Khảo sát tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính bằng phương pháp thứ nhất của liapunov

1 Mục lục Mở đầu .2 Chơng 1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định 1.1. Các định nghĩa. 4 1.2. Các định lý về ổn định của hệ vi phân tuyến tính 7 1.3. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 9 1.4. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng số 11 Chơng 2. Số mũ đặc trng 2.1. Số mũ đặc trng của hàm số 13 2.2. Số mũ đặc trng của ma trận hàm .19 2.3. Phổ của hệ tuyến tính thuần nhất 21 2.4. Hệ cơ bản chuẩn .24 Chơng 3. Khảo sát tính ổn định của hệ phơng trình vi phân bằng phơng pháp thứ nhất của Liapunov 3.1. Định lý điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân tuyến tính .32 3.2. Các hệ dẫn xuất - Định lý Erughin .33 3.3. Định lý Floke .36 3.4. Hệ vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số tuần hoàn .41 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo .52 2 MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Lý thuyết ổn định được ứng dụng ngày càng nhiều ở các lĩnh vực khác nhau, nhất là trong kinh tế và khoa học kỹ thuật, trong sinh thái học và môi trường học. Với lý do trên, lý thuyết ổn định đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và phát triển ở cả hai hướng ứng dụng và lý thuyết. Trong [5], Демидович Б.П đã trình bày hai phương pháp cơ bản để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân. Đây là những kết quả kinh điển nhất của lý thuyết này. Một trong hai phương pháp quan trọng để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân là phương pháp số mũ đặc trưng của Liapunov (hay còn gọi là phương pháp thứ nhất của Liapunov). Đây là phương pháp hiện đang được nghiên cứu mạnh mẽ và có nhiều kết quả đáng kể, đặc biệt là trong lý thuyết phương trình vi phân trong không gian Banach. Cơ sở của phương pháp này là khái niệm về số mũ đặc trưng Liapunov. Khái niệm này có thể mở rộng được cho các hàm trong nhiều loại không gian như không gian Banach . Phương pháp thứ hai của Liapunov cũng được áp dụng nhiều trong việc nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi phân, nhất là các hệ phi tuyến mà ở đó khó có thể áp dụng được phương pháp thứ nhất. Cơ sở của phương pháp này là tìm các hàm ),( Xtv thoả mãn các điều kiện nhất định và gọi đó là các hàm Liapunov. Tuy nhiên không có một phương pháp chung nào để xây dựng các hàm Liapunov khi chưa biết nghiệm của hệ phương trình vi phân. Vì vậy phương pháp thứ nhất đã thể hiện được tính ưu việt trong việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ vi phân thông qua các dạng của vế phải mà không phải giải cụ thể các hệ này. 3 Trên cơ sở tham khảo các tài liệu về phương trình vi phân và lý thuyết ổn định của các tác giả Hoàng Hữu Đường [1], Nguyễn Thế Hoàn [2], [3], Trần Văn Nhung [3], Демидович Б.П [5] ., dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Quang Hải đề tài nghiên cứu về " Khảo sát tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính bằng phương pháp thứ nhất của Liapunov ". Nội dung của đề tài được thể hiện trong Luận văn qua ba chương như sau: Chương 1 đưa ra các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định và các định lý về sự ổn định của các hệ vi phân tuyến tính. Chương 2 trình bày các khái niệm số mũ đặc trưng của hàm số, số mũ đặc trưng của ma trận hàm, phổ của hệ vi phân