Tìm hiểu về phương pháp lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển

Trang 1

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRƯỜNG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2 KHOA TOAN

KHOA LUAN TOT NGHIEP Đề tài:

TÌM HIỂU VỀ PHUONG PHAP LYAPUNOV THU HAI TRONG KHAO SAT SU ON DINH CUA HE DIEU KHIEN

Người hướng dẫn: ThS NGUYÊN TRUNG DŨNG Cơ quan cơng tác:Khoa Tốn,Trường ĐHSPHN 2

Ho va tén sinh vién: PHAM HONG DIEU HUYEN Khoa: Toan Nganh: Su Pham Toan Lop: K36B

Trang 2

LOI CAM GN

Trước khi trình bày nội dung khóa luận, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành

nhất tới thầy giáo-Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng, người đã tận tình hướng dẫn em

hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo trong khoa

toán Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận này

Xuân Hòa, ngày I5 tháng 05 năm 2014 Sinh Viên

Trang 3

LOI CAM DOAN

Em là Phạm Hồng Diệu Huyền, sinh viên lớp k36B-Sư Phạm Toán Đề tài

nghiên cứu của em là ''Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo

sát sự ổn định của hệ điều khiển" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giáo

viên - Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng Em xin cam đoan nội dung khóa luận được thực

hiện hoàn toàn do quá trình tìm tòi và nhận thức của bản thân không trùng lặp bất cứ một đề tài nghiên cứu khoa học nào khác

Các tài liệu tham khảo em đã đề cập chí tiết trong nội dung khóa luận và đã được giáo viên hướng dẫn thông qua

Em xin chân thành cảm ơn!

Xuân Hòa, ngày 15 tháng 05 năm 2014

Sinh Viên

Trang 4

Muc luc Chương 1.|Một số khái niệm và công cụ toán học| 3

2.3.1.|Minh hoạ hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2| 21

2.3.2.|Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định và ổn định đêu| 23

2.3.3.|Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định mũ | 29

Kết luận| -.-. .-. .<‹ 31 Tài liệu tham khảo| ‹ ‹ -‹ ‹ ‹ ‹ - ‹ ‹ - ‹ ‹ 31

Trang 5

LOI NOI DAU

1 Ly do chon dé tai

Sự phát triển của Lý thuyết ổn định đã diễn ra rất nhanh chóng va phổ biến một cách rộng rãi Các kết quả về Lý thuyết ổn định được công bồ trên rất nhiều tạp chí khoa học, bởi vậy rất khó để phát hiện ra đâu là những tiến bộ thực sự, đặc biệt đối với những nhà nghiên cứu mới muốn sử dụng kết quả của lý thuyết ốn định để áp dụng trong những lĩnh vực khác Đây cũng là mối quan tâm đối với các nhà

nghiên cứu và các học viên trong lĩnh vực khác nhau Do đó, tôi đã chọn đề tài

''Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ

điều khiển'"' nhằm hệ thống lại khái niệm và ý nghĩa của phương pháp này trong hệ

điều khiển Khóa luận của tôi gồm hai chương

e Chương 1 Trình bày một số kết quả của hệ phương trình vi phân thường,

ham Lyapunov, đạo hàm Dini và một số bất đẳng thức vi phân

e Chương 2 Trình bày định nghĩa sự ổn định Lyapunov, một số ví dụ về mối quan hệ giữa các dạng ổn định, minh họa hình học của phương pháp Lya-

punov thứ 2, điều kiện cần và đủ cho sự ổn định, ổn định đều và ổn định

mũ

Dù rất cô gắng nhưng thời gian và năng lực của em còn hạn chế nên khóa luận khó có thể tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn Em xin chân thành cảm ơn!

2 Mục đích, nhiệm vụ

Hệ thống lại các khái niệm và những kết quả về sự ổn định Lyapunov Đặc biệt là phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển 3 Đôi tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của phương pháp Lyapunov thứ hai là

Trang 6

4 Phương pháp nghiên cứu

Trang 7

Chuong 1

Mot so khai niém va cong cu

toan hoc

1.1 M6ts6 ket qua cua hé phuong trinh vi phan thudng

Xét hệ phương trình dưới đây

dx;

dt = g(t, X1,%2, -,;Xn)i=1,n, (1.1.1)

trong đó ,f €Ï:= (fđ1,f2), f4 > —e®, f2 < +œ, vector trạng thái x = (%1,%2; vn)” E

Q CR", g €C [I x Q,R’] ,O € Q Hé (1.1.1) c6 thể viết dưới dạng vector dx r ¬y — SỰ.*).8 = (§1›82: -:8n) , (1.1.2) Giả sử các hàm ø; thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là Vx,y c Q:3Vt € I, Thang s6 L > 0 sao cho n lgi(t,x) —gi(tiy)| <L d lxj—yyl J— Cail › Ẩn) < Kjj = const, j = 1,n, trén J x Q thi diéu kién Rõ ràng, nêu |

Lipschitz dudc thoa man

Dinh ly 1.1.1 (Dinh li tén tại và duy nhdt nghiém) Néu g(t,x) =(g1(t,x), -, ø„(f,3))

thỏa mãn điều kiện Lipschitz, khi đó V(fo,xọ) € I x ©, 3" > 0, sao cho 3 I nghiệm

Trang 8

duy nhất x(f,tfạ,xọ) thỏa mãn phương trình vi phân với điêu kiện ban đầu

x(t,to,X0) = X09, (1.1.3)

dx(t,to,x ng 0) — ty x(t,19,xo)), (1.1.4)

trên khoảng [fp — f*,fọ +” |]

