Mổđầu .Ặ ee 2 MOT SỐ KIÊN THỨC CƠ BẢN VỀ LÍ THUYẾT ON DINH CUA HE
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 4
1.1 Các khái niệm cơ bản của lí thuyết ổn dịnh 4 1.2 Tinh 6n dinh tiệm cận của một số dạng hệ phương trình
vi phân tuyến tính thuần nhất 9
1.21 Tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi
phân tuyến tính thuần nhất 9
1.2.2 Bây giờ ta xét tính ổn dịnh tiệm cận của hệ vi phân không dưa dược về dạng Cauchy 15 1.3 Tính ổn định tiệm cân với xác suất một của hệ phương
trình ngẫu nhiên ltô tuyến tính 18 ĐIỀU KIỆN ĐẠI SỐ MA TRẬN ĐỐI VỚI TÍNH ỒN ĐỊNH TIỆM CẬN
VỚI XÁC SUẤT MỘT 26
2.1 Các khái niệm và tính chất ổn định tiệm cận của hệ tất
định với tham số, 26
2.2 Tính ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ vi phân
ngẫu nhiên Itô tuyến tính chứa tham số / 29 2.3 Diéu kiện đại số ma trận dối với hệ vi phân ngẫu nhiên
Itô tuyến tính tổng quát 32
Két luan 2 38
Trang 2Mở đầu
Dể nghiên cứu quá trình hoạt động của một hệ thống (dù là hệ
thống kỹ thuật, hệ sinh thái hay hệ thống kinh tế-xã hội ) chúng ta có
thể biểu diễn hoạt động của nó dưới dạng một phương trình hoặc một hệ phương trình vi phân Tuy nhiên trong thực tế, mỗi một hoạt động, ngoài các yêu tố chính tác động tạo ra các hoạt động đó, nó còn chịu
sự chi phối của một số yếu tố ngẫu nhiên khác nữa Hơn thế, trong quá
trình tạo ra các sản phẩm, các hoạt động nói trên còn tạo ra một số
sản phẩm phụ đi kèm làm cho quá trình hoạt động bị suy biến chút ít
Luận văn này đề cập đến việc nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với
xác suất một của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính suy biến có dạng sau:
DydX* = (An XE + AisY°) đt + À 2 (BÌXỀ + BỊ,YÊ) duy, k=1 [Dod ¥* = (An X* + AsaYS) đt + ` (Hài X° + B3Y°) duy, k=1 Với giả thiết là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định X* = X*(t) X°(0) =X { Y°= Xf() ` { X*(0) = Yạ » $20,
trong đó > 0 bé tuỳ ý là hệ số suy biến, X*(?) € R", Y*(t) € R”, DỊ, D là các ma trận hằng không suy biến, Bi = BK (e), i,j = 1,2, là các ma trận hằng phụ thuộc vào tham số gây nhiễu e w = w(t) = (wi(t), we(t), - , w,(t)) 1A qua trinh Wiener ding r chiéu, BE (0) =0
Việc nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân nói riêng và lý thuyết ổn định nói chung, đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm và nghiên cứu như: R 2 Hasminskij, Yu A Mitropol'skij, D G
Korenevskij và Peter E Kloeden Dựa vào các kết quả đã có và bằng
cách sử dụng phương pháp hàm Liapunov luận văn đã đưa ra một số điều kiện để hệ nói trên ổn dịnh tiệm cận với xác suất một trong trường
hợp ma trận B bất kì và trường hợp B không suy biến Luận văn gồm hai chương
Trang 3"Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm về lý thuyết ổn định và một số tính chất cơ bản của một số hệ phương trình vi phân, vi phan ngẫu nhiên
Chương II Diều kiện đại số ma trận dối với tính ổn định tiệm cận với
xác suất một
Chương 2 là kết quả chính của luận văn Trong chương này, chúng tôi đưa ra và chứng minh một số điều kiện đối với tính ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính nói trên và tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân tất
định tương ứng
Luận văn được thực hiện tại trường Dai hoc Vinh dưới sự hướng dẫn
trực tiếp của PGS TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới Thầy về sự tận tâm và nhiệt tình hướng dẫn đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Văn Quang, TS Nguyén Trung Hoa, PGS TS Tran Xuan Sinh, các thầy giáo phản biện cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Đào tao sau Đại học và các bạn trong lớp cao học 12 Toán đã thường xuyên quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hà Tĩnh, trường THPT Trần Phú Hà Tĩnh đã tạo diều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hồn thành khố học
Trang 4Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
Chương này trình bày các khái niệm, các tính chất cơ bản và một số ví dụ về lí thuyết ổn định của hệ phương trình vi phân Dồng thời đưa ra và mở rộng một số kết quả về tiêu chuẩn ổn định của R Z Has`minskij, Yu A Mitropol’skij va D G Korenevskij
1.1 Các khái niệm cơ bản của lí thuyết ổn định
Xét hệ phương trình vi phân tất định sau
đ m——
SE = fi(:9: ca) G= Ln), (1.1)
trong dé t 1a mot bién doc lap yi(t), yo(t), -, yn(t) 1A cc ham can tim, ƒ; là các hàm xác định trong ban tru
T=Y,x Dy, Y;* = (to; 00),
véi D, 1 mot tap md trong R” va to 1A mot hing sd, c6 thé bing —oo Để ngắn ngọn ta có thể viết (1) dưới dạng
dY |
Trang 5trong đó: Y1 1 = colơn(, - ; Un); Yn F(t, y) = colon (filt, 9); (0), tờ ;/n(t 9)), dY ( dy “te = colon | —,—, -, “dt dị) dt” dt
ở đây ta giả thiết rằng hàm véctd F(t, Y) trong mién T liên tục theo # và có các đạo hàm riêng cấp 1 theo các biến yy, ›, , „ liên tục
Định nghĩa 1.1 (2Ì) Nghiệm Z = Z(f), (a<f< œ) của hệ vi phân (1.2) được gọi là ổn định theo Liapunou khi t — 00 (hay ổn định), nêu Ve > 0 Va fạ € (a;o), tồn tại ơ(e,fạ) > Ư sao cho tất cả các nghiệm Y(f) = Y của hệ (1.2) (bao gồm cả nghiệm Z() ) xác dịnh trong khoảng (fo; o) thoả mãn:
I|¥ (to) — 2(to)|| < 6
Thì ta có
Y(t) — Z(t)|| <e Vt > to
Nói cách khác, nghiệm Z(t) 6n dinh, néu cc nghiém Y(t) kha gan với nó ở thời diém ban dau ty bat ki sé hoan toan nim trong ống e nhỏ tùy ý được dựng quanh nghiệm Z(t)
Nhận xét 1.1 Trường hợp đặc biệt F(t,0) =0 nghiém Z(t) =0(a< t < œ) ổn định nếu uới tợi e > 0 tồn tại ỗ = ð(e,fạ) sao cho bất dẳng thúc
