Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên itô tuyến tính

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học vinh ----------- ----------- Trần thị anh chi tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên ITÔ tuyến tính Luận văn thạc sỹ toán học Vinh - 2007 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học vinh ----------- ----------- Trần thị anh chi tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên ITÔ tuyến tính chuyên ngành: lý thuyết Xác suất và thống kê toán Mã số: 60.46.15 Luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Đức Thành 2 Vinh- 2007 Mục lục Mở đầu 2 Chơng 1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính 3 1.1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định 3 1.2. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính 7 1.3. Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 13 1.4. Tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất 19 1.5. Phơng pháp hàm Liapunov 20 Chơng 2 Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính 23 2.1. Tính ổn định nghiệm của hệ vi phân có trễ . 23 2.2. Tính bị chặn (giới nội) của nghiệm của hệ phơng trình vi phân tất định 27 2.3. Tính bị chặn với xác suất 1 của nghiệm hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên. 30 2.4. Tính bị chặn với xác suất 1 của nghiệm hệ phơng trình vi phân không đa về đợc về dạng Cauchy. 32 2.5. Tính bị chặn bình phơng trung bình của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên có trễ 33 2.6. Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phơng trình ngẫu nhiên Itô chứa tham số à 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 3 Mở đầu Nh ta đã biết mỗi hệ phơng trình vi phân (hoặc sai phân) ngẫu nhiên phản ánh hoạt động của một hệ thống nào đó (hệ kỹ thuật, hệ kinh tế, hệ sinh thái, hay một hệ động lực ). Tính bị chặn (giới nội) của các nghiệm của hệ phơng trình vi phân (hoặc sai phân) tất định hay ngẫu nhiên là một trong những tiêu chí quan trọng phản ánh tính ổn định nghiệm của hệ đó. Tính bị chặn của hệ phơng trình vi phân trong luận văn này ta hiểu với nghĩa là các nghiệm nằm trong hay nằm trên một ellippsoid nào đó trong R n . Luận văn gồm có hai chơng: Chơng I. Trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính. Chơng II. Là nội dung chính của Luận văn, trình bày về tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên ITÔ tuyến tính. Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn trực tiếp của PGS. TS. Phan Đức Thành. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự tận tâm và nhiệt tình hớng dẫn đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng, TS. Nguyễn Trung Hoà, PGS. TS. Trần Xuân Sinh cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Đào tạo sau Đại học và các bạn trong lớp Cao học 13 Toán đã th- ờng xuyên quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn bè, ngời thân đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành khoá học. Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả 4 Chơng I Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phơng trình vi phân. Nó đợc ứng dụng ở nhiều lĩnh vực khác nhau nhất là trong kinh tế và khoa học kỹ thuật, trong sinh thái học và môi trờng học. Chơng này chỉ trình bày những nét rất cơ bản của lý thuyết ổn định và cũng chỉ giới hạn ở khái niệm ổn định theo nghĩa Liapunov. 1.1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định Xét hệ phơng trình vi phân viết dới dạng ma trận - vectơ nh sau: ),( tXF dt dX = (1.1.1) trong đó T n xxxX ), .,,( 21 = , T n tXftXftXftXF )),(), .,,(),,((),( 21 = , T n dt dx dt dx dt dx dt dX ), .,,( 21 = và t là một biến độc lập, )(), .,(),(( 21 txtxtx n là các hàm cần tìm, các hàm ), .,2,1( njf j = xác định trong miền ),(, +=ì= ++ aIIDT aax với x D là tập mở thuộc n R và a là một số có thể bằng . Sau này để tiện trong cách trình bày ta viết thay cho + (nếu không có gì nhầm lẫn). ở đây ta luôn giả thiết các hàm ), .,2,1( njf j = xác định trong miền T , liên tục theo t và có các đạo hàm riêng cấp một theo các biến nx xxx , .,, 2 liên tục; T là phép chuyển vị. 5 Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm ))(( <<= tatXX của hệ phơng trình vi phân (1.1.1) đợc gọi là ổn định theo Liapunov khi t nếu với mọi 0 > và ),( 0 at tồn tại 0),( 0 >= t sao cho nếu tất cả các nghiệm )(tY của hệ (1.1.1) thoả mãn điều kiện 2 . )( )( )( 0 1 1 >= tX tX tY (1.1.2) thì < )()( tXtY , 0 tt . (1.1.3) Nói cách khác, nghiệm )(tX ổn định theo Liapunov nếu các nghiệm )(tY khá gần với nó ở thời điểm ban đầu 0 t bất kỳ sẽ hoàn toàn nằm trong ống nhỏ tùy ý đợc dựng quanh nghiệm )(tX , với mọi 0 tt . Ví dụ. Xét hệ phơng trình vi phân = = . 