Định lý 1.1.2 (Định lí về sự liên tục và khả vi với bài toán giá trị ban đâu) Giả sử rằng điêu kiện của định lý được thỏa mãn

xD (t) = x(t,t0,x)”), x2)(t) := x(t,t0,x.”) là 2 nghiệm của (1.1.2) xác định trên lfo,f¡| x Q Khi dé, Ve > 0, 46 > 0 sao cho Is — x) | <6 thi |x 10,0) — x(2) (t,10,0) | < £ Túc là tính liên tục của se (i, j = 1,n) kéo theo Z A ? Ox;(t,to,x0) ha no

tính liên tục của Say Mb d = 1,n)

Dưới đây, chúng ta xét phương trình vi phân phụ thuộc tham số

an — g(t,x, LM),

trong d6, x EQ, t € 7 và € [ị, Hạ] là một vector tham số

Định lý 1.1.3 (Định lý về sự liên tục và khả vi của nghiệm theo tham sé)

Giả sử gí,x,) 6 CỊI x © x [Hì,Hạ],R"],g thỏa mãn điêu kiện Lipschitz với mọi

giá trị € [u, tạ] Khi đó:

(1) Vío € 1, xạ €©, Họ € [mì, Hạ] thì 3 hằng số p > 0,a > 0 sao cho khi |U — Họ| < p, nghiệm của phương trình x(t) — x(f.,fo,xo,) xác định trên |to — đ;fo + a|

phụ thuộc hiên tục vào LU

(2), gi được giải tích đối với các biến, kéo theo x(f) := x(f;fo,xọ; M) cũng giải tích đối với I0

(3) Sự khả vi liên tục của g¡ đối với các biến xị, xạ và H, kéo theo sự khả vi liên

Trang 9

x(t) = Asin(¢t + a)

x(t) =Acos(t+ a), (1.1.6)

trong đó, A và œ là hằng số, khử t trong ) thu được phương trình quỹ đạo

x2? +x” = A7, mô tả 1 họ các đường tròn khi A thay đổi Khi 0 < 2 <1, theo Định lý , quỹ đạo nghiệm của hệ ) xấp xỉ nghiệm của ) như mô tả hình Id ° 4, Xx Hình 1.1: Minh họa sự phụ thuộc liên tục vào tham số 1.2 Hàm Lyapunov

Giả sử hàm W(z) C |O,IR†], tức là W : © — IRỶ là liên tục,

W(0) =0; Vứ,x) eC|I x ©,'R!], tức AV (t,x) 21 x © — IRỶ là liên tục và

V(t,0) =0

Định nghĩa 1.2.1 Ham W(x) duoc goi la xdc dinh duong nếu

Trang 10

e W(x) duoc goi la nita xdc dinh duong néu W(x) > 0 véi x € Q

e W(x) duoc goi la xdc dinh dm néu —W(x) la xdc dinh duong

e W(x) duoc goi la nita xdc dinh dm néu W(x) <0

e Ham xdc dinh dm va xdc dinh dương được gọi là hàm xác định dâu

e Hàm nửa xác định âm và nửa xác định dương được gọi là hàm có dẫu không đổi

Định nghĩa 1.2.2 Hàm V(,x) c C [I x ©,1R!] ( hoặc W(zx) € C[Q,R'| ) dugc gọi

là thay đổi dẫu nêu 3 !\,fạ C Ï và xị,xạ € Q sao cho

V(ti,x1) > 0, VC(t1,x2) < O.(W(x1) < 0,W(x2) < 0) Vi du 1.2.1 W(x1,x2) = 3x7 + 2x3 + 2x1x2 la xcic dinh duong

Vi du 1.2.2 W(x1,x2) = x? x3 + 2x1x2 = (x1 +.x2)? ld mia xdc dinh duong

Ví dụ 1.2.3 W(x1,x2) = x} + x2 — 3xìx› là hàm thay đổi dầu

Ví dụ 1.2.4 V{(f,xị,x;) = xƒ sint +x5 cost là hàm thay đổi dầu

Định nghĩa 1.2.3 Hàm V{(¡,x) được gọi là xác định dương nếu 31 1 hàm xác định

dương W (x) sao cho

Vi(t,x) > W(x) va V(t, 0) = 0

Ham V (t,x) duoc goi la xdc dinh dm néu —V(t,x) la xdc định dương Hàm Vit,x) EC lĩ x Q,R'] được gọi là nửa xác định duong néu V(t,x) > 0 V(t,x) la

mửa xác định dm néu V (t,x) <0

Ý nghĩa của Định nghĩa {1.2.3|)được mô tả ở hình (1.2)

Ví dụ 1.2.5 V(/,xị,x2) = (2+eT?)(x12 +x¿? +xix2) là xác định dương vì

V (t,x1,%2) = (2+e7*) (xy? +x? +xị32) 3 xi? +xa? +xixa := W(xi32) O day, W(x1,x2) là xác định đương, và V{(¿,0) = 0

Vi du 1.2.6 V(t,x1,x2) = (e) (x17 + ŠX132 + x2”) là nửa xác định đương, vì

không 1 ] hàm xác định dương W (x) sao cho V(t,xì,x2) > W()