IY (to) || < 6 Keo theo bất đẳng thúc
Trang 6Ví dụ 1 Xét hệ vi phan:
dy † Y2
8/2 —,
dt 1
Dễ thấy (z¡(): zz(f)) = (0;0) là một nghiệm của hệ Bây giờ ta sẽ
chứng minh nghiệm này ổn định theo Liapunov
"Thật vậy ta có nghiệm tổng quát của hệ là
(y(t), yo(t)) = (Acos(t — a), —Asin(t — a)),
trong đó A va œ là các hằng số tùy ý Với fạ = 0, khi đó với mọi e ta chọn ở = e ta có, nếu
|(ui(0) 2(0)) — (21(0), 22(0))I = I1@1(0), y2(0)) |] = [Al < 6
suy ra
lu), volt) — (2x4), 22(t)) I = In (4), v(t) = [A] < 6 =e
Vậy theo Nhận xét 1.1 nghiệm không của hệ dã cho ổn định theo Lia- punov
Định nghĩa 1.2 ([2]) Nghiém Z = Z(t) (a < t < ©) của hệ (1.2) dược gọi là không ổn định theo Liapunoo, nếu với e > 0, fạ € (ø; œ) nào đó và ổ > 0 tồn tại nghiệm Y2(f) (ft nhất một nghiệm ) và thời điểm ty = t1(0) > to sao cho
[¥i(to) — Z(to)|| <6 va |IYs(n) — Z(0)||><:
Nhận xét 1.2 Trường hợp nếu F(t,0) = 0 thì nghiệm Z(t) = 0 (a<t <0) không ổn định, nếu tới e > 0, fạ € (a;o©) nao dé va 5 > 0 tôn tại nghiệm Y3(f) (ñt nhất một nghiệm) va thời điểm †\ > to
sao cho
I|¥5(to)|| < ổ sà |[Ys(i)|| > <:
Định nghĩa 1.3 ([2]) Nghiém Z = Z(t) (a<t < oo) cia hé (1.2)
được gọi là ổn định tiệm cận theo Liapunov khi † — oo nếu:
Trang 7(2) Với mọi fạ € (a;œ) tồn tai A = A(to) > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) (to <t < 00) thoa man điều kiện
|| ¥ (to) — Z(to) |< A
thi
lim || Y(t) — Z(t) ||=0
too
Nhận xét 1.3 Trường hợp đặc biệt, F(t,0) = nghiệm tầm thường
Z(t) =0 ổn định tiệm cận, nếu nó ốn dinh va
mY() =0 #hi |Y(o)||< A —00
Vi du 2 Xét hé phuong trinh vi phan sau: A a= —2y1 It Ù2 2 _ _3 dt 2
Dé thay (2:(t); zo(t)) = (0;0) 1A mot nghiệm của hệ phương trình
da cho Ta sé chttng minh nghiém nay 6n dinh tiém cận Thật vậy, với
to =0 dat y,(0) =a va yo(0) = b, dễ thấy nghiệm của phương trình c6 dang (yi(t); yo(t)) = (ae-*; be **) Voi moi e > 0 chọn ð = e khi đó nếu ll(¡ (0): 2(0)) — (zi(0): z2(0))||= Va? + b2 < ổ thì Mn); volt) — (a); 2) = Wn); yot))|I < Vet <b=€e Vt > 0, vậy nghiệm không của hệ ổn dinh theo Liapunov Hơn nữa ta có
jim \|(y.(t); yo(t)) || = jim Va2e~1! + b2e~8! = 0 Theo Nhận xét 1.3 nghiệm không của hệ ổn dịnh tiệm cận
Bây giờ chúng ta xét hệ phương trình vi phân
n
Trang 8trong đó các hệ số a;z(£) và các số hạng tự do ƒ;(?) liên tục trong khoảng (a; œ), ở đây ø có thể là một số hoặc —oœ
Ta viết phương trình (1.3) dưới dạng ma trận _ vectơ như sau:
= = A(t)Y + F(t), (1.4)
trong d6 ma tran A(t) va vecto F(t) lién tuc trong khoang (a; 00) Hệ phương trình thuần nhất tương ứng với hệ (1.4) là:
dY =
——= A()Y di (t) (1.5) 1
Tà có các khái niệm sau dây:
Định nghĩa 1.4 ({2|) Hệ vi phân tuyến tính (1.4) dược gọi là ổn định (hoặc không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(f) của nó tương
ứng ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov khi £ — oo
Nhận xét 1.4 Các nghiệm của hệ ơi phân tuyến tính hoặc dồng thời cùng ổn định hoặc đồng thời cùng không ổn định
Định nghĩa 1.5 ([2]) Hệ vi phân tuyến tính (1.4) dược gọi là ổn định tiệm cận nêu tất cả các nghiém Y(t) ổn dịnh tiệm cận khi # — œ Định lí 1.1 (2|) Điều kiện cần oà đủ để hệ ui phân tuyến tính (1.4) ổn định uới số hạng tự do bất kà F() là nghiệm tầm thường
Yo=0 (ty <t<00, ty € (a;00)) của hệ thuần nhất tương ứng (1.5) ổn định
Định lí 1.2 (2|) Hệ ơi phân tuyến tính (1.4) ổn định tiêm cận khi nà chỉ khi nghiệm tầm thường Yọ = 0 của hệ thuần nhất tương ứng (1.5)
ổn định tiệm cận khi t > oo
Vậy theo các kết quả trên, để nghiên cứu tính ổn định (ốn định tiệm
cận) của hệ vi phân tuyến tính ta chỉ cần nghiên cứu tính ổn định (tương ứng 6n đỉnh tiệm cận) của nghiệm tầm thường của hệ vi phân
tuyến tính thuần nhất tương ứng Sau đây là một số tính chất về tính
2 * Ă ^ 2 ~ £ ^ ^ £ ⁄ ^ 4
Trang 91.2 Tính ổn định tiệm cận của một số dạng hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
1.2.1 Tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
ay = AY, 1.6
trong đó A = [a] là ma tran hing cap (n x n)
Dinh lí 1.3 ([2]) Hệ vi phân tuyến tính thuan nhat (1.6) vdi ma tran hang A 6n dinh khi va chi khi tắt cả các nghiệm đặc trưng À¡ = A;(4) của A đều có các phần thực không đương, tức là
Red(A) <0 (0=1m)
va các nghiệm đặc trưng có phần thực bằng không đều có ude co ban đơn
Định lí 1.4 ([2]) Hệ ơi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) ới ma trận
hằng A ổn định tiệm cận khi oà chỉ khi ma trận A ổn định, tức là
ReA,(A)<0— (=1mn)
Chứng mình Diều kiện đủ Giả sử ÀI, -, X„ (m < n) là tất cả các nghiệm đặc trưng cua A va Red; < 0 (7 = 1, - ,m) Mặt khác mỗi nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.6) có dạng m Y() =Ð )e'Q;0 j=l trong dé Q;(t) 1a ma tran da thttc Do Red; < 0 nén ta cé lim Y(t) =0, †—+œ
Trang 10Điều kiện cần Giả sử hệ (1.6) ổn định tiệm cận Khi đó hệ nay sẽ ổn định theo Liapunov khi £ — oo nén theo Dịnh lí 1.3 ta có
Rer; <0(j =1, - ,m)
Giả sử tồn tại ít nhất một nghiệm dac trung A, = 7G, (1 < k <m) sao cho
Rer;, = 0
Khi dó nghiệm của hệ (1.6) có dạng
Z =e! C = (cosGyt + isinB,).C, trong dé C 1a vectơ cột khác không Vì vậy ta có IZII= lIcllz 0 nghĩa là Z ~ 0 khi # — œ, diều này mâu thuẫn với tính ổn định tiệm cận của hệ (1.6) Vậy ReÀ;<0_ (=1, -,m) Dinh lí được chứng mình L]
Bây giờ để di đến một số tính chất quan trọng đối với tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân (1.6) ta cần chú ý một số khái niệm sau: Cho hàm số
