Về sự ổn định các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính

Lời nói đầu Lý thuyết về sự ổn định các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính là một trong những hớng nghiên cứu của lý thuyết phơng trình vi phân thờng. Vì thế nắm vững sự ổn định các nghiệm và những ứng dụng của nó là một điều rất mới mẻ đối với mỗi sinh viên ngành toán. Chính vì vậy, để hiểu sâu hơn về sự ổn định các nghiệm và bớc đầu tập dợt nghiên cứu khoa học, luận văn tập trung nghiên cứu: - Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định. - Các tính chất tổng quát các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính. - Các định nghĩa, định lý về tính ổn định của hệ vi phân. Luận văn chia làm 2 chơng: Chơng I: Các tính chất tổng quát các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính Trong chơng này, chúng tôi xét một số vấn đề sau: 1.1. Xét hệ vi phân tuyến tính dạng: = += n k jkjk j )t(fy).t(a dt dy 1 với a jk (t), f j (t) C(I + ) ; I + = a < t < 1.2. Công thức Ostrogradski - Liuvin. 1.3. Ma trận mũ. 1.4. Phơng pháp biến thiên hằng số Lagrăng. Chơng II: Các định lý về tính ổn định của hệ vi phân. 2.1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định. Trong mục này chúng tôi đa ra 6 định nghĩa về sự ổn định nghiệm của hệ dạng: dt dy = f(t,y) (1) 2.2. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính dạng: dt dy = A(t).y + f(t) (2) Đa ra các định nghĩa, chứng minh một số định lý về sự ổn định của hệ (2) -1- 2.3. Tính ổn định của hệ vi phân thuần nhất dạng: dt dx = A(t).x (3) ở đây chúng tôi nêu và chứng minh một số định lý và các hệ quả về sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3) 2.4. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng số dạng: dt dx = Ax (4) Chứng minh một số định lý về sự ổn định của hệ (4). Vì kiến thức và thời gian còn nhiều hạn chế nên luận văn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong đợc sự góp ý và chỉ bảo của các Thầy Cô giáo và các bạn. Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ Quang Hải và sự giúp đỡ nhiệt tình của các Thầy Cô giáo trong khoa Toán - tr- ờng Đại học Vinh, cùng với bạn bè và gia đình. Cho phép tác giả đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới quý Thầy Cô khoa Toán - trờng Đại học Vinh đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm cho tôi trong suốt hơn 4 năm học qua. Đặc biệt, PGS.TS Tạ Quang Hải - ngời đã trực tiếp hớng dẫn và giúp đỡ tận tình trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Cuối cùng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các Thầy Cô giáo trong khoa và tổ giải tích, tập thể lớp 40E 4 - Toán đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Vinh, ngày tháng năm 2004 Sinh viên: Trần Thị Thiên Hơng -2- Tính ổn định các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính Chơng I. Các tính chất tổng quát các nghiệm của hệ vi phân tuyến tính: 1.1. Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính. = =+= n k jkjk j )n,j()t(fy).t(a dt dy 1 1 (1.1.1) Với a jk (t), f j (t) C(I + ) tức là các hệ số và số hạng tự do liên tục ở I + = (a<t<), còn a là số hay -. Nếu không nói gì thêm thì các hàm a jk (t), f j (t) giả thiết là thực, còn các nghiệm y j = y j (t) (j=1, .n) nói chung là phức. Cũng có thể giả thiết rằng các hàm a jk (t) (j,k= n,1 ) và f j (t) (j= n,1 ) liên tục từng khúc trên I + . Khi đó các nghiệm y j (t) (j= n,1 ) là các hàm liên tục trên I + và viết ở dạng tích phân. [ ] ++= d.)