Định nghĩa 1.2.4 Hàm W(x) c C IR“,R'| được gọi là xác định dương và R.u

không bị chặn nêu W (x) xác định dương và W (x) —> + khi x — œ

Trang 11

Hain Lyaponov Vit.xJ=c |_) „V(tx)=c Xn X1] '' X1

Hình 1.2: Biểu diễn hình học của hàm xác định dương thay đổi theo thời gian Dinh nghia 1.2.5 Ham V(t,x) € C[I x R",R'| duoc goi la xdc dinh duong va

không bị chặn nếu 3 ] hàm xác định dương và không bị chặn Wa(x) sao cho V (t,x) >

Trang 12

Wi (x) <V (t,x) < Wao(x), duoc thể hiện ỏ hình (1.3)

Giả sử W(x) xác định dương với ||x|| < H Cầu trúc của W (x) rắt phức tạp, và có thể không đóng M;(x)=c V{(t,x)=ec x | “8 ee ESS oe W3(xJ=c Hình 1.3: Biểu diễn hình học của hàm xác định dương thay đổi theo thời gian với Lu.b Ví dụ 1.2.9 Xé W (x1,x2) =

Khi0<c <1, W(x1,x2) =c la duéng cong dong, nhung khi c > 1, W(x\x2) =c khéng dong that vậy khi c > Ì

W(x1,0) = = 1 —L; =c không có nghiệm hữu hạn đối với xì

2}

W(0,x2) = nở — c không có nghiệm hữu hạn đôi với x¿

2

Vậy theo hướng xỊ(xa = 0) hoặc x1(xa = 0), W(%1,x2) = c không đóng Tuy

nhiên, khi Ö < c < 1, xa = kxì,k # 0 là một sô thực bắt kỳ thì phương trình

Vậy theo hướng xị (xạ = 0) hoặc x1(xa = 0), W(%1,xa) = c không đóng Tuy nhiên,

khi Ö < c < 1, xa = kxị,k # 0 là một số thực bắt kỳ thì phương trình

kxf 4 x4

Trang 13

Có nghiệm hữu hạn xì, do dé duéng cong W(x,,x2) = c va duing thang x, = kx, có hữu hạn giao điểm Tuong tu, W(x1,x2) = c và xị = kxa(k # 0) có hữu hạn giao

điểm Do đó, W(x\,x¿) = c(0 < c < 1) là một đường đóng( nhìn hình 1.3) 1.3 Lớp hàm K

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu về lớp hàm lK và mối liên hệ giữa lớp hàm K và hàm xác định dương

Hình 1.4: V=C là 1 dường đóng gồm nhiều họ lân cận

Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm @ € [RT,RT], R* := [0;-+e) hoặc 9 € C|[0,h] ,R*|khi đó @ được gọi là W_ hàm hoặc IK_ hàm nêu thỏa mãn:

(1) @ là hàm tăng

(2) Kí hiệu @ € K, 0(0) = 0

Định nghĩa 1.3.2 Cho ọ c [R”,R”] và ọ € K, khi đó nếu lim @(r) = + thì @(r) r co

được gọi là lớp hàm , kí hiệu là 9 € KR

Định lý dưới đây trình bày về mối liên hệ giữa hàm xác định dương và hàm thuộc lớp K

Định lý 1.3.1 Cho Q := {x,||x|| < h}, cho W(x) € [Q,R'], là một hàm xác định

Trang 14

P1 (|||) < W(x) < ((|*|]) (1.3.7)

Chứng minh: Với h > 0 bất kì, ta CMR (1.3.7) đúng với ||x|| < h Đặt = inf W(x)

P(r) = et, (x)

Rõ ràng, ta có 0(0) = 0,0(r) > 0 với r > 0 và 0(r) là một hàm đơn điệu không giảm trên đoạn |0,h| Bây giờ ta chứng minh ø(z) là liên tục Vì W(+) liên tục, Ve > 0,3õ(£) > 0 sao cho Q(r2)—@(r1)= inf W(x)— inf W(x) ra <||xl|<h rị <||xl|<k = inf W(x)—W(x) ra <||x||<h < W(x1) —W(x)

< € khi bat — x9|| SŠ rạ— Frị < ô(£)

Trong đó, ta lẫy xị — xọ khi xọ € Da := {x|r¿ < ||x|| < h} Khi xọ € Dị := {x|ri < ||x|| < h} ta lấy giao điểm của đường Oxo va ||x|| = rạ như ở hình (1.5) Đặt øi (r) := #2 < 0(r) Rõ ràng, ta có Ø(0) = 0 và nếu 0 < rị < ra < h, ta có @(\) = rer) < 1902) < 2902) = 0Øi() Do đó, ơi (r) là hàm đơn điệu tăng và vì vậy ợị € K Dat W(r) :— max W(>) lxIÌ<r

Khi đó ta có (0) = 0 Bằng phương pháp tương tự, ta có thể chứng minh rằng P(r)

là hàm đơn điệu không giảm và liên tục Đặt @(r) := \(z) + kr(k > 0),

Ta có

@(1) = VữI) +kri S W(r;) +kmi < W2) + kr› = 022)

Do đó, Ø›(r) là hàm đơn điệu tăng và @›(r) € K.Từ các kết quả trên ta có

Trang 15

Lớp hàm 1 X2 ga ae Leaoic = Ss /\ \ ae, ~~ N NV X %0 / F› X „ ` XI Pcs YN) 7” \ \ fs Xx \ \ | Elf NY Pe | | \ T x { | 0 } | \ i z \ | J X1=X 9

Hình 1.5: Mối liên hệ giữa hàm xác định dương và lớp hàm IK

ø(|xll) < ø(lx|):=, inf WE) < WO) < max W(£):=W(Ix|) < @(lxl)

Do đó, ø(||x||) < W(z) < ø(|x|):

Bằng phương pháp tương tự ta có định lý dưới đây

Đỉnh lý 1.3.2 Cho W(+x) c C [R",R'| là một hàm xác định dương và R.u bất kì,

khi đó tôn tại hai hàm @\ (r), @(r) € KR sao cho: @:(I|x||) Š W(x) Š Ø(IIxlÌ):

1.4 Dao ham Dini

Dat I := [to, +e), f(t) € C |, R'] Vit € 7 bat ki thi 4 đạo hàm dưới day:

D* f(t):= im 7(f(e-+h) — FO) = lim sup7(f@+h)— FO), Q.48 ho0+ h hoot

D ƒ(/):= lim 7(f(e-+h) h—›0T — FQ) = lim inf (f+) FO), 049 h>0r

Trang 16

D-ƒ():= lim }(ƒ0+h)— ƒ()) = lim sp; (ƒ(+h)— f(0), (1.4.10) ho0-h h—0~

D_ƒ():= lim 7.(ƒ(+h)~ ƒ()) = lim inf (+A) —f), 044D h—>0~ h0”

tương ứng gọi là đạo hàm phải trên, phải dưới, trái trên và trái dưới của f(t) va dudc

goi la cac dao ham Dini

Nhận xét: Nếu ƒ(7) thỏa mãn điều kiện Lipschitz, thì 4 đạo hàm Dini là hữu hạn Hơn thế nữa, đạo hàm của ƒ(7) tồn tại khi và chỉ khi 4 đạo hàm Dini bằng nhau

Cho một hàm liên tục, mối quan hệ giữa sự đơn điệu và dấu của đạo hàm Dini được

xác định như sau

Định lý 1.4.1 Điều kiện cần và đủ để ƒ(t) EC [I , R'|, don điệu không giảm trén I

là D* f(t) > 0, voit ET

Chứng minh:

Điều kiện cần là rõ rang vi f2 > t, kéo theo f(t2) > f(t)

Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ Trước tién gia sit D* f(t) > 0 trén I Néu cé 2 diém a, B EI vaa < B saocho f(a) > f(B), khi dé Sy thoa man f(a) > p > f(B)

và điểm t € [a, B] sao cho f(t) > u Dat € = Sup {t: f(t) > uw} khi do € € [œ, BỊ va su lién tuc cua f(t) tacé f(€) = wu Do do, voit € [€, B] ta có

fo) — FS) <0 (1.4.12)

t—¢

Do dé ta c6 Dt f(E) < 0, diéu nay mau thuan véi gid thiét Vay f(r) 1a ham don điệu không giảm

Tiếp theo, giả sử rang D* f(E) > 0 khi đó với É > 0 bat kì ta có

D*(ƒ0))+§()=P*ƒ()+§ >§ >0 (1.4.13)

theo chiing minh trén thi f(t) + €¢ 1a ham don điệu không giảm Với € tiy y vi vay f(t) la ham don diéu khéng giam trén I Dinh ly được chứng minh

Chi y 1.4.1 Néu ta thay thé D* f(t) > 0 bdi Ds f(t) > 0, khi dé diéu kién du cua

dinh ly (1.4.1) van ding Tuong tu néu ta thay D* f(t) > 0 bdi D™ f(t) > 0 hodc D_ ƒ(t) >0 và do đó, bất kì 1 trong 4 đạo hàm Dini không âm thì ƒ(t) là hàm không

giảm

Trang 17

phân Xét hệ phương trình vi phân cho bởi

dx

—=fi(t 1.4.14

trong do f (t,x) €C|I x R",R"

Dinh ly 1.4.2 Gid swV (t,x) EC [7 x Q,R'] ,QCR",0 EQ, V(t,x) théa man diéu kién Lipschitz déi véi x, tức là

\V(t.x) -Vit,y)| <L||x—y|] ,Vx,y € O,Vt ET

Khi đó đạo hàm phải trên và đạo hàm phải dưới cua V(t,x) doc theo nghiém x(t)

của (1.4 14) có dạng dưới đây D”V(.x()) Ì(1.4.14) — Ì = jim —[V(t-+h,x) +hf(t,x) -V(t,x))], h—-0+ h (1.4.15) DV (t,x(t)) |(1.4.14) _ im IV (¢+h,x) +hf(t.x) -V(e2))] hoor (1.4.16)

Chitng minh Giả sử nghiệm x(7) xác định trong miền 7 x © Với (/,x) € ï x ©

(+h,x+hƒ(,x)) €U,(t+h,x(t+h)) €U Goi L 1a hang sé Lipschitz cua V(t, x)

Trang 19

A A A J + ® +, ^

1.5 Mot so bat đang thức vỉ tích phân

Trong phần này,chúng tôi đề cập đến 1 số bất đẳng thức vi tích phân, chúng rất

quan trọng và có ý nghĩa với sự ổn định

Dinh lý 1.5.1 Gia sw ham @() là liên tục |t < t < b và đạo hàm phải dưới Dini D Q(t) tôn tại thỏa mãn bắt đẳng thức vi phân D+o() < F(t, P(t), P(t) = 6, (1.5.26) trong dé, F (t,x) € C [Ix Q,R'| ,(t,9()) € 1 x Q néu x®(t) la nghiém én nhdt |[z,b) của hệ phương trình dt (1.5.27) Khi đó p(t) < O(t)(t <t <b)