V=V(.X),
liên tục theo £ và theo #, - ,#„ trong miền Zạ, trong dé Z = {a <
t < oo, ||X|| < A}
Dinh nghia 1.6 ([2]) Ham V(t, X) dude goi la cé dau đương (dấu âm} trong Zạ nếu
V(t,X)>0 (tương ứng V(,X) <0)
Trang 11Định nghĩa 1.7 (2Ì) Hàm V(, X) dược gọi là zác định đương (các định âm) trong Zạ nếu tồn tại hàm œ(X) € C(||X||< h) sao cho V(t, X) >w(X)>0 (tương ứng V(,X) <œ(X)<0) với ||X||#0
ẽ Ví X) =ø(0) =0
Định nghĩa 1.8 ((2]) Ham V(t, X) được gọi là hàm có giới hạn 0ô cùng bé bậc cao khi X —› 0 nêu với mọi fạ > ø nào đó ta có V(, X) — 0 trên [fạ,oo) khi X — 0, tức là với mọi e > 0 tồn tại ổ = ổ(e) > 0 sao cho
IV(.X)|<e
khi ||X|| < ð và £ € [fạ; ©)
Để giải các bài toán về lí thuyết ổn định ta cũng cần chú ý một khái
niệm quan trọng sau đây
Cho hệ phương trình vi phân dX ——=G(,X = Git.X) (1.7) 1.7 với G(t, X) lién tuc theo t va c6 dao ham riêng liên tục theo #1, #a, - - ;#„ trong một miền 7, 7= {ø < #< œ, ||X||< H} ,dl:9 Định nghĩa 1.9 ([2]) Ham số - ØV ov Vit, (0X) = Ft X) = = ấp G3) =—.G;(t, X
được gọi là dạo hàm theo t của hàm V(t, X) trong nghĩa của hệ (1.7) Với các khái niệm trên ta có một số kết quả cơ bản sau:
Định lí 1.5 (Dịnh lí thứ hai Liapunov)(|2]) Giá sử hệ (1.7) tồn tại một ham sác định dương V(t,X) € (Tạ) có giới hạn uô cùng bé bậc cao khi X — 0 va có dạo hàm theo t rác dinh am V(t, X) trong nghĩa của
Trang 12Hệ quả 1.1 ([2]) Đối với hệ (1.6), nếu tồn tại một hàm sác định đương V{(t,Y) € cl? (T) C6 gidi han v6 cting bé bậc cao khi Y > 0 va r <0 trong nghia ctia hé (1.6) thi nghiém Y = 0 ctia hé dé on
dinh tiém can khit — oo
Dựa vào Hệ quả 1 ta đưa ra các tính chất về điều kiện đại số ma trận để nghiệm không của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) ổn
định tiệm cận theo Liapunov
Định lí 1.6 ([2]) Nghiệm không của hệ (1.6) là ổn định tiệm cận theo Liapunov néu ton tai ma tran đối rứng, xác định đương H thoả mãn phương trình ATH+ HA = -G (1.8) trong đó GŒ là ma trận đối xứng xác định dương tùy ¥ cap n x n va AT chuyển tị của A Chú ý: Phương trình (1.8) còn được gọi là phương trình Liapunov ma trận với hai số hạng
Chứng trinh Giả sử tồn tại ma trận đối xứng, xác định dương H là
nghiệm của phương trình Liapunov (1.8) ta xét hàm số V(,Y)=YTHY Dé thay V(, Y) là một hàm có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi Y — 0 và xác dịnh dương Mặt khác dV(t,Y) d(YTHY) dy? 7, dY Se di NE di = HY+YTH—— di di = (AY)’HY +Y™HAY = YT(ATH + HA)Y
vì TH+ HA=-ŒG_ là ma trận xác định âm, do đó WEY) <0 Theo
Hệ quả 1.1 nghiệm không của hệ (1.6) ổn định tiệm cận L]
Định lí 1.7 (Định lí thứ 3 Liapunov)(|2]) — Giả sử hệ (1.7) tồn tại ham V(t, X) € Crx (Tp) có giới hạn ô cùng bé bậc cao khi X — 0 tà
Trang 13mot ty > a nado dé trong lan can bat ki ||X|| < A < h < H tôn tai diém (to, Xp) sao cho dau ctia hàm V(t, X) trừng tới dấu của dạo hàm Ví(t,X), tức là sao cho
V (to, Xo).V (to, Xo) > 0
thà nghiệm tầm thường X = 0 của hệ (1.7) không on dinh theo Liapunov khit — oo
Hé qua 1.2 ([2]) Déi vdi hé (1.6) néu ton tai mot ham V(t,Y) €
Cy (10) có giới hạn v6 cting bé bac cao khi Y — 0 va c6 dao ham cé dấu xác định V(t, Y) theo † trong nghĩa của hé Néu vdi mét to > a nao
d6 trong lan can bat ki \|Y || < A <h < H tồn tại điểm (to, Yo) sao cho déu ctia ham V(t, Y) tring uới dấu của dạo hàm V(t, Y), ttéc là sao cho
V(to, Yo)-V (to, Yo) > 0
thà nghiệm tầm thường Y = 0 ctia hé (1.6) khong on dinh theo Liapunov khit — oo
Từ hệ quả trên ta có định lí sau
Định lí 1.8 ([5]) Nếu ma trận A 6n dinh (Hurwitz) tic la Red;(A) <
0, j=1,n_ thà tồn tại duy nhất ma tran đối rứng vác dinh duong Ho là nghiệm của phương trành Liapunou
ATH) +HA=-G
trong đó Œ là ma trận đối xứng xác định duong tiy 4, cap n x n Với các kết quả trên ta có thể chứng minh dược một định lí dóng vai trò rất quan trọng đối với lí thuyết ổn định và ứng dụng
Dinh lí 1.9 Ma trận A xác định âm khi oà chỉ khi A là ma trận ổn định, túc là ReA;(A) < 0
Trang 14Chứng mình Xét hệ phương trình
dX (t) = AX(t)dt
Trước hết theo Dịnh lí 1.4 thì hệ trên ổn định tiệm cận khi và chỉ khi ma trận 4 ổn dịnh
Điều kiện cần Chọn hàm V = XTX khi đó V là hàm xác định dương, có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X — 0
Mặt khác đạo hàm của V theo t trong nghĩa của hệ trên là dV=dXTẦX = dX TX+ XTaX = XT(AT+ A)Xdt dV Ti AT T aT T > Gp a XMATH+ AX = XTATX + XTAX = (XTAX)T+XTAX = 2(XTAX) Vi A la ma tran xéc dinh 4m nén theo Dinh lí 1.8 hệ trên ổn dịnh tiệm cận hay ma trận A ổn dịnh
Điều kiện di Giả sử ma trận A 6n định theo Định lí 1.8 tồn tại một ma trận !ĩạ đối xứng, xác định dương sao cho ma trận AT ạ+ HạA đối xứng, xác định âm, tức là
XT(ATH) + HoA)X <0 VX ER"
& XTATH)X +XTHAX <0 VX ER", X40
& (XTH)AX)? + XTH)AX <0 =VX 40 ©2XTHọAX<0 VX #0 (a) Do Họ là ma trận xác dịnh dương suy ra (XXT)(XTHọHạX) = (XTHạX)(XTHạX) >0 VX #0 © XTHọHọẹX >0 VX 40 ©(HoX)”>0 VX #0 => HX A~A0 VX 40, =dciHs #0
Trang 15Thật vậy, ta có (Họ.(Họ) 1)f = ET = E suy ra ((Hạ) }f = Hạ}, do đó ma trận (Hạ) ”! đối xứng Ma trận (Họ)“! xác định dương vì XT(m) 'X = XT(Hị) 'Hạ(Hụ) 1X =_Xf(H,')*HụH,`X = (Hạ'X)THạ(H,}X)>0_ VX #0, suy ra Hạ; ! là ma trận xác định dương (b) Từ (a) và (b) ta có (X*H;'!X)(XTHAX) <0 © (XX?)(XTH,'HạAX) <0 & (XXT)(XTAX) <0 & XTAX <0 VX 40
Suy ra A la ma tran xắc dinh 4m
Định lí hồn toàn dược chứng minh L]
1.2.2 Bay giờ ta xét tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân không đưa được về dạng Cauchy
dX