(f)(y).(aC)t(y t t jkjkjj o (j= n,1 ; t o I + , C j : hằng số) Đa vào ký hiệu ma trận: y = colon(y 1 , ,y n ) , A(t) = [a jk ] f(t) = colon[f 1 (t), ,f n (t)] thì hệ (1.1.1) có dạng dt dy = A(t).y + f(t) (1.1.2) với A(t) C(I + ) , f(t) C(I + ) Đối với hệ tuyến tính (1.1.2) ta có định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Với t o I + , y o = colon(y o1 , ,y on ) tồn tại nghiệm y = y(t) của hệ (1.1.2) xác định với mọi t I + thỏa mãn điều kiện đầu y(t o ) = y o (1.1.3) và nghiệm đó là duy nhất ở trong I + . Giả sử X(t) = [x jk (t)] (det X(t) 0) (1.1.4) là ma trận cơ bản (hệ cơ bản các nghiệm viết ở dạng ma trận (nxn)) của hệ thuần nhất tơng ứng. dt dx = A(t).x (1.1.5) -3- tức là ma trận lập nên từ n nghiệm độc lập tuyến tính của hệ x (1) (t) = colon[x 11 (t), ,x 1n (t)] x (n) (t) = colon[x n1 (t), ,x nn (t)] Trong cách viết [x jk (t)], j chỉ tọa độ, k chỉ nghiệm để sao cho: Trong ma trận cơ bản (1.1.4) các nghiệm phân bố theo cột, ta sẽ chứng minh rằng ma trận cơ bản thỏa mãn phơng trình ma trận. X(t) = A(t).X(t) (1.1.6) Thật vậy: vì hàm x jk (t) thỏa mãn phơng trình thứ j của hệ (1.1.5) nên = = n s skjs jk )t(x).t(a dt dx 1 (1.1.7) áp dụng quy tắc nhân ma trận ta có: X(t) = = = n s skjs jk )t(x).t(a dt dx 1 = A(t).X(t) Điều phải chứng minh. Chú ý rằng trong chứng minh ta không yêu cầu đến tính không suy biến của X(t). Do đó ma trận bất kỳ X(t) mà các cột của nó là các nghiệm của phơng trình thuần nhất tơng ứng (1.1.5) sẽ thỏa mãn phơng trình ma trận (1.1.6) Ngợc lại, nếu ma trận (nxn) X(t) = [x jk (t)] thỏa mãn phơng trình ma trận (1.1.6) thì các cột của nó x (k) = colon[x 1k (t), ,x nk (t)] (k = n,1 ) là nghiệm của phơng trình tuyến tính thuần nhất (1.1.5). Nếu det X(t) 0 thì ma trận X(t) là ma trận cơ bản. Thật vậy, rõ ràng ta có x (k) (t) = X(t).e k với e k = colon(0, ,1, ,0) Nhân bên phải với e k của phơng trình (1.1.6) ta có: dt d [X(t).e k ] = A(t)[X(t).e k ] tức là dt dx )k( n = A(t).x (k) (k = n,1 ) Nếu X(t) là ma trận cơ bản của hệ (1.1.5) thì mỗi một nghiệm của hệ này có thể viết ở dạng: -4- x(t) = X(t).C (1.1.8) Với C = colon(C 1 , ,C n ) là các ma trận cột hằng số. Giả sử nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện đầu x(t o ) = x o cho trong (1.1.8) ta có x(t o ) = X(t o ).C ; C = 1 X (t o ).x(t o ). Do đó x(t) = X(t). 1 X (t o ).x(t o ). Đa vào ma trận Côsi: K(t,t o ) = X(t). X -1 (t o ), ta có: x(t) = K(t,t o ).x(t o ) (1.1.9) Đặc biệt nếu ma trận cơ bản X(t) chuẩn khi t = t o tức là X(t o ) = E với E là ma trận đơn vị thì (1.1.9) có dạng: x(t) = X(t).x(t o ) (1.1.10) Chú ý rằng ma trận Côsi không phụ thuộc vào việc chọn ma trận cơ bản X(t). Thật vậy, nếu X ~ (t) là một ma trận cơ bản khác của hệ (1.1.1) thì ta có: X ~ (t) = X(t).C với C là ma trận hằng số không suy biến. Từ đó X ~ -1 (t) = C -1 . X -1 (t). Do đó: K ~ (t,t o ) = X ~ (t). X ~ -1 (t o ) = X(t).C.C -1 .X -1 (t o ) = K(t,t o ) Nghiệm bất kỳ y=y(t) của hệ không thuần nhất viết đợc dới dạng: y(t) = y ~ (t) + X(t).C Với y ~ (t) là một nghiệm cố định nào đó và C là vectơ (nx1) hằng số. Nếu y ~ (t) sao cho y ~ (t 0 ) = 0 thì rõ ràng: C = X -1 (t o ) . y(t o ) và nh vậy: y(t) = y ~ (t) + K(t,t o ) . y(t 0 ) 1.2. Công thức Ostrogradski - Liuvin. Giả sử X(t) = [x jk (t)] là ma trận cơ bản của hệ vi phân thuần nhất (1.1.5) và w(t) = det X(t) (1.2.1) là định thức Vronxki. áp dụng quy tắc lấy vi phân định thức ta có: = = n j dt dw 1 -5- x 11 (t) x 1k (t) .x 1n (t) x j1 (t) .x jk (t) .x jn (t) . x n1 (t) .x nk (t) .x nn (t) Vì x jk (t) = = n s skjs )t(x).t(a 1 (j,k = n,1 ) Ta có: )t(x.) .t(x.) .t(x )t(x.) .t(x ) .t(x )t(x.) .t(x ) .t(x )t(a dt dw nnnkn snsks nk n j n s js 1 1 1111 1 1 = = = = = = = == n j n s n j jjjsjs )t(w).t(SpA dt dw )t(a).t(w)t(w.).t(a 1 1 1 Do đó: )t(w dw = SpA(t).dt Lấy tích phân đẳng thức trên từ t o đến t với t o I + và tI + Ta có công thức Ostrogradski - Liuvin: w(t) = w(t o ).exp t t o dt).t(SpA 1 (1.2.2) 1.3. Ma trận mũ. Xét hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất. dt dx = A(t).x (1.3.1) Với A(t) C(I + ). Giả sử t o I + và x = x(t) là nghiệm của hệ (1.3.1) xác định bởi điều kiện đầu x(t o ) = x o (1.3.2) với x o là vectơ cột nào đó. Để biểu diễn nghiệm x(t) bằng phơng pháp liệt xấp xỉ bởi công thức đặc biệt, từ phơng trình (1.3.1) với điều kiện (1.3.2) ta có phơng trình tích phân: x(t) = x o + t t o )t(x).t(A 11 .dt 1 , ta thay x(t 1 ) trong công thức này bởi: x(t 1 ) = x(t o ) + t t o )t(x).t(A 22 .dt 2 , ta có: x(t) = x(t o ) + t t o )t(x).t(A 01 .dt 1 + t t o ).t(A 1 dt 1 t t o )t(x).t(A 22 .dt 2 -6- Lặp lại quá trình trên vô số lần ta có sự biểu diễn nghiệm sau đây: x(t) = x(t o ) + t t o )t(x).t(A 01 .dt 1 + t t o ).t(A 1 dt 1 1 22 t t o )t(x).t(A .dt 2 + . hoặc x(t) = )t(x. t t 0 0 (1.3.3) với t t 0 = E + t t o ).t(A 1 dt 1 + t t o ).t(A 1 dt 1 1 2 t t o )t(A .dt 2 + . (1.3.4) Ma trận t t o đợc gọi là ma trận mũ của hệ phơng trình vi phân (1.3.1). Chứng tỏ chuỗi (1.3.4) hội tụ tuyến đối với t I + và hội tụ đều trong mỗi đoạn hữu hạn [,]I + . Thật vậy, ớc lợng các số hạng của chuỗi (1.3.4) theo chuẩn thứ I ta có: +++ t t t t t t o oo .dt)t(Adt)t(Adt)t(AE 1 221111 (1.3.5) Giả sử [,] [t o -A,t o +B] I + (A>0, B>0) (ở hình 1). C=max(A,B) và M = max )t(A . Với t [,] và t o mà t o -A t t o +B lần lợt ta có: (Hình 1) t t t t oo t t t t o o oo o tt ! M dtttMdt)t(Adt)t(A ttMdt)t(A 2 2 11 2 2211 11 2 Vì | t-t o | C nên chuỗi (1.3.5) đợc làm già bởi chuẩn dơng hội tụ E +MC + =+ ! C.M 2 22 E -1+exp(MC) (1.1.6) Theo dấu hiệu Vâyơxtras ta có chuỗi hàm dơng (1.3.5) hội tụ đều trên mỗi đoạn bất kỳ [,] I + . Do đó chuỗi ma trận (1.3.4) cũng hội tụ tuyệt đối đều trên [,]. Lấy vi phân từng số hạng chuỗi (1.3.4) ta có chuỗi hội tụ đều trên [,]. -7- dDádadáadadsdaSdsadadsádaSdácsdsad t-A t o t t o +B I + Erangoài).t(A dt).t(Adt).t(A)t(A .dt).t(A).t(A)t(A dt d t t t t t t t t t t t t oo ooo o = +++= 2 332222 Do đó ma trận mũ (t) là ma trận cơ bản chuẩn của hệ (1.3.1) và mọi nghiệm của hệ này đợc biểu diễn ở dạng (1.3.3). Do tính duy nhất của nghiệm của hệ vi phân tuyến tính ta có: t t o K(t,t o ) với K(t,t o ) là ma trận Côsi. Do