Định lý 1.5.2 Giả sứ hàm ƒ(f,x) liên tục |R = {(t,3) |t — t| < a— |x— Š| < b} và không giảm đối với x,x = 0() là liên tục, và khi |t — t| < a, (t, p(t)) ER, p(t) théa mãn bắt đẳng thúc tích phân g(t) <é + J F(6,06 \)ds,t<t<t+h (1.5.28) P(t) <6, và ®(f) thỏa mãn phương trình vi phân trên + < t <S t+h dx —_ t ar = (63) (1.5.29) x(T) = Khi đó, ta có bắt đẳng thức 0@() < ®ƒ), € |£,+ + hị, (1.5.30) trong dé, h= min(a, %),M = max|f(t,x)| £,x€R

Hệ quả 1.5.1 (Bái đẳng thức Gronwall-Bellman) Giả sử rằng g(t) và u(t) là các

hàm thực không âm liên tục, và c là 1 hằng sô không âm Khi đó nêu

inser [sls E)dé Vt € [fo f1] (1.5.31)

Trang 20

thi Js(š)d u(t) <C.# (1.5.32) là đúng Chứng mỉnh Xét hệ WE) — o(t)V(t a = 8()V (0) (1.5.33) V to) =C fe(é)a(é) có nghiém V(t) = C.¢ fe(é)a(€)

Tacé u(t) < V(t) =c.é theo Dinh ly (1.5.2)

Dinh ly 1.5.3 (Dinh li so sánh thứ nhất).Cho ƒ(t,x) và F(t,x) là các hàm liên tục trên G|, thỏa mãn bắt đẳng thức f(t,x) < F(t,x), (t,x) €G (1.5.34) Kí hiệu x = 9(t),y = P(t) tuong ting la nghiém cua cdc hé phuong trinh vi phan hé sau: dx ox — f(t,x ar = SG) (1.5.35) x(T) — ễ, dx — F(t, x a = FG) (1.5.36) x(T) =§

Khi đó ta có các kết quả đưới đây:

(1) 0() < ®(), khi t > + và ! thuộc khoảng tôn tại chung (2) p(t) > ®(), khi t < + và ! thuộc khoảng tôn tại chung

Chitng minh Dat g(t) = P(t) — @(7) vì

g(t) = P(t) — 0() =š —§Š =0,

g(t) =® (t)-—@'(t) =F(t,€)— f(t, €) > 0 Do dd, khi 0 < r— z< 1,g(/) >0

đúng Nếu trong khoảng tổn tại chung, tổn tại t > T sao cho

p(t) > B(t) (1.5.37)

Dat @ = inf {t > T: p(t) > ®(f)} vì vậy với + < a&, g(a) = 0, g(t) > O(t <t <0),

Do đó, ø (œ) < 0 Nếu trái lại,

Trang 21

g (a) = (at) — Ø'(œ) = F(œ,®(8)) — f(a, p(a)) > 0

Vì g(œ) =0, ta có ®(œ) = 0(œ), điều này là mâu thuẫn Do đó, kết luận (1) đúng

Bằng phương pháp tương tự, ta chứng minh được kết luận (2) cũng đúng

Dinh ly 1.5.4 (Dinh lí so sánh thứ hai) Giả sử ƒ(t,x) và F(t,x) liên tục trên GŒ, và

Trang 22

Chương 2

Sư ổn định Lyapunov

2.1 Định nghĩa sự ổn dinh Lyapunov

Ta xét hệ vật lí, được mô tả bởi phương trình vi phân thường dưới đây dy - + =8) (2.1.1) trong đó,O C R",0€Q,¢ €C[I x Q,R") Giả sử rằng nghiệm bài toán Cauchy trong là duy nhất Đặt y:= (WI,W2;. ;Vn)” ) s(,y) := (ø1,y), øn(,y)) Giả sử rằng ÿ — ø(7) là 1 nghiệm của (2.1.1|), bằng phép biến đổi x — y— 0() hệ (2.1.1) được đưa về dạng — =g(,x+0(0))— #ứ,Ø()) := /(.3) (2.1.2)

Do đó, nghiệm y = 0(7) của phương trình (2.1.1) tương ứng với nghiệm x = 0 của

(2.1.2) Vì vậy, ta chỉ nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x = 0 của (2.1.1|) Giả sử

Trang 23

f €C[I x Q,R"] va nghiém cua bai todn Cauchy 14 xdc dinh duy nhat f(t,x) =0

néu x = 0, x(/,fo,xo) là nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu x(fọ) = xọ; x(,fo,xọ) là

1 hàm của các biến /,fạ, xụ

Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm không x — Ô của được gọi là ổn định nếu Ve >

0,Vio € 1,46 > 0 sao cho V(3o), ||xol| < 5(€,&) thi ||x(t,t0,x0)|| < £ với t > to

Nghiệm không x = 0 của được gọi là không ổn định, nêu 3êạ, 3tạ,Võ > 0, 1xo(Vxo), ||xo|| < ổ nhưng At, > to sao cho ||x(t),to,x0)|| > €o Xn ‘ H IXR ni R— +v | © ⁄ \ | i ồ | | LAI Z X | [| \ \ lo - / HN = % L “5 \ XY {= Sx x(t, hb, Xo) ⁄ 2 & Z NK fi Oo š = XI Hệ ôn định Hình 2.1: Hệ ổn định

Định nghĩa 2.1.2 Nghiệm không x — 0 của (2.1.2 được gọi là hệ ổn định đêu đối

với fạ , nếu Ve > 0,3õ(e) > 0 (ỗ(£) là độc lập với tạ) sao cho ||xo|| < ồ nghĩa là \|x(t, to, xo) || < €,t > to