DĐ = AX(t), (1.9)
vdi A, D là các ma trận vudng cap n, vecto X(t) € R”, ma tran D khong suy bién
Khi đó ta đưa hệ (1.9) về dạng
= = D'AX() (1.10)
Từ những kết quả của hệ phương trình vi phân thuần nhất (1.6) ta có
các khẳng định sau về sự ổn định tiệm cận của hệ (1.9)
Trang 16Vì hệ (1.9) tương dương với hệ (1.10) nên ta cũng dé dàng suy ra
được định lí sau
Định li 1.10 ([2]) Néu ton tai mot ham s6 V(X, t) xác định đương có
giới hạn 0ô cùng bé bac cao khi X — 0 sao cho dao ham ctia V theo t trong nghĩa của hệ (1.9) âm thà nghiệm không của hệ đó ốn định tiệm
can
Bổ đề 1 (4l) Nếu nghiệm không của hệ (1.9) ổn định tiêm cận thi ton tai duy nhất một ma trận H đối xứng, tác định dương là nghiệm của phương trình ma trận Liapunou
ATHD+ DTHA = -Œ,
trong dé G la ma tran doi súng, xác định đương tùy ý, cap n x n Định lí 1.11 Điều kiện cần à đủ để nghiệm khong ctia hé (1.9) on
định tiệm cận là tồn tại duy nhất một ma trận H dối xứng, xác định đương thỏa mãn phương trành
ATHD+ DTHA = -G, (*)
tới Œ là ma trận đối rứng xác định dương tùy y, cap n x n
Chứng mình Điều kiện cần: Giả sử nghiệm không của hệ (1.9) ổn định
tiệm cận khi đó theo Dịnh lí 1.8 tồn tại duy nhất một ma trận Ủụ đối xứng, xác định dương thỏa mãn phương trình
(D1A)*Hụ + HọD~}A = —G
e© AT(Dˆ'JTHụ + HạD"1A = ~G
Đặt W = (D!)THụẹD — Dễ dàng kiểm tra !ï là ma trận đối xứng, xác
định dương và H là nghiệm của phương trình
ATHD+ DTHA = -Œ,
Bây giờ ta chứng minh tính duy nhat cia H, that vay
Điều kiện đủ: Xét hàm
Trang 17khi đó V(t,X) là hàm có giới hạn vô cùng bé khi X — 0 và xác định dương Mặt khác dV(t, X) d(X? DT’ HDX) dt dt dx? dX = - —.DTHDX + XTDTHD—— dt 1X + dX dt = (D—)THDX +X? DT HD dt = (AXTHDX+ XTDTHAX = XT(ATHD+ DTHA)X Vì ATHD+ DTHA = —G là ma trận xác định âm, do đó dV(t,X) dt
Theo Định lí 1.10 thì nghiệm không của hệ (1.9) ổn dịnh tiệm cận
Dịnh lí hoàn toàn dược chứng minh LÌ
<0
sử dụng phần mềm máy tính, kiểm tra va tim Dể thuận lợi cho việc
miền ổn định tiệm cận của hệ (1.9) Ta có một điều kiện đủ để nghiệm không của hệ (1.9) ổn định tiệm cận thông qua định lí sau
Định lí 1.12 Nghiệm không của hệ (1.9) ổn định tiệm cận néu ma
tran ATD + DTA ốn định
Chiing minh Chon ham Liapunov cé dang V = XTDTDX Khi đó ta có dạo hàm của hàm V theo t trong nghĩa của hệ (1.9) là dV =dX*.DTDX + XTDTD.dX = XTATDXdt + XTDTAXdt = XT(ATD + D™A)Xdt dV >.= XT(ATD+ DA)X dt Do ma tran A? D+ D? A 6n định theo Định lí 1.9 thì ma trận A? D+ D7 A xác định âm Suy ra x < 0 theo Định lí 1.10 nghiệm không của hệ (1.9) ổn định tiệm cận
Dinh lí dược chứng minh L]
Sau đây chúng ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính bị gây nhiễu bởi một quá trình ngẫu nhiên W©iner
Trang 181.3 Tính ổn định tiệm cân với xác suất một của hệ phương trình ngẫu nhiên Itô tuyến tính
Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính
dX*(t) = AX*(t)dt + B(e) X°(1)du, (1.11) (Xf(0) = Xo, t 2 0), (1.12)
trong đó X*(f) € R”, A, B(e) 1a céc ma tran hang cép n x n, B= P(e) là hệ số gây nhiễu phụ thuộc vào tham số gây nhiễu e va (0) = 0 w(t) la qué trinh Wiener
Hệ phương trình (1.11) có hệ phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là hệ (1.6)
Định nghĩa 1.10 ({9]) Nghiệm không của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính (1.11) được gọi là ổn định theo Liapunou tới xác suất một nêu Ve > 0, Vfạ > 0 ta có
lim Pf sup || Y(t) ||>e | Y(0) = 1 =0
fọ—>œ t>to
Định nghĩa 1.11 ([7]) Nghiệm không của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính (1.11) được gọi là én định tiệm cận theo Liapunou tới xác suất một nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau:
(i) N6 ổn định theo Liapunov với xác suất một;
(ii) Tén tai 6 > 0 sao cho
fo tty
at lim sup || Y(¢) ||]=0 | Y(0) = yo, || yo ||< 3} = 1
Định lí 1.13 (Ghie man)( [5]) Nếu tồn tại một hàm xác định đương (hàm Liapunov) V(X*) sao cho E {2G _.} < 0 trong nghĩa của
hệ (1.11) thì nghiệm không của hệ đó on dinh tiém can theo Liapunov uới xác suất một
Trang 19Trường hợp ma trận B là bất kì:
Ta xét hàm số có dạng toàn phương sau V(X°) = (X?)f®HạX°,
trong đó Họ là nghiệm của phương trình Liapunov (1.8), dễ thấy V(XÊ) là hàm xác định dương Mặt khác đạo hàm của V theo t trong nghĩa của hệ (1.11) là dV(X°) d((X°)THuạX°) dt dt = 5 {d(X*)" Hp.X* + (X*)" Hyd X* + (X*)" BT Hy) BX*dt} 1 =1 ((X*)ATdt + (X*)" BT dw) HyX* + (X°)" Ho (AX*dt +BX‘dw) + (X*)" BT H,Bat} = (X?)f(ATHọ + HọA + BTHụB)X° + (X°)T(BTHụ + dw Hy) B)X*— +HụP) di dV(X:(
SE jo dt Xe=X } = XT(ATHụ + HụA + BHụB)X
Kì vọng trên âm nếu ma tran A? Hy) + HọA + BTHụB là xác định âm
từ đó ta có kết luận sau
Định lí 1.14 (Định lí diều kiện đủ) Giả sử ma trận A ổn định thì nghiệm không của hệ (1.11) là ổn định tiệm cận theo Liapuno0 tới xác suất một nếu 1na trận ATHụ + HụA + BTHụB xác định am, trong dé Họ là nghiệm của phương trình Liapunov (1.8)
Từ kết quả của định lí trên ta có thể đưa ra điều kiện cần và đủ
đối với tính ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ (1.11) thông qua
định lí tiếp theo
Định lí 1.15 (Định lí điều kiện cần và đủ ) Giả sử ma trận A ổn định,
điều kien can va đủ để nghiêm không của hệ (1.11) ổn định tiệm cận theo Liapunov tới xác suất một là tồn tại ma trận đối rứng, xác định dương H nghiêm của phương trình ma trận đại số
ATH+ HA+ BDTHD = -Œ,