tính duy nhất ta có tính chất cơ bản của ma trận mũ. t t t t t t o o 1 1 (t o , t 1 , t I + ) 1.4. Phơng pháp biến thiên hằng số Lagrăng. Cho hệ phơng trình tuyến tính không thuần nhất dt dy = A(t).y(t) + f(t) (1.4.1) Tìm nghiệm của nó dới dạng: y(t) = X(t).u (1.4.2) với X(t) là ma trận cơ bản của hệ thuần nhất tơng ứng dt dy = A(t).x (1.4.3) Với u(t) là hàm vectơ cần tìm mới, vì y(t) = X(t).u => dt du = y(t) = [X(t). u] = X(t). u + u.X(t) (*) và X(t) = A(t).X(t) Lúc này ta thay (*) vào (1.4.1) ta có: X(t). dt du +X(t).u = A(t).X(t)u + f(t) Mà vì X(t) = A(t).X(t) Do đó (X(t). dt du = f(t) dt du = X -1 (t).f(t) => du = X -1 (t).f(t).dt => +== t t o Cdt).t(f).t(X)t(udt).t(f).t(Xdu 111 11 Thay (**) vào (1.4.2) ta đợc nghiệm của (1.4.1) là: y(t) = X(t).u = X(t) + t t o Cdt).t(f).t(X 111 1 -8- t t o y(t) = X(t).C + += 1 1 111111 1 t t t t o o dt)t(f)t,t(KC).t(Xdt).t(f).t(X).t(X (1.4.4) với K(t,t 1 ) = X(t).X -1 (t 1 ) là ma trận Côsi. Để xác định hằng số C trong công thức ta cho t = t o sẽ có: y(t o ) = X(t 0 ).C => C = )t(X )t(y o o = X -1 (t o ).y(t 0 ) => y(t) = X(t).X -1 (t o ).y(t o ) + 1 111 t t o dt).t(f).t,t(K Nh vậy y(t) = K(t,t o ).y(t o ) + 1 111 t t o dt).t(f).t,t(K (1.4.5) Đặc biệt, nếu ma trận cơ bản X(t) là chuẩn khi t = t o , tức là X(t o ) = E => X -1 (t o ) = E, mà K(t,t o ) = X(t).X -1 (t o ) = X(t) thì từ (1.4.5) ta có: y(t) = X(t).y(t o ) + t t o dt).t(f).t,t(K 111 Từ công thức (1.4.5) suy ra rằng hệ (1.4.1) có nghiệm riêng = )t(y ~ t t o dt).t(f).t,t(K 111 thỏa mãn điều kiện = )t(y ~ o 0 Chú ý rằng, nếu ma trận A(t)=A hằng số và X(t o ) = E thì X(t).X -1 (t 1 ) và X(t-t 1 +t o ) là ma trận cơ bản của hệ thuần nhất (1.4.3) trùng với nhau khi t = t 1 . Do đó: X(t).X -1 (t 1 ) X(t-t 1 +t o ) Nh vậy, đặt t o = 0 ta có hệ vi phân dt dy = A.y + f(t) (1.4.6) (với A là hằng số) có nghiệm tổng quát: y(t) = X(t).y(o) + t o dt).t(f).tt(X 111 (1.4.7) Đặc biệt, khi y(o) = o thì hệ thuần nhất (1.4.6) có nghiệm riêng = )t(y ~ = t o dt).t(f).tt(X 111 -9- chơng ii các định lý về tính ổn định của hệ vi phân 2.1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định. Xét hệ phơng trình vi phân chuẩn: dt dy j = f j (t,y 1 , , y n ) (j = n,1 ) (2.1.1) với t là biến độc lập, y 1 , , y n là các hàm cần tìm, f j (t,y 1 , , y n ) (nói chung là phức) xác định trong một bán trụ nào đó. Z = + t I x Dy với + t I = { } +<< tt o Với t o là số xác định hoặc - và Dy là miền mở của không gian vectơ n chiều n y R thực hoặc n y R phức. Để cho gọn ta sẽ gọi hệ (2.1.1) là khả vi: Đa vào các ma trận: y = n y y 1 = colon(y 1 y n ) f(t,y) = colon[f 1 (t,y) f n (t,y)] dt dy = colon(y 1 y n ) Khi đó ta có thể viết hệ (2.1.1) dới dạng phơng trình vectơ ma trận dt dy = f(t,y) (2.1.2) Hàm vectơ y = y(t) C 1 xác định trong (a,b) + t I thỏa mãn phơng trình (2.1.2) với a<t<b đợc gọi là nghiệm của nó, ta sẽ giả thiết rằng f(t,y) )Z(C ),( ty 10 , tức là hàm f(t,y) ở trong Z liên tục theo biến t và có các đạo hàm riêng liên tục Z cấp 1- theo các biến độc lập y 1 , ., y n . Nếu xét hệ (2.1.1) trong không gian thực n y R thì các đạo hàm của vế phải hiểu theo nghĩa thông thờng. Trong trờng hợp, khi y nhận các giá trị phức, ta sẽ giả thiết hàm -10-