Dinh nghĩa 2.1.3 Nghiệm không x — 0 được gọi là ổn định mũ nếu

Ve >0,3Â >0, 3ổ(£),Vío € 1, |lxol| < 6 thi ||x(t,t9,x0)|| < €.e74 9) ,t > tp

Định nghĩa 2.1.4 Nghiệm không x — 0 được gọi là ổn định mũ toàn cục nếu:

Võ >0,3Â >0,3K(ð) > 0, khi ||xo|| < 5, ta cd

\|x(t, t9,x0) || < K(5).e-*"—) Vt > to

Từ nhiing dinh nghia trén, ta c6 thé tim méi quan hệ giữa sự ổn định và hấp dẫn, điều này sẽ được thảo luận ở phần tới

Trang 25

Nghiệm tổng quát của là

#1 (f) = xI(fo)cos(f — fo)sin(f — fo),

x2(t) — x1(fo)sin(f — fo) + xa(fo)cos(f — to)

Suy ra x1(t) +x2() = x1(o) +2(o).Ve > 0 đặt ồ = õð(£) = e Khi 0 < xJ(o) +

x2(fo) < 6, ta có

x2()+x2() <O=€E Do đó, nghiệm không của (2.2.3) là hệ ổn định đều

Ví dụ 2.2.2 ( Ổn định mũ nhưng không ổn định mũ toàn cục) Xét phương trình

(2.2.4)

Nghiệm tổng quát

X(t ,to,Xo) =

Xét 1 mién Q, := {x||x|| < rp < 1} Ve > 0, dat 6 = min{r,,(1—1,)e} Khi đó, với to € [to, +09), | Xo |< 6 vdi moi t > ty ta cd xee É~16) ¬ — 2.2 | xỨ.fa,%a) | l—xc mm (2.2.5) = ge t-te) < ge~ữ~—!9) với 0 S xạ <rạ —(f—f¿) | x(t,toxo) |= Pal? < lx;le-ứ-®) (2.2.6) I—za(1 — e—(t-to)) < €e"'-o) < ¢ yi —r, <x, <0

Từ biểu thức trên, ta thấy nghiệm không là nghiệm ổn định mũ Nhưng nếu ta lấy

† —fọ, xạ — Ì, thì nghiệm x(f,fạ,xạ) = 1 với (t —> +) Do đó, nghiệm không thì

khơng ổn định mũ tồn cục

2.3 Phuong pháp Lyapunov thir 2

Trang 26

trong đó ƒ1, ƒ› € CỊI, R”] thoả mãn ƒ¡ (0,0) = fo(0,0) = 0, và giả sử rằng nghiệm

của là duy nhất

Cho V(x) = V(\,x¿) € K và V(z) c C![RZ7, R!] Nghiém x(t) = (x1(t),x2(t))? 1a chưa biết hoặc tìm nghiệm là rất khó, nhưng giả sử rằng đạo hàm x(/) nó thoả mãn

(x1 (t),42(¢)) = (fi 1,22), fo(o1,22))

Néu ta thay thé nghiém x(t) vao ham V(t), tac6d V(t) := V(x(t)) Khi d6 su 6n dinh

va không ổn định được mô tả như sau:

"Dao động xung quanh vị trí ban đầu", "Rời khỏi vị trí ban đầu", AV (x(t) — 9 AV (x(t)

tudng duong vdi V (x(t)) la khong giam va tang ttic 1a i <q > 0,

Trang 27

Hình 2.5: Biểu diễn hình học của phương pháp Lyapunov

trong đó @ là góc giữa hướng của gradV và vector ƒ (nhìn hình 2.5) Biểu thức cuối

độc lập với nghiệm x(/), chỉ phụ thuộc vào hàm V(x) và vector ƒ(x) đã biết Đây là mô tả hình học của phương pháp Lyapunov thứ 2

2.3.2 Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định và ổn định đều

Xét hệ

d

7 — f(t,x) (2.3.8)

trong d6 x = (x1, ,%n)’ ER", f= “Uhh, .+;ƒq}” € C[I x R", R"] thỏa mãn điều

kiện duy nhất nghiệm của (2.3.8) và ƒ(,0) =0

Định lý 2.3.1 Điêu kiện cần và đủ đểnghiệm không của hệ ổn định, là tôn

Trang 28

Ve > 0(0 < € < A), 4d(t,,€) > 0 sao cho V(t,,0) = 0 va V(to,x) > 0 là liên tục và khi || x ||< d(to, €), ta cd

Vứ„,xạ) < P(E) (2.3.11)

Cac phuong trinh (2.3.10) va (2.3.11) kéo theo

V(t, x(t,to,X0)) < V(to,X0) < O(E) (t > to)

Hơn nữa, 0(|| x(f,f¿,xa) ||) < V(,x(f¿,x¿)) < Vito, Xo) < P(E) (t >to)

Ty 9 € K tacé

|| xứ,fø,xe) I|< € (¢ 2 to)

tức là nghiệm không của (2.3.8) là ổn định

Điều kiện cần: cho x(/,f¿,)là nghiệm của (2.3.8) Từ duy nhất nghiệm, ta có

a(f¿,f,x) = x hình (2.6) Đặt

V(t,x) = (1+e7) || a(t,,t,x) ||* (2.3.12) Khi t và x thay đổi trên những đường cong tích phân thì a(7¿,,x) không thay đổi