Trang 20Dinh lí 1.16 Giả sử ma trận A ổn định thà nghiệm không của hệ (1.11) on định tiệm cận oới xác suất một nếu rma trận AT + A + BTB ổn định Chứng mình Chọn hầm Liapunov xác định bởi dạng toàn phương sau V(X*(t)) = (X°fX: Khi đó V có đạo hàm theo t trong nghĩa của hệ (1.11) là dV(X°) d ((X*°)7X*) dt dt 1 =a {d(X*)7X* + (X°)"dX* + (X*)" BT BX*dt} 1 = mi ((X°)T AT + (X°)? BTdw)X* + (X*)" (AX@dt +BX*dw) + (x°)"B" Bat\ = (XAT + A+ BTB)XE + (X°)F(B! + B)X*T" dt oF (os Do ma tran A? + A+ B’ B 6n dinh theo Dinh lí 1.9 thi A7+A+B7B là ma trận xác định âm Suy ra dv (X*(t)) E {ee en} " } = Xf(AT+ A+ BTDP)X dt Theo Dinh li 1.13 nghiệm không của hệ (1.11) ổn định tiệm cận với xác suất một Định lí được chứng mình oO Trường hơp ma trận B không suy biến:
Điều kiện ổn định tiệm cận trong Định lí 1.14 và Định lí 1.15 sẽ trở
Trang 21Thật vậy, vì B không suy biến nên ta có ĐTD là ma trận xác định dương và do ma trận 4 ổn định nên theo Dịnh lí 1.8 thì tồn tại ma trận Họẹ dối xứng xác dịnh dương nghiệm của phương trình A! Hoy + Hyp A = —B†D, nên ta chọn hàm Liapunov V có dạng toàn phương W(X°) = (X°)" Hoo X* P4 la) <0 (X°)" (A Hoo + HopA + BT HB) X* <0 © (X*)? (—BTB + BT HB) X* <0 Lúc đó điều kiện trong Định lí 1.14 trở thành diều kiện ma trận Jhi đó —BTB+ PTHụạB
xác định âm hay ma trận T(Hụẹ— E)B xác định âm
Vì với mọi X € R*" và Ư khơng suy biến nên ta đặt Y = B"!X Suy ra
YTBT(Hụ — E)BY <0
© X7 (Hw — E)X <0
Do d6é ma tran (Hoo — #) xác dịnh âm, ta có
Định lí 1.17 Giả sử ma trận A ổn định va ma tran B không suy biến thi tính xác định âm của ma trận Hạa— E là một điều kiện đủ để nghiệm không của hệ (1.11) ổn định tiệm cận theo Liapunou tới xác suất một Mặt khác, ma trận A ổn định và #fọo xác định dương nên Hạo— xác định âm khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của !fọo nhỏ hơn 1, tức
là A(Họo) < 1 Ta lại có một điều kiện đủ để A(Họo) < 1 là trHoo < 1,
điều này được thể hiện thông qua hai định lí sau đây
Trang 22Sau dây là một hệ phương trình được mở rộng từ hệ (1.11) Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính { DdX*(t) = AX*(t)dt + B(e)X*(t)dw X<(0) =X, t>0, 13) trong đó D là ma trận hằng không suy biến, khi D = E thi hé (1.12) trở thành hệ (1.11) và nếu Ø = 0 thì hệ (1.12) lại trở về hệ (1.9) Bổ đề 2 Nếu tồn tại một hàm số V(X*,t) sác định dương sao cho dV(X°#) r[*g
X°=X } theo nghĩa của hệ (1.12) nhận giá trị âm thà nghiệm không của hệ dó ổn định tiệm cận uới xúc suất một
Cũng tương tự như hệ phương trình vi phân (1.11) ta có các điều kiện dại số về tính ổn định tiệm cận đối với hệ (1.12), trong các trường hợp ma trận B bất kì hay suy biến
Trong trường hợp ma trận B là bất kì:
Định lí 1.19 Giả sử ma trận D~!A là ổn định thì nghiệm không của
hệ (1.19) là ổn định tiệm cận nếu ma trận ATHụD + DTHụA + BTHụB xác định âm, trong đó Họ là nghiêm của phương trinh Liapunov (*)
Chitng minh Do D~+A 6n định, theo Nhận xét 1.5 và Định lí 1.11 thì
nghiệm Hạ của phương trình (*) là một ma trận xác dinh dương Ta chọn hàm số V(XÊ) có dạng toàn phương sau V(X°) =(X°)TDTHgDXê Dã thấy V(X°) là hàm xác định dương Mặt khác dV(X?) = d(X*)’.D’H)DX* + +(X*)? D? HyD.dX* + BT (2)HoB(e)dt = (AX‘dt + B(e)X°dø)” HạịDXỀ +
+(X*)?D? Hy (AX*dt + B(e)X*dw) + BT(e) Hạ B(e) = (X*)" (ATH)D + D’HoA + B™(c)HoB(e)) X°đ! +
Trang 23khi đó kì vọng của dạo hàm hàm WV(X#(?)) theo t trong nghĩa của phương trình (1.12) là
B {eee i l „) = XT (ATH)D + DTHụA + BT(e)HạB(e)) X
Theo giả thiết của định lí ma trận AfNụyD + D*“HạọA + BT(c) Hạ B(e)
là xác định âm nên
E nh dt Xo) X:=X } <0
Theo Bổ đề 2 thì nghiệm không của hệ (1.12) ổn định tiệm cận với xác suất một
Dinh lí đã dược chứng minh L]
Chú ý: Vì Họ là nghiệm của phương trình
ATH)D + D” HụA = —G
© ATHọD + DTHạA + BTHạB = BTHạB - G
Suy ra điều kiện ma trận ATHạD2D + DTHạA + BTHụB xác định âm trong định lí trên có thể thay bởi điều kiện ma trận ðTHạB — G xác định âm
Định lí 1.20 Giả sử ma trận D~1A ổn định thà nghiệm không của hệ (1.12) ổn định tiệm cận tới rác suất một khi tà chỉ khi tồn tại một ma trận H dối xứng xác định dương nghiệm của phương trành
ATHD+ DTHA+ BTHB=-G, (**)
trong dé G la ma tran déi ritng xác định đương tùy ý, cấp nx n Chitng minh Ta dua hệ phương trình (1.12) vé dang
dX* = D7'AX*dt+ D'BX*dw (***)
Trang 24xác suất một là tồn tại một ma trận xác định dương Hạ nghiệm của phương trình
(D"}A)T Hạ + HạD”1A + (D~1B)THọD~!B = ~Œ © ATf(D"})THạ + HọD"!A+ BT(D~!) HụD~}B = ~G
Đặt H = DTHụD Vì D không suy biến nên H xác dịnh dương và là nghiệm của phương trình
ATHD+ DTHA+ BHB = -G
Định lí hoàn toàn được chứng minh L]
Sau dây là một diều kiện dủ đối với tính ổn định tiệm cận với xác
suất một của hệ (1.12)
Định lí 1.21 Giả sử ma trận D~1A ốn định khi đó điều kiện đủ để nghiệm không của hệ (1.12) ốn định tiệm cận vi rac suất một là ma
trận ATD + DTA + BTB ổn định
Dinh Ii trên được chứng minh bằng cách chọn hàm Liapunov có dạng toàn phương sau V(X°) =(X°)TDTDXÊ Khi đó kì vọng của đạo hàm đối với V theo t trong nghĩa hệ (1.11) là dV(X° LMM dt
Do ma tran A? D+ D? A+ B’B 6n dinh theo Dinh li 1.9 thi ATD + DTA+ BTD là ma trận xác định âm, nên
E Ga <0
} = X"(ATD + DTA+ BTB)X
X°=X
Vậy nghiệm không của hệ (1.11) on định tiệm cận với xác suất một Cũng như đối với hệ (1.11) điều kiện ổn định tiệm cận của hệ (1.12) sẽ trở nên đơn giãn hơn nếu có thêm giả thiết ma trận B không suy biến
Trường hợp ma trận B không suy biến:
Trang 25Thật vậy, Nếu ma trận B không suy biến thì 3” là ma trận xác định dương, mặt khác 2~14 ổn định theo Nhận xét 1.5 và Bổ đề 1 là tồn tại một ma trận Hop đối xứng xác dịnh dương nghiệm của phương trình ATHụuD + DTHụuA = —BTB Lúc đó bằng cách xét hàm V(X°) =(X?)TDTHụDXẽ Kì vọng của đạo hàm hàm V(XẼ(£)) theo t trong nghĩa của hệ phương trình (1.12) là dV(X°)( E (lv) =_ X*(ATHạyD + DTHạụụA + B”HạyB) X = XT(_-BTB+ BTHụP) X = X7B" (Ho) — E) BX
Suy ra ta có các kết quả sau
Định lí 1.22 Giả sử ma trận D~ÌA ốn định uà ma tran B không suy
biến khi dó nghiệm không của hệ (1.12) ổn định tiệm cận uới xác suất một nếu ma trận Hạo — E xác định âm, tới Hạu là nghiệm của phương trình
A? HoyD + D’ Hwy A = — BTB
Ta cũng có một điều kiện đủ để Hạo — E xác định âm thể hiện thông qua định lí sau
Dinh lí 1.23 Giả sử ma trận DT}A ổn định uà ma trận B không su
biến khi đó nghiệm không của hệ (1.19) ốn định tiệm cận uới xác suất
mot néu trHy <1 vdi Hoy la nghiém của phương trành
Trang 26Chương 2
ĐIỀU KIỆN ĐẠI SỐ MA TRẬN ĐỐI VỚI TINH ON ĐỊNH TIỆM CẬN VỚI XÁC
SUẤT MỘT
Chương này xét một số hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên ltô được phát triển từ các hệ đã trình bày trong Chương 1 Từ đó sử dụng phương pháp hàm Liapunov để đưa ra và chứng minh các điều kiện đại số ma trận đối với tính ổn định tiệm cận với xác suất một của các hệ
phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính (hay hệ bị gây nhiễu ngẫu nhiên) có chứa tham số /, với giả thiết hệ vi phân tất định (hay hệ không bị gây nhiễu) tương ứng của hệ đó là ổn định tiệm cận
2.1 Các khái niệm va tính chất ổn định tiệm cận của hệ tất định với tham số
Trang 27trong đó X €lR”,Y €IR”, ø là số thực dương bé tùy ý ( > 0), và Ay, 7= 1,2 là các ma trận có cở phù hợp
Dinh nghia 2.1 Nghiém (X(t) = 0, Y(t) = 0) (nghiém khong) (a < t < co) cha hé (2.1) dude goi la én dinh theo Liapunov (hay 6n định ) khi £ — œ, nếu với tu £ > 0 và fạ € (ø,o) tồn tại ở = ð(e,fo) > 0 sao cho mọi nghiệm (X(),Ÿ(#)) của hệ (2.1) thỏa mãn
thì ta có bất đẳng thức X(t) Y(t)
Dinh nghia 2.2 Nghiém (X Y(t)=0) (nghiém khong) (a <t < œ) của hệ (2.1) được gọi * ổn ` tiệm cận theo Liapunou (hay ổn định tiệm cận ) khi † — œo, nếu nó ổn định và với mọi fạ € (a, ) tồn
tại A = A(u) > 0 sao cho moi nghiém (X(t), Y(t)) (ty <t < 00) cla hệ (2.1) thỏa mãn <e£ khi fọạ< < œ X(to) ~ <A ( ¥ (to) thi ta có jim Y(t) =0 Dat _ An địa _ Enxn 0 — X(t) A= On Hà , En ~ ( 0 nun) , z0 ~ (r , Khi đó hệ (2.1) trở thành hệ có dạng dZ(t) 5: ya = AZ (0): (2.2)
Nhận xét 2.1 Nghiệm không của hé (2.1) 6n dinh tiém can khi va chỉ khi nghiệm không của hệ (2.9) ổn định tiệm cận
Trang 28Chú ý: Vì ¡ > 0 nên Ƒ„ là ma trận không suy biến theo nhận xét trên và các kết quả của phương trình (1.9) ở Chương 1 ta có các tính chất sau
Dinh lí 2.1 ([7]) Nghiệm không của hệ (2.1) ổn định tiệm cận khi va
chỉ khi ma trận (E,) 1A 6n dinh (Hurwitz), tức là ReA((E,) 1A) < 0 Định lí 2.2 Nếu tồn tại một hàm V{(Z(t)) xác định dương (ham Lia- punov) sao cho w Zo) < 0 trong nghĩa của hệ (2.9) thà nghiệm không
của hệ đó én định tiệm cận
Định lí 2.3 Điều kiện cần à đủ để nghiệm không ctia hé (2.1) on định tiêm cận là tồn tại duy nhất một ma trận H cấp (n+m) x (n+m) đối xứng xác định dương nghiệm của phương trình Liapunou ATHE, + (E„)"HA = -GŒ, trong đó GŒ là ma trận đối xứng xác định dương tùy ý, cấp (n + m) x (n+m) Chứng mình Điều kiện cần: Trước hết ta đưa phương trình (2.2) về dạng dZ = (E,) 1AZdl (2.3)
Khi đó nếu nghiệm không của hệ (2.1) ổn định tiệm cận khi đó theo Định lí 1.8 tồn tại một ma trận Họ đối xứng, xác định đương thỏa mãn phương trình
(„`A)THạ + HạE„`A = —G
eS A™(E,,')"Ho + AyE,,'A =-G
Dat H= (E,')" HoEp, dễ dàng kiểm tra H là ma trận đối xứng xác định dương và H là nghiệm của phương trình
ATHE, + E,HA= ~G
Điều kiện đủ: Xét hàm Liapunov cho bởi công thức V(, Z) = ZTELHE,Z Lay đạo hàm của hàm V(, Z) theo t trong nghĩa của hệ (2.3”) ta có
dV (t, X) d(XTETHE,X)
dt dt
Trang 29Vì ATH Tụ + ELH A= -—G là ma trận xác định âm, do đó
dV(t,X) <0
dt
Theo Dinh lí 1.8 thì nghiệm không của hệ (2.1) ốn định tiệm cận
Định lí hoàn toàn dược chứng minh L]
Bây giờ với giả thiết hệ (2.1) ổn định tiệm cận chúng ta nghiên cứu tính ổn định của các hệ được gây nhiễu từ hệ (2.1)
2.2 Tính ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ
vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính chứa tham
SỐ Ju
Xét hệ vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính chứa tham số / (hệ được gây nhiễu ngẫu nhiên từ hệ (2.1)) sau:
ÄX? = (AnXÊ() + AisYÊ)đt + (BuX* + BaY*)dw (23)
pd Y* = (Ag, X* + AsaY°)di + (Bo X* + ByY*)dw , X*(0) = Xo
=
128
trong dé X(t) € R", Y(t) ER”, cdc ma tran hang B;; = B;;(€), i,7 = 1,2, phụ thuộc vào tham số e, + la qua trinh Wiener ditng, B;;(0) = 0 Day là hệ có dược từ hệ (2.1) khi các ma trận hằng 4, i,7 = 1,2 bị gây nhiễu bởi các hệ số ;;du tương ứng
Định nghĩa 2.3 ([7]) Nghiệm không của hệ (2.3) dược gọi là ổn định theo Liapunov với xác suất một (ổn định với xác suất một ), nếu với mọi e > 0 va ty > 0 thì ta có X*(0)\ _ (Xo =0 Y0) \Wjƒ —ˆ X*(t) >€ Y*()
Định nghĩa 2.4 ([7]) Nghiệm không của hệ (2.3) dược gọi là ổn định
tiệm cận theo Liapunov với xác suất một (hay ổn định tiệm cận với xác sa t>to
lim P {ep
Trang 30suất một), nếu nó ổn định theo Liapunovy và tồn tại ổ > 0 sao cho (0) 4 (rao) = G2) G8) af Dat Z-Ñ):7-):2r (9cm Ân mà) Khi đó hệ (2.3) tương đương với hệ sau P { lim sup too t>to B,dZ*(t) = AZ*(t)dt + BZ*(t)dw (2.4)