1 2 2 1 x dt dx x dt dx Dễ thấy hệ phơng trình có nghiệm tầm thờng )0,0()(),(( 21 txtx và nghiệm tổng quát của hệ là )),sin(),cos(())(),(( 21 = tAtAtyty trong đó A và là hằng số tuỳ ý. Với 0 0 = t , khi đó với mọi chọn = ta có, nếu <== Ayyxxyy ))0(),0(())0(),0(())0(),0(( 212121 suy ra =<= Atxtxtyty ))(),(())(),(( 2121 . Vậy nghiệm tầm thờng của hệ ổn định theo Liapunov. 6 Nhận xét. Trong trờng hợp đặc biệt, khi 0),0( tF , nghiệm tầm thờng (còn gọi là trạng thái cân bằng) )(0)( 0 << tatX ổn định theo Liapunov nếu với mọi 0 > và ),( 0 at , tồn tại 0),( 0 >= t sao cho bất đẳng thức )( 0 < tY kéo theo )( < tY , 0 tt . Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm ))(( << tatX của hệ phơng trình vi phân (1.1.1) đợc gọi là ổn định đều nếu với mọi 0 > , tồn tại 0)( >= sao cho tất cả các nghiệm )(tY của (1.1.1) thoả mãn < )()( 00 tYtX suy ra < )()( tYtX với bất kỳ ),( 0 at . Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm ))(( << tatX của hệ phơng trình vi phân (1.1.1) đợc gọi là ổn định tiệm cận khi t nếu i) )(tX ổn định theo Liapunov; ii) Với mọi ),( 0 at tồn tại 0)( 0 >= t sao cho mọi nghiệm ))(( 0 < tttY thoả mãn điều kiện < )()( 00 tXtY sẽ có tính chất 0)()(lim = tXtY t . (1.1.4) Nhận xét. Nghiệm tầm thờng 0)( 0 tX (trờng hợp 0),0( tF ) của hệ ph- ơng trình vi phân (1.1.1) ổn định tiệm cận, nếu i) 0)( 0 tX ổn định theo Liapunov; ii) Với mọi ),( 0 at tồn tại 0)( 0 > t sao cho mọi nghiệm ))(( 0 < tttY thoả mãn điều kiện )( 0 < tY sẽ có tính chất 7 0)(lim = tY t . Ví dụ. Xét hệ phơng trình vi phân += = .2 21 2 2 1 xx dt dx x dt dx Hệ phơng trình trên có nghiệm tầm thờng )0,0()(),(( 21 txtx . Dễ thấy ))1(,())(),(( 21 tt ettetyty += cũng là một nghiệm của hệ phơng trình này. Khi đó nghiệm tầm thờng của hệ không ổn định. Thật vậy, với mọi ta có =++= tt tt etettxtxtyty 2222 2121 )1(lim))(),(())(),((lim . Định nghĩa 1.1.4. Giả sử hệ phơng trình vi phân (1.1.1) xác định trong nửa không gian { } { } .: <<ì<= taYY Nghiệm ))(( << tatX đợc gọi là ổn định tiệm cận toàn cục nếu nghiệm )(tX ổn định tiệm cận khi t và tất cả các nghiệm ),)(( 00 attttY >< đều có tính chất (1.1.4). Bây giờ ta xét hệ phơng trình vi phân có nhiễu ),,(),( tXBtXF dt dX += (1.1.5) trong đó ),( tXB là hàm véctơ xác định trong miền T , liên tục theo t và có các đạo hàm riêng cấp một theo n xxx , .,, 21 liên tục. Định nghĩa 1.1.5. Nghiệm ))(( << tatX của hệ phơng trình vi phân (1.1.1) đợc gọi là ổn định với nhiễu ),( tXB nếu với mọi 0 > và ),( 0 at , tồn tại 0),( 0 >= t sao cho khi ),( < tXB thì tất cả các nghiệm )(tY của hệ (1.1.5) thoả mãn điều kiện 8 < )()( 00 tXtY sẽ kéo theo < )()( tXtY , [ ) , 0 tt . 1.2. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính viết dới dạng ma trận - vectơ nh sau )()( tGXtA dt dX += , (1.2.1) trong đó ma trận )(tA và hàm vectơ )(tG liên tục trong khoảng ),( a . Hệ ph- ơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng của (1.2.1) là XtA dt dX )( = . (1.2.2) Định nghĩa 1.2.1. Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.1) đợc gọi là ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov nếu tất cả các nghiệm của nó tơng ứng ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov khi t . Định nghĩa 1.2.2. i) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.1) đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu mọi nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t . ii) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.1) đợc gọi là ổn định đều nếu mọi nghiệm của nó ổn định đều khi t . Định lý 1.2.1. Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (1.2.2) ổn định theo Liapunov. Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định; ))(( 0 << tttX là một nghiệm bất kỳ của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.2.2). Khi đó tồn tại hai nghiệm )(),( 21 tXtX của hệ (1.2.1) sao cho 9 )()()( 21 tXtXtX = . Do hệ (1.2.1) ổn định theo Liapunov nên nghiệm )( 1 tX của nó ổn định theo Liapunov khi t . Do đó với mọi 0 > và ),( 0 at , tồn tại 0 > sao cho )()( 0201 < tXtX kéo theo )()( 21 < tXtX , 0 tt . Điều này tơng đơng với )( 0 < tX , suy ra )( < tX , 0 tt ; hay nghiệm tầm thờng 0)( tY của hệ (1.2.2) ổn định theo Liapunov. Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thờng 0)( tY của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.2.2) ổn định theo Liapunov; )(),( 21 tXtX là hai nghiệm bất kỳ của hệ phơng trình tuyến tính không thuần nhất (1.2.1). Khi đó, ta đặt )()()( tYtXtX = thì )(tX là nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất (1.2.2). Mặt khác, do nghiệm tầm thờng của hệ (1.2.2) ổn định theo Liapunov, nên với mọi 0 > và ),( 0 at tồn tại 0 > sao cho )( < tX , 0 tt khi )( 0 < tX . Điều này tơng đơng với < )()( 00 tYtX 10