Nhưng khi t và x thay đổi trên những đường cong tích phân thì z(/¿,f,x) nhận các

giá trị khác nhau.Theo định lí về sự phụ thuộc vào giá trị ban đầu ta có V (,x) của

(2.3.12) la lién tuc

(1) Chứng minh V(/,x) là xác định dương Ve > 0, 31ổ(¿,£) > 0 khi || x ||< 6

lÌ x(f;fa,đ) ||< E(t > to) Do đó, với e <|| x ||< H, ta có || a(to,t,x) ||=|| a ||> 6 > 0 (2.3.13) Do vậykhie <|| x ||< H, V(t,x) >I| a(to,t,x) |/P=|] a ||? > 6° = 0 > 0 H Pa — — —= —.,., , —= ` wel = 78 = 3: n+l H H T]a > > Tị„ sao cho V(f,x) > TỊ„, trong khoảng £„ — xi <|| x ||< = =£„—] En Khi đó, ta được các gia tri tudng ting 7) > Xây dựng hàm nn+] H

We) = Mar +E ( —ei)(xll=>=)

Trang 30

Ni + Mn — Nn+1 = Nn (2.3.15)

H

— S| x||S = Do d6, V(¢,x) > ma > wx) > w) Từ w(0°) < Vứ,0) =0,

ta có thể định nghĩa(2) cùng một nghiệm bắt kì của (2.3.8) ta có

V(t) :=V(t,x(t,to,a)) = (1+) || a(to,t, x(t,to,a)) ||? VỚI = (1+e™) || a(to,to,4) ||=|| 1 +e) lla ||’ (2.3.16) Vay, dV / ay | (4:21) =e || altorto*(t,0>4)) || <0 (2.3.17) => Định lí (2.3.1) được chứng minh

Ví dụ 2.3.1 Nếu sự xác định dương của V(t†,x) được thay đổi điều kiện V (t,x) >

0(x #0),Vứ,0) =0, 0ì kết luận của Định lí là không đúng Xét: dx; _ 1 —it — AX] - ’ (2.3.18) “dt = 22 Nghiệm tổng quát là xy = x98 e3(—®) (2.3.19) Xa =2" e2 (10) Rõ ràng nghiệm không là không ổn định Nhưng nếu ta xây dựng một hàm V(,x) = (x1 +15)e~” Khi đó V(,0) = 0,V(,x) > 0.Với x # 0 qv _ OV , OV dx | OV dx dt ot ot, dt Ot dt = —2e~7# (xt + x3) +677 (x? +33) = —e 74 (x4 +25) <0 Dat V(t,x) = af +x3)e7 =C, tic 1a x2 +32 = C.e” (2.3.20)

Trang 31

Định lý 2.3.2 Nghiệm không của là ổn định đều khi và chỉ khi 3V (t,x) €

C[Gn, R] với I.U.b sao cho D”Vứ,x)|s¿a <0: (2.3.21) Chitng minh Điều kiện đủ Từ điều kiện đã cho, 3Ø, Ø € K sao cho Ø¡(|| z |) < Vữ,x) < (| z ||): Khi đó, Ve > 0(e < H) đặt ổ = Ø; !(@¡(£)), tức là e£ = Ø; !(Ø(ô)), ta có P1(|| x(t,%0,%0) ||) < V(t,x(t,to,X0)) S V(to,%0) Š Ø(|| xe ||) < Ø(9)

Khi đó, || xo ||< 6, ta có điều dưới đây

|| x(.fs;xø) |Í< Ø; *(Ø›(ð)) = eŒ > ro) Tuy nhiên, ổ = Ø; ˆ(Ø¡(£)) = ð(£) là độc

lập của £„ Vậy nghiệm không là ổn định đều Điều kiện cần Chọn V(t,x):=(1+e) inf || p(t,t,x) ||? (2.3.22) toXT<t (1) R6 rang, V(t,x) 1a lién tuc va V(t,x) <2 || p(t,t,x) ||?=2 || x ||* Vay V(t,x) la LU.b

(2) Chitng minh V(t,x) là xác định dương Từ nghiệm không của (2.3.8) là ổn định

đều Ve > 0, 1ổ(£), khi || a ||< 0, Vt >t, vat > 7, ta cd || x(t, 7,a) |< (2.3.23) Do đó, khi e <|| x ||< H,Vt > 7 > to, ta có || p(7,t,x) |= 6 >0 (2.3.24) Trai lai, cho x*, t*,t*,€ <|| x* ||< H,tạ < +" < f*, ta có (nhìn hình 2.9) | p(z*.f",x*) < õ Dat a = p(t*,t*,x*).Khi do, ta cd x* = p(t*,t*,a)

Từ sự ổn định đều, khi || z ||=|| p(t*,0°,x*) |< 4, || p(t,t*,4) ||< e với mọi t > +", Đặc biệt, khi £ = f* > t*,|| p(t, t*,a) ||=|| x* ||< e, điều này mâu thuẫn

|| x" ||> e Vậy (2.3.23) là đúng

Tương tự như Định lí (2.3.2),ta có thể xây dựng một ham xác định dudng w(x) sao

Trang 32

T t* Hình 2.8: Mối quan hệ giữa a(Z*,f*,x*) và x(, fọ, 4) cho V(t,x) > w(x) Do đó, V(,z) là xác định dương (3) Ta chứng minh D’V(t,x)|(2.3.3) < 0 Tu x = p(t,to,a) cùng một nghiệm bất kì của (2.3.8) ta có VỆ) = V(t, P(t,to,a)) — —Í Y 4