Định lí 2.4 ([7]) Nếu tồn tại tmột hàm V(Z*) xác định đương (hay hầm Liapuno0) có kà uọng của dạo hàm theo † trong nghĩa của hệ (2.4) có giá trị âm thà nghiệm của hệ (2.3) ổn định tiệm cận ouới xác suất một Đối với hệ (1.12) ta xét tính ổn định tiệm cận của hệ trong từng trường hợp của ma trận B Trường hợp ma trận B là bất kì:
Định lí 2.5 (Diều kiện di) Gid sit hé (2.1) ổn định tiệm cận khi đó nghiệm không của hệ (2.3) on dinh tiệm cận tới rác suất một nẾu ma trận BTHụọB — G xác định âm, trong đó Họ là nghiệm của phương trình Liapunov
AT HE, + (E,)' HA = —-G
tới Œ là na trận đối xứng xác định dương tùy ¥ cap (n+m) x (n+m)
Chứng minh Từ giả thiết hệ (2.1) ổn định tiệm cận theo Định lí 2.3 phương trình
ATHgE, + (E„)T HạA = ~G.,
tồn tại nghiệm ma trận Họ đối xứng xác định dương, do đó chọn hàm
V(Z*) = (Z°)" (Ey) Ho EZ
Trang 31Dễ dàng kiểm tra V(Z°) là một hàm Liapunov Mặt khác, V(Z°) có kì vọng của đạo hàm theo thời gian £ trong nghĩa của hệ (2.4) là
dV(Z°0))
Bee Z:=Z } =_ZT(ATHụE, + (E„) HạA + BT HụB) Z
=_ZT(BTHọB—G) Z <0
Theo Dịnh lí 2.2 thì nghiệm không của hệ (2.4) ổn định tiệm cận với 6
xác suất một Do đó nghiệm không của hệ (2.3) on định tiệm cận với
xác suất một
Định lí dược chứng minh L]
Định lí 2.6 (Điều kiện cần và đủ) Giả sử hệ (2.1) ổn định tiệm cận khi dó nghiệm không của hệ (2.3) ốn định tiệm cận theo nghĩa Liapuno0
vdi xác suất một khi uà chỉ khi tồn tại một ma trận Hạ dối xứng, tác định dương là nghiệm của phương trinh
ATHE, + E, HA+ BTHB = -G,
uới Œ là ma trận đối xứng, xác định dương tùy ú, cấp (n+m) x(n+m) Chứng mình định lí này hoàn toàn tương tự cách chứng mình của Định lí 1.20 ở Chương 1, bằng cách thay ma trận D bởi ma trận Tạ
Sau dây là một diều kiện dủ dối với tính ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ (2.4)
Định lí 2.7 Giả sử hệ (2.1) on định khí đó điều kiện đủ để nghiệm
không của hệ (2.3) ổn định tiệm cận oới xác suất một là ta trận ATE,+ (E„)TA + BTB ổn dịnh Dịnh lí trên được chứng minh băng cách chọn hàm Liapunov V =(Z°)"(B,) EZ Khi đó kì vọng của đạo hàm hàm số V trong nghĩa của hệ là dV(Z“() 1? } = ZT(ATE,+ (E,TA + BTB) Z Z4:=Z
Do ma trận (AT„ + (E,)TA + BTP) ỗn định, nên theo Định lí 1.8 Chương 1 thì (AT, + (E„)TA + BTB) là ma trận xác định âm
Trang 32Suy ra E tá” ứ)) } <0 dt Z:=Z Vậy theo Dịnh lí 2.4 nghiệm không của hệ (2.3) ổn định tiệm cận với xác suất một Định lí dược chứng minh
Các điều kiện trong Định lí 2.5và Định lí 2.6sẽ trở nên đơn giản hơn
nếu có thêm giả thuyết ma trận B không suy biến
Trong trường hợp ma trận B không suy biến:
Thật vậy, nếu B không suy biến thì ma trận ĐT là ma trận xác định dương và bằng cách suy luận tương tự như đối với hệ (1.12) ở Chương 1 ta có các kết quả sau
Định lí 2.8 Giả sử hệ (2.1) ổn định tiệm cận oà ma trận B không suy biến khi đó nghiệm không của hệ (2.3) ốn định tiệm cận tới xác suất một nếu ma trận Hạo — E xác định âm, tới Họa là nghiệm của phương trình
AT HE, + Ey, HooA = —B"B
Ta cũng có một diều kiện đủ để Hụo — xác dịnh âm thể hiện thông
qua định lí sau
Dinh lí 2.9 Giả sử hệ (2.1) ổn định tiệm cận va ma tran B không su biến khi đó nghiệm không của hệ (2.3) ổn định tiệm cận tới rác suất một nếu tr Họa < 1 uới Hạn là nghiệm của phương trình
AT HE, + Ej, Ho A = —B"™B
2.3 Diéu kién dai s6 ma tran déi với hệ vi phân
ngẫu nhiên Itô tuyến tính tổng quát
Trang 33X£(0) = Xụ
{xen ¬
trong đó hệ số suy biến / là một số thực dương bé tuỳ ý X(t) € R", Y(t) € R™, Dị, D; là các ma trận hằng không suy biến, Đỷ = BỀ(£), i,j = 1,2, là các ma trận hằng phụ thuộc vào tham số gây nhiễu e œ = +0(£) = (w(f), 02(£), - , œø„(£)) là quá trình Wiener dừng r chiều, H? (0) = 0
Đặt , '
BY, By Dị O
nh Bo (0 3) HỆ, Bb, , 0 D2;
chú ý rằng Dị và D› là các ma trận không suy biến, suy ra D2„ là ma trận không suy biến
Khi đó hệ (2.5) tương dương với hệ
DụdZ° = AZ°dt + ` B.Z° duy (2.6)
k=l
Bây giờ với giả thiết hệ tất định tương ứng ổn định tiệm cận, chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện đại số về ma trận hệ số để nghiệm không của
hệ trên ổn dịnh tiệm cận với xác suất một, trong từng trường hợp ma
trận bất kì và trường hợp ma trận Ư khơng suy biến Trong trường hợp ma trận B bất kì:
Định lí 2.10 Giá sử bệ (2.1) ốn định tiệm cận khi đó nghúộ
của hệ (2.5) là ổn định tiệm cận uới xác suất một nếu ma trận không ` HƑ Hạ, — G k=l xác định âm, trong đó Họ là một nghiệm của phương trành Liapunov AT HạD„ + D? HọA = ~G,
uới Œ là ma trận đối tứng xác định dương tùy ú, cấp (n+m) x (n+m)
Chiing minh Vì hệ (2.1) ổn dịnh tiệm cận nên tồn tại ma trận #ạ dối xứng, xác định dương nghiệm của phương trình
Trang 34Xét hàm Liapunov có dạng V(Z°) = (2°) Dĩ HụD„Z° Ta có dV(Z) = (227 ( ATH)D, + DƑHạA + À HỆ HP, dt k=1 + (Z7 (sino, + DIB) Z dwe k=1 Khi đó kì vọng của đạo hàm hàm số V(Z°) trong nghĩa của hệ là dV(Z“(0) eT , } = gt (rao, +DIHA+ >> at Z Z:sZ k=1 „ Do ma tran A? Hj)D+ D? HyA+ » BE HoBy là ma trận xác định âm k=l }<0 Z:=Z E {oo dt
Vậy theo Định lí (Ghie man) thì nghiệm không của hệ (2.5) ổn định tiệm cận với xác suất một
Định lí hoàn toàn được chứng mình Oo
Suy ra
Bây giờ nếu ta chọn G = # thì ta có nhận xét sau
Nhận xét 2.2 Giả sử hệ (2.1) ốn định tiệm can khi đó nghiệm không của hệ (2.5) ổn định tiệm cận ới rác suất một nếu ma trận rei BẸ HọB,— E rác định âm, trong dó Họ là nghiệm của phương trành Liapuno0
AT HD, + Di HA =-E, trong đó E là ma trận đơn tị cấp (n + m) x (n +m)
Định lí 2.11 (Điều kiện cần và đủ) Göđ sử hệ (2.1) ổn định tiệm cận