tuyến tính, hệ cơ bản chuẩn và các tính chất cơ bản của chúng. Chương 3 là nội dung trọng tâm của Luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết các kết quả cơ bản của phương pháp thứ nhất của Liapunov v à vận dụng phương pháp này khảo sát tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Quang Hải. Qua đây tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy giáo trong Khoa Toán - Trường Đại học Vinh, đặc biệt là PGS. TS. Tạ Quang Hải, TS. Phan Lê Na, PGS. TS. Đinh Huy Hoàng, PGS. TS. Trần Văn Ân, TS. Tạ Khắc Cư, PGS. TS. Nguyễn Nhụy cùng các Thầy cô trong Khoa Đào tạo Sau Đại học và các bạn học viên lớp Cao học XI – Toán đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn. Vinh, tháng 12 năm 2005 Nguyễn Thị Vân 4 Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA Xét hệ phương trình vi phân chuẩn dt dy j = f j (t, y 1 ,y 2 , .,y n ), j = n,1 , (1.1.1) với t là biến độc lập, n yyy ,,, 21  là các hàm cần tìm; j f là các hàm xác định trong bán trụ: T = I t + × D y, I t + = { } +∞<< tt 0 và D y là một miền mở thuộc R n , ở đây 0 t là một số hoặc ký hiệu ∞− . Đưa vào các ma trận Y =             n y y y  2 1 = colon ( ) n yyy ,,, 21  , ),( YtF = colon ( ) ),(,),,( 1 YtfYtf n  . Khi đó (1.1.1) có thể viết lại dưới dạng phương trình véctơ ma trận dt dY = ),( YtF . (1.1.2) Hàm véctơ Y = )(tY ∈ C 1 xác định trong ( ) ba, ⊂ I t + thỏa mãn phương trình (1.1.2) được gọi là nghiệm. 5 Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm η = )(t η ( ) +∞<< ta của hệ (1.1.2) được gọi là ổn định theo Liapunov khi ∞→ t nếu với mọi ε 0 > và ∈ 0 t ( ) +∞ ,a tồn tại δ = ),( 0 t εδ 0 > sao cho i) Tất cả các nghiệm Y = )(tY của hệ (1.1.2) ( bao gồm cả nghiệm η = )(t η ) thỏa mãn điều kiện )()( 00 ttY η − δ < , (1.1.3) xác định trong khoảng ( ) +∞ , 0 t . ii) Đối với các nghiệm đó ta có )()( ttY η − ε < khi +∞<< tt 0 . (1.1.4) Nhận xét 1.1.1. Nghiệm tầm thường 0)( ≡ t η ( ) +∞<< ta ổn định nếu với mọi 0 > ε và ( ) +∞∈ , 0 at tồn tại δ = ),( 0 t εδ 0 > sao cho từ bất đẳng thức )( 0 tY δ < suy ra: )(tY ε < với mọi nghiệm )(tY của hệ (1.1.2), +∞<< tt 0 . Định nghĩa 1.1.2. Nếu số δ có thể chọn không phụ thuộc vào thời điểm đầu 0 t , tức là δ = )( εδ thì ổn định được gọi là ổn định đều. Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm η = )(t η ( ) +∞<< ta được gọi là không ổn định theo Liapunov nếu với 0 > ε nào đó, ( ) +∞∈ , 0 at và 0 > δ tồn tại nghiệm )(tY δ và thời điểm 1 t = )( 1 δ t 0 t > sao cho )()( 00 ttY η δ − δ < và )()( 11 ttY η δ − ε > . Nghiệm tầm thường 0)( ≡ t η không ổn định nếu với 0 > ε , ( ) +∞∈ , 0 at và 0 > δ tồn tại nghiệm )(tY δ và thời điểm 01 tt > sao cho 6 )( 0 tY δ δ < , )( 1 tY δ ε > . Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm η = )(t η được gọi là ổn định tiệm cận khi ∞→ t nếu i) Nghiệm này ổn định theo Liapunov. ii) Với ( ) +∞∈ , 0 at tồn tại ∆ = 0)( 0 >∆ t sao cho tất cả các nghiệm Y = )(tY , ( ) +∞<≤ tt 0 thỏa mãn điều kiện )()( 00 ttY η − ∆< có tính chất ∞→ t lim )()( ttY η − = 0 . (1.1.5) Nghiệm tầm thường 0)( ≡ t η ổn định tiệm cận nếu nó ổn định theo Liapunov và ∞→ t lim )(tY = 0 khi )( 0 tY ∆< với mọi nghiệm )(tY . Hình cầu Y )( 0 t ∆< với 0 t cố định được gọi là miền hấp dẫn của vị trí cân bằng 0 . Định nghĩa 1.1.5. Giả sử hệ (1.1.2) xác định trong không gian Ω = { } +∞<<∞− t × { } . +∞< Y . Nếu nghiệm η = )(t η ( ) +∞<< ta ổn định tiệm cận khi ∞→ t và tất cả các nghiệm Y = )(tY , ( ) attt >+∞<< 00 , có tính chất (1.1.5), tức là ∆ = ∞ thì nghiệm η = )(t η được gọi là ổn định tiệm cận hoàn toàn. Nói cách khác, trong trường hợp ổn định tiệm cận hoàn toàn của nghiệm )(t η toàn bộ không gian K n là miền hấp dẫn của nó. 7 1.2. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dt dY = )().( tfYtA + , (1.2.1) với ∈ )(),( tftA C ( ) + t I . Giả sử dt dX = XtA ).( , (1.2.2) là hệ thuần nhất tương ứng. Định nghĩa 1.2.1. Hệ tuyến tính (1.2.1) được gọi là ổn định (hoặc không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = )(tY của nó ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov khi ∞→ t . Định lý 1.2.1.([2], [5]) Điều kiện cần và đủ để hệ (1.2.1) ổn định với số hạng tự do tùy ý )(tf là nghiệm tầm thường 0)( 0 ≡ tX ( ) +∞<< tt 0 của hệ thuần nhất tương ứng ổn định. 8 Hệ quả 1.2.1.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính ổn định nếu một nghiệm nào đó của hệ ổn định và hoàn toàn không ổn định nếu một nghiệm nào đó của hệ không ổn định. Hệ quả 1.2.2.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định khi và chỉ khi hệ thuần nhất tương ứng ổn định. Định nghĩa 1.2.2. Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) được gọi là ổn định đều nếu tất cả các nghiệm )(tY của hệ này ổn định đều khi ∞→ t đối với thời điểm đầu 0 t . Định lý 1.2.2.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm tầm thường 0)( 0 ≡ tX của hệ (1.2.2) ổn định đều khi ∞→ t . Định nghĩa 1.2.3. Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm )(tY của hệ này ổn định tiệm cận khi ∞→ t . Định lý 1.2.3.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thường )( 0 tX 0 ≡ của hệ thuần nhất tương ứng (1.2.2) ổn định tiệm cận khi ∞→ t . Hệ quả 1.2.3.([2], [5]) Để hệ (1.2.1) ổn định tiệm cận với số hạng tự do tùy ý )(tf cần và đủ là hệ thuần nhất tương ứng ổn định tiệm cận. 9 1.3. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ thuần nhất dt dX = XtA ).( (1.3.1) với ∈)(tA C ( ) + t I . Định lý sau chứng tỏ rằng tính ổn định của hệ (1.3.1) tương đương với tính giới nội của nó. Định lý 1.3.1.([2], [5]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.3.1) ổn định theo Liapunov khi ∞→ t khi và chỉ khi mỗi một nghiệm X = )(tX , ( ) +∞<≤ tt 0 của hệ này giới nội trên bán trục +∞<≤ tt 0 . Định lý 1.3.2.([2], [5]) Hệ tuyến tính thuần nhất (1.3.1) ổn định tiệm cận khi ∞→ t khi và chỉ khi mọi nghiệm )(tXX = của nó dần về 0 khi ∞→ t , tức là 10 0)(lim = ∞→ tX t . (1.3.2) Hệ quả 1.3.1.([5]) Hệ tuyến tính ổn định tiệm cận là ổn định tiệm cận hoàn toàn. Chú ý 1.3.1. Đối với hệ vi phân không tuyến tính sự dần về không của tất cả các nghiệm nói chung không suy ra được tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của nó. Ví dụ 1.3.1. Xét hệ        −= −= t y dt dy xyt t x dt dx 22 1 ≥ t . Hệ đã cho có nghiệm tầm thường ( ) 0,0 . Tích phân hệ trên ta có      = = − t C y etCx tC 2 1 2 2 Đặt 1 0 = t , ta có      = = −− t ty ty ettxtx tty )( )( .).()( 0 )1)(( 0 0 2 Rõ ràng 0)(lim)(lim == ∞→∞→ tytx tt . . các kết quả cơ bản của phương pháp thứ nhất của Liapunov v à vận dụng phương pháp này khảo sát tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn trình vi phân bằng phơng pháp thứ nhất của Liapunov 3.1. Định lý điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân tuyến tính. 32 3.2. Các hệ