=(1+e ) int, | P(t,t, p(t, to,4)) ||

=(1+e™) inf || p(t,t,a) || toST<t biểu thị rằng V (7) là một hàm tăng không đổi của £ như một kết qua, D'V (t,x) |(2.3.8) < 0 là đúng Dinh li (2.3.2) được chứng minh Xét Ví dụ 2.3.2 tì =—(xịT—2x2)(1—x2?— 342) (2.3.25) O2 — — (xy +1)(1 —x} — 333) Chọn hàm V (t,xì,xa) = xƒ + 2x2 Rõ ràng hàm đó là xác định dương Đạo hàm của hàm này theo t trong nghĩa của hệ là

dV dt ~— ox,‘ _ OV dị | dV dep dt Ox," dt

Trang 33

= 2x; (2x2 —x1)(1 —xf — 3x3) — 4x2 (x1 +x2)(1 — x} — 323)

= —2(1 —x}? — 3x5) (x? + 2x5) < 0 với x1, x2 di bé

Ta thấy rằng tắt cả các diéu kién của định lí trên được thỏa mãn, vì vậy nghiệm

xì =0,x¿ =0 của hệ đã cho ổn định

2.3.3 Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định mũ

Dinh lý 2.3.3 Cho ƒ(,x) c CỈI x R",R"], f(t,0) =0 và ƒ thoả mãn điêu kiện

Lipschitz với x Khi đó nghiệm không của là ổn định mũ toàn cục khi và chỉ khi tôn tại V (t,x) C[I x TR",IR†] sao cho:

(1) l|z l|< Vữ.x) < K(@) ||z ||;x € Sa := {x:=||x |< &}

(2) salen < —q.cV(t,x), dddy0<q<1,c>0,p,c la hang sé

Nhận xét Điều kiện đủ:Vœ > 0, khi xạ € Sạ, đặt x(/) :— x(f,f¿,x¿) Với điều kiện (2), ta có: d 3Ÿ 0.x)) Š —caV(,xÉ)): (2.3.26) Xét phương trình so sánh d T — —C.q.M (2.3.27) Dat uo — V(f,,x¿) Khi đó, W(f,f¿, uạ) — H„.e_— C4ữ—1o), Theo định lí so sánh, ta có

Vứ,x(f)) < uạ.e—°4ữ—1ø) = V (to, x9) e O80) + > tạ

Theo điều kiện (1) ta có

| xứ) IS V(t,x(t)) < K(@) || x0 |] ee) = K(@) || Xo || 6 44) (A = ca > 0)

„ tức là

| x(¢stosto) SK (oe) |] xo |] eH) (#2 ty

Vậy nghiệm không của là ổn định mũ toàn cục

Điều kiện cần Cho nghiệm không của (2.3.7pla ốn định mũ toàn cục, vậy tổn tại

hằng số c > 0 sao cho Va > 0, 4K(a@) > 0, khi xạ € S

lIx(/,f¿,x¿) ||< K(a) || xo || ee’ (2.3.28)

V6i O < q < 1, dinh nghia ham

V(t,x) := sup || x(t+7,t,x) || ¿

Khi đó, Vx € Sq, ta cd:

(1) || x {|< V(t,x) < supK (a) || x || ee" = K(a) || x || supe" < K(a) || x |

Trang 34

tức là ||x l|< Vứ,x) < K(ø) |z ||: (2.3.29) (2) Dat x* = xứ + h,£,x) Khi đó ta có Vự +h,t,x*) = sup || xứ +h++,t+h,x") || cứ = sup ||x(f+h++.t,x) || < sup || xí +h.t,x) || e?.e—°4 — V(t,x)e— 4, Hơn thế nữa, ta có V(t +h,x*)—Vit ( + *) (t,x) <V(t,x)= —egh b _ Ị Do đó, ta có dV V(t+h,x*) —V(t,x) hư mm —— dt (4241) Ao = li h < lim „sút (143) V(t h —cqh

=V(¢,x) lim ⁄ —— = —eqV (t,x) tite 1 —>

dV 424) < —caV(¡,x) Định lí được chứng minh c1 1z ,

Trang 35

Kết luận

Sau khi hoàn thành khóa luận này đã nêu bật được những nội dung dung chính sau đây:

1 Chương 1: Ở chương này, tôi đã trình bày 1 số định nghĩa, ví dụ, các mối

quan hệ tương đương cũng như biểu diễn hình học của hàm Lyaponov và lớp

hàm 1 Sau đó, việc cung cấp đạo hàm Dini của ham Lyaponov va 1 s6 bat

đẳng thức vi tích phân cũng làm sáng tỏ hơn về mục đích, ý nghĩa của sự ổn

định

2 Chương 2: Chương này giới thiệu về đặc điểm, ý nghĩa của sự ổn định

Lyaponov, đặc biệt là phương pháp Lyaponov thứ 2 Tôi đã trình bay ro 1

số định nghĩa về sự ổn định Lyaponov, đồng thời đưa ra 1 số ví dụ cụ thể để làm sáng tỏ mối liên hệ giữa các dạng ổn định Đối với phương pháp Lyaponov thứ 2 tôi đã đưa ra các minh họa hình học nhằm thể hiện rõ nội

dung, ý nghĩa của phương pháp này Ngoài ra chuơng này còn cung cấp điều

kiện cần và đủ cho sự ổn định, ổn định đều, ổn định mũ và ổn định mũ toàn

CỤC

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	4,04 MB