Trang 35tới Œ là ma trận đối xứng xác định dương tùy ú, cấp (n+m) x (n+m)
Chứng tinh Điều kiện cần Dé ching minh điều kiện cần của định lí này trước hết ta đặt Bị dw p=|”?| aw= a B, dw, Khi đó ta đưa phương trình (2.6) về dạng DụdZÊ = AZ°dl + BZ°4WV (2.7)
Trang 36Nhận xét 2.3 Giả sử hệ (2.1) ổn định tiệm cận khả đó nghiệm không của hệ (2.7) ốn định tiệm cận theo nghĩa Liapunoo khi oà chỉ khi tồn tại một ma trận Hạ dối xứng, xác định dương nghiệm của phương trình
ATHD,+ DƑHA+ ` BỆHDị = —E,
k=1
v6i E la ma tran don vi, cap (n +m) x (n+)
Bay giờ ta cũng có thể dưa ra một diều kiện đủ đối với tính ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ như sau
Định lí 2.12 Giả sử bệ (2.1) ốn định tiệm cận khi đó nghiệm không
của hệ (2.5) là ổn định tiệm cận uới xác suất một nếu
ReA,(M) < 0,
trong dé ma tran M = ATD, + DIA + i, BEB, va rj là các giá trị riéng cua ma tran M
Chứng mình Chọn hàm Liapunov V = (2°) DID AZ
Khi đó kì vọng của đạo hàm hàm số W(Z°) trong nghĩa của hệ (2.5) là e r E je) } = 7 (eo +D™A+ > at) Z Z:=Z k=1 dt Do ReÀ(M) <0 theo Dịnh lí 1.9 th AT*D + DTA+ 3 _¡ BƑB, là ma trận xác định âm Nên } <0 Z:=Z r Ze c[3V(20) dt Vậy theo Dịnh lí (Ghie man) nghiệm không của hệ (2.5) ổn định tiệm cận với xác suất một O Trong trường hợp các ma trận Ư¿ đều khơng suy biến:
Giả sử các ma trận Ủy, k = I, - ,z không suy biến khi đó ma trận S3;_¡ BE DỊ, là ma trận xác định dương Giả sử hệ (2.1) ổn dịnh tiệm
cận khi đó tồn tại một ma trận #¿ dối xứng xác định dương là nghiệm của phương trình Liapunov
;
ATHuD, + D HọA = — À ` Bị
Trang 37Bằng cách chọn hàm Liapunov cho bởi công thức V(Z) = (2°) Dĩ HụD„Z° Lấy kì vọng của ƒ(Z°,£) trong nghĩa của hệ (2.5) ta dược dV (Z*(t)) oe Z:sZ \ = gt ( ATHụD, + D} HụA + » at k=1 Z = 7 (>: BỆB,+ ` ni) Z k=1 k=l r = SO ZBI (-E + Hp) BZ k=1 Từ dó ta có định lí sau
Dinh lí 2.13 Gid sở hệ (2.1) ổn định tiệm cận vad các ma trận Bụ, k = 1,:::,? đều không suy biến khi đó nghiệm không của hệ (2.5) ổn định tiệm cận uới xác suất một nếu ma tran Hy — E xác định âm, uới Hạ là nghiệm của phương trành
,
ATHgD, + DỀHụA = — » HB†D\
k=1
Chú ¥ ring ma tran Hp — E xác định âm khi và chỉ khi ReA;(Ho) < 1 và một điều kiện đủ để Red;(Hp) < 1 1a trHy < 1 do đó ta có định lí sau
Định lí 2.14 Giả sử bệ (2.1) ốn định tiệm cận va ma tran B không suy biến thà nghiệm không của hệ (2.5) ổn định tiệm cận uới xác suất một nếu trHụ < 1 tới Hạ là nghiệm của phương trình
;
ATHạD,+ DƑHọA = — ` BỆ Dị
k=1
Trang 38Kết luận
Dóng góp của luận văn là đã đưa ra và chứng minh được các điều kiện đại số về ma trận hệ số dối với tính ổn định tiệm cận của các hệ phương trình vi phân tất định và các hệ vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính có các dạng sau: 1 DdX*(t) = AX*(t)dt + BX*dw véi ma tran D không suy biến 2 { dX (t) = (An X(t) + Ai¥ (t)) dt pd Y (t) = (Ao X (t) + Ago¥ (t)) dt
dX° = (Ay X*(t) + ApY*)dt + (BuX* + BeY )dw
pd Ơâ = (An X* + Ago Y®)dt + (BorX* + BooY*)dw
Từ việc nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của các hệ trên, luận văn đã nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ có
dang tổng quát sau với nhiễu véctơ r chiều W(#) = (ứ(f), wo(t), - ,wp(t)) , DịdX° = (AnX? + AijsY°)đf + » (B1X? + B1,Y°) duy, k=1 [Dod ¥° = (Ay X° + AyY°)dt + S> (BEX* + BEY*)duy, k=1
trong dé A, Ajj, (i,j = 1,2) la cac ma tran hang, B, Bij, (i,j = 1,2) là các ma trận hằng phụ thuộc vào e D, 2, 2; là các ma trận hang
không suy biến
Các kết quả mới của luận văn là dã phát biểu và chứng minh dược các Định lí 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, và các nhận xét 2.2, 2.3 Ngoài ra luân văn còn phát biểu và chứng minh được các Định lí 1.12, 1.16,
1.21, 2.6, cùng một số kết quả khác nhằm làm cơ sở cho các kết quả
Trang 39Một trong những vấn đề mỡ mà luận văn còn quan tâm là tìm điều kiện để nghiệm không của hệ tổng quát trong trường hợp D,, Dy bat kì, điều kiện cần đối với Dịnh lí 2.12 và lập thuật toán tìm miền ổ
định tiệm cận với xác suất một cho hệ tổng quát trên trong trường hợp Dự, k= 1,r bất kì
Với các kết quả về điều kiện để nghiệm không của các hệ trên ổn định tiệm cận với xác suất một, chúng ta có thể sử dụng thuật toán cho máy tính để kiểm tra và tìm miền ổn định tiệm cận với xác suất một
Trang 40Tài liệu tham khảo
[1]
[2]
[3]
[4]
Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2001) Các mô hành zác suất 0à ứng dụng-Phần II: Quá trinh đừng oà ứng dụng Nhà xuất
bản Dại học Quốc Gia Hà Nội , 120tr
Nguyễn Thế Hoàn -Phạm Phu (2000) Cơ sở phương trình ui phân tà lí thuyết ổn định, Nhà xuất bản giáo dục, 368tr
Trần Hùng Thao (2000) Tích phân ngẫu nhiên 8 Phương trinh vi phân ngẫu nhiên Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội,
179tr
Ngô Quốc Chung (2004) Vé mién ổn định của nghiệm phương trình
vi phan ngẫu nhiên Hô tuyến tính Luận văn thạc sĩ toán học Đại học Vĩnh
D G Korenevskij (1987) Coefficient critetria and sufficient condi- tions for asymptotic stability with probability one of linear systems of Ito stochastic differential equations, Soviet Math Dokl Vol 34 No 2
D G Korenevskij ( 2002) On the impossibility of solutions of a system of linear deterministic difference equations, Ukraina Math, Jourual Vol 54 No.2
D G Korenevskij ( 2001) Stability Critetria for Solutién of Sys- tems of Linear Deterministic or StochasticDelay Differential Equa- tions with Continuous Times Norrs, Vol 70, no 2