Về thuật toán tìm miềm ổn định tiệm cận với xác suất một của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ==== ==== Bùi đình thắng Về Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận với xác suất một của nghiệm phơng trình vi phân ngẫu nhiên Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Phan Lê Na Vinh 2005 7 Mục lục Danh mục các ký hiệu --------------------------------------------------------- 3 Mở đầu -------------------------------------------------------------------------- 4 Chơng 1. một số kiến thức cơ bản về tính ổn định của hệ phơng trình vi phân----------------------------------------------------------------- 7 1. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân với hệ số là ma trận hằng. 7 2. Tiêu chuẩn Hurwitz ---------------------------------------------------------- 10 2.1. Tiêu chuẩn Hurwitz ---------------------------------------------------- 10 2.2. ứng dụng của định lý Hurwitz đối với hệ phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số là hằng số ------------------------------------------------- 12 3. Tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất ------------------------------------------ 14 4. Tính ổn định theo phơng pháp hàm Liapunov----------------------------- 17 4.1. Hàm có dấu xác định ---------------------------------------------------- 17 4.2. Vi phân Itô của hàm Liapunov ----------------------------------------- 18 4.3. Phơng pháp hàm Liapunov --------------------------------------------- 20 5. Hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên----------------------------------------- 25 Chơng 2. Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên ------------ 28 1. Các điều kiện đủ để nghiệm của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên ổn định tiệm cận với xác suất một--------------------------------------------- 28 2. Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận với xác suất một----------------- 32 2.1. Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận trong trờng hợp ma trận 8 nhiễu không suy biến ----------------------------------------------------------- 32 2.2. Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận trong trờng hợp ma trận nhiễu bất kỳ ---------------------------------------------------------------------- 34 3. Ví dụ và kết quả số ----------------------------------------------------------- 36 Kết luận -------------------------------------------------------------------------- 42 Tài liệu tham khảo ------------------------------------------------------------- 43 9 DANH MụC Các kí hiệu Trong bản luận văn này chúng tôi sử dụng các ký hiệu R n là không gian Euclidean có chiều hữu hạn n với chuẩn . . E là kỳ vọng trong không gian xác suất (, (F t ) t 0 , P). I là ma trận đơn vị cấp n. A T là ma trận chuyển vị của ma trận A. D -1 là ma trận nghịch đảo của ma trận D. D là miền tham số để nghiệm không của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính (1.1) ổn định tiệm cận theo xác suất một. D 1 là miền tham số tìm đợc của Thuật toán 1. D 2 là miền tham số tìm đợc của Thuật toán 2. 10 Mở đầu Trong lý thuyết phơng trình vi phân nói chung và hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên nói riêng thì bài toán nghiên cứu tính ổn định nghiệm là một bài toán lớn. Vấn đề này đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm, trong đó có R. Z. Hasminskij ([9]), H. Kushner ([13]) và D. G. Korenevskij ([11]). Bản luận văn trình bày một số vấn đề về tính ổn định của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên ),()()()( )( tdtxBdttAxtDdx + = ).)