − (2.12) s=k−τ2 Từ (2.8) đến (2.12) ta có ∆V (xk , rk ) + (1 − α)V (xk , rk ) ≤ ζ0T (k)Φi ζ0 (k) (2.13) Do đó, từ bất đẳng thức (2.5) (2.13) ta có E[V (xk+1 , rk+1 )|xk , rk ] − αV (xk , rk ) ≤ 0, k ∈ Z0 (2.14) Theo Định lí 2.1, từ (2.7) (2.14) dẫn đến hệ (1.1) ổn định ngẫu nhiên Định lý chứng minh Footer Page 30 of 161 24 Header Page 31 of 161 KẾT LUẬN Trên nội dung khóa luận "Bất đẳng thức Jensen ứng dụng phân tích ổn định hệ điều khiển " Khóa luận trình bày nội dung sau đây: • Chương Ở chương này, trình bày số khái niệm xích Markov, hệ DMJLSs với trễ thời gian, khái niệm ổn định Chứng minh cải tiến cho bất đẳng thức Jensen • Chương Chương này, trình bày phương pháp hàm LyapunovKrasovskii áp dụng cho lớp hệ DMJLS, đưa tiêu chuẩn ổn định cho lớp hệ DMJLS Song song với việc làm khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Bất đẳng thức Jensen ứng dụng phân tích ổn định hệ điều khiển ", tìm hiểu phần mềm soạn thảo Latex Khóa luận soạn thảo Latex Tuy nhiên, thời gian thực khóa luận không nhiều có sai sót, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Tôi xin chân thành cám ơn! Footer Page 31 of 161 Header Page 32 of 161 Tài liệu tham khảo [1] M Wu, Y He, J H She, Stability Analysis and Robust Control of Time-Delay Systems , Springer, 2010 [2] E K Boukas, Deterministic and Stochastic Time Delay Systems, Boston: Birkhauser, 2002 [3] X L Zhu and G.H.Yang, Jensen Inequality Approach to Stability Analysis of Discrete-Time Systems with Time-Varying Delay, American Control Conference , DOI: 10.1109/ACC.2008.4586727 [4] L.V Hien, N.T Dzung, H Trinh, Stochastic stability of nonlinear discrete-time Markovian jump systems with time-varying delay and partially unknown transition rates , Neurocomputing 175 (2016) 450–458 [5] L V Hien, N T Dzung, H B Minh, A novel approach to state bounding for discrete-time Markovian jump systems with interval time-varying delay, IMA Math Control Inf (2014), DOI:10.1093/imamci/dnu043 [6] K.Gu, S I Niculescu, Survey on Recent Results in the Stability and Control of Time-Delay Systems, ASME J Dyn Syst., Meas., Control, 125, 2, 158-165 Footer Page 32 of 161 26 ... ổn định, bất đẳng thức Jensen - Ứng dụng bất đẳng thức Jensen phân tích ổn định hệ điều khiển Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày kiến thức hệ tuyến tính rời rạc với trễ thời gian hệ DMJLS; bất đẳng. .. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trần Ngọc Quang BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN... ta sử dụng kĩ thuật đánh giá kết hợp với số bất đẳng thức Cauchy, Jensen, Dựa định hướng Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, chọn đề tài: Bất đẳng thức Jensen ứng dụng phân tích ổn định hệ điều khiển