(( 0 00 x ;xt = (*) trong đó x (t) R n , D, A, B( ) là các ma trận vuông cấp n, B( ) phụ thuộc vào , ma trận D không suy biến, )(t là quá trình Wiener chuẩn một chiều trong không gian xác suất (, (F t ) t 0 , P), là tham số và B(0) = 0 (xem [9], [11] và [12]). Với giả thiết hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng Ddx(t) = Ax(t)dt ổn định tiệm cận theo Liapunov. Trong [11], D. G. Korenevskij đã đa ra điều kiện của các ma trận A, D và B( ) để nghiệm không của hệ phơng trình (*) ổn định tiệm cận với xác suất một, bằng phơng pháp hàm Liapunov nhờ vào việc xét phơng trình đại số Sylvester A T HD + D T HA + B T HB = G. Trong [12], D. G. Korenevskij và Yu. A. Mitropolskij đã đa ra các điều kiện đủ đại số để nghiệm không của hệ (*) ổn định tiện cận với xác suất một. 11 Trong [11], với các điều kiện đại số đã thỏa mãn D. G. Korenevskij cũng đã tìm đợc miền để nghiệm không của hệ (*) ổn định tiệm cận với xác suất một, tuy nhiên các tính toán của D. G. Korenevskij chỉ mới dừng lại ở trờng hợp D là ma trận đơn vị I và miền tìm đợc chỉ là khoảng đơn. Trong [2], Ngô Quốc Chung đã viết thuật toán tìm miền ổn định của hệ (*) trong trờng hợp B( ) không suy biến, D không suy biến và khác ma trận đơn vị, kết quả miền tìm đợc không chỉ là khoảng đơn. Luận văn này dựa vào các điều kiện đủ của D. G. Korenevskij và Yu. A. Mitropolskij và kết quả trong [4], [1] để xây dựng thuật toán tìm miền tham số cho trờng hợp B( ) bất kỳ, đồng thời đa ra các ví dụ số. Luận văn gồm hai chơng Chơng 1 trình bày các kiến thức cơ bản về tính ổn định của hệ phơng trình vi phân, gồm các nội dung: 1. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân với hệ số là ma trận hằng. 2. Tiêu chuẩn Hurwitz. 3. Tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất. 4. Tính ổn định theo phơng pháp hàm Liapunov. 5. Hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên. Chơng 2 trình bày các kết quả chính của luận văn, gồm các nội dung: 1. Các điều kiện đủ để nghiệm của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên ổn định tiệm cận với xác suất một. 2. Thuật toán tìm miền ổn định tiệm cận với xác suất một (trờng hợp B( ) có thể suy biến). 3. Ví dụ và kết quả số. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn trực tiếp tận tình của TS. Phan Lê Na. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giáo viên hớng dẫn đã dành 12 cho tác giả những giúp đỡ tận tình và tâm huyết trong suốt quá trình học tập cũng nh trong thời kỳ hình thành và hoàn thành luận văn. Tác giả đặc biệt cảm ơn TS. Phan Thành An ngời đã hớng dẫn tác giả viết chơng trình bằng ngôn ngữ lập trình Fortran và những ý kiến quý báu trong thời gian thực hiện đề tài. Tác giả cũng chân thành cảm ơn anh Ngô Quốc Chung đã giúp đỡ tận tình trong quá trình thực hiện đề tài. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và khoa Đào tạo Sau Đại học, đặc biệt là PGS.TS. Đinh Huy Hoàng, PGS. TS. Tạ Quang Hải, PGS. TS. Trần Văn Ân, PGS. TS Nguyễn Nhụy, TS. Tạ Khắc C, TS. Phạm Ngọc Bội và các thầy cô giáo trong tổ Giải Tích, các anh chị học viên Cao học 11Toán, những ngời đã giúp đỡ, động viên chỉ bảo trong suốt thời gian học Cao học. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp trờng Cao Đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Nghệ An đã dành cho tác giả sự giúp đỡ vô cùng quý báu trong thời gian qua. Vinh, tháng 12 năm 2005. Bùi Đình Thắng 13 Chơng 1. một số kiến thức cơ bản về tính ổn định của hệ phơng trình vi phân Trong chơng này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tính ổn định của hệ phơng trình tuyến tính với ma trận hằng, ổn định của hệ xấp xỉ thứ nhất, phơng pháp hàm Liapunov. Các khái niệm của chơng này đợc trình bày theo tài liệu [5], [6], [7], [2], [3] và [17]. Ngoài ra chúng tôi còn đa ra một số ví dụ để minh họa. 1. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân với hệ số là ma trận hằng Xét hệ phơng trình vi phân dt tdY )( = AY(t) (1.1) trong đó A là ma trận hằng cấp nìn, Y(t) = (y 1 (t), y 2 (t), .,y n (t)). Định nghĩa 1.1. ([3], [17]) Ma trận vuông A đợc gọi là ma trận ổn định (hay ma trận Hurwitz) nếu tất cả các giá trị riêng j = j (A) của nó đều có phần thực âm, tức là Re( j ) < 0. Ví dụ 1.1. a) Xét ma trận A = 1200 031 101 i i 14 Khi đó ma trận A có các giá trị riêng là 1 = 1, 2 = i 3, 3 = 2i 1. Vì Re( 1 ) = 1 < 0, Re( 2 ) = 3 < 0, Re( 3 ) = 1 < 0 nên ma trận A là ma trận Hurwitz. b) Xét ma trận A = i ii i 2362 2421 131 Khi đó ma trận A có các giá trị riêng 1 = 1 + 2i , 2 = 1, vì Re( 2 ) = 1 > 0 nên A không phải là ma trận Hurwitz. Định lý 1.1. ([3], [17]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1) (với ma trận hằng A) ổn định Liapunov khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng j = j (A) của A đều có phần thực không dơng, tức là Re j (A) 0, (j = n,1 ) và các giá trị riêng có các phần thực bằng không đều có ớc cơ bản đơn. Chứng minh. Chứng minh điều kiện cần phải sử dụng một số kiến thức phụ về lý thuyết ma trận. Sau đây chúng tôi chỉ trình bày chứng minh điều kiện đủ của định lý. Giả sử j = j + i j (j = 1, 2, ., p; p n) là tất cả các giá trị riêng của ma trận A với các phần thực âm Re j (A) = j < 0, j = p,1 và k = i k (k =1,2, ., q; q n) là tất cả các nghiệm đặc trng của A với phần thực Re k (A) = 0. Khi đó mỗi nghiệm Y(t) bất kỳ của hệ phơng trình (1.1) đều có thể viết đợc dới dạng Y(t) = = p j e 1 t j (cos j t + isin j t)P j (t) + = q k k C 1 (cos k t + isin k t) (1.2) trong đó P j (t) là hàm véc tơ đa thức nào đó có bậc nhỏ hơn số bội của j và C k là hàm vectơ cột hằng số. Vì j < 0, j = p,1 nên e t j P(t) 0 khi t +. Ngoài ra 15 cos k t + isin k t= 1. Vì vậy từ (1.2) ta suy ra rằng mỗi nghiệm Y(t) đều bị chặn trên nửa trục [t 0 , +). Do đó theo Định lý 1 (Xem [3], Tr.295) hệ (1.1) ổn định theo Liapunov. Định lý 1.2. ([2], [17]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1) (với ma trận hằng A) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j (A) của A đều có phần thực âm, tức là Re j (A) < 0, (j = n,1 ). Chứng minh. Điều kiện đủ. Giả sử 1 , 2 , ., m (m n) là tất cả các nghiệm đặc trng của ma trận A và Re j (A) < 0, j = 1, 2, ., m. Giả sử Y(t) là nghiệm bất kỳ của hệ (1.1), khi đó Y(t) có dạng Y(t) = = m j e 1 t j P j (t) trong đó P(t) là ma trận đa thức. Do Re j (A) < 0 nên Y(t) = = m j e 1 t j P j (t) 0 khi t +. Và do đó theo Định lý 2 (Xem [2], Tr.297) ta suy ra hệ (1.1) ổn định tiệm cận. Điều kiện cần. Giả sử hệ (1.1) ổn định tiệm cận. Khi đó hệ sẽ ổn định theo Liapunov khi t + và do đó theo Định lý 1.1 ta có Re j (A) 0, (j = n,1 ). (1.3) Giả sử tồn tại ít nhất một nghiệm đặc trng s = i à s (1 s n) sao cho Re s = 0. Khi đó hệ (1.1) có nghiệm dạng Z = C e t s ( cos à s t + isin à s t )C trong đó C là véc tơ cột khác không. Vì vậy Z = C 0 có nghĩa là 0 + ZLim t , điều đó mâu thuẫn với tính ổn định tiệm cận của hệ (1.